DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso MATEMÁTICAS 3º ESO Unidades 7 y 8 Gráficas y funciones

Transcripción

1 Pág. 1 de 12 BLOQUE 1 ESTUDIO E IINTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS 1.- Cuáles de las siguientes gráficas corresponde a una función? 2.- En cada una de estas gráficas, indica cuál es el dominio de definición, recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y los mínimos. Indica también si alguna es discontinua, periódica o tiende a un valor fijo. 3.- Dadas las siguientes gráficas estudia su dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, máximos y mínimos relativos y simetrías respecto al eje Y y al origen:

2 Pág. 2 de La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros): a. Cuál es la variable independiente? Y la dependiente? b. A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? c. Cuánto tiempo duró la visita al lugar? d. Hubo alguna parada a la ida? Y a la vuelta? e. Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y el de vuelta)? f. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. 5.- Se va a organizar una excursión y el precio por persona va a depender del número de personas que vayan a dicha excursión. El número máximo de plazas es de 60, y el mínimo, 10, admitiendo solamente grupos de 10 personas. La siguiente gráfica nos muestra la situación: a. Qué significado tiene el punto (20, 8)? Y el (40, 4)? b. Por qué hemos dibujado la gráfica solo entre 10 y 60? Podríamos continuarla? c. Es una función continua o discontinua? d. Por qué no unimos los puntos? 6.- Lanzamos una pelota hacia arriba. La altura, en metros, viene dada por la siguiente gráfica: a. Qué altura alcanza al cabo de 1 segundo? b. Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué momento la alcanza? Determinada las coordenadas del máximo. c. Cuándo decrece la altura de la pelota? Cuándo crece? d. Cuál es el dominio de la función? 7.- Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y después espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado espirómetro. Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones. a. Cuál es el volumen en el momento inicial? b. Cuánto tiempo duró la observación. Coincide con el dominio de la función? c. Determina la capacidad máxima de los pulmones y en qué instante se produce (coordenadas del máximo). d. Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? e. Determina los intervalos en los que aumenta y disminuye el volumen de aire (crecimiento y decrecimiento de la función).

3 Pág. 3 de Este es el perfil de una etapa ciclista de un club. Y estas son las gráficas que indican cómo se recorrió esa etapa. a. Cuál es la longitud de la etapa? Cuánto tiempo tardaron en recorrerla? b. En qué tramo van más deprisa y en cuál más despacio? c. Cuándo pasan por la cima más alta? d. Qué distancia hay de C a D? Cuánto tiempo tardaron en recorrerla? Qué velocidad llevaron? 9.- En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día. a. A qué hora empiezan las clases de la mañana? b. A qué hora es el recreo? Cuánto dura? c. El puesto se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa. A qué hora lo cerró? Cuáles fueron los ingresos esta mañana? d. Cuál es el horario de tarde en el colegio? e. Es esta una función continua o discontinua? 10.- Carmen, Gonzalo, Elena y Luis comentan cómo ha sido su ida al colegio esta mañana. CARMEN: Vine en motocicleta; pero se me olvidó un trabajo que tenía que entregar y tuve que volver a casa. Luego corrí todo lo que pude hasta llegar al colegio. GONZALO: Mi madre me trajo en coche; pero nos encontramos un atasco en el semáforo que hay a mitad de camino y nos retrasó mucho. ELENA: Me encontré en el portal de mi casa con un amigo que va a otro colegio. Hicimos juntos una parte del camino, y cuando nos separamos tuve que darme más prisa porque, con la charla, se me hizo tarde. LUIS: Salí de casa muy deprisa porque había quedado con María y era tarde. Después hicimos el camino juntos con más calma. Los cuatro van al mismo colegio, y cada una de estas gráficas muestra, en distinto orden, la trayectoria que han llevado desde la salida de sus casas hasta la entrada al colegio. En todas las gráficas se ha utilizado la misma escala. a. Cuál es la gráfica que corresponde a la descripción que ha hecho cada uno? b. Quién vive más cerca del colegio? c. Quién tardó menos en llegar?

4 Pág. 4 de María acostumbra a hacer una representación gráfica de su estado de ánimo a lo largo del día, y compararlo con el de otros días. Las siguientes gráficas representan el estado de ánimo de María durante los cinco días de la semana pasada, desde que se levanta a las 8 de la mañana hasta que se acuesta a las 9 de la noche, aproximadamente. El estado de ánimo lo tiene tabulado de 0 a 10. LUNES. El lunes se levantó triste porque había pasado un buen fin de semana y no tenía ganas de ir al instituto y, mucho menos, de madrugar. Cuando llegó al instituto se encontró a sus amigas y se alegró algo. Comenzaron las clases, que fueron un poco aburridas, y, por fin, llegó el recreo. Después del recreo las clases fueron más amenas, ya que eran sus favoritas: Plástica, Matemáticas y Música. La tarde la pasó estudiando y se acostó un poco cansada. MARTES. El martes tuvo examen a primera hora; le salió perfecto. Estaba deseosa de llegar a casa y contárselo a sus padres. Por la tarde estuvo en natación, y se acostó un poco más tarde de lo habitual, ya que sus padres la dejaron ver su serie favorita. MIÉRCOLES. El miércoles visitaron un museo. Algunos compañeros se portaron mal en la sala de exposiciones y se enfadó un poco. La Historia nunca había sido una de sus asignaturas favoritas, pero las explicaciones del profesor le parecieron muy interesantes. Después almorzó con sus compañeros en una pizzería. Se lo pasó genial. Por la tarde descansó un poco antes ponerse a estudiar, tenía que preparar el examen del jueves, además de hacer las tareas. JUEVES. El jueves pasó toda la mañana bastante nerviosa, ya que el examen era a última hora. Durante el recreo estuvo repasando en la biblioteca del centro y durante la penúltima hora el profesor la llamó al orden porque andaba bastante despistada en clase. El examen, como se temía, no le salió muy bien. Por la tarde fue de nuevo a natación y estuvo ayudando a su hermana con los deberes. Antes de acostarse recordó que no había terminado un trabajo de Ciencias que tenía que entregar al día siguiente. Le dieron las once. a. Asocia una gráfica a cada día de la semana y construye una para el viernes. b. A qué crees que se debe que unas gráficas corten al eje de abscisas antes que otras? c. Mirando las gráficas de forma global, qué día crees que estaba María más animada? Y qué día estaba menos animada? d. En la gráfica C hay un máximo absoluto. A qué acontecimiento se debe? e. Inventa una gráfica correspondiente a tu estado de ánimo un viernes y descríbela. Ahora dibuja una gráfica que represente tu estado de ánimo durante el último fin de semana. Existe mucha diferencia con la gráfica del viernes? f. Las siguientes gráficas representan el estado de ánimo de varias personas. Realiza un breve resumen de cómo ha sido su día.

5 Pág. 5 de Una de ellas no tiene sentido. Cuál es? g. Las siguientes gráficas corresponden al estado de ánimo de dos personas diferentes a lo largo de cierto día. Si representasen tu estado de ánimo, cuál de las dos preferirías? 8.- Unos amigos han preparado un puré de garbanzos para la comida y, como tienen poco tiempo para cocinar, hicieron bastante cantidad como para comerlo dentro de 2 o 3 semanas. Cuando terminan de comer meten lo sobrante en el congelador para comerlo más adelante. El más listo del grupo de amigos, que se llamaba Alejandro, lo hace del modo más respetuoso con el medio ambiente, teniendo en cuenta que la temperatura en la cocina donde ellos comen es de 20ºC. Alejandro fue anotando la temperatura del puré cada 15 minutos. Con los datos obtenidos dibujó el siguiente gráfico: La primera vez que Alejandro comprobó la temperatura del puré fue después de comer y el termómetro marcó 30ºC. a. A la vista de la gráfica, qué pasos siguió Alejandro para congelar el puré? a. Guardar el puré inmediatamente en el congelador, antes de que se enfriara. b. Dejarlo primero en el frigorífico, para que se enfriara, y luego guardarlo dentro del congelador. c. Dejar el grifo de agua fría corriendo un buen rato, para sumergir en ella el recipiente con el puré y enfriarlo antes de guardarlo en el congelador. d. Dejar el puré sobre la mesa de la cocina y esperar hasta que estuviera a la temperatura ambiente de la cocina; luego, guardarlo en el congelador. b. Cuánto tiempo transcurrió desde que Alejandro y sus amigos terminaran la comida hasta que el puré alcanzó la temperatura mínima?

6 Pág. 6 de 12 c. Dónde estaba el puré durante la primera media hora fijándonos en el gráfico? a. Sobre la mesa de la cocina. b. Dentro del frigorífico. c. Dentro del congelador. d. Calentándose en un fogón de la cocina. d. Cuando el grupo de amigos fue a comprar el congelador, revisaron diferentes folletos publicitarios y recogieron la información sobre los tipos de congeladores y frigoríficos que había en el mercado. Esta fue la información: Equipo (Nº estrellas) Temperatura mínima Permite congelar? * - 6º C No, sólo mantiene los alimentos congelados durante unas horas ** -12º C Sí, pero los alimentos solo se conservan en perfectas condiciones durante 3 días *** -18º C Si, y los alimentos duran meses congelados **** -24º C Si, los alimentos duran meses congelados, la congelación es más rápida y se puede congelar más cantidad de alimentos Teniendo en cuenta estas anotaciones de Alejandro, De cuántas estrellas es el congelador de este grupo de amigos? a. De una estrella (*) b. De dos estrellas (**) c. De tres estrellas (***) d. De cuatro estrellas (****) 9.- Raúl y Estrella acaban de asistir a una charla sobre las energías alternativas y tienen la esperanza de que, poco a poco y gracias al desarrollo tecnológico, el consumo de los combustibles fósiles vaya sustituyéndose por el de energías renovables y limpias como el viento, las mareas y otras. Concretamente, están muy entusiasmados con la energía eólica, a la que ven como una fuente de energía eléctrica capaz de remplazar a las centrales térmicas de carbón, gas o petróleo. En la foto se puede ver un parque eólico con varios aerogeneradores y sus enormes aspas, que el viento hace girar. En un principio, puede parecer que, cuanto más fuerte es el viento, mas energía eléctrica se produce, pero esto no es siempre así. Si el viento sobrepasa cierta velocidad, es necesario detener el giro de las aspas por motivos de seguridad. Lo que interesa, por lo tanto, es un viento moderado y lo más constante posible. Se está examinando la ubicación de un campo de aerogeneradores y, para que sea lo más eficaz posible, se ha estudiado la fuerza del viento a lo largo de varios años en cuatro lugares diferentes. Las siguientes gráficas representan la velocidad media del viento en esos 4 lugares:

7 Pág. 7 de 12 a. Cuál sería el lugar más apropiado para la instalación del campo eólico y por qué? b. A la hora de decidir la instalación de un parque eólico en un lugar determinado, también es importante tener en cuenta la altitud de ese lugar porque, a igual velocidad del viento, las aspas de un aerogenerador giran más lentamente cuanto mayor es la altitud. Investiga por qué, a igual velocidad del viento, las aspas de los aerogeneradores situados a mayor altitud giran más lentamente que las de los de los situados en zonas más bajas? a. Porque la densidad del aire disminuye con la altitud. b. Porque la temperatura del aire disminuye con la altitud. c. Porque la fuerza de la gravedad es menor a medida que aumenta la altitud. d. Porque a mayor altitud, las probabilidades de lluvia aumentan considerablemente. c. Indica, para cada una de las siguientes frases, si se trata de una ventaja o de un inconveniente de la energía eólica: No se emite dióxido de carbono Es una energía limpia y renovable Produce impacto visual en el paisaje Hay pocos lugares idóneos para su instalación Una vez instalado el aerogenerador, el coste de producción de la electricidad es barato. La instalación de los aerogeneradores es cara No es posible la producción de electricidad según la demanda porque no se puede controlar la velocidad del viento

8 Pág. 8 de 12 BLOQUE 2 REPRESENTACIÓN DE GRÁFICOS 10.- Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. a. Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b. Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que la velocidad es constante en cada etapa) 11.- En la autoescuela Ramírez las tarifas son las siguientes: a. He utilizado los servicios de Ramírez, y con 5 clases he obtenido el carné. Cuánto he pagado? b. Cuánto hubiese pagado con 6 clases? Y con 7 clases? c. Haz la gráfica en la que relaciones lo que cuesta obtener el carné según el número de clases recibidas La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 gramos. a. Cuántos gramos tiene que tomar un niño que pesa 10 kg? Y otro de 30 kg? Y una persona de 70 kg? b. A partir de qué peso se toma la dosis máxima (15 g)? c. Representa la función peso del paciente-dosis indicada La libra es una medida de peso que equivale a 0,45 kg. a. Completa la tabla siguiente: b. Representa la función que convierte libras en kilos La siguiente tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida: a. Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada. b. Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño? c. Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?

9 Pág. 9 de El abuelo de Luis ha comprado 84 metros de valla para construir un corral para sus gallinas. Quiere que sea rectangular, y que uno de sus lados no sea menor que 4 metros. a. Construye una tabla de posibles valores para las longitudes de los lados del rectángulo, x e y, y calcula, en cada caso, el área que ocuparía el gallinero, A. x 4 8 y A b. Expresa algebraicamente la relación entre A y x. c. Representa gráficamente la relación anterior (x, eje de abscisas y A, eje de ordenadas). d. Qué medidas deberá tener el corral para que el área sea máxima? Qué forma tendrá en este caso? 16.- En una empresa de paquetería se quieren construir cajas rectangulares para bombones. Disponen de planchas de cartón de 40 cm o 30 cm y el procedimiento de construcción es tal como se indica en la figura. La altura de la caja es igual al lado del cuadrado, x, que se corta en cada esquina. Las cajas pueden ser de varias alturas: desde 2 cm (altura mínima), hasta 10 cm (altura máxima). a. Qué superficie tendrá la base de la caja si la altura de esta fuera de 2 cm? Y si fuera de 4 cm? b. Completa la tabla que relaciona S (superficie, en cm 2, de la base de la caja) con x (altura, en cm, de la caja). x (cm) S (cm 2 ) c. Construye una gráfica que refleje, aproximadamente, los datos de la tabla (toma una escala adecuada para el eje horizontal x y otra para el eje vertical S). d. Es una función creciente o decreciente? Entre qué valores de x (dominio de la función) está definida la función? Cuál es el recorrido de S?

10 Pág. 10 de 12 BLOQUE 3 FUNCIONES LINEALES 17.- Asocia cada una de las siguientes gráficas con su expresión analítica: a. y 3x b. y x 3 c. y 3 d. y 3x 18.- Representa gráficamente estas rectas, determinando los puntos de corte con los ejes. a. y 3x b. y x 2 c. y x 2 d. 3x 2y 3 4 e. x 3 f. y 2 x g. 3y 9 h. y Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas a. 5x 8y 3 b. 4x 7y 8 c. 3y 12 d. 6x 2y Escribe la ecuación de las siguientes rectas. Cuánto vale la pendiente de cada una de ellas? a. b. c. d. e. f.

11 Pág. 11 de Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a. Tiene pendiente 2 y corta al eje Y en el punto 0,3. b. Pasa por los puntos M 4,5 y N 2,3. c. Pasa por los puntos A 4,7 y B 5,1. d. Pasa por el punto P 2,5 y tiene por pendiente 3. e. Es paralela a y 3x y pasa por el punto M 2,0. f. Pasa por el punto 3, 4 g. Es paralela al eje X y pasa por el punto 2, 4. P y su ordenada en el origen vale -2. h. Pasa por el centro de coordenadas y es paralela a r : 3x 5 y. i. Es paralela al eje Y y pasa por el punto 2, 4. j. Función de proporcionalidad que pasa por el punto 3,2. k. Es perpendicular a r : 6x 3y 7 0 y pasa por 2, 1 P Comprueba si el punto, 14 3 y 4x 18? pertenece a la recta 3x 9. y Y el punto,74 23 a la recta 23.- Calcula a para que la recta x 5y a 3 pase por el punto 2, Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25 por la visita, más 20 por cada hora de trabajo. a. Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x. b. Represéntala gráficamente. c. Cuánto tendríamos que pagar si hubiera estado 3 horas? d. Y si le hubiésemos pagado 105, cuántas horas habría durado la visita? 25.- En una ciudad, la bajada de bandera de los taxis (precio fijo cobrado al viajero al comenzar el servicio) es de 10, y por cada kilómetro recorrido, el cliente paga 0,5. a. Construye una tabla de valores para averiguar el precio de viajes de 5, 10, 15, 20, 25 y 30 km. b. Encuentra una expresión algebraica que relacione el precio, y, con los kilómetros recorridos, x. c. Cuál será el precio de un viaje de ida y vuelta a un lugar situado a 12 km de distancia? d. Haz una representación gráfica de la función precio - kilómetros recorridos. e. Cuántos kilómetros recorrió un viajero que pagó por el servicio 30 euros?

12 Pág. 12 de En una heladería, A, venden el helado a 5 el litro y cobran 1 por un envase, sea del tamaño que sea. En otra heladería, B, cobran 0,5 por un envase y 6 por cada litro de helado. a. Representa la función litros de helado coste para cada heladería y escribe sus ecuaciones. b. Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de helado que compremos En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de B: Sueldo fijo mensual de 800 más el 2 por cada libro vendido. a. Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y como variable dependiente el sueldo. b. Escribe la expresión analítica de cada función. c. Cuántos libros debe vender para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato?