Capítulo 7: Sistemas de ecuaciones lineales

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1 Capítulo 7: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Lección 25. El método de Gauss 1.1. Sistemas compatibles e incompatibles Una ecuación se llama lineal cuando es de la forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b Aquí, a 1,..., a n, b son números (normalmente, números reales); y x 1,..., x n son las incógnitas. Se dice que a i es el coeficiente de la incógnita x i, y b es el término independiente de la ecuación. Cuando b = 0, se dice que la ecuación lineal es homogénea. Una solución de la ecuación anterior es una asignación de valores (c 1,..., c n ) a las incógnitas, para la cual se cumple la ecuación; esto es, si sustituímos en la ecuación cada incógnita x i por el valor c i, la ecuación se convierte en una igualdad válida. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales, todas con las mismas incógnitas x 1,..., x n. La forma general de un tal sistema es: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m El sistema se llama homogéneo si todas las ecuaciones del sistema son homogéneas. Una solución del sistema es un asignación de valores a las incógnitas que es solución simultáneamente de todas las ecuaciones del sistema. Un sistema es compatible si tiene alguna solución, y es incompatible si no admite ninguna solución. Un sistema compatible se llama determinado si tiene una solución única. En caso contrario, se dice que es indeterminado. Discutir un sistema es decidir si es compatible o incompatible; y, en el primer caso, decir si es determinado o indeterminado. Resolver un sistema (que sea compatible) es indicar explícitamente cuál es la solución o soluciones del sistema. Ejemplo 1. El sistema x 2y = 1 2x 4y = 3 1

2 es incompatible. En efecto, si x = a, y = b es una solución de la primera ecuación, entonces a 2b = 1; luego 2(a 2b) = 2a 4b = 2, y x = a, y = b no puede ser solución de la segunda ecuación. (En adelante, en lugar de escribir la solución de un sistema como el anterior en la forma x = a, y = b escribiremos (a, b). Supondremos así que se tiene estipulado un orden en las incógnitas). Ejemplo 2. El sistema x 2y = 1 2x y = 1 es compatible determinado. En efecto, es inmediato comprobar que ( 1, 1) es solución simultáneamente de las dos ecuaciones. Además, cualquier solución (a, b) debe cumplir (como se ve sumando los dos miembros de las ecuaciones) 3a 3b = 0; luego ha de ser a = b. Como además debe ser a 2b = 1, se tendrá a 2a = 1, así que ha de ser a = 1. Por lo anterior, será b = 1, luego esa solución es la única. Ejemplo 3. x + y = 2 3x + 3y = 6 tiene infinitas soluciones. En efecto, para cualquier valor b, el par (2 b, b) es una solución del sistema, como se puede fácilmente comprobar. Así, el sistema es compatible indeterminado Matriz de un sistema Dos sistemas de ecuaciones con las mismas incógnitas x 1,..., x n se dice que son equivalentes cuando toda solución de un sistema es solución del otro, y viceversa. Los procedimientos de resolución de sistemas se basan en transformar el sistema dado en otro equivalente, para el cual sea más sencillo hallar las soluciones. A los efectos de describir estos procedimientos, es muy útil manejar los sistemas de ecuaciones a través de sus matrices: Llamamos matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m al rectángulo de números reales (con m filas y n columnas) a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a m1 a m2... a mn 2

3 Llamamos matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales anterior al rectángulo de números reales a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m La matriz ampliada de un sistema contiene toda la información sobre el sistema (salvo los nombres de las incógnitas; pero los nombres no importan para la manera de hallar las soluciones). En general, un rectángulo de números reales se llama una matriz (aunque no proceda de un sistema de ecuaciones). Existe también una matriz de los términos independientes, con una sola columna: B = Podemos representar entonces la matriz ampliada como la matriz b 1 b 2.. b m (A B) indicando que se forma por yuxtaposición de esas dos matrices Transformaciones elementales Vamos a estudiar algunas maneras de transformar la matriz ampliada M de un sistema de ecuaciones en otra matriz M, de forma que M sea la matriz ampliada de un sistema que es equivalente al sistema de partida. Cuando se trata de discutir o resolver el sistema, por tanto, estas transformaciones no cambian el resultado. Transformación elemental 1: intercambiar dos filas de la matriz. Está claro que el efecto sobre el sistema es cambiar el orden de dos de las ecuaciones. Pero eso no cambia el sistema de ecuaciones. Transformación elemental 2: intercambiar dos columnas de la matriz (ninguna de las cuales puede ser la última columna). Si intercambiamos la columna i y la columna j, el efecto sobre el sistema es el de intercambiar las incógnitas x i y x j ; pero cada ecuación sigue siendo la misma de antes. Solamente varía el orden en que ponemos las incógnitas. Transformación elemental 3: cambiar la fila i por el resultado de multiplicar todos sus elementos por un número fijo r 0. Expresaremos simbólicamente esta transformación poniendo F i rf i. El efecto en el sistema es que la ecuación a i1 x a in x n = b i se transforma en la ecuación ra i1 x 1 + +ra in x n = rb i. Pero es fácil ver que todas las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda, y recíprocamente. El nuevo sistema es equivalente al primero. 3

4 Transformación elemental 4: cambiar la fila i por el resultado de sumarle a dicha fila, la fila j multiplicada por un número k. Expresaremos simbólicamente este cambio poniendo F i F i + kf j. El efecto sobre el sistema es el de cambiar la ecuación i-ésima por la ecuación (a i1 + ka j1 )x 1 + (a i2 + ka j2 )x (a in + ka jn )x n = b i + kb j Notemos que esta nueva ecuación i-ésima puede escribirse así: (a i1 x 1 + a i2 x a in x n ) + k(a j1 x 1 + a j2 x a jn x n ) = b i + kb j Ahora, si (c 1, c 2,..., c n ) es solución del sistema original, entonces es solución de la ecuación i-ésima y de la ecuación j-ésima, de donde se sigue que es también solución de la nueva ecuación y del nuevo sistema. Recíprocamente, si (c 1,..., c n ) es solución del nuevo sistema, entonces es solución de esta nueva ecuación, de la ecuación j-ésima, y de esta última multiplicada por k; restando, vemos que (c 1,..., c n ) será también solución de la ecuación i-ésima del sistema original, luego es solución del sistema original. Así, ambos sistemas son equivalentes El método de Gauss Presentamos un método general para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Empezamos por escribir la matriz ampliada del sistema. Luego efectuamos, siguiendo el procedimiento que veremos, transformaciones elementales sobre la matriz hasta convertirla en una matriz (A B) tal que la submatriz A de los coeficientes está en forma escalonada simple. Finalmente, escribimos el sistema de ecuaciones correspondiente a esta matriz (que será equivalente al primero) y lo resolvemos directamente; o bien observamos que es incompatible, si es ese el caso. Una matriz de m filas y n columnas con elementos a ij está en forma escalonada simple si es nula (todos sus elementos son 0), o bien si no es nula y cumple las condiciones: 1. Para algún s m, n se tiene a 11 = a 22 = a 33 = = a ss = Si es s < m, las filas s + 1, s + 2,..., m son todas nulas. 3. En las columnas 1, 2,..., s, todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal (esto es, los a ij con i > j) son nulos. Vemos a continuación por qué los sistemas cuya matriz es escalonada simple son fáciles de estudiar, y cómo se resuelven. Si la matriz de los coeficientes de un sistema es escalonada simple (y no es 4

5 nula), entonces el sistema será de la forma siguiente: x 1 + a 12 x a 1r x r a 1n x n = b 1 x a 2r x r a 2n x n = b 2... x r a rn x n = b r 0 = b r = b m Notemos que para las ecuaciones de la forma 0 = 0, toda asignación de valores a las incógnitas dará una solución, porque 0 = 0 se cumple siempre. En cambio, si una ecuación es 0 = b con b 0, entonces ninguna asignación de valores a las incógnitas dará solución. De este modo, si se tiene b k 0 para algún k = r + 1,..., m, entonces hay una ecuación que no tiene solución y el sistema es incompatible. Supongamos que, por el contrario, b r+1 = b r+2 = = b m = 0. Veremos que en este caso, el sistema es compatible, y describiremos las soluciones. En efecto, sea b r+1 = = b m = 0. Podemos entonces escribir el sistema en la forma siguiente: x 1 + a 12 x a 1r x r = b 1 a 1,r+1 x r+1 a 1n x n x a 2r x r = b 2 a 2,r+1 x r+1 a 2n x n.. x r 1 + a r 1,r x r = b r 1 a r 1,r+1 x r+1 a r 1,n x n x r = b r a r,r+1 x r+1 a rn x n Se tiene entonces que, para cualquier asignación de valores a las incógnitas x r+1, x r+2,..., x n, existe una solución del sistema. Para obtenerla, basta ir resolviéndolo de abajo arriba: La última ecuación da directamente el valor que toma x r para cualquier valor de las incógnitas x r+1,..., x n. Tomando ese valor de x r y las demás incógnitas, la ecuación penúltima da el único valor de x r 1. Siguiendo de ese modo, ascendemos en el sistema hallando sucesivamente los valores de x r 2,..., x 2, x 1, que quedarán expresados en función de los valores asignados a x r+1,..., x n. Si es n = r, el sistema es compatible y determinado. Si n = r + 1, el sistema es indeterminado, con un conjunto infinito de soluciones. Si n = r + 2, hay un conjunto doblemente infinito de soluciones (le podemos dar valores arbitrarios a dos de las incógnitas), etc. Ejercicio 1. Haciendo transformaciones elementales sobre la matriz de un sistema, hemos llegado a una matriz de coeficientes que es escalonada simple. La matriz ampliada es la siguiente. 5

6 Sabiendo que las incógnitas son y 1, y 2, y 3, y 4 y debemos usarlas en ese orden, discutir y resolver el sistema. El sistema es compatible, porque la última ecuación es 0 = 0 y las soluciones de las otras ecuaciones serán soluciones del sistema. Las escribimos así: y 1 y 2 = 1 y 4 y 2 y 3 = 1 y 3 = y 4 Se obtienen entonces las soluciones, procediendo de abajo arriba. Ponemos: y 4 = t, y 3 = t, y 2 = 1 + t, y 1 = 1 t + (1 + t) = 2 Queda por estudiar el método para, usando transformaciones elementales, convertir la matriz del sistema en una cuya matriz de coeficientes esté en forma escalonada simple. Los pasos del método son los siguientes, aplicados siempre sobre la matriz ampliada del sistema: 1. Suponiendo que la matriz de coeficientes no es nula, buscamos una columna (en la matriz de coeficientes) que no sea nula. Intercambiando las columnas (transformación elemental 2) si es necesario, tendremos la primera columna no nula. 2. Intercambiamos dos filas si es necesario (transformación elemental 1) para que el elemento a 11 de lugar (1, 1) sea no nulo. 3. Hacemos el cambio F 1 a 1 11 F 1 (transformación elemental 3). De este modo, el nuevo elemento a 11 será igual a Para cada fila j = 2, 3,..., m en que sea a j1 0, hacemos la transformación F j F j a j1 F 1 (transformación elemental 4). De este modo, todos los elementos de la primera columna desde la fila 2 en adelante serán Nos fijamos ahora en la submatriz (de la matriz de los coeficientes; es decir, la que obtenemos sin considerar la última columna) que resulta al eliminar la primera fila y la primera columna. Si es nula, el proceso ha terminado. En caso contrario, volvemos a recorrer los pasos 1, 2, 3, 4 del procedimiento, pero aplicándolos a la submatriz indicada, sin tener en cuenta la primera columna ni la primera fila, que quedarán ya sin variación en todo el resto del proceso (salvo por los posibles cambios en el orden de las columnas). 6. El proceso termina cuando la matriz a la que llegamos (sin contar la última columna, que corresponde a la matriz de los términos independientes) está en forma escalonada simple. 6

7 Ejercicio 2. Discutir y resolver el sistema x 2y + z 4t = 1 x 2y + 2z + 2t = 7 2x + 4y + 2z + 32t = 22 Empezamos por escribir la matriz ampliada Como el elemento a 11 0, podemos prescindir de los pasos 1, 2. Tampoco el paso 3 es necesario, pues a 11 = 1. Aplicamos el paso 4 sobre las filas 2, 3. Hacemos, pues, sucesivamente, los cambios F 2 F 2 F 1 y F 3 F 3 + 2F 1. Se obtiene , Para los cambios siguientes no han de tenerse en cuenta la primera fila y la primera columna. En la submatriz resultante, la primera columna es nula, pero la segunda no. Por tanto, debemos intercambiar las columnas 1, 2 de la submatriz (que son las columnas 2, 3 de la matriz completa) Hay que observar que al intercambiar esas columnas, hemos cambiado el orden de las incógnitas. El orden nuevo es x, z, y, t, ya que hemos intercambiado la segunda y la tercera. Debemos ahora hacer el cambio F 3 F 3 4F 2 para obtener ceros debajo del 1 de la segunda fila. Esto dará Si quitásemos ahora las dos primeras filas y columnas, obtenemos una submatriz en que la parte correspondiente a la matriz de coeficientes es nula. Por tanto, hemos terminado y la matriz de coeficientes ya está en forma escalonada simple. Podemos entonces escribir el sistema de la forma siguiente (hay que recordar que el orden de las incógnitas ha cambiado): x + z = 1 + 2y + 4t z = 6 6t Las soluciones se obtienen dando a y, t valores arbitrarios; digamos y = u, t = v, Entonces será z = 6 6v y x = 1 + 2u + 4v (6 6v) = 2u + 10v 5. Las soluciones son, pues, 7

8 x = 2u + 10v 5, y = u, z = 6v 6, t = v El conjunto de soluciones es doblemente infinito, puesto que se dan los soluciones en función de dos parámetros que pueden tomar cualquier valor El método de Gauss-Jordan Una variante del método de Gauss aplica nuevas transformaciones por filas a la matriz ampliada del sistema, hasta llegar a una matriz de coeficientes que sea escalonada simple y reducida. Una matriz A = (a ij ) de m filas y n columnas es escalonada simple y reducida cuando existe algún r m, n de manera que: a 11 = a 22 = = a rr = 1. Las filas r + 1,..., m son todas nulas. Los elementos a ij con 1 i, j r que no están en la diagonal son todos nulos. Si la matriz A está en forma escalonada simple, con los primeros r elementos de la diagonal iguales a 1, entonces se puede transformar en una matriz reducida usando las operaciones elementales siguientes. 1. Para cada i = 1, 2,..., r, se aplica la transformación F i F i a ir F r. 2. Para cada i = 1, 2,..., r 1, se aplica la transformación F i F i a i,r 1 F r Se procede del mismo modo para las columnas r 2,..., 2 en orden. Al final de este proceso, la matriz está en forma reducida. Ejemplo 4. La matriz está en forma escalonada simple. Para llevarla a forma reducida, operamos del siguiente modo: 1) F 1 F 1 + F 3, y luego F 2 F 2 2F 3 : , donde hemos hecho finalmente el cambio F 1 F 1 +F 2. La matriz está en forma reducida. 8

9 2. Lección 26. Resolución de sistemas de ecuaciones 2.1. Discusión y resolución de sistemas: ejemplos Ejercicio 1. Discutir y, en su caso, resolver el sistema x + 2y + 3z = 1 2x + y z = 3 x + y + 4z = 1 Escribimos la matriz ampliada del sistema Tenemos a 11 = 1, luego vamos directamente al paso 4. Hacemos sucesivamente los cambios F 2 F 2 2F 1 y F 3 F 3 + F 1. Se obtiene , Siguiendo el procedimiento general, dejamos aparte la primera fila y columna. Para obtener un 1 en el lugar (2, 2), hacemos el cambio F F El paso siguiente ha de consistir en el cambio F 3 F 3 3F El proceso termina aquí, puesto que la matriz de los coeficientes está ya en forma escalonada simple. Como la última ecuación daría 0 = 1, el sistema es incompatible. Ejercicio 2. Discutir y resolver, en su caso, el siguiente sistema de ecuaciones. Escribimos la matriz ampliada 2x + y z = 3 x + 2y + 3z = 2 x + y + 4z = 1 3x + 2y + 2z =

10 Lo más simple es intercambiar las dos primeras filas, y así podremos ir directamente al paso 4 de nuestro algoritmo Para poner ceros en la primera columna, debemos hacer los cambios F 2 F 2 2F 1, F 3 F 3 + F 1 y F 4 F 4 3F 1. Aunque estos cambios son sucesivos, escribimos solamente la matriz que resulta al final de los tres cambios, para aligerar la exposición Hemos completado el primer ciclo. Ahora hemos de proceder de manera análoga con la submatriz que resulta prescindiendo de la primera fila y columna. Sin embargo, hemos observado que las transformaciones elementales que hagamos no cambian las soluciones del sistema. Por tanto, podemos hacer otras transformaciones distintas de las indicadas en el método general si ello nos va a conducir más deprisa a nuestro objetivo. En la presente situación, parece más efectivo hacer la transformación F 3 F 3 + F 2 ; y después intercambiar las filas 3, 4. El resultado es: Sabemos que la manera de conseguir un elemento igual a 1 es multiplicar la segunda fila por 1 3. Pero, de nuevo, vamos a seguir otro camino con el mismo objetivo: hacemos el cambio F 2 F 2 F 3. Obtenemos así Seguimos ahora el método normal, haciendo el cambio F 3 F 3 + 4F 2. Esto dará Para llegar a que la matriz de los coeficientes sea escalonada simple, bastará ahora el cambio F F 3. Se llega a:

11 La última ecuación es 0 = 0. Se tendrá que el sistema es compatible. La solución se obtiene yendo de abajo arriba: z = 8 7, y = 3, x = = = Sistemas con parámetros En ocasiones, el problema es resolver no un sistema de ecuaciones, sino toda una colección infinita de sistemas de ecuaciones; se trata de colecciones de sistemas que, de acuerdo con el valor que tome uno o varios parámetros, darán sistemas particulares. Ejercicio 3. Discutir y resolver, según los valores del parámetro a, el sistema de ecuaciones x + y = 1 ay + z = 0 x + (1 + a)y + az = 1 + a Como siempre, empezaremos por escribir la matriz a a a 1 + a El primer cambio será F 3 F 3 F 1, y un primer ciclo estará cumplido a a a a Lo más fácil ahora es intercambiar las columnas 2, 3, para tener un 1 en el lugar (2, 2) de la diagonal (pero recordemos que esto implica que el orden de las incógnitas varía: el nuevo orden será x, z, y). Se obtiene a 0 0 a a a El paso siguiente, de acuerdo con el método, será F 3 F 3 af 2. Llegamos a: a a a 2 a En el ciclo siguiente deberíamos operar sobre la tercera fila para poner un 1 en el lugar (3, 3). Sin embargo, no sabemos si a a 2 es 0. Por eso, es mejor distinguir el proceso según el posible valor del parámetro a. Caso 1. Si a = 0, la matriz será

12 En este caso, la matriz de los coeficientes es escalonada simple; el sistema es compatible, y puede darse como: z = 0, x = 1 y El sistema es indeterminado, y admite una solución para cada valor que le demos a y. Así, las soluciones se pueden expresar como: x = 1 t, y = t, z = 0 Caso 2. Sea a 0. Entonces, en la matriz a la que habíamos llegado podemos hacer el cambio F 3 1 a F 3. Obtenemos a a 1 En esta situación, hemos de volver a distinguir dos posibilidades. Caso 2.1. Sea a = 1. Entonces la matriz es Como la tercera ecuación da 0 = 1, el sistema es incompatible. Caso 2.2. Sea a 1. Entonces 1 a 0. Hacemos el cambio F a F 3. Quedará a a El sistema es compatible en este caso. Además, es determinado, y su solución se halla como siempre, de abajo arriba: y = 1 1 a, z = ay = a 1 a, x = 1 y = a 1 a 2.3. Permutaciones Una permutación de los números 1, 2,..., n es cualquier ordenación de esos números. Por ejemplo, hay seis permutaciones de los números 1, 2, 3. Son: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1). Sea σ una permutación de los números 1, 2,..., n. El par de números (i, j) (con i < j) presenta una sucesión para σ si i aparece antes que j en la permutación σ. En cambio, el par (i, j) (con i < j) presenta inversión para σ si j aparece antes que i en la permutación σ. Por ejemplo, para la permutación (2, 5, 3, 1, 4) de los cinco primeros números, el par (1, 2) presenta una inversión; el par (2, 4) presenta sucesión. Denotamos al conjunto de todas las permutaciones de 1, 2,..., n como S n. Una permutación σ se llama par si el número de pares (i, j) con i < j que 12

13 presentan inversión en la permutación σ es par; y σ es una permutación impar si el número de pares i < j que presentan inversión es impar. Llamamos signo de la permutación σ, s(σ), al número 1 si σ es par, y al número 1 si σ es impar. Necesitamos estos conceptos para la definición de lo que es el determinante de una matriz cuadrada. En primer lugar, una matriz se llama cuadrada si su número de filas coincide con su número de columnas. Por otro lado, emplearemos la siguiente notación para permutaciones: si σ es una permutación de 1, 2,..., n, denotaremos por σ(i) al número que ocupa el lugar i en la permutación σ. Definición. Sea A una matriz cuadrada n n (es decir, con n filas y n columnas). Escribiremos a ij para denotar el elemento de A que está en la fila i columna j. Llamamos determinante de A (escrito, A ) al número A = σ S n s(σ)a 1,σ(1) a 2,σ(2), a n,σ(n) De esta manera, el determinante es una suma, y cada sumando se obtiene como un producto de n elementos de la matriz: estos n elementos están escogidos uno en cada fila y uno en cada columna, de todas las formas posibles. Cada sumando determina una permutación σ como está indicado en la definición. Además, cada sumando tiene signo + o, según sea el signo de la permutación σ correspondiente. Veamos algunos casos particulares que permitan aclarar la definición. Ejemplo 1. Una matriz 3 3. Sea A la matriz a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Vamos a expresar su determinante. En primer lugar, existen seis permutaciones de 1, 2, 3, luego el determinante tendrá seis sumandos, uno para cada permutación. La permutación (1, 2, 3) da el sumando a 11 a 22 a 33. El número de inversiones de dicha permutación es 0, así que la permutación es par. Esto aporta a la suma un sumando con signo +. La permutación (1, 3, 2) da el sumando a 11 a 23 a 32. De los pares (1, 2), (1, 3), (2, 3) solamente este último presenta inversión para esta permutación. Luego la permutación es impar, y el signo del sumando será negativo. La permutación (2, 1, 3) dará el sumando a 12 a 21 a 33. La permutación tiene una inversión (el par (1, 2)), luego es impar y el signo del sumando es. La permutación (2, 3, 1) dará el sumando a 12 a 23 a 31. Esta permutación presenta dos inversiones (1, 2) y (1, 3). Luego es una permutación par y el signo del sumando es +. La permutación (3, 1, 2) da a 13 a 21 a 32. Hay dos inversiones y la permutación es par, luego el signo del sumando es +. 13

14 La permutación (3, 2, 1) determina el sumando a 13 a 22 a 31. El signo es, porque la permutación es impar, ya que presenta tres inversiones. En definitiva, el determinante de la matriz A está dado por: A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Ejemplo 2. Sea A la matriz A = ( ) a11 a 12 a 21 a 22 El conjunto S 2 de las permutaciones de 1, 2 tiene solamente dos elementos: (1, 2) y (2, 1). El primero es una permutación par, el segundo es una permutación impar. El determinante de A tiene solamente dos sumandos. El correspondiente a la permutación par (1, 2) será a 11 a 22 y tendrá signo +. El correspondiente a la permutación (2, 1) es a 12 a 21 y tiene signo. Luego el determinante es: A = a 11 a 22 a 12 a 21 Ejemplo 3. Sea A = (a ij ) una matriz 4 4. El determinante tendrá 24 sumandos. Veamos cuál será el signo del sumando a 12 a 23 a 31 a 44 y el del sumando a 14 a 22 a 31 a 43. El primer sumando corresponde a la permutación (2, 3, 1, 4), que presenta las inversiones: (1, 2), (1, 3). Como hay dos, la permutación es par y el signo del sumando es +. El segundo sumando corresponde a la permutación (4, 2, 1, 3). Las inversiones aquí son: (1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 4). Luego la permutación también es par y el signo del sumando es +. En realidad, como veremos, el cálculo de determinantes puede reducirse al de los de orden 3. Por eso es especialmente importante la regla que hemos encontrado antes sobre el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 3. Una regla mnemotécnica es la siguiente: Dado el determinante de orden 3 a b c d f g h j k podemos calcular su valor, añadiendo a la derecha las columnas primera y segunda: a d b f c g a d b f h j k h j y hacemos los productos de las tres diagonales que, yendo de izquierda a derecha van hacia abajo (con signo +), menos los productos de las tres diagonales que, yendo de izquierda a derecha van hacia arriba. El resultado es, como vimos antes: afk + bgh + cdj hfc jga kdb 14

15 3. Lección 27. Determinantes: propiedades y cálculo 3.1. Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada, A = (a ij ). Llamamos traspuesta de A (y se escribe A t ) a la matriz A t = (b ij ) tal que, para cada lugar (i, j) se tiene b ij = a ji. De este modo, los elementos de la fila i en la matriz A t son precisamente los elementos de la columna i de la matriz A, en el mismo orden. Así, para escribir la traspuesta de A basta tomar la primera fila de A y escribirla como la primera columna de A t ; la segunda fila de A ocupará la segunda columna de A t, etc. Ejemplo 1. La traspuesta de la matriz A = matriz A t = , será la Una matriz cuadrada A que cumple A = A t se dice que es simétrica. Las matrices simétricas son las que presentan simetría respecto de la diagonal principal. Proposición 1. Si A es una matriz cuadrada, entonces A t = A. Nótese que el determinante de A es una suma, y cada sumando es un producto formado tomando un elemento de cada fila y de cada columna. Si cambiamos filas por columnas, los sumandos que aparecen son exactamente los mismos productos. Ocurre que el signo de cada sumando se mantiene también al pasar de A a A t. Proposición 2. Si A es una matriz cuadrada con una fila nula (todos los elementos de la fila son 0), entonces A = 0. La razón: en todos los sumandos de A tiene que aparecer un elemento de cada fila; luego en todos los sumandos aparece un factor igual a 0, y cada sumando es 0. El enunciado anterior es también cierto si cambiamos la palabra fila por columna. En efecto, si una columna es nula, entonces una fila de A t es nula y A t = 0 por la proposición 2. Luego A = 0 por la proposición 1. Del mismo modo, propiedades que se refieren a las filas de una matriz son también válidas para las columnas, como veremos en los enunciados siguientes. Proposición 3. Si en la matriz cuadrada A multiplicamos una fila (o columna) por un número k, entonces el determinante de la nueva matriz es igual a k A. En cada sumando del determinante aparecerá un factor de dicha fila; luego cada sumando del nuevo determinante será igual al sumando correspondiente del determinante original, pero multiplicado por k; de ahí el resultado. Proposición 4. Sean A, B dos matrices que se diferencian solamente en los elementos de una fila (o columna) i. Sea C la matriz que es igual a A y a B en 15

16 todas las filas, pero cuya fila i se obtiene sumando elemento a elemento los de las filas (o columnas, en su caso) i de A y de B. Entonces C = A + B. Ejemplo 2. Sean A, B las matrices cuadradas de orden 3: A = , B = Entonces, si C = veremos que efectivamente,, se tiene C = A + B. Si los calculamos, A = 3, B = 1, C = 2 Comparando cada sumando de C con el sumando correspondiente de A y de B, vemos que el sumando de C será un producto con todos los factores, salvo uno, iguales a los que aparecen en A y en B ; ese factor distinto es suma de los que aparecen en A y en B, y la propiedad distributiva del producto justifica la proposición. Proposición 5. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos filas (o dos columnas), el valor de su determinante cambia de signo. Esta propiedad es un poco más difícil de ver. Se debe a que, al intercambiar las filas, cada sumando del nuevo determinante es igual a uno del original, pero la permutación asociada a dicho sumando ha cambiado; de hecho, su signo cambia al intercambiar dos filas; por eso la suma que da el nuevo determinante tiene exactamente los mismos sumandos que la del determinante original, pero todos cambiados de signo. Proposición 6. Si una matriz cuadrada A tiene dos filas iguales; o bien una de las filas es igual a una constante k por la otra; entonces A = 0. Lo mismo vale cambiando filas por columnas. Supongamos que las dos filas i y j son iguales. Sea B la matriz que se obtiene al intercambiar en A las filas i, j. Por un lado, tenemos A = B, ya que la matriz no ha cambiado. Pero B = A por la proposición 5. Luego 2 A = 0 y A = 0. Supongamos ahora que la fila j de la matriz A es igual a la fila i multiplicada por la constante k 0 (si k = 0, la fila j es nula y A = 0 por la proposición 2). Si en A multiplicamos por k la fila i obtenemos una matriz B que tiene iguales la fila i y la fila j. Luego B = 0, por lo que acabamos de ver. Pero B = k A por la proposición 3. Así, A = 1 k B = 0. Proposición 7. Si en una matriz cuadrada A hacemos la transformación elemental F i F i + kf j (para una constante k y una fila j), el determinante no varía. Lo mismo vale para columnas. Llamemos C a la matriz que se obtiene de A por la transformación elemental indicada. Llamemos B a la matriz que solamente se diferencia de A en la fila i: la fila i de B se obtiene como la fila j de A multiplicada por k. Entonces B tiene dos filas proporcionales, así que B = 0 por la proposición 6. Pero C es igual a 16

17 A y a B salvo en la fila i, que es suma de las de A y B. Por la proposición 4, C = A + B = A. Una consecuencia de estas propiedades nos da un procedimiento (no demasiado práctico, en general), para calcular determinantes: partiendo de la matriz cuadrada A, le aplicamos transformaciones elementales para llevarla a la forma escalonada simple. En esta situación, podemos usar también transformaciones elementales de las columnas, pues sus propiedades en lo que se refiere al determinante son las mismas que para filas. Estas transformaciones solamente cambian el determinante multiplicándolo posiblemente por constantes que podemos ir calculando en el proceso. Al final, la forma escalonada dará: 1) O bien una matriz cuya diagonal principal es toda de unos. Entonces su determinante es 1, directamente. 2) O bien una matriz que tiene algunos unos y algunos ceros en la diagonal principal. Entonces alguna fila es nula, y el determinante vale 0. Ejemplo 3. Calcular el determinante = = = donde los cambios hechos han sido, sucesivamente: C 1 1 C 1, F 3 F 3 +2F 1, F 4 F 4 +3F 1 y finalmente, se han intercambiado la columna 2 y la 4. La primera y la última de las transformaciones han cambiado el signo del determinante. Seguimos ahora las transformaciones = = = donde las transformaciones han consistido en: F 3 F 3 2F 2, F 4 F 4 7F 2, F 4 F 4 + 3F 3, y finalmente multiplicar la última fila por 1 20 (y tener en cuenta que así el nuevo determinante ha quedado dividido por 20). Como el último determinante vale 1, ya que está en forma escalonada simple, con diagonal principal de unos, el valor del determinante original es Desarrollo de un determinante Sea A = (a ij ) una matriz m n y sea k m, n. Una submatriz cuadrada de A de orden k es la matriz que resulta al eliminar en la matriz A m k filas y n k columnas, dejando los elementos restantes en el mismo orden de filas y columnas que tienen en la matriz A. 17

18 Dada la matriz A, el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A se dice que es un menor de la matriz A. Ejemplo 4. Dada la matriz A = las siguientes son algunas de las submatrices cuadradas de orden 3 de dicha matriz , , Sus determinantes son, pues, menores de la matriz A. Sea A una matriz cuadrada n n. Dado cualquier lugar (i, j) en la matriz A, obtenemos una submatriz cuadrada al eliminar la fila i y la columna j de la matriz. El menor correspondiente a dicha submatriz se llama el menor complementario del elemento (i, j) de la matriz A. Ejemplo 5. Sea la matriz A = El menor complementario del elemento de lugar (3, 2) es el determinante = = Si M ij es el menor complementario del elemento de lugar (i, j) en la matriz A, entonces llamamos adjunto del elemento de lugar (i, j) de la matriz A al número A ij = ( 1) i+j M ij. En el ejemplo anterior, el adjunto del elemento de lugar (3, 2) es igual a 0 = 0. Proposición 8. Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada de orden n. Para cualquier fila i de la matriz A, se tiene A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in = n a ij A ij j=1 El resultado vale también usando columnas en lugar de filas. Este resultado facilita un procedimiento para calcular determinantes, usando la fórmula del enunciado. Este procedimiento se conoce como desarrollo del determinante por una fila (o columna). Ejemplo 6. Calcular el determinante siguiente, desarrollando por la tercera columna: 18

19 El desarrollo dará, teniendo en cuenta que a 23 = a 33 = 0, que el determinante es igual a a 13 A 13 + a 43 A 43. Calculamos, pues, A 13 = = = A 43 = = ( ) = De este modo, obtenemos el valor del determinante: 57 + ( 3)30 = = 147 Aunque el procedimiento de calcular un determinante usando transformaciones elementales que lleven la matriz a una escalonada simple sea poco práctico, su combinación con el desarrollo del determinante por una fila o columna es frecuentemente lo más efectivo. A este respecto, las transformaciones elementales permiten obtener muchos elementos iguales a 0 en el determinante. La existencia de estos elementos nulos facilita entonces el cálculo usando el desarrollo por los elementos de una fila o columna. Ejemplo 7. Calcular el siguiente determinante Intercambiando las columnas 1 y 3, podemos después hacer las transformaciones elementales F 2 F 2 4F 1, F 3 F 3 + 2F 1 y F 4 F 4 3F D = = = D = = = = = =

20 = 2( ) 9 ( 611) = = 1053 donde hemos desarrollado de nuevo por la primera columna en el determinante de orden Lección 28. Rango de una matriz y teorema de Rouché 4.1. Rango de una matriz Sea A una matriz m n. Llamamos rango de A (escrito rg(a)) al mayor entero r que cumple la condición: existe algún menor de orden r de la matriz A que es no nulo. Ejemplo 1. Sea A la matriz A = Los menores de orden 1 de la matriz son sus elementos. Evidentemente, hay menores de orden 1 no nulos, luego rg(a) 1. El menor tiene el valor 3 12 = 9 0. Luego existen menores de orden 2 no nulos y rg(a) 2. El único menor de orden 3 es el determinante A. Calculando su valor, vemos que A = = 0. Luego no hay menores de orden 3 no nulos. En consecuencia, rg(a) = 2. Ejemplo 2. Estudiemos el rango de la matriz A = Hay menores de orden 1 no nulos; por ejemplo, el menor obtenido al eliminar las filas 2, 3 y las columnas 2, 3, 4 es igual a 1 0. Así, rg(a) 1. Buscamos menores de orden 2 no nulos. Usando las columnas 1, 2 no podemos encontrar ninguno. Pero si usamos, por ejemplo, las columnas 3, 4, tenemos el menor = 2 0. Luego rg(a) 2. Obtenemos un menor de orden 3 con las columnas 1, 3, 4. Será = = Probemos con las columnas 2, 3, 4. Tenemos el menor = = 0. Nos queda todavía probar con las columnas 1, 2, 3 o 1, 2, 4. Sin embargo, podemos avanzar ya que también estos menores darán 0. La razón está en la Proposición 1 que veremos enseguida.. 20

21 Sea A una matriz y sea M una submatriz suya de orden r. Una submatriz de A de tamaño (r + 1) (r + 1) se dice que es una orlada de la submatriz M si incluye todos los elementos de la submatriz M. Proposición 1. Sea A una matriz que tiene un menor de orden r no nulo, correspondiente a la submatriz M. Si todos los menores de las submatrices orladas de M son nulos, entonces rg(a) = r. En el ejemplo anterior, podemos tener en cuenta este resultado. El menor de orden 2 formado con las columnas 3, 4 y las filas 1, 2 es no nulo. Pero los únicos menores de orden 3 que corresponden a submatrices orladas de la dicha son nulos, como ya hemos visto. Luego rg(a) = 2, y los demás menores de orden 3 son nulos también. Ejercicio 1. Calcular el rango de la matriz 1 1 a a 1 A = a a según los valores del parámetro a. El elemento 1 en el lugar (3, 3) es no nulo. Luego rg(a) 1. Un menor de orden 2 de una submatriz orlada de la anterior es el formado por las filas 2, 3 y las columnas 2, 3. Su valor es = = 1 0. Así, es no nulo y rg(a) 2. Hay solamente dos submatrices orladas de la anterior: una contiene las columnas 1, 2, 3 y la otra las columnas 2, 3, 4. Los menores correspondientes darán 1 1 a a 3 4 a 1 1 = 1 + 3a 1 a a 1 2a2, = a 1 Aquí hay que distinguir lo que ocurre según los valores de a. Caso 1. Si a = 1, el último menor es nulo. Pero el anterior también es nulo, pues = 0. En esta situación, todos los orlados de orden 3 del menor de orden 2 no nulo elegido son cero. Luego rg(a) = 2. Caso 2. Si a 1, entonces el último menor anterior es no nulo. Así, rg(a) 3. Como no hay menores de orden 4 en la matriz A, se tiene rg(a) = 3. Obsérvese que cuando es a = 1 2, uno de los dos menores de orden 3 que hemos considerado arriba se anula. Pero como otro de ellos no se anula, se tiene rg(a) = 3 para ese valor de a, como ha quedado visto más arriba. Una matriz cuadrada A se llama regular cuando A 0. En caso contrario, se llama singular. De acuerdo con ello, una matriz cuadrada n n es regular si y solo si se tiene rg(a) = n. Recordemos que las transformaciones elementales sobre una matriz cuadrada pueden cambiar el valor del determinante; pero no pueden cambiar una matriz regular en una singular, ni viceversa. 21

22 Una propiedad todavía más fuerte es la siguiente. Proposición 2. Las transformaciones elementales (de filas o de columnas) de una matriz cualquiera no cambian el rango de la matriz. Pensemos ahora en un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya matriz ampliada es (A B) (como siempre, A es la matriz de los coeficientes y B es la matriz de los términos independientes). Si aplicamos transformaciones elementales a la matriz (A B) hasta convertirla en (A B ), donde A es escalonada simple, la proposición anterior nos dice que rg(a) = rg(a ) y rg(a B) = rg(a B ). Supongamos que la matriz escalonada simple A tiene las r primeras filas con unos en la diagonal principal, y el resto de filas, si las hay, son nulas. En consecuencia, A tiene un menor no nulo de orden r; pero cualquier submatriz orlada de la de ese menor es nula, porque contiene una fila nula. Así, rg(a ) = r. Por su parte, los elementos de la columna B en las filas r + 1,..., m pueden ser todos nulos o puede existir algún k con b r+k 0. Sabemos que en el primer caso el sistema es compatible; y en el segundo es incompatible. En el primer caso, la matriz ampliada (A B ) tiene un menor no nulo de orden r, pero todas las submatrices orladas de esta dan menores nulos. Luego rg(a B ) = r = rg(a ). En el segundo caso, la submatriz de las r primeras filas y columnas puede orlarse con la última columna y la fila r + k, que dará un menor no nulo. Luego rg(a B ) > r = rg(a ). El resultado de esta discusión se puede formular como sigue, teniendo en cuenta que rg(a) = rg(a ) y rg(a B) = rg(a B ). Proposición 3 (Teorema de Rouché). Un sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada (A B) es compatible si rg(a) = rg(a B); y es incompatible si rg(a) < rg(a B). Consideremos de nuevo un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, con matriz ampliada (A B). Supongamos, como antes, que r es el número de unos en la diagonal principal de la matriz A que es la forma escalonada simple de la matriz A. Hemos visto ya que r = rg(a ) = rg(a). Supongamos además que el sistema es compatible. De acuerdo con el procedimiento de resolución de sistemas compatibles, visto en la lección 25, n r nos da el número de incógnitas (x r+1,..., x n ) a las que podemos asignar valores cualesquiera, obteniendo entonces una solución del sistema para cada manera de asignar valores a dichas incógnitas x r+1,..., x n. Ejercicio 2. Discutir, estudiando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada, el siguiente sistema de ecuaciones (según los valores de los parámetros). x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c 22

23 Escribimos la matriz del sistema a b c El elemento de lugar (1, 1) es 1 0. Del mismo modo, el menor de las dos primeras filas y columnas da = 1 0. Luego el rango de la matriz A de los coeficientes (y de la ampliada, por tanto), es 2. Para hallar el rango de la matriz A, tenemos solamente un menor de orden 3 que considerar. Se trata de = que es nulo, porque tiene dos filas iguales. La conclusión es que rg(a) = 2. Para discutir el sistema, debemos hallar el rango de la matriz ampliada (A B). Sabemos que tiene el mismo menor de orden 2 no nulo que acabamos de ver. Además de orlarlo con la tercera columna, lo podemos orlar también con la cuarta columna. Esto da el menor 1 1 a 1 0 b 2 1 c = 1 1 a 1 0 b 1 0 c a = 1 b 1 c a = c a b Se tienen entonces dos posibilidades: 1) Si es c = a + b, entonces este menor es nulo; y como no hay otras submatrices de orden 3 que sean orladas de la que hemos tomado como no nula, resulta que rg(a B) = 2. Entonces el sistema es compatible. Como el número de incógnitas es n = 3, y n rg(a) = 1, el sistema no es determinado; hay una indeterminada a la que se le puede dar cualquier valor para obtener una solución del sistema. 2) Si es c a + b, entonces el menor anterior es no nulo y rg(a B) = 3, ya que hay un menor de orden 3 no nulo, y no existen submatrices cuadradas de orden 4. Así, los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada no coinciden y el sistema es incompatible. Ejercicio 3. Discutir según el valor del parámetro a, el sistema de ecuaciones x 3y 4z = 3 ax + 5y az = 6 15x + 5ay 30z = 3 Escribimos la matriz (A B) a 5 a a

24 Partiendo del elemento de lugar (1, 1), que es no nulo (de forma que rg(a) 1), podemos tomar la submatriz cuadrada de las filas 1, 3 y las columnas 1, 3. El correspondiente menor es = y así rg(a) 2. Hay un solo modo de orlar ese menor con líneas de la matriz A. Se trata del menor a 5 a 15 5a 30 = a 20a2 + 5a 2 90a = 15a 2 45a Los valores de a que darán el valor 0 para ese menor son las soluciones de la ecuación 15a a 150 = 0, a 2 + 3a 10 = 0 Calculando esas soluciones, obtenemos a = 3 ± 49 2 = 3 ± 7 2 lo que da las soluciones a = 5, a = 2. Para esos dos valores, se tiene rg(a) = 2. Podemos, pues, separar los siguientes casos: Caso 1. Si a 5 y a 2, entonces rg(a) = 3. Como la matriz ampliada no puede tener rango mayor, pues no tiene submatrices cuadradas de orden 4, se tiene rg(a) = rg(a B) = 3, y el sistema es compatible. Como el número de incógnitas es n = 3, el valor de n rg(a) = 0, y el sistema es determinado. Caso 2. a = 5. Entonces rg(a) = 2, como hemos visto. Para hallar el rango de la matriz ampliada (A B), hay solamente una manera de orlar el menor de orden 2 no nulo que hemos visto antes. Daría el menor a a 6 = 3a a a + 45a = 36a Como es a = 5, se tiene que el valor de ese menor es = 0. Luego rg(a B) = 2, porque las dos maneras posibles de orlar el menor no nulo de orden 2 dan menores nulos. Así, rg(a) = rg(a B) = 2, el sistema es compatible. Como n = 3, entonces n rg(a) = 1, y el sistema es indeterminado. Caso 3. a = 2. También aquí tenemos rg(a) = 2. El cálculo del rango de la ampliada nos conduce exactamente al mismo menor que hemos considerado en el caso 2. Pero ahora, como a = 2, el valor de dicho menor es Luego rg(a B) = 3, ya que hay un menor de orden 3 no nulo. La consecuencia es que, en este caso, rg(a) < rg(a B), y el sistema es incompatible. 24

25 5. Lección 29. Matrices invertibles y sistemas de Cramer 5.1. Producto de matrices Es posible efectuar con matrices una operación llamada producto. Dada una matriz A de tamaño m n y una matriz B de tamaño n k, obtenemos como resultado una matriz C de tamaño m k. La operación se define así: Dada A = (a ij ) y B = (b ij ), la matriz producto C es C = (c ij ). Cada c ij se obtiene del modo siguiente (para 1 i m, 1 j k): c ij = n a ih b hj h=1 Es decir: el elemento de la fila i columna j en la matriz producto C se obtiene multiplicando (término a término) la fila i de A por la columna j de B. Veamos algún ejemplo. Ejercicio 1. Hallar el producto de las matrices ( ) A =, B = Vamos obteniendo uno a uno los elementos de la matriz producto C = (c ij ). Será una matriz 2 4, ya que A es 2 3 y B es 3 4. c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 = ( 1) + ( 1) ( 2) = = 0 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 = 1 ( 1) ( 1)( 1) = = 2 c 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 = ( 1) 1 = 1 1 = 0 c 14 = a 11 b 14 + a 12 b 24 + a 13 b 34 = 1 ( 2) ( 1) 0 = = 2 Esto nos da la primera fila de la matriz producto C. Como puede verse, cada elemento se obtiene multiplicando una fila de la primera matriz por una columna de la segunda. Calculamos la segunda fila. c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 = ( 1) + ( 1)( 2) = 2 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 = 1 ( 1) ( 1) ( 1) = = 0 25

26 c 23 = a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 = ( 1) 1 = 1 1 = 0 c 24 = a 21 b 14 + a 22 b 24 + a 23 b 34 = 1 ( 2) ( 1) 0 = 2 De esta forma, hemos completado el cálculo de la matriz C. Será ( ) C = Otra operación con matrices es relevante: la suma. Para matrices A, B del mismo tamaño m n, la matriz A + B se obtiene como la matriz del mismo tamaño C = (cij), donde cada c ij = a ij + b ij. Es decir, para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas; y esa suma es el elemento que ocupa dicho lugar en la suma. La suma de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) siempre que A, B, C sean matrices del mismo tamaño m n. La suma de matrices es también conmutativa: A + B = B + A. Llamamos matriz opuesta de la matriz A = (a ij ), y se denota por A, a la matriz cuyo elemento de lugar (i, j) es a ij. Al sumar una matriz A con su opuesta, el resultado es una matriz nula 0. Por ejemplo: la suma de las matrices 3 2 A = 3 4, B = es la matriz Otra operación notable es el producto de un escalar por una matriz. Si c es un número y A = (a ij ) es una matriz, la matriz ca es una matriz B = (b ij ) del mismo tamaño que A, y que cumple b ij = ca ij. Es decir: el producto del escalar r por la matriz A se efectúa multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de la matriz. Por ejemplo, el producto de 2 por la matriz A anterior será la matriz Destacamos ahora algunas propiedades de estas operaciones con matrices. 26

27 1. Asociativa. Si existe el producto de las matrices A, B y también el producto de las matrices B, C, entonces (A B) C = A (B C) 2. Distributiva. Si B, C son matrices con el mismo tamaño, y existe el producto de las matrices A, B, entonces A (B + C) = A B + A C 3. Se tiene A = ( 1) A. Escribimos A B para indicar A + ( B). Así, A B = A + ( 1)B. 4. Si B, C tienen el mismo tamaño y existe el producto de las matrices A, B, entonces A (kb + sc) = k(ab) + s(ac) si k, s son números. En particular, A(B C) = AB AC. Para cada n 1, escribimos I n para denotar la matriz I n = (c ij ) dada por las condiciones: c ii = 1, para cada i = 1, 2,..., n; y c ij = 0, siempre que sea i j. Es decir: I n es nula, excepto por los elementos de la diagonal principal; estos elementos son todos iguales a 1. I n se llama la matriz identidad de orden n. I n tiene una importante propiedad en relación con el producto: Si A es una matriz m n, entonces A I n = A, y además I m A = A. Si A es una matriz cuadrada n n, y existe una matriz B que tiene la propiedad A B = I n, entonces B A = I n, y se dice que B es la matriz inversa de A (y A es la matriz inversa de B). La matriz inversa de A, si existe, se denota como A 1. El producto de matrices tiene una primera aplicación en la consideración de los sistemas de ecuaciones. Supongamos dado un sistema con m ecuaciones y n incógnitas. Sea A = (a ij ) la matriz de los coeficientes y B la matriz de los términos independientes (que escribimos como una matriz de m filas y una columna), b 1,..., b m. La propiedad de que una asignación de valores a las incógnitas, (d 1,..., d n ) sea solución del sistema indicado puede expresarse usando el producto de matrices. En efecto, (d 1,..., d n ) dan una solución del sistema si y solo si se verifica A D = B siendo D la matriz columna n 1 formada por los elementos d 1,..., d n. Esto puede comprobarse sin más que escribir explícitamente el producto A D. De acuerdo con esta observación, la ecuación con matrices A X = B 27