Intensidad. Intensidad. Máximos

Transcripción

1 4 Propiedade ondulatoria de la partícula En la interferencia luminoa producida por do rendija paralela, aparecen uno máximo de intenidad, eparado por mínimo (raya negra). En la fig.1.18, e muetra la imagen de interferencia recogido en una pantalla, y a la dereca un gráfico de la correpondiente intenidad luminoa. Intenidad Máximo Intenidad máximo Fig interferencia luminoa por do rendija paralela Fig.1.19 Diagrama de intenidad obre una pantalla, debido a lo impacto producido por partícula, cuyo comportamiento obedece a la leye de la Fíica Cláica. La ditribución e una curva en forma de campana imétrica repecto de un punto, equiditante de la do rendija. Si aora repetimo el experimento de la do rendija pero enviando partícula materiale macrocópica, como por ejemplo granito de arena, qué paará?. El diagrama que contiene la intenidad de impacto obre una pantalla, fig.1.19, erá la uma de lo impacto debido a la partícula que paan por cada una de la rendija y e una curva en forma de campana centrada en un punto equiditante de la do rendija y abierta acia lo lado, debido a la diperión de la partícula al coliionar con lo borde de la rendija, preentando una ditribución continua. Si e compara con el diagrama de intenidad de la interferencia de la onda luminoa producida por do rendija fig.1.18, e oberva que no e parece en nada, pue en la fig.1.19, no exiten regione del diagrama in impacto. Para partícula cláica no ay diagrama de interferencia. 4.1 Experimento a travé de un orificio circular con electrone Hata aora emo vito que lo electrone on partícula muy pequeña, con maa, dotado también de carga eléctrica negativa. Si lo enviamo obre un orificio circular, cabría eperar un comportamiento imilar al determinado por partícula cláica, in embargo, al realizar el experimento enviando obre el orificio muco electrone a la vez, el reultado obtenido fig.1.0, reulta orprendentemente igual a la imagen de difracción que proporcionan la onda luminoa, fig.1.0a. Sucede ademá, que i el experimento e repite mandando lo mimo electrone de uno en uno, el diagrama de intenidad no cambia, por lo que no puede er una conecuencia de la interacción entre lo propio electrone del az. Fig.1.0 Imagen obre una pantalla fluorecente, de la difracción producida al incidir un az de electrone obre un pequeño orificio circular. Oberva que e imilar a la que producen la onda luminoa, fig.1.0a, luego lo electrone poeen también un comportamiento ondulatorio. De lo reultado experimentale tenemo que admitir, que aunque lo electrone on partícula, tienen también un comportamiento ondulatorio. 4.3 Propiedade cuantitativa de lo fotone Planck para explicar la emiión de radiación por un cuerpo negro, propuo la cuantificación de la energía E = ν y Eintein para el efecto fotoeléctrico formuló el carácter corpucular de la luz, coniderando la exitencia de lo fotone, teoría que fue refrendada experimentalmente por Millikan en 1914 y por Compton 193, con la diperión de rayo X por la materia. Por tanto, la radiación electromagnética no e puramente ondulatoria como muetran lo experimento de interferencia y difracción, ni únicamente corpucular como muetra el efecto fotoeléctrico y aquello otro de interacción con la materia. La radiación tiene una doble naturaleza ondulatoria-corpucular. Fig.1.0a. Imagen de difracción de lo fotone luminoo, al paar por un pequeño orificio circular.

2 Un conjunto de fotone correponde también con un az de radiación electromagnética y por tanto viaja a la velocidad de la luz c, comportándoe como partícula relativita. La energía total de una partícula relativita cuya maa en repoo e m 0 viene dada por la ecuación de Eintein. E = m 0 1 v Como lo fotone viajan a la velocidad de la luz, e v = c y el denominador de la ecuación e ace cero, lo que implicaría para el fotón una energía infinita, in embargo, abemo que la energía de un fotón toma el valor finito E = ν. La olución de eta paradoja olo e alcanza i el numerador de la ecuación también e cero, e decir, i el fotón tiene una maa en repoo nula m 0 = 0. Reulta aora una indeterminación del tipo 0 0 que puede tomar valore reale finito, incluyendo E = ν. La concluión, e que un fotón tiene en repoo una maa nula, in embargo una vez emitido tiene una cierta maa relativita m. c c Pueto que un fotón tiene una maa relativita m, podemo aignarle una energía y un momento lineal. La energía total la da la ecuación de Eintein E = m c y el momento lineal e p = mc. Que puede expreare en función de magnitude ondulatoria como la longitud de onda λ o la frecuencia ν. En efecto: c mc E p = mc = mc = = c c c Utilizando la ecuación de la energía total en función de la frecuencia E = ν y recordando que λ ν = c, reulta: E ν 1 p = = = = c c λ λ El momento lineal de un fotón de radiación electromagnética, e igual a la contante de Planck, dividido por la longitud de onda de la radiación λ. El fotón e puede coniderar como una partícula, cuyo movimiento etá guiado por una onda electromagnética aociada. Obervando un diagrama de difracción fig.1.0a, e pueden etablecer aquella regione donde exite mayor o menor probabilidad, de encontrar el fotón en u vecindad. Allí donde la intenidad e alta, la probabilidad e mayor que en otro lugar donde la intenidad e baja. Señalamo que la ubicación exacta donde llegará un fotón no e predice, lo que e quiere indicar e que e muy probable detectar el fotón, en una zona cercana a donde exite la máxima intenidad en el diagrama de difracción. Loui Victor de Broglie fíico francé ( ). Etudió en la Univeridad de Parí donde fue nombrado profeor de Fíica Teórica en 198. Por u propueta obre la naturaleza ondulatoria de lo electrone en 194, una vez que fue confirmada experimentalmente por C. J. Davion y L. H. Germer en 197, recibió en 199 el Premio Nobel de Fíica. Fue uno de lo grande fíico que contribuyeron al dearrollo de la mecánica cuántica. Entre u obra detacan: La nueva fíica y lo cuanto Continuidad y dicontinuidad en Fíica Moderna Fíica y microfíica Ejemplo 4.3 Un fotón de rayo X tiene una longitud de onda de 0, frecuencia, u energía y u momento lineal y u maa relativita. m. Determina u La frecuencia: La energía: E = ν = 6,63.10 El momento lineal: m ν = = = 6.10 λ 9 0,5.10 m c 17 J Hz = 3, Hz 3,98.10 J = 1,6.10 6,63.10 J 4 p = = = 1,3.10 λ 9 0,5.10 m kg m =,486 kev La maa relativita e: E m = c 3,98.10 = 19 J 8 ( 3.10 m / ) = 4, kg

3 4.4 Potulado de Loui De Broglie y Max Born En 194 Loui V. De Broglie potuló, que la dualidad onda-partícula e debe aplicar tanto a la radiación como a la materia. En efecto durante muco año del iglo XIX y comienzo del XX, e abía coniderado a la radiación de carácter excluivamente ondulatorio, pero e abía decubierto que en u interacción con la materia tenía propiedade corpuculare. Se encontró experimentalmente en 197 por Davion y Germer que lo electrone tenían naturaleza ondulatoria fig.1.1 y G. P. Tomon obtuvo u diagrama de difracción aciéndolo incidir obre una delgada lámina metálica con etructura critalina. En conecuencia, etaba probado experimentalmente que lo electrone que e abían coniderado corpuculare tenían también un comportamiento ondulatorio. De Broglie demuetra teóricamente que cada partícula material, debía tener una onda aociada, que no e de naturaleza electromagnética, razón por la que e denomina onda de materia. Aí que tanto la materia como la radiación, poeen igualmente la naturaleza ondulatoria y corpucular. Potula que una partícula cuya maa en repoo ea diferente de cero, e mueve como i etuviera dirigida por una onda de materia aociada, ademá u energía y u momento lineal etán relacionado con la frecuencia y la longitud de onda, de la onda aociada, por la ecuacione conocida como relacione de Eintein-De Broglie. E = ν p = (1.13) λ Max Born etableció en 196, que la relación entre una onda material y u partícula, era idéntica que la exitente entre una onda electromagnética y u fotón. En conecuencia la probabilidad de encontrar una partícula material cerca de un punto, e proporcional al valor de la intenidad de la onda de materia aociada, cerca del mimo punto. El diagrama de difracción de la onda de materia aociada, no puede ayudar a predecir el movimiento de una partícula, del mimo modo que para una onda electromagnética no ayudaba a predecir el movimiento de un fotón. Fig C. J. Davion y L. H. Germer proporcionaron en 197 la primera prueba experimental de la naturaleza ondulatoria de la partícula. Lo electrone que on partícula, on emitido por un cañón electrónico, para depué acelerarlo con un campo eléctrico y dirigirlo acia un crital de níquel. Al incidir obre la capa uperficiale del crital, obervaron que eran difractado en diferente ángulo, de un modo imilar a lo que ucedería enviando rayo X. Ejemplo Un electrón e acelerado bajo una diferencia de potencial de 100 V. Determina la longitud de onda, de la onda de materia aociada con eta partícula. (No e neceario tener en cuanta la corrección relativita de la maa). Dato: Maa en repoo del electrón m 0 = 9, kg; carga e = 1, C El trabajo del campo eléctrico e invierte en energía cinética del electrón. 1 m W = e V = 0 v v = e V m0 = 19 1,6.10 C 100 V 31 91,.10 kg 6 = 5,9.10 m / El momento lineal p = m v = 9 1, kg 5, m / = 5, kg m / 6,63.10 J La longitud de onda aociada: λ = = = 1,.10 m = 1, Å p 4 5,4.10 kg m / Eta λ correponde con la región ituada en el límite de lo rayo X, iendo detectable mediante la difracción que puede producir obre un crital.

4 Ejemplo 4.4. Un balón de fútbol de 45 g, e lanzado por un futbolita con una velocidad de 90 km/. Determina la longitud de onda aociada. Calculamo primero el momento lineal del balón: 1000 m p = m v = 0,45 kg 90 = 10,63 kg m / 3600 Aplicando la relación de De Broglie: λ = 6,63.10 J 35 = = 6,4.10 m p 10,63 kg m / Reulta una magnitud tan pequeña que no exite ningún experimento que permita detectarla. Ten en cuenta que el tamaño de un átomo e del orden de magnitud de m, e decir una 10 4 vece má grande que la longitud de onda aociada. 4.5 Concluione obre la onda de materia aociada La onda de materia aociada acompaña a toda la partícula materiale en movimiento cuya maa en repoo e ditinta de cero, in embargo, para la partícula macrocópica de nuetro entorno, normale o grande, la magnitud de la onda aociada aunque exite, e indetectable con lo actuale medio experimentale diponible. Por el contrario, para la partícula microcópica de la fíica atómica, la longitud de onda aociada al movimiento de eta partícula e perfectamente detectable y ademá tiene importante aplicacione práctica, como por ejemplo el microcopio electrónico o el de efecto túnel. 5 Principio de incertidumbre de Heienberg Cuando etudiamo el movimiento de un balón para determinar u poición, lo conideramo como una partícula localizada en u centro de maa y imultáneamente medimo u velocidad. Realizando amba medida con cuidado e puede obtener una buena exactitud. Para cuerpo macrocópico abiendo la poición y la velocidad inicial, y la fuerza que actúan, la leye de Newton etablecen la ecuacione del movimiento y permiten calcular la poición y la velocidad en cualquier intante poterior. Para partícula microcópica como un fotón o un electrón, reulta impoible localizar u poición exacta obre la pantalla depué de aber atraveado una rendija y únicamente abemo que e batante má probable allarlo en la zona donde ay un máximo de intenidad. Aí mimo, exiten procedimiento etadítico para predecir la velocidade que tiene una partícula microcópica, pero no para calcular u valor exacto. En definitiva, reulta impoible determinar con gran exactitud la poición de una partícula microcópica, aí como u velocidad. Max Born fíico alemán ( ) nació en Brelau oy Polonia. Se doctoró en Gotinga en 1907 y fue profeor en Gotinga, Berlín y Frankfurt, iendo en 191 nombrado Catedrático de la pretigioa Univeridad de Gotinga, dedicándoe a lo etudio de problema relacionado con la materia y la radiación. En 1933 con la llegada del nazimo tuvo que marcar a Inglaterra como refugiado, iendo nombrado director de invetigación de la Univeridad de Cambridge. Dede 1936 a 1953 fue catedrático de Filoofía Natural (Fíica) de la Univeridad de Edimburgo en Ecocia. En 1954 recibió el Premio Nobel de Fíica por u invetigacione en Mecánica Cuántica, epecialmente por u interpretación etadítica de la función de onda. Fue una de lo firmante del manifieto de Gotinga en Entre u publicacione detacan: La teoría de la Relatividad de Eintein 19. Fíica atómica Filoofía Natural de caua y caualidad Fíica y política 196. Mi vida y mi opinione Aora bien, on pequeña o grande la incertidumbre de eta magnitude?, erán conecuencia de la limitacione de lo aparato de medida y del obervador?. En 197 Heienberg propuo uno principio conocido como de incertidumbre, en lo que manifetaba la exitencia de un límite impueto por la naturaleza, en la exactitud con que determinada medida puedan er realizada de forma imultánea. Lo procedimiento intrumentale incrementaran eto límite pero no erán u caua.

5 5.1 La relación de incertidumbre para la poición y el momento lineal Conideremo una partícula que e mueve a lo largo del eje X, iendo X la incertidumbre con que e a medido u poición en un intante t. Si tiene un momento lineal p x = mv x y i u incertidumbre en el mimo intante e p x el principio de incertidumbre aegura que el producto de la incertidumbre de la poición, por la incertidumbre del momento lineal medido en el mimo intante, tiene que er igual o mayor que la contante de Planck entre 4π. X px 4π (1,14 ) La relación no limita el valor de X o el de p x, olo limita u producto, aí que afinando muco en la determinación de la incertidumbre de la poición X pequeño, inevitablemente e perderá exactitud en la medida del momento lineal, reultando la indeterminación de p x grande, y vicevera. Ejercicio Una canica de 15 g e mueve por el eje X con una velocidad de m/, cuando e ilumina para ver u poición, con un LASER de luz roja de longitud de onda 63 nm. Calcula la indeterminación mínima en la medida de u momento lineal. La menor incertidumbre en la medida de la poición no puede er inferior a la longitud de onda de la luz empleada, aí que tomaremo para éta incertidumbre 9 X = ± m Aplicando el principio de incertidumbre. X px 4π ; 9 6,63.10 J m px ; 4π 9 m px 8.10 kg Eta e la mínima incertidumbre que en la condicione de la medida, e puede cometer en la determinación del momento lineal. Un valor tan pequeño carece de influencia para lo objeto macrocópico, fíjate que reulta depreciable frente a u momento lineal, p = m v = 0,015 kg m / = 3.10 kg m / Ejercicio 5.1. Coniderando que en el átomo de Bor, el electrón gira alrededor del núcleo en una órbita de radio r = 0,53 Å. Determina la incertidumbre en el momento lineal. Parece razonable encontrar al electrón dentro del volumen del átomo. Podemo etimar la incertidumbre de la poición en ± r, e decir X = ± 0,53.10 m Aplicando el principio de incertidumbre: X p ; 4π 0, ,63.10 J m p ; 4π 4 m p 10 kg Para apreciar la magnitud de éta incertidumbre, vamo a determinar el valor del momento lineal del electrón coniderándolo como una partícula en el modelo atómico de Bor. El valor de p viene dado por la relación. 6,63.10 J 4 m p = mv = = =.10 Kg π r π 0,53.10 m Werner Karl Heienberg fíico alemán ( ). Realizó u etudio en Munic donde e doctoró con Sommerfeld en 193. Depué marcó a la Univeridad de Gotinga, donde etuvo de ayudante del profeor Max Born y durante el periodo de paó larga temporada en Copenague con el profeor Niel Bor. En 195 dearrolló una primera verión de la mecánica cuántica conocida como mecánica matricial, iendo nombrado catedrático de Fíica en 197 de la Univeridad de Leipzig, año en el que publicó el principio de incertidumbre. La conecuencia del principio an ido muy importante para la Fíica con el dearrollo de la mecánica cuántica y para la Filoofía porque muco entendieron que el principio derribaba la idea tradicional de caua y efecto la caua de cualquier efecto e conecuencia de un precedente, in el cual el efecto coniderado nunca e abría producido-. En 193 recibe el Premio Nobel de Fíica y en 1941 paó a la Univeridad de Berlín. Durante la Segunda Guerra Mundial etuvo a cargo de la invetigación científica en el proyecto alemán de lograr la bomba atómica. De 1946 a 1958 fue profeor de la Univeridad de Gotinga y uno de lo firmante del manifieto. Dede 1958 a 1970 fue Catedrático en la Univeridad de Munic. Oberva que p e la mitad de p. Para partícula microcópica la incertidumbre en el momento lineal puede er del orden de la magnitud medida, e decir muy importante, y no puede ignorare el principio de incertidumbre.

6 5. La relación de incertidumbre para la energía y el tiempo Exiten también relacione de incertidumbre para otra pareja de magnitude, una de ella e la energía y el tiempo. Si la medida de la energía E de una partícula e ace con una incertidumbre E y en la realización de la medida e empleo un intervalo de tiempo t, el principio de incertidumbre tiempo-energía exige que el producto de la incertidumbre ea mayor o igual que la contante de Planck dividido por 4π. Ejemplo 5. E t (1,15 ) 4 π Un átomo excitado regrea a u etado normal, emitiendo fotone con una cierta energía. El tiempo medio que trancurre entre la excitación y la emiión e del orden de 10-8, cuál e la incertidumbre en la energía del fotón?. Tomaremo el intervalo de tiempo indicado, como una medida de la incertidumbre del tiempo t. 6,63.10 J 7 8 E t ; E 5,8.10 J 3,30.10 ev 4 π 8 4 π 10