Pérdida De Energía En Un Túnel De Viento

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1 Revista Colombiana de Física, Vol. 4, No. 3 de 010. Pérdida De Energía En Un Túnel De Viento Energy Loss In A Wind Tunnel R. Martínez * a, G. A. Patiño a, G. A. Gaviria M. a a Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. Recibido ; Aceptado ; Publicado en línea Resumen Se calculan las pérdidas de energía en el túnel de viento, debido a los efectos viscosos y se consideran modelos sencillos. Palabras Clave: Túnel de viento; Presión dinámica; Pérdidas de energía. Abstract We calculate the energy loss due to viscous effects in a wind tunnel. We also consider simple models. Keywords: Wind tunnel; Dynamic pressure; Energy loss. PACS: g. c 010. Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados. 1. Introducción Usualmente los túneles de viento son clasificados en dos tipos: los cerrados tal como el mostrado en la figura 1a y los abiertos como el de la figura 1b; ambos tipos de túneles presentan ventajas y desventajas. La ventaja más notoria de los túneles de viento abiertos radica fundamentalmente en el hecho de que su construcción es mucho más sencilla y económica, sin embargo presenta la enorme desventaja de ser mucho más influenciable por las condiciones atmosféricas externas, lo cual puede afectar la calidad del fluido que llega a la sección de prueba, defecto que no se presenta en los túneles de viento cerrados. Mediante un diseño cuidadoso, la potencia óptima de operación de ambos túneles es semejante, dado que las pérdidas son relativamente similares, pues las pérdidas en las esquinas (c, f, j, m) del circuito cerrado (que no están presentes en los abiertos), son intercambiadas por las pérdidas a la entrada y salida del circuito abierto. Estas pérdidas de energía cinética son debidas a la diferencia de presiones del interior del túnel respecto de la presión atmosférica. Se desarrolló un tratamiento de los túneles de viento cerrados, porque además de ser altamente empleados, sus resultados pueden ser fácilmente extendibles a los abiertos, ya que todas sus partes constitutivas están presentes en los túneles cerrados. Consideremos el túnel de viento cerrado de la figura 1a, el cuál está compuesto por: a. Sección de prueba, b. Difusor o zona de expansión, c. Primera esquina, d. Zona recta de área constante, e. Pantalla que protege al ventilador, f. Segunda esquina, g. Transición entre una forma rectangular y la forma circular en la entrada del ventilador, h. Ventilador, i. Segundo difusor, j. Tercera esquina, k. Zona recta de área constante, l. Intercambiador de calor, m. Cuarta esquina, n. Pantallas de control de turbulencia, o. Honeycomb, p. Zona de contracción o nozzle. Para caracterizar el túnel es esencial conocer su eficiencia. Se define entonces el cociente de energía E R, como el cociente entre la potencia en la zona de prueba P t y la potencia debido a pérdidas a lo largo del * remartinezm@unal.edu.co

2 R. Martínez, G. A. Patiño, G. A. Gaviria M.: Pérdida De Energía En Un Túnel De Viento Fig. 1: Tipos de túneles de viento. circuito P c, es decir E R P t P c. Entonces hemos trasladado nuestro problema al de conocer la potencia perdida a lo largo del circuito. Wattendorf en [1] propone que estas pérdidas pueden ser cuantificadas sumando las pérdidas en cada una de los componentes del túnel; esencialmente debemos conocer las pérdidas en secciones circulares, rectas y en zonas de expansión y contracción. El ventilador es un caso excepcional que debe ser tratado por separado porque justamente allí se proporciona potencia al sistema.. Pérdidas de Energía en las Componentes del Túnel La pérdida en una sección es definida como el cociente de la caída de presión en esa zona respecto a la presión dinámica a la entrada de ella, es decir K l H l, (1) en donde se ha definido la cantidad ρ lv l y H l es la caída de presión en la región. Se puede decir que la caída de presión total en el circuito será justamente la presión requerida en el ventilador. Esto justifica la elección de K l, puesto que H l puede ser una cantidad determinada y puede ser medida con distintos dispositivos como un tubo Pitot. La potencia perdida en una región es definida como la caída de presión en ella por el flujo volumétrico a la entrada, es decir: E l A l v l H l, () que utilizando (1) puede ser escrita como: ( ) 1 E l K l ṁ v l. (3) Para llegar a esa expresión se ha utilizado la definición de flujo de masa. La ecuación (3) muestra que el coeficiente K l se puede interpretar como el cociente de potencia perdida, respecto del flujo de energía cinética en la sección. Wattendorf en [1] propone otro coeficiente K lt, que se refiere al cociente entre la caída de presión en una región respecto a la presión dinámica en la zona de prueba K lt H l, luego K lt K l. (4) Para fluidos incompresibles se cumple Utilizando (3) se llega a que en donde v l vt. E l K lt P t (5) P t 1 ṁ v t. Luego la potencia perdida a lo largo de todo el circuito será Retomando que se llega finalmente a P c E l. E R P t P c E R 1 K lt. (6) Además del cociente de energía dado por (6), el conocimiento de los coeficientes K lt para cada una de las secciones del túnel es indispensable para saber la potencia mínima a la cual debe operar el motor del ventilador. Si conocemos el valor de las pérdidas a lo largo de todo el circuito, podremos determinar la potencia mínima requerida en el motor. A esta potencia debe adicionarse la potencia neta que se desea en la sección de prueba; la adición de esas dos potencias determina el rango óptimo de operación del motor. 301

3 Rev.Col.Fís., Vol. 4, No. 3 de 010. Fig. : Flujo laminar y distribución de velocidades en la capa límite. 3. Pérdidas en Secciones de Área Constante 3.1. Flujo Laminar en Secciones de Área Constante Consideremos la ecuación de Navier Stokes en coordenadas cilíndricas incluyendo efectos viscosos ρu u x dp + ρg x + 1 (rτ). (7) r r La ecuación (7) será resuelta tomando como referencia el sistema coordenado de la figura, en donde se ha supuesto que el flujo laminar esta completamente desarrollado Entonces, 1 r r (rτ) d (p ρgxsenφ). τ 1 r d (p + ρgz). (8) Para fluidos Newtonianos se cumple que Integrando respecto a r, u(r) 1 4 τ µ du dr. r µ d (p + ρgz) + C. (9) Por la condición de no deslizamiento u(r) 0, entonces el valor de la viscosidad es: u(r) 1 [ ] d (p + ρgz) (R r ). (10) 4µ Si el tubo es horizontal y asumimos que entre los puntos 1 y hay una caída de presión p en una longitud x l, obtenemos la velocidad máxima: u max D p 16µl, (11) con D el diámetro de la sección cilíndrica. Como conocemos la distribución del perfil de velocidades en el interior del tubo, podemos determinar el caudal Q integrando este perfil sobre toda la sección transversal, es decir Q u(r) da. Integrando la expresión anterior, Q πr u max. (1) Se define la velocidad media U como el caudal sobre el área de la sección transversal, entonces de esta manera obtenemos: U u max ; (13) p l 3µU D. (14) Al dividir sobre la presión dinámica se llega a que con p ρ f l D f 64 R e U, (15) 30

4 R. Martínez, G. A. Patiño, G. A. Gaviria M.: Pérdida De Energía En Un Túnel De Viento denominado factor de fricción de Darcy. Al comparar (1) con (1) se concluye que: K l f l D. (16) La ecuación anterior es muy importante, puesto que se ha trasladado el problema de conocer el factor de pérdida al de conocer el comportamiento del coeficiente de fricción a lo largo de una sección de área constante. La solución a ese problema se llama ley universal de Prandtl. 3.. Ley Universal de Prandtl Consideremos el modelo de distribución de velocidades para un flujo turbulento cerca de las paredes del túnel dado en la figura. Para el flujo turbulento cercano a la pared se pueden identificar tres regiones: primero una capa viscosa que es la más cercana a la pared, una capa turbulenta que se extiende más allá de la capa límite y δ y una zona intermedia en la que influyen efectos turbulentos y viscosos. Para la capa viscosa, Prandtl propone que la velocidad no depende del espesor de la capa límite, es decir u f(µ, τ m, ρ, y). (17) Utilizando el teorema Π de Buckingham, tomando como variables repetitivas a τ m y ρ y utilizando la definición de velocidad de fricción ( ) 1/ u τm ρ se llega a que las dos Π estan relacionadas de la siguiente forma ( ) u yu u F. (18) µ la velocidad varía logarítmicamente con y de la forma u u 1 ( ) (R r) k ln u + B, (1) ν siendo y R r, ν µ ρ. k y B son parámetros experimentales cuyos valores son k 0,41 y B 5. Como se había dicho antes, la velocidad media U está dada por el cociente entre el caudal y el área de la sección transversal. Considerando el perfil de velocidades propuesto por Millikan en la ecuación (1), tenemos: U 1 πr R 0 u ( 1 k ln ( (R r) ν ) ) u + B πr dr. Integrando la ecuación anterior y reemplazando los valores de k y B dados por Millikan obtenemos ( ) u Ru,44 ln + 1,34. () u ν De (15) se llega a: 8 f ρu. (3) τ m Pero de la definición de velocidad de fricción sabemos que: ( ) U u U ρ τ m que es justamente el lado derecho de la ecuación (3). Entonces U 8 u f ; (4) además, Ru 1 ν R e ( ) 1/ f. 8 Para la capa turbulenta lejana se asume que la velocidad es independiente de la viscosidad, es decir, la desviación de la velocidad U más allá de la capa límite respecto de la velocidad en la capa turbulenta tiene la forma funcional (U u) f(δ, τ m, ρ, y). (19) Usando de nuevo el teorema Π como en el caso anterior, se obtiene que (U u) ( y ) u f. (0) δ Millikan encontró que una forma de acoplar las ecuaciones (18) y (0) de forma suave en la capa intermedia es si Sustituyendo los dos últimos resultados en () y pasándonos a la base 10 se llega a 1 f 1,99 log(r e f) 1,0. (5) La ecuación (5) es muy interesante porque nos permite conocer el comportamiento del factor de Darcy para el flujo en un tubo: conociendo la forma de f podremos conocer el comportamiento de K l por medio de la ecuación (16) y de esa forma tener información sobre el coeficiente K lt **, es decir tenemos en teoría resuelto el problema de conocer las pérdidas de presión en las zonas rectas del túnel de viento. ** El cociente de presiones dinámicas entre la sección de prueba y una sección recta del túnel es fácil de conocer, dado que la distribución de velocidades se asume parabólica; sin embargo ese resultado no se cumple en otras secciones del túnel, en donde se hace necesario utilizar otros métodos para determinar ese cociente. 303

5 Rev.Col.Fís., Vol. 4, No. 3 de Cocientes de Presión Dinámica De la ecuación (6) sabemos que para conocer el cociente de energía E R, era necesario el conocimiento de los coeficientes K lt en cada una de las secciones del túnel. De la ecuación (4) vemos que para conocer ese coeficiente es necesario conocer el cociente. Si aplicamos la ecuación de continuidad entre una región arbitraria del túnel y la sección de prueba y asumimos que el fluido es incompresible se llega a: v l A l v t A t (6) (el subíndice t se refiere a la sección de prueba y l se refiere a cualquier región local); de la condición de fluido incompresible, se puede reescribir como: A tv l A l v t. (7) Consideremos un punto arbitrario que tenga justamente una velocidad sónica v y un punto arbitrario local del túnel cuya velocidad es v l. Considerando que la velocidad del sonido en un medio está dada por v γrt [4] entonces: v (γr T )1/ v l v l ( T T 0 ) 1/ ( ) 1/ T0, (8) T en donde v es la medida de la velocidad del sonido en un medio sónico y T 0 la temperatura del fluido. La velocidad puede escribirse así [5] v 1 { [ ]} 1/ v l M l γ + 1 (γ 1)M l. (9) De esa forma la ecuación quedará: A tm l 1 + [(γ 1)/)] Mt A l M t 1 + [(γ 1)/)] Ml. (30) Para determinar el cociente de áreas, se utiliza la siguiente expresión [5]: ( Al ) ( Mt ) ( ) 1 + [(γ 1)/)] M (γ+1)/(γ 1) l, A t M l 1 + [(γ 1)/)] Mt (31) en donde A se refiere al área de la sección transversal en donde el fluido se vuelve sónico. Explícitamente se tiene que [5]: ( ) A A 1 [ ( M γ γ 1 )] (γ+1)/(γ 1) M ; esta ecuación se cumple lógicamente para cualquier sección local del túnel de área A l y para la sección de prueba con área A t. De esa forma podremos conocer el cociente entre el área local respecto al área de la sección de prueba Si conocemos el número Mach en la sección de prueba, se podrá determinar el comportamiento del número Mach en cualquier región local del túnel. Conociendo estos dos parámetros podremos determinar en teoría el cociente a partir de la ecuación (30); el conocimento de ese cociente es indispensable para conocer el coeficiente K lt. De esta forma se tiene pues resuelto teóricamente el problema de determinar los cocientes de presión dinámica en cualquier región del túnel. El inconveniente con la ecuación (7) es que el fluido dentro de las secciones rectas presenta una distribución de velocidades definida según el modelo de la ley universal de Prandtl, la cual permite determinar con certeza la velocidad promedio del fluido; sin embargo conocer esa distribución de velocidades no siempre es fácil en otras componentes del túnel. Como se puede observar, ese inconveniente no se presenta con el nuevo modelo, pues el cociente de presiones dinámicas termina dependiendo solamente del comportamiento del número Mach en la sección de prueba, el cual puede ser determinado con precisión. 5. Agradecimientos Agradecemos a Colciencias por el apoyo financiero. Referencias [1] J.B. Barrow., H. Rae., and A. Pope, Low-Speed Wind Tunnel Testing, New York, John Wiley & Sons, [] F.M. White, Fluid Mechanics, Boston, McGraw-Hill Book Company. [3] W.T. Eckert, K.W. Mort, and J. Jope, Aerodynamic Design Guidelines and Computer Program for Estimation of Subsonic Wind Tunnel Performance, NASA TN D- 843, October [4] Anderson, Jhon D. Fundamentals of Aerodynamics, New York, McGraw-Hill, 005. [5] Anderson, Jhon D. Modern Compressible Flow with historical perspective, Singapore, Mc Graw Hill,