Pronóstico de la producción de leche, mediante modelos ARIMA. Caso UBPC Maniabo.

Transcripción

1 Facultad de Matemática y Computación "Universidad de La Habana" Pronóstico de la producción de leche, mediante modelos ARIMA. Caso UBPC Maniabo. Autor Lyhen Sánchez Suárez Tutores MSc. Gladis Cabanas Gómez DrC. Verena Tórres Cárdenas Asesor MSc. Yoandra Abad Lamoth Tesis presentada en opción al título académico de Máster en Bioestadística Ciudad de La Habana 2013

2 "Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo." Albert Einstein

3 DEDICATORIA A mi mamita, fiel amiga y consejera, gracias a su sacrificio estoy aquí en estos momentos. Serás siempre mi inspiración para alcanzar mis metas, por enseñarme que todo se aprende y que todo esfuerzo es al final recompensado. Tu esfuerzo, se convirtió en tu triunfo y el mío, TE AMO. A mis abuelos, que por su modo de conducir mi educación, supieron guiarme bajo los principios éticos morales y fueron fuente constante de apoyo, amor incondicional y motivación. A mis padres, Julio y Reinaldo, que con su empeño diario me han enseñado que la vida exige sacrificios y perseverancia para lograr los objetivos. A toda mi familia que es el mejor regalo que me ha dado la vida. A mis amigos Yoandra y Eliecer, que fueron incondicionales y estuvieron a mi lado ayudándome y depositando toda su confianza en mí. A mis tutores Gladis y Verena que estuvieron al tanto de mi trabajo todo el tiempo e hicieron sus exigencias cada vez mayores, gracias por haberme transmitido todos los conocimientos que hoy tengo y por hacer de mi la profesional que soy. A mis compañeros de trabajo que depositaron confianza en mí y confiaron más para hacer de mí una mejor persona y profesional. A todos aquellos que de alguna forma contribuyeron en mi formación, que soportaron mis buenos y malos humores, mis canturías y mis locuras, a todos muchas gracias, por ser lo que soy hoy. Gracias de todo corazón.

4 Resumen El trabajo presenta una metodología para el estudio y predicción de la producción de leche en las condiciones de UBPC ganaderas en Cuba incluyendo métodos estadísticos de validación de los pronósticos y modelos encontrados. A partir de la serie de litros de leche producidos, observada en el caso de estudio, se realiza un análisis de la misma en los años del 1994 al 2010, encontrándose ausencia de tendencia y una estacionalidad altamente significativa, se ajusta un modelo de tipo ARIMA que resultó un ARIMA (1,0,3)x(0,1,0) y se halla un pronóstico a mediano plazo ( ) donde se obtuvieron errores aceptables, incluyendo un error medio porcentual aproximadamente del 15% y valores extremadamente similares a los reales en el 2011 (primer año pronosticado y tomado como año de validación). Se obtienen resultados en el caso de la UBPC Maniabo de La Tunas que incluyen un estudio descriptivo de los principales indicadores registrados en estas unidades y que estaban más relacionados con la producción de leche, en este caso se encontró que la misma está estrechamente relacionada con la cantidad de vacas en ordeño y los litros por vaca, variables que explican un 97.40% de la variabilidad de la producción de leche, estas variables (vacas en ordeño, litros de leche por vaca) son tan difíciles de predecir como la propia producción de leche, por ello es necesario su estudio y control, para el logro de una predicción confiable de producción de leche.

5 Abstract This paper presents a methodology for studying and predicting the milk production under the conditions of Cuban cattle Basic Units of Cooperative Production (BUCP), including statistical methods of validating the prognosis and models found. From the amount of milk liters produced in the case of study, an analysis is conducted from 1994 to 2010, and there was not high significant tendency or seasonal, adjusted to a model type ARIMA that resulted to be an ARIMA (1,0,3)x(0,1,0) and a prognosis will be found at middle term ( ), where acceptable mistakes were obtained, including a mean percent error of about 15% and values similar to those real in 2011 (first predicted year and considered as validation year). Results are obtained in the case of the BUCP Maniabo, Las Tunas that includes a more detailed study of the main indicators recorded in these units and that are also related with milk production. In this case, it is closely related with the amount of milking cows and liters per cow, variables that explain 97.40% of the variability of milk production. These variables (milking cows, liters per cow) are so difficult to predict as milk production itself. Therefore, its study and control are needed to achieve a reliable milk production prediction.

6 Índice General Introducción Las Series Temporales Aspectos generales de las series temporales y su uso Generalidades de los modelos clásicos de series temporales Componentes de las series Enfoque a partir de procesos estocásticos. Proceso estacionario de segundo orden Modelos Autorregresivos (AR) y de Medias Móviles (MA) Modelo Autorregresivo de Medias Móviles (ARMA) Series no estacionarias en media. Diferencias estacionales y no estacionales Autorregresivo Integrado de Medias Móviles (ARIMA) Criterios de selección Materiales y Métodos Área de Estudio Recolección de Datos Métodos estadísticos Resultados y Discusión Metodología de análisis en una UBPC Estudio de caso UBPC Maniabo Conclusiones Recomendaciones Bibliografía

7 Introducción La producción ganadera en los países tropicales se caracteriza por la baja productividad que se alcanza en los indicadores productivos, y si se toma en consideración la importancia que tiene para el hombre la producción de leche y carne, se deben tener en cuenta todos los estudios que se desarrollen en las explotaciones pecuarias actuales, que ayuden a la toma de decisiones correctas y a conocer las estructuras que hacen posible este mecanismo [34, 35]. En los sistemas de producción de leche en Cuba, la alimentación se sustenta en la utilización de los pastos y forrajes [32, 36]; estos no se escapan a la necesidad de encontrar sistemas que sean eficientes aún en condiciones de bajos insumos [20]. Entre sus grandes retos se encuentran los desequilibrios financieros y los esfuerzos por mantener un crecimiento sostenido en el orden social y productivo, con el que se garantice el bienestar de la población y la equidad social [29]. Para poder afrontar con eficiencia y previsión la planificación de los recursos es necesario tener predicciones confiables de la futura situación de la producción del sector. La estadística ha desarrollado teorías y métodos que se han convertido en herramientas imprescindibles para la estimación, comparación y la predicción. Entre estos métodos estadísticos se encuentran la regresión, los métodos multivariados y los aplicados a las series temporales entre otros. Estos métodos pueden ser empleados para analizar fundamentalmente las relaciones existentes entre variables, la incidencia de una variable particular sobre un fenómeno analizado [44]. En el caso particular de las series temporales se aplican, fundamentalmente, los métodos de pronósticos y, su mayor dificultad radica generalmente en la escasez

8 de datos para analizar el problema y la falta de comunicación entre los estadísticos y los usuarios que emplean los resultados de estos métodos [57]. El análisis estadístico de series temporales o cronológicas, como también se les conoce, se usa hoy día con profusión en muchas otras áreas de la ciencia como son: la física, ingeniería, la demografía, el marketing, las telecomunicaciones, la meteorología, la química, las ciencias médicas y fundamentalmente en economía [7, 34]. El uso de los métodos de estudio de las series cronológicas se ha venido acrecentando debido a sus propios objetivos, dentro de los que se destacan la predicción, el control y la simulación de los procesos. Cuando se toma en cuenta la crisis económica que hoy atraviesa el mundo, es cada vez más necesaria la planificación de los recursos para sobrevivir y progresar [8, 34]. El uso de las series temporales en diferentes áreas de la ciencia se evidencia través de diferentes trabajos como son: Evaluación epidemiológica de procesos respiratorios bacterianos en gallinas ponedoras, presentado por Colás Chávez y colaboradores en el 2011, Liga española contra la hipertensión arterial, desarrollado por Molinero M. Luis en el 2004 y otro desarrollado por Cañedo A., R. and Arencibia J., R., En busca de los secretos moleculares de la vida, entre otros [18, 26, 54]. El Ministerio de Agricultura, Ganadería y Pesca, en Argentina, es uno de los que emplean los métodos estadísticos de las series temporales en la rama agropecuaria, ellos emplean un Sistema Integrado de Información Agropecuaria, en el que tienen la necesidad de realizar informes tanto agroclimáticos como comerciales y para realizar los mismos lo hacen a través de la utilización de estos métodos; hallando los pronósticos de condiciones agroclimáticas y de la situación comercial de las empresas, teniendo en cuenta a su vez el análisis de mercado.

9 En las investigaciones desarrolladas en la esfera agropecuaria, en Cuba, históricamente se han analizado muchas variables, ya sea peso vivo al nacer, producción de leche, de carne, número de hojas, el intervalo parto-parto, el intervalo parto-gestación etc., sin embargo se han realizado pocos análisis que muestren el comportamiento de estas variables de tal forma que sea posible pronosticar su comportamiento en los años futuros. En este campo de estudio, los pronósticos que se puedan realizar en base al análisis de este tipo de información pueden emplearse para el desarrollo de nuevos planes y para el análisis correcto de inversiones [42]. En el sector económico y financiero, los datos de las series temporales pueden ser muy variados y usualmente son usados para evaluar el comportamiento de las ventas de una empresa, o para evaluar el comportamiento de los índices de precio de un país o de un tipo de producto, pero en general pueden utilizarse en cualquier área. Este aspecto, en Cuba, ha sido abordado en diferentes temáticas o aplicaciones, pero en la esfera pecuaria los análisis temporales generalmente no han sido profundos, un ejemplo, de una excepción de esta regularidad, se muestra en un trabajo realizado por Viera en el 2006, en la Universidad Agraria de La Habana, donde fue analizada una serie temporal del comportamiento productivo de las granjas del Instituto de Ciencia Animal, para predecir el costo económico de producciones futuras [67]. En los tiempos actuales, el hecho de no tener buenas predicciones de producciones futuras, así como de ganancias productivas o económicas es una cuestión a solucionar, de ahí que no contar con predicciones confiables de las producciones en la esfera agropecuaria es nuestro problema de investigación. La aplicación de los modelos de series temporales, a los resultados productivos, en las empresas pecuarias permitirá pronosticar el comportamiento de las producciones de las mismas y ayudar así al proceso de toma de decisiones; logrando una planificación correcta de los sucesos futuros, debido a lo anterior es

10 que se desarrolla este estudio, donde se define como hipótesis, que con la aplicación de los métodos de series temporales se podrá pronosticar el comportamiento futuro de la producción de leche en una UBPC. De aquí que el objetivo general de este trabajo es proponer una metodología para describir el comportamiento de la producción de leche y pronosticar dicha producción mediante modelos ARIMA de series temporales en una UBPC y ejemplificarla en la UBPC Maniabo de La Tunas. Los objetivos específicos: Proponer una metodología para el análisis estadístico y pronóstico de la producción de leche a nivel de UBPC. Caracterizar el comportamiento de la serie de producción de leche en la UBPC Maniabo de Las Tunas para el período Identificar y seleccionar el modelo ARIMA adecuado para el pronóstico de la producción de leche de la serie anterior. Validar el modelo seleccionado y pronosticar la producción de leche para el período La novedad y el aporte científico del presente trabajo radican en que se brindará una metodología mediante el uso de modelos ARIMA, para analizar y pronosticar la producción de leche en el campo agropecuario a nivel de unidad de base, metodología que podrá ser aplicada con pocas variaciones para el análisis y pronóstico de otras variables empleadas en la rama agropecuaria. El documento quedará dividido en los siguientes capítulos: Introducción, donde se realizará un bosquejo del tema agropecuario y el posible uso de los métodos estadísticos de series temporales en el mismo y su importancia, quedando definido

11 el objeto de investigación del trabajo. En el capítulo 1 se abordarán los aspectos fundamentales de las series temporales y su uso, se trataran los modelos clásicos (aditivo, multiplicativo, mixto) y los aspectos generales de los modelos AR, MA, el ARMA y el ARIMA; se abordan los aspectos generales de las componentes que forman parte de una serie temporal y el tratamiento de las mismas; se trataran también los diferentes criterios de selección de un modelo específico de series temporales. El capítulo 2 detalla las condiciones de trabajo donde se realizó el estudio y los datos empleados para el mismo, así como los materiales utilizados para el análisis de las series y la relación de los métodos estadísticos aplicados en el análisis. En el capítulo 3 se recogen los resultados obtenidos y se realiza la discusión de los mismos y a continuación se muestran las conclusiones, las recomendaciones y la bibliografía consultada.

12 Capítulo 1 Las Series Temporales. 1.1 Aspectos generales de las series temporales y su uso. Se llama serie de tiempo, temporal o cronológica a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno, registradas secuencialmente en instantes de tiempo equiespaciados, es decir la secuencia de valores que toma una variable cuantitativa en momentos equidistantes de tiempo, durante un período observado: donde el subíndice representa el tiempo. El gráfico de una serie de tiempo, que consiste en una poligonal cuyos vértices corresponden a los puntos ( ), puede ayudar a analizar su comportamiento [2, 8]. En este trabajo se emplearán las series temporales, aplicadas como tal a la rama ganadera, en la cual se tratan disimiles variables, como son la producción de leche, los litros de leche por vaca, los nacimientos, los partos, las gestaciones, los intervalos parto-parto, las muertes, intervalos parto-gestación entre otras, que como casi todos los problemas o fenómenos de la vida, pueden ser analizadas y modeladas matemáticamente para ayudar a comprender su comportamiento y a tomar decisiones según la predicción futura de las mismos.

13 En Cuba como se mencionó en la introducción, las series temporales son también utilizadas, fundamentalmente en meteorología y en las ciencias médicas y, ejemplo de ello es un trabajo realizado por Gladis Cabanas en el año 2005 [17], para analizar los cambios temporales de la lluvia en el occidente de Cuba y otro realizado en el 2007, por Gisele Coutín [27], donde utilizan específicamente los modelos ARIMA de series temporales, para la vigilancia de enfermedades transmisibles; pero en la rama agropecuaria, las series temporales han sido poco utilizadas, hay algunos trabajos como por ejemplo el desarrollado por Lázara Raquel Montes de Oca en el 2010, para predecir las propiedades de la calidad de la guayaba [56], pero hasta el momento, no se ha tratado específicamente la aplicación de modelos ARIMA de series temporales en esta rama para realizar pronósticos en el campo pecuario, en el país. Existen dos objetivos principales del trabajo con las series: 1. Identificar la naturaleza de algún fenómeno representado por una secuencia de observaciones. 2. La predicción de valores futuros de dicha secuencia de observaciones. Para aplicar los métodos de series temporales, es preciso, inicialmente, conocer o comprobar si efectivamente se está en presencia de una serie temporal o simplemente frente a una secuencia de datos aleatorios, tomando en consideración que una secuencia de datos completamente aleatorios en el tiempo, también es una serie, pero esta no puede ser pronosticada. Dentro de los modelos de series, se encuentran los llamados Modelos Autorregresivos (AR), los modelos de Medias Móviles (MA), los Modelos Autorregresivos de Medias Móviles (ARMA), los Modelos Autorregresivos Integrados de Medias Móviles (ARIMA), etc. Con la identificación y aislamiento, de los factores determinantes en el comportamiento de una serie temporal y teniendo en cuenta los cambios

14 originados a través del tiempo, es posible determinar los valores futuros de la variable en estudio [13, 24]; esta afirmación constituye la suposición básica que sustenta el pronóstico, mediante las series temporales. Si estos factores no son los mismos en todo el recorrido de la serie posiblemente habrá que hacer cortes en la misma para posibilitar su análisis. Los modelos de series de tiempo tienen un enfoque analítico y predictivo, con ellos los pronósticos se elaborarán en base al comportamiento pasado de la variable de interés [26]. 1.2 Generalidades de los modelos clásicos de series temporales. El modelo clásico de series temporales supone que una serie, estudiada de forma adecuada permite conocer las causas de los movimientos determinísticos experimentados en la variable. Estos movimientos son denominados componentes de la serie y son tres: las variaciones estacionales, la tendencia y la ciclicidad. En todos los modelos de series temporales, ya sea el aditivo, el multiplicativo o mixto, pueden estar incluidas todas o varias de estas componentes [11, 16, 17, 19, 21, 25, 33]. En estos modelos se plantea también la existencia de otra componente, no determinista, que es la componente aleatoria. Existen discrepancias entre los autores en cuanto al modelo más utilizado, si es el aditivo o el multiplicativo, pero si se plantea que en casi todas las series con tendencias marcadas, a mayores valores hay oscilaciones más amplias [67] y el modelo multiplicativo es utilizado en las series cuando la variación interna del patrón estacional tenga mayor amplitud al desplazarse hacia valores mayores de la tendencia, si por el contrario, la variación del patrón estacional permanece constante, se utilizará un modelo aditivo [69]. Los métodos clásicos, de series temporales, son mejor trabajados cuando se trata de series en las cuales está presente la variación lineal de tendencia [22, 36]. En

15 un modelo clásico de series de tiempo, se supone que la serie expresada como suma o producto de sus componentes [38, 54]. puede ser Los correspondientes modelos son: 1. Aditivo : 2. Multiplicativo : 3. Mixto : Donde es la serie observada en cada instante de tiempo, la es la componente de tendencia, la es la componente estacional, la es la componente aleatoria (accidental) y la es la componente cíclica de la serie. 1.3 Componentes de las series. La tendencia ( ), uno de los componentes que puede estar presente en una serie temporal, constituye aquella parte de la serie cronológica, que se caracteriza por un movimiento suave, monótono y lento, durante un período bastante extenso de tiempo [1] y esta puede ser creciente, decreciente o constante y se describe por una función dependiente del tiempo ( )[40, 45].(Figura N o 1.1)

16 FiguraN o 1.1: Serie temporal con tendencia creciente. Como se planteó anteriormente, la tendencia refleja un continuo crecimiento o decrecimiento de la serie en un largo período de tiempo, tiempo necesario para hacer posible la caracterización del comportamiento de la variable en cuestión, que por lo general, se describe por medio de una recta o de un tramo monótono de alguna curva que se ajuste al comportamiento de los datos [63]. La estacionalidad ( ), otro de los componentes de las series temporales, resulta de las fluctuaciones periódicas que se presentan regularmente en la serie durante sub-intervalos de un período dado, generalmente un año [6, 50]. (Figura N o 1.2)

17 Figura N o 1.2: Estacionalidad marcada en una serie temporal. Los ciclos ( ), que también constituyen una de las componentes de una serie temporal, no son más que movimientos regulares en amplitud y período y se diferencian del estacional en que, este último, es tan marcado que, por lo general, es un movimiento cuyo período se conoce previo al estudio de la serie y es único; y en el caso de los ciclos pueden ser varios movimientos periódicos con diferentes períodos y generalmente no son tan fuertes como el estacional [12, 62]. Los movimientos aleatorios, residuales o irregulares ( ), como también se les llama, es otro componente que refleja aquellos movimientos esporádicos que ocurren en la serie y que no presentan regularidad alguna, ni en intensidad, ni periodicidad [33, 60]. Estos movimientos son motivados por acontecimientos fortuitos, son movimientos erráticos que no siguen un patrón específico, que obedecen a causas diversas e impredecibles [6, 26]. La estimación de los componentes de una serie es un proceso relevante en el análisis de la misma. Por ejemplo, el conocimiento de los movimientos estacionales contribuye a explicar si los cambios que se están observando en una variable, en determinado momento, obedecen efectivamente a aumentos o disminuciones en su nivel medio o bien a fenómenos estacionales [10]. De forma general la tendencia y la estacionalidad en una serie pueden ser identificados y/o estimados, mediante varios métodos como son el método observacional, los métodos de suavizamiento, el método exponencial de Brown, el exponencial lineal de Hotl, entre otros, que serán explicados a continuación. Para analizar la presencia de tendencia en una serie temporal puede utilizarse el método observacional, al ver el movimiento del gráfico horizontal de la serie, pero cuando la estacionalidad o la componente aleatoria, o ambas, producen oscilaciones muy marcadas se dificulta el análisis visual haciéndose necesario

18 aplicar previamente algún tipo de suavizamiento, para poder determinar el movimiento a largo plazo de la serie. La idea central de los suavizamientos es generar, a partir de la serie observada una nueva serie, que suaviza los efectos ajenos a la tendencia (estacionalidad, efectos aleatorios), de manera que esta se puede visualizar y estimar [24]. La obtención de la serie demedias móviles, es otro método de suavizamiento y de hecho es uno de los más utilizados [13, 57]; consiste en fijar un número, preferentemente impar y calcular los promedios de todos los grupos de términos consecutivos, comenzando cada grupo en la observación siguiente a la que se consideró inicio del k-uplo anterior. Se obtiene una nueva serie suavizada por medias móviles de orden que tiene términos menos que la serie original. De este modo se tienden a anular las variaciones aleatorias [16] La fórmula está dada por: El suavizamiento de media móvil es muy fácil de aplicar, permite visualizar la tendencia de la serie. Pero tiene dos inconvenientes, uno que con la aplicación de este método no es posible obtener estimaciones de la tendencia en los extremos de la serie y otro, que no constituye en sí un medio para hacer predicciones [25]. Si la serie presenta un efecto estacional de período, es conveniente aplicar un suavizamiento de media móvil de orden. En tal caso se elimina el efecto estacional, junto con la variación aleatoria, observándose solamente la tendencia [16]. Esto permite estimar la línea de tendencia con menos error a partir de las medias móviles ya que se aseguró la eliminación del factor que generalmente representa

19 la mayor fuente de variabilidad en la serie y que se considera ajeno a la tendencia que es la estacionalidad. El método de suavizamiento exponencial, se basa en que una observación suavizada, en el tiempo, es un promedio ponderado entre el valor actual de la serie original y el valor de la serie suavizada, en el tiempo inmediatamente anterior. Si representa la serie de tiempo original y la serie de tiempo suavizada, entonces lo anterior se puede escribir como donde es un número entre y [13]. Si es cercano a, la serie suavizada pondera más fuertemente el valor original, luego ambas se parecen, y en consecuencia, el suavizamiento es poco; si se acerca a 0.5, se ponderan moderadamente la serie original y la suavizada, por lo que el suavizamiento es moderado y si es cercano a, es cercano a, y la serie suavizada pondera más fuertemente el valor suavizado inmediatamente anterior, por lo que el suavizado es importante [13]. Consecuencia de la fórmula anterior es que la serie suavizada se puede expresar como: Es decir, cada término suavizado es un promedio ponderado de todos los términos históricos de la serie original. Como está entre y, estos números se van reduciendo a medida que avanzan, o sea, que a medida que se aleja hacia el pasado, los términos van influyendo cada vez menos en el término presente. La rapidez con que disminuye la influencia es mayor mientras esté más cercano a, o sea, mientras mayor sea [65].

20 Si la serie varía lentamente, por lo general se eligen valores de cercanos a (valor típico ). En cambio, si varía bruscamente, se eligen valores de cercanos a 1 (valor típico ) [6, 25]. Algunos métodos empleados con fines de pronósticos, pero que pueden ser utilizados también para detectar si una serie presenta tendencia o no, es el suavizamiento polinomial, el método exponencial de Brown, el exponencial lineal de Hotl y el estacional de Winter[2]. Un polinomio es una expresión de tipo: Que para valores de describe una curva de orden o grado. Los coeficientes son los parámetros de ajuste estimados para cada serie. El suavizamiento polinomial, como el mismo nombre indica, es el suavizamiento de la serie, ajustando un polinomio y con su aplicación se obtiene una curva más plana, con menos irregularidades que la serie original. Si hay varios órdenes de suavizamientos polinomiales que indiquen movimientos tendenciales similares en la mayor parte del gráfico de la serie incluyendo la porción final, indica la existencia de tendencia y se puede tomar como su estimación la curva polinomial mejor ajustada. Si, coincide con la media de la serie [61]. Para la detección de tendencia en una serie temporal mediante el suavizamiento polinomial, se realiza este con polinomios de grado bajo, que pueden considerarse desde hasta. Cuando se indica un tipo de polinomio para el suavizamiento de una serie, definiendo la a emplear, se pueden obtener por cualquier método de ajuste los valores de los parámetros del polinomio más cercano, dentro de la familia de polinomio de grado, a la serie; mientras menor sea será mayor la fuerza de

21 aislamiento producida sobre la serie, pero también más se dejará influir por los valores aberrantes y por la estacionalidad, con el crecimiento de el polinomio produce curvas cada vez más sinuosas que se alejan del concepto de tendencia [2]. El método exponencial de Brown consiste en realizar dos suavizamientos exponenciales, a partir de los cuales se obtendrá el valor estimado, o pronóstico que se busca realizar, mediante un cálculo realizado con una expresión sencilla. La primera se aplica a los valores observados en la serie de tiempo y la segunda a la serie atenuada obtenida mediante la primera atenuación. Debido a que los valores calculados al realizar las dos primeras atenuaciones no son los datos estimados a obtener, o sea, que no constituirán las inferencias de los valores que se espera que tome la serie de tiempo en el futuro cercano, se emplea una notación distinta a la de la expresión final, con la cual se calculan los valores que constituyen en realidad el pronóstico. El método de suavizamiento exponencial lineal de Hotl utiliza dos constantes de suavizamiento, la primera constante,, entre y, es utilizada para la media de la serie y la segunda,, también entre y, para la tendencia. Ambas constantes seleccionan el peso dado a los valores en la serie para la estimación de media y tendencia en el suavizamiento, mientras más cercanos a, más repartido el peso entre todos los valores de la serie y mientras más cerca de, más concentrado en los últimos valores. El método estacional de Winter se utiliza cuando además de presentarse una tendencia lineal en la serie de tiempo, hay también un patrón de comportamiento de tipo estacional o periódico en los datos o valores de la serie de tiempo. Esta técnica es una extensión del método de Holt ya que incorpora una ecuación para calcular una estimación de la estacionalidad.

22 Salvo en el caso de las medias móviles que no aportan una ecuación de la serie suavizada en función del tiempo, los otros suavizamientos permiten no sólo visualizar con mayor facilidad si existe una tendencia marcada en la serie, ya que el gráfico tiene menos irregularidades, sino que también aportan una ecuación mediante la cual se pueden estimar los valores de tendencia. La estimación a partir de un suavizamiento adecuado puede mejorar el error con el que se estima la tendencia, si esta se ajusta a partir de la serie suavizada y no a partir de los datos originales, pero se corre el peligro de no haber tomado adecuadamente, los parámetros del alisamiento y que esta estimación posterior de una función más suave sea peor que la estimada a partir de los datos originales, el caso del alisamiento por medias móviles es el ideal para este tipo de estimación en dos pasos ya que su único parámetro corresponde al período estacional que,casi siempre, es conocido con seguridad por el usuario. Teniendo en cuenta el tipo de modelo representado en la serie, existen diferentes métodos de estimación de tendencia, por ejemplo en una serie aditiva, los posibles métodos a utilizar para estimar la tendencia son métodos de regresión[10]a partir de algún suavizamiento; se emplean la regresión lineal, cuadrática y logística, pero en el caso de la utilización de estos métodos existe una contradicción y es que, uno de los supuestos de una serie temporal, plantea la presente autocorrelación entre las observaciones y esto se contradice con el supuesto básico de la regresión, que consiste en la independencia de las observaciones. Para solucionar este inconveniente los paquetes estadísticos actuales, cuando comprenden estudios de series, utilizan adaptaciones de los métodos de regresión al caso de existencia de correlaciones entre observaciones, evitando así estas deformaciones. Además de eliminar previamente la estacionalidad, mediante suavizamientos adecuados generalmente con el uso de medias móviles, pues en caso contrario puede deformar las estimaciones por ser un movimiento oscilatorio alrededor de la línea de ajuste, que es generalmente muy fuerte.

23 Contar con una estimación de la tendencia de la serie permite efectuar consideraciones acerca del crecimiento subyacente de la misma. En este aspecto, debe hacerse la aclaración de que las herramientas de descomposición de series de tiempo, disponibles hasta este momento en la mayor parte de los sistemas de programas estadísticos comerciales, realizan una estimación de la tendencia y del ciclo en forma conjunta(medias móviles con correspondiente al período estacional), es decir, se obtiene una descomposición de las series en componente estacional, componente irregular y componente tendencia-ciclo, donde se pierde la característica periódica del ciclo en la estimación [11]. Otro de los métodos que pueden emplearse para ajustar la tendencia ( ) en una serie es el método de las dos medias [26, 33]. El método de las dos medias consiste en separar las observaciones en dos grupos (preferiblemente iguales) y calcular la media aritmética de cada uno de los grupos, obteniéndose así dos puntos [65]. La línea de tendencia se halla entonces haciendo pasar una recta por los dos puntos hallados. La recta que pase por los dos puntos se determinará analíticamente mediante la expresión general: Donde y son las coordenadas de los dos puntos, respectivamente. Gráficamente, la línea de tendencia puede hallarse simplemente uniendo los dos puntos por una recta. Este método es muy utilizado si no se requiere una buena estimación de la tendencia sino sólo su signo de crecimiento Después de detectar si una serie presenta tendencia o no y estimar la misma, es necesario estimar la componente estacional, para lo que es necesario tener datos de varios períodos consecutivos [69]. Para verificar la existencia de estacionalidad ( ) se puede realizar la prueba ANOVA tomando las poblaciones como los diferentes instantes del período

24 estacional, por ejemplo, en una serie mensual con estacionalidad anual todos los eneros formarían una población, se debe tener en cuenta que debido a la autocorrelación de la serie, las muestras son relacionadas y los vectores de observaciones correlacionados, por lo que no se debe utilizar el ANOVA clásico sino uno no paramétrico que sea más robusto. Se demuestra que cualquier proceso periódico se puede modelar, con la precisión deseada, mediante series de términos de funciones sinusoidales (senos y cosenos), lo que se conoce como Series de Fourier, y se denomina espectro a la representación de las amplitudes, en el eje de las, que constituyen los diferentes términos de la serie (numérica) para toda la gama de frecuencias (eje de las ). El espectro es una buena herramienta para detectar estacionalidad en una serie y determinar su período y este está relacionado con la función de autocorrelación. Puesto que, obtenida la frecuencia, o frecuencias (picos en el espectro), a partir de ésta se calcula de forma sencilla el período de las oscilaciones en la serie de datos. Una estimación del espectro utilizando una ventana de frecuencias que incluya la frecuencia para la cual se obtiene el valor estimado en lugar de suavizamientos sucesivos, la constituyen los periodogramas, la diferencia entre ellos sólo depende de cómo se tomó y utilizó la ventana de frecuencias. El periodograma, es un método gráfico que se asemeja a un sintonizador de un receptor de radio, así, la serie que se observa sería la señal emitida por una radio y el periodograma no sería más que el dial que busca en que frecuencia se oye mejor la señal emitida [65]. El periodograma representa la descomposición del gráfico de la serie, considerado como una función continua en el tiempo, en una suma de funciones periódicas y mide las aportaciones a la varianza total de la serie, de componentes periódicos de una frecuencia determinada. Si el periodograma presenta un pico en una

25 frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor importancia en la serie que el resto. (Figura N o 1.3) Figura N o 1.3: Periodograma aplicado a una serie temporal. En el gráfico anterior se observa que en la frecuencia 0,0833 se encuentra el pico más alto lo que significa que el período (1/frecuencia) de longitud 12 (posiblemente correspondiente al estacional) es el que responde al movimiento periódico más notable en la serie, no obstante se observan también dos picos relativamente altos en frecuencias menores (períodos mayores), que pudieran corresponder a otros movimientos periódicos importantes. En el caso de las frecuencias muy pequeñas es necesario ser cuidadoso, pues los períodos tan grandes que sobrepasen la cuarta parte del tiempo de observación de la serie, resultan poco observables y los picos en estas frecuencias se deben más a problemas en la estimación que a movimientos reales. Como al descomponer una función continua, en una suma de armónicos, no en todas las frecuencias resultan aportes importantes al comportamiento generaly lo que aporta el periodograma, es una estimación que no se sabe si es significativamente diferente de cero, por muy distinta que sea a las de las otras frecuencias, es importante discernir cuáles son los períodos a los cuales responden amplitudes o intensidades significativamente mayores o notables en este conjunto.

26 Si la serie presenta estacionalidad,también se hace necesario conocer la significación del movimiento períodico con período estacional en la misma, para todo esto se emplean el periodograma y el periodograma integrado. El periodograma integrado, que se muestra en la figura N o 1.4, se utiliza para ver la significación de las ordenadas del periodograma; este no es más que una prueba de hipótesis gráfica, para ver la significación de cada uno de los movimientos periódicos en que se puede descomponer la serie. Figura N o 1.4: Periodograma integrado aplicado a una serie temporal. Las frecuencias que presentan ordenadas mayores en el periodograma tienen mayor posibilidad de resultar significativas en el periodograma integrado. Una frecuencia es significativa, en esta prueba, si el aumento de la ordenada de la frecuencia anterior a la estudiada (dentro de las frecuencias trabajadas en el periodograma) es mayor que la diferencia de ordenadas entre la diagonal y uno de los límites de la banda de confianza en esta misma frecuencia. De los tres picos mayores del periodograma anterior (Figura N o 1.3) se observa que son significativas las frecuencias y la 0.022, pero la menor de estas tres frecuencias no resulta así a pesar de que ese pico era mayor que el segundo, esto se debe a los problemas que se señalan en las estimaciones de las ordenadas del periodograma de frecuencias muy pequeñas.

27 Los valores de la variable en una serie generalmente dependen, en cierta forma, de la magnitud de los valores anteriores; esta dependencia se debe disipar o amortiguar al aumentar el tiempo entre ellos, bajo esa línea de pensamiento intuitiva, también se espera, al haber estacionalidad en una serie, que los valores separados entre sí por lapsos de tiempo iguales al período estacional, deben estar correlacionados de alguna forma sin importar el atenuamiento de las correlaciones hasta este retardo, ya que tienden a repetir un comportamiento similar en instantes iguales correspondientes a cada período estacional. La función de autocorrelación no es más que la correlación entre y y la función de autocorrelación parcial, la correlación parcial de y dado.(se verá posteriormente que para definir estas funciones se asume que esta correlación no depende de t) En caso de que exista estacionalidad en la serie, los coeficientes de autocorrelación para un retardo igual al período estacional o un múltiplo pequeño de este deben resultar positivos y significativamente diferentes de [46]. La correlación parcial con el retardo estacional también tendrá este comportamiento; que estos valores de correlación se comporten en esta forma no asegura que realmente se deba a la estacionalidad, ya que pudiera deberse a una relación aleatoria, pero es un indicador fuerte de que esto puede ser así. A las estimaciones puntuales de la componente estacional en los diferentes instantes del período estacional se le llaman índices o patrones estacionales según se den los valores en lo que provoca esta componente aislada, en referencia a la tendencia, en ese instante, o como el valor promedio o característico de ese momento del período estacional. En el modelo multiplicativo los índices de variación estacional recogen el incremento o la disminución porcentual que el componente estacional produce en cada instante del período, es decir que porciento del valor que tendría la serie de

28 no estar presente la estacionalidad representa lo predicho por el modelo si se toman los índices de todo el período estacional su promedio siempre debe ser igual a. En el modelo aditivo los índices estacionales indican el valor en que aumenta o disminuye la serie del valor de la tendencia a causa del componente estacional. Estos índices siempre deberán sumar. La estimación de la estacionalidad no se realiza solamente con el fin de incorporarla al modelo para obtener predicciones, sino también con el fin de eliminarla de la serie para visualizar otras componentes como tendencia y la componente irregular, ya que se pueden confundir en las fluctuaciones estacionales. Las series generadas a partir de la original, por eliminación de la tendencia se denominan series de residuos de las medias móviles y deberán contener predominantemente las fluctuaciones estacionales. Para estimar la estacionalidad se parte de estos residuos, pero se requiere haber decidido el modelo a utilizar, lamentablemente esto no es siempre claro, ya sea porque no contamos con información a priori para suponerlo o porque el gráfico no ha dejado evidencia suficientemente clara, como para decidirnos por alguno de ellos. En tal situación se propone calcular las series ajustadas por ambos modelos y elegir aquella cuyos residuos sean menores. La identificación y el análisis de la estacionalidad puede realizarse también mediante el empleo de diferentes métodos gráficos como son el gráfico de cajas y bigotes múltiples, característicos de la estadística descriptiva. El gráfico de cajas y bigotes (Box-Plot) descrito por Jonh Tukey en 1977, resume la información de cinco medidas estadísticas: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. No es más que un rectángulo (la caja), donde los lados más largos muestran el recorrido intercuartílico, dividida por un

29 segmento horizontal que indica la posición de la mediana y por lo tanto muestra también su relación con los cuartiles primero y tercero. Este rectángulo tiene además dos segmentos de recta, uno superior y otro inferior, que muestran los valores mínimo y máximo de la variable. Este gráfico es muy útil, proporciona información con respecto a la simetría o asimetría de la distribución de la variable, permite identificar la presencia de valores atípicos o aberrantes y muestra la variabilidad del conjunto de datos [27]. Para estudiar la estacionalidad de una serie se haría un Box-Plot múltiple, con tantas cajas con bigotes, como instantes tenga el período estacional, cada una reflejará el comportamiento del instante correspondiente, por ejemplo en datos mensuales con estacionalidad anual, el gráfico tendrá un Box-Plot para enero, otro para los febreros y así sucesivamente. 1.4 Enfoque a partir de procesos estocásticos. Proceso estacionario de segundo orden. Un proceso estocástico está definido como una sucesión de variables aleatorias { }. El subíndice no tiene, en principio, ninguna interpretación a priori, aunque en el contexto de series temporales, cuando se habla proceso estocástico, este subíndice representara el paso del tiempo [56, 68]. Cada una de las variables, que configuran un proceso estocástico, tendrá su propia función de distribución con sus correspondientes momentos. Así mismo, cada par de esas variables tendrán su correspondiente función de distribución conjunta y sus funciones de distribución marginales. Esto mismo ocurrirá, ya no para cada par de variables, sino para conjuntos más amplios de las mismas. De esta forma, para caracterizar un proceso estocástico se deben especificar las funciones de distribución conjunta de cualquier conjunto de variables [12]:

30 Un objetivo del estudio de las series de tiempos es realizar inferencias sobre el proceso estocástico desconocido a partir de la serie temporal observada; el problema radica en que prácticamente se desconocen todas las características probabilísticas de las variables del proceso estocástico y, por otra parte, únicamente se dispone de una realización muestral del proceso, o sea, una única observación de cada variable del proceso; es por esta razón que es necesario imponer toda una serie de condiciones o requisitos que permitan realizar las inferencias de interés como son las condiciones de estacionaridad. Un proceso estocástico es estacionario si las funciones de distribución conjuntas finitas son invariantes con respecto a un desplazamiento en el tiempo (variación de ). Es decir, para todo natural ( ; ) tiene la misma distribución conjunta para todo dado un fijo. Esta definición de estacionaridad se conoce como estacionaridad en sentido estricto o fuerte y puede relajarse sustancialmente utilizando la denominada estacionaridad en sentido amplio o débil o estacionaridad de segundo orden. Se dice que un proceso estocástico es débilmente estacionario si las esperanzas matemáticas de las variables aleatorias no dependen del tiempo, son constantes, si las varianzas tampoco dependen del tiempo y son finitas y si las covarianzas entre dos variables aleatorias del proceso correspondientes a períodos distintos de tiempo (distintos valores de ) solamente dependen del lapso de tiempo transcurrido entre ellas [25]. En un proceso estacionario débil queda claro que se pueden definir las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial de la serie que se evalúan en la diferencia entre los instantes de tiempo en que se miden las variables ( y = ) y que ya presentamos someramente en el epígrafe anterior,ya que como las covarianzas sólo dependen de la distancia en el tiempo entre las dos variables y la varianza es constante, las correlaciones cumplen esta misma relación. Estas funciones tienen la misma

31 interpretación que la correlación lineal y la correlación parcial utilizada en la regresión. Los paquetes de programas estadísticos comerciales, como los utilizados en este trabajo, las dan mediante gráficos donde, en una secuencia horizontal alrededor de la línea del cero, aparece una barra para cada retardo desde el uno a cierta cantidad, según el programa, y una banda de confianza que permite considerar significativamente distinta de cero la correlación para el retardo cuya barra salga fuera de la banda. Bajo este enfoque una serie de tiempo no sería más que la realización práctica de un tramo finito de un proceso estacionario de segundo orden donde en general se asume que las variables fueron observadas a distancias regulares de tiempo. Tiene la característica de que cada variable se puede observar una sola vez, a esta secuencia de observaciones de un tramo finito de un proceso se le llama también trayectoria. Esta definición de serie es demasiado restrictiva, ya que en la práctica las medias de los variables cambian en el tiempo, en casi todas las series reales observadas, por la presencia de componentes como la estacionalidad, la tendencia etc., por eso se ha suavizado esta definición en diferentes formas, considerando en casi todos los casos que se puede definir la serie, como un proceso con una componente no aleatoria, dada por las medias de las variables del proceso, y un proceso estacionario de segundo orden. En la actualidad ya se trabajan algunos modelos que suavizan incluso estas últimas restricciones como son los modelos de varianza variable (lo que implica ampliar la definición de serie temporal) pero no serán objetivo de estudio en este trabajo por lo que en lo adelante se continuara utilizando la definición anterior que permite cambios solamente en las medias.

32 Se verá un caso particular de serie que es muy utilizado en la definición de los diferentes modelos de series cronológicas. El proceso de ruido blanco es un proceso formado por una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media y varianza finitas [69], generalmente se asumen con media cero y varianza constante. Dado que el proceso de ruido blanco no posee estructura de dependencia, no resulta muy útil como instrumento diagnóstico, pero se utiliza su estructura para los requerimientos de errores de casi todos los modelos definidos sobre series ya que forman la parte no predecible por relaciones con observaciones anteriores. En el caso de la serie ser ruido blanco no puede ser pronosticada por ningún modelo mejor que la propia media si por el contrario esta es predecible y se puede construir un modelo para la misma, entonces no se considera un ruido blanco [17]. 1.5 Modelos Autorregresivos (AR) y de Medias Móviles (MA). Para las series temporales existen diferentes modelos que se han venido desarrollando, entre estos tenemos los llamados Modelos Autorregresivos o de autorregresión (AR) ylos modelos de Medias Móviles (MA). Es importante señalar que estos modelos no tienen relación con el alisamiento de medias móviles a pesar de la semejanza de nombre. Se denomina modelo Autorregresivo (AR), a la dependencia existente de la serie temporal con los retardos o valores pasados, de la misma. El número de retardos de la serie temporal, que se introducen en el modelo, se denomina orden autorregresivo del modelo y se denota mediante la letra, se denominan AR( ) La palabra autorregresivo viene de que se modela este comportamiento como una regresión lineal múltiple (regresivo) con valores propios de la misma serie temporal (auto) retardados un período de muestreo [46]; con la diferencia de que existe correlación no eliminable entre las variables independientes y estas

33 intercambian su papel de dependientes a independientes según el instante estimado. El modelo autorregresivo tiene la siguiente forma: donde: es un ruido blanco Como se esperaría dada la similitud con el modelo de regresión, al no estar en el modelo las variables,, etc. las autocorrelaciones parciales son ceros a partir de. Esta propiedad permite que se pueda utilizar la estimación de la autocorrelación parcial para obtener un estimado de. Este modelo es estacionario si las raíces del polinomio asociado están fuera del círculo unidad. Los modelos de medias móviles (MA), son también recomendables para series de tiempo que no presentan patrones de tendencia, estacionalidad, o ciclicidad en los datos [8], pues siempre responden a series estacionarias. Los procesos MA se dice que no tienen memoria, puesto que rápidamente (dependiendo del orden) convergen hacia la media y la varianza del proceso [22], y tiene la siguiente forma: donde es un ruido blanco. La función de autocorrelación es la que se utiliza en este caso para determinar cuál podría ser el orden del modelo de medias móviles que corresponde con el último retardo con correlación significativa. Esto se debe a que es un ruido blanco y por tanto y resultan incorrelacionados si, ahora bien como está formada por una combinación de ruidos con subíndices de a