XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 1

Transcripción

1 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 1 Criptografía. En criptografía se utilizan números primos muy grandes. a) Encontrad el mayor número que se puede expresar como producto de dos números distintos y primos de tres cifras. b) Determinad el número de 4 cifras más grande que se puede descomponer como producto de dos primos.

2 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 2 Cine. PI. (Fe en el caos). a) Dad una breve explicación al subtítulo de la película. b) Escribid el título de un libro, película y cuadro que tenga referencias matemáticas acompañando una breve explicación.

3 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 3 Geografía. Estimad, como hizo Eratóstenes, las dimensiones de la Tierra: En un papiro que encontró en la biblioteca de Alejandría, Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Syene (hoy Asuán), situado al sur de Alejandría, donde los rayos del Sol caían a plomo el día del solsticio de verano. En Syene había un pozo muy profundo en cuyas aguas se podía Sol ver reflejado el Sol justo en ese mediodía. Clavando una vara en el suelo en Alejandría un solsticio de verano de aquellos, Eratóstenes observó que allí el Alejandría Sol no pasaba exactamente por el cenit. La vara Syene proyectaba sombra en Alejandría, mas no en Syene. Eratóstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en Syene, pero en Alejandría forman un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual al que formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Syene y Alejandría.

4 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 4 Ajedrez. A través del espejo, Alicia sueña con ser la reina en otro mundo reflejo del real. a) Qué explicación daríais si Alicia dice que su tablero de ajedrez tiene 204 cuadrados? b) Cuántos caminos mínimos tiene la torre para cruzar el tablero hasta la esquina opuesta con desplazamientos de una casilla? c) El tablero se ve desde arriba o desde abajo?

5 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 5 La Melancolía de Durero. a) Construid el poliedro de Durero. b) Escribid todos los objetos o elementos relacionados con las matemáticas que observéis en este cuadro que Durero pintó en 1514.

6 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 6 Salvador Dalí. Dalí cuenta entre sus obras con numerosas anamorfosis. Pero también refleja con frecuencia la divina proporción. Determinad la secuencia de ángulos que se encuentran en la estrella pitagórica y la razón entre las longitudes de la diagonal y el lado.

7 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 7 Fotografía. Poned un título a dos de estas fotografías utilizando los conceptos matemáticos que os sugiera cada fotografía

8 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 8 Topografía. Constantemente nos encontramos en la carretera con topógrafos midiendo ángulos y distancias. Ahora sólo disponéis de este pequeño mapa a escala y poco más. Estimad la altura del silo que veis desde la puerta mirando unos 80º hacia la izquierda. Instituto 173 m Silo

9 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 9 Mapas. La integral es una potente herramienta, pero en nuestra vida real desarrollamos otras destrezas fundamentales como la estimación y el cálculo elemental. a) Calculad el porcentaje del recinto del instituto ocupado por el edificio de las aulas (A). b) Estimad la razón entre los volúmenes de los dos edificios de aulas (A y B). A B

10 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 10 Cálculo. a) Calculad el volumen de la fuente. b) Hallad su superficie visible. c) Indicad cómo se puede estimar el número de gotas de agua que harían rebosar la fuente.

11 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 11 Lógica. Una oscura noche de invierno hay cuatro jóvenes de este lado del Duero. Los cuatro deben cruzar al pueblo a través de una vieja pasarela que como máximo puede sostener a dos jóvenes al mismo tiempo. Tienen una sola linterna. Esto obliga a que si dos jóvenes cruzan al mismo tiempo, deban hacerlo juntos, a la velocidad del más lento. También obliga a que alguno de ellos vuelva para llevarles la linterna a los que se quedaron. Cada uno tarda una velocidad diferente en cruzar: Lara, veloz como el pensamiento, tarda 1 minuto. Pablo, rápido como su automóvil, tarda 2 minutos. Gala, entumecida por el frío, tarda 5 minutos. Ángel, que insiste en llevar doce cajas de cerveza, tarda 10 minutos. En qué orden deben cruzar los cuatro jóvenes, para tardar el menor tiempo posible? Cuánto tardarán?

12 XIV Olimpiada Matemática de Valladolid PROBLEMA - 12 Paradojas. Alicia se ve envuelta con frecuencia en laberintos imaginarios. Pero también enredada entre la lógica y el absurdo. Busca una explicación razonable a estas argumentaciones. a) Si un día hay cero grados de temperatura y al día siguiente hace el doble de frío, qué temperatura hará? b) Si un espejo convierte la derecha en izquierda, no debería convertir la parte de arriba en parte de abajo?

13 Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática Edita: