Simplificación de funciones lógicas utilizando Karnaugh

Transcripción

1 Simplificación de funciones lógicas utilizando Página

2 Objetivos de la simplificación Objetivo: minimizar el costo de la función lógica Medición del costo y otras consideraciones Número de compuertas Número de niveles Fan in y fan out de las compuertas Complejidad en la interconexión Prevención de riesgos Realización en dos niveles Minimiza el número de compuertas (términos de la función) Minimiza el fan in (variables en la función) Página 2

3 Relación entre representaciones TEOREMA: Cualquier función Boolena que puede exprese como una Tabla de Verdad puede escribirse como una expresión en Algebra Booleana utilizando compuertas AND, OR, NOT. Página 3 No única Expresión Booleana Conveniente para manipulación Tabla de verdad Única Representación en compuertas (esquemático) Cerca de implementación No única

4 Mapas de Un mapa de (también conocido como tabla de o diagrama de Veitch, abreviado como K-Mapa o KV-Mapa) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas booleanas. El mapa de fue inventado en 950 por Maurice, un físico y matemático de los laboratorios Bell. Los mapas K aprovechan la capacidad del cerebro humano de trabajar mejor con patrones que con ecuaciones y otras formas de expresión analítica. Externamente, un mapa de consiste de una serie de cuadrados, cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado alberga un 0 ó un, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. Página 4

5 Relación con los diagramas de Venn Para dos variables se pueden expresar las siguientes áreas en diagramas de Venn ab ab ab ab Página 5

6 Relación con los diagramas de Venn Estas área se pueden representar como minterminos. m 0 m2 m m 3 Página 6

7 Relación con los diagramas de Venn Las áreas para dos conjuntos son cuatro. Estas son: AB AB AB AB La idea ahora es colocar las área de tal forma que entre área y área solo cambie una variable Página 7

8 Relación con los diagramas de Venn Con el fin de que solo una variable cambie entre área y área el grupo de las cuatro áreas resulta como: AB AB AB AB Página 8

9 Relación con los diagramas de Venn Estas áreas se pueden representar en una grafica de la siguiente forma Estas áreas se puede asignar números decimales, tal como se muestra Página 9

10 Relación con los diagramas de Veen A B Para este mapa la variable mas significativa es A En este mapa se muestran todas las áreas posibles. Se debe tomar en cuenta que al pasar de un área a otra solo varia un bit. Esto es tanto en el B como en A se utiliza el código Gray. Página 0

11 Mapa de dos variables Página

12 Mapa de tres variables m 0 m 2 m 6 m 4 m m 3 m 7 m 5 Página 2

13 Mapa de tres variables En este caso la variable mas significativa es A Recuerde que los bordes son adyacentes O sea esta figura es como un neumático Página 3

14 Mapa de cuatro variables m 0 m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 m 8 m 9 m m 0 Página 4

15 Representación de funciones en mapas de Página 5

16 Ejemplo Representación canónica de minterminos F = ABC+ ABC+ ABC+ ABC F = m + m + m + m (,, ) m(,3,5,6) F A B C = Página 6

17 Mapa de tres variables BC AC ABC Página 7 (,, ) m(,3,5,6) F a b c =

18 Mapa de tres variables BC AC ABC Página 8 (,, ) m(,3,5,6) F a b c =

19 Ejemplo: con cuatro variables Página 9 F( A, B, C, D) = (0,,3,7,8,9,0,5 )

20 Ejemplo: con cuatro variables BC BD Página 20 F( A, B, C, D) BCD = (0,,3,7,8,9,0,5 )

21 Terminología / definiciones Literal Es una variable o su complemento Términos lógicamente adyacentes Dos minterminos son lógicamente adyacentes si difieren entre ellos una sola variables. Página 2

22 Terminología / definiciones Página 22 Implicante Es un termino que puede ser utilizado para cubrir minterminos de una función Implicante primario Es un implicante que no es parte de otro implicante. Implicante primario esencial Es un implicante que cubre por lo menos un mintermino que no esta contenido en otro implicante primario. Cobertor Es un mintermino que ha sido utilizado en por lo menos un grupo.

23 Guía para simplificar funciones Cada área en los mapas K de n variables tienen n áreas lógicas adyacentes. (difieren de exactamente una variable). Cuando se combinan áreas, siempre agrúpelas en potencias de 2 m, donde m=0,,2,. En general, agrupar 2 m variables elimina m variables. Página 23

24 Guía para simplificar funciones Agrupe la mayor cantidad de áreas posibles. Esto elimina la mayor cantidad de variables. Haga los menos grupos posibles. Cada grupo representa un producto de variables. Debe cubrir al menos cada mintermino. Sin embargo, puede ser cubierto mas de una vez. Página 24

25 Procedimiento para simplificar con mapas K Grafique el mapa Haga un circulo en todos los implicantes primarios. Identifique y seleccione todos los implicantes esenciales primarios que va a cubrir. Seleccione un subconjunto mínimo de implicantes primarios residuales para completar la cobertura. Lea el mapa K Página 25

26 Ejemplo Utilice los mapas K para simplificar la siguiente función lógica. F( A, B, C) = (,2,3,5,6 ) Página 26

27 Solución Página 27

28 Solución F ( a, b, c) = ab + bc + bc = ab + b c Página 28

29 Ejemplo (,, ) m( 2,3,6,7) F a b c = Página 29

30 Solución Página 30

31 Solución F ( abc,, ) = ab+ ab= b Página 3

32 Casos Especiales Página 32

33 Mapas con tres variables Página 33 F( abc,, ) =

34 Mapa con tres variables Página 34 F( abc,, ) = 0

35 Mapa con tres variables Página 35 F ( a, b, c) = a b c

36 Condiciones no importa Muchas veces en el diseño de los circuitos digitales, particularmente en los convertidores de código, algunas entradas deben considerarse como casos que no sucederán, y son casos que cuando ocurren no afectan el comportamiento del sistema, esto es no importa si suceden. Por ejemplo, considérese el caso de un contador decimal de cuatro bits, en el cual se pueden generar los estados desde el 0000 hasta el, en el caso de que este se desee representar en BCD los términos 00, 0,00, 0, 0,, que no afectan el comportamiento del contador BCD se deben tomar como condiciones no importa ya que no afectan el comportamiento del sistema. Los términos no importan se pueden tomar como mintérminos en la solución o como maxterminos, dependiendo de la conveniencia. El objetivo de utilizar condiciones no importa es el ayudar en la simplificación de las funciones lógicas. Los términos no importa se representan en los mapas con una X. Las condiciones no importa, se pueden agrupar con los unos o con los ceros en un mapa de dependiendo de la conveniencia en el proceso de síntesis. Página 36

37 Ejemplo Se quiere simplificar la siguiente función lógica: f ( A, B, C) = (0,2,7) N(3,4) El término N(3,4), representa que los minterminos 3 y 4 son condiciones no importa. Página 37

38 Solución Esta condición no importa la sumo como cero Esta condición no importa la asumo como 0 X 0 X 0 Página 38 f ( A, B, C) = AB + AC

39 Ejemplo Utilizando mapas de simplificar la siguiente función: f ( A, B, C, D) = (0,2,6,8,2,3,5) X (3,9,0) Página 39

40 Solución 0 X X 0 0 X Página 40 f ( A, B, C, D) = AC + BD + ABD + ACD

41 Ejemplo Utilice mapas K para simplificar la siguiente expresión (,,, ) m( 0,2,3,6,8,2,3,5) F a b c d = Página 4

42 Solución Página 42 f ( A, B, C, D) = ABC + ACD + ABD + ACD + BCD

43 Mapas con cinco variables F ( abcde,,,, ) Página 43

44 Mapas con cinco variables Utilice dos mapas de cuatro variables. En uno de ellos coloque los términos correspondientes a la variable más significativa en uno. En el otro coloque los términos correspondientes a la variables más significativa en cero. Página 44

45 Utilice dos mapas de cuatro variables Mapa A=0 Mapa A= Página 45

46 Ejemplo de cinco variables = F abcde,,,, m5,7,3,5,2,23,29,3 ( ) ( ) Página 46

47 Solución A=0 A= Página 47

48 Solución f ( A, B, C, D, E) = ACE + BEC + ABCE Página 48

49 Ejemplo Utilice los mapas K para simplificar la siguiente función Booleana. (,, ) M (,2,3,5,6) F a b c = Página 49

50 Paso. Colocar los maxterminos Página 50

51 Paso 2. Agrupe los implicantes primarios AB BC Página 5 BC f ( A, B, C) = AB + BC + CB

52 Paso 3. Aplique el teorema de Morgan En el paso anterior se encontró el modelo lógico para el complemento de f. Para encontrar el modelo es necesario aplicar el teorema de Morgan, esto es: f f f ( A, B, C) ( A, B, C) ( A, B, C) = = = AB AB + BC + CB + BC + CB ( A + B)( B + C)( C + B) Página 52 f f f ( A, B, C) ( A, B, C) ( A, B, C) = = = ABC + BC + ABC BC ( A + ) + ABC BC + ABC

53 Ejemplo Este ejemplo es igual al anterior solo que cambiando el mapa. Lo primero que hacemos es transformar el mapa para que acepte maxtérminos. Esto es colocar las variables donde se encuentran negadas. Página 53

54 Transformación del mapa para maxterminos Para transformar el mapa coloque la variable sin negar donde se encuentra la variable negada y repítalo con todas las variables. Coloque todos los términos de la expresión lógica B+C A B A+B C C C+B Página 54

55 Página 55 Solución CB ABC C B A f A CB ABC C B A f CB CAB BAC C B A f B C CB CA BB BA C B A f B C B A C B C B A f + = + + = + + = = = ),, ( ) ( ),, ( ),, ( ) )( ( ),, ( ) )( )( ( ),, (

56 Sistemas con varias funciones de salida Suponga que se cuenta con un sistema discreto que produce tres funciones de salida, bajo la presencia de tres variables de entrada. Esto es: f f f 2 3 ( A, B, C) ( A, B, C) ( A, B, C) = = = (0,2,3,5,6) (,2,3,4,7) (2,3,4,5,6) Página 56

57 Genere los mapas de las funciones f B A C 6 Página 57

58 Mapa para f 2 f 2 B A 4 5 C 7 6 Página 58

59 Mapa para f 3 f 3 B A 4 5 C 7 6 Página 59

60 Todos los mapas Página 60

61 Tabla de minterminos Página 6 Mintermino m0 m m2 m3 m4 m5 m6 m7 f X X X X X f 2 X X X X X f 3 X X X X X

62 Conclusión Si se observa en la lámina donde se encuentran los tres mapas, se puede concluir que los términos de f 3 son generados por f 2 y f. En otras palabras los términos de f 3 son producidos en las otras funciones Página 62

63 Cobertura de minterminos Página 63

64 Solución f ( A, B, C) = AB + BC + ABC + ABC f 2 ( A, B, C) = AB + BC + AC + ABC f 3 ( A, B, C) = AB + BC + ABC + ABC Página 64

65 Técnica de variables en el mapa Reduce el tamaño del mapa de 3, 4, 5, 6 y 7 variables. La idea es no sólo cubrir unos, ceros, sino que cubrir variables también, incluso expresiones booleanas. El principio teórico e utilizar el teorema de adyacencia lógica. Página 65

66 Ejemplo (entradas al mapa) Supongamos la función que se define con la siguiente tabla de verdad Página 66

67 Expresión de salida La salida se puede expresar como: f ( A, B, C) = ABC (0) + ABC(0) + ABC () + ABC() + ABC () + ABC(0) + ABC ( X ) + ABC( X ) Página 67

68 Disminuir la tabla de verdad a dos variables Página 68

69 Disminuir la tabla Como se puede observar ahora se puede representar la función en un mapa de dos variables. Esto es: 0 0 C 2 X 3 Página 69

70 Otro ejemplo Página 70

71 Disminuir la tabla Página 7

72 Mapa de tres variables para f A f C B D DX D 0 DX 7 6 Página 72

73 Mapa de tres variables para f 2 A f C B 3 2 D+DX DX D D 0 X 7 6 Página 73

74 Lectura del mapa Página 74 Paso. (Agrupar las áreas) Agrupar las variables de entrada que no se pueden agrupar con otras áreas del mapa. Recuerde que una variable en un área no se puede agrupar con su complemento de otra, ya que no son idénticas. Agrupe las mismas variables en distintas áreas adyacentes. Se pueden agrupar variables con un área que contenga un. Se pueden agrupar variables con un área que contenga un X. Continúe agrupando las variables hasta cubrir con todas las variables de entrada.

75 Lectura del mapa Página 75 Paso 2. Transformación del mapa Sustituya todas las variables de entrada al mapa en cero. Si el área tiene un cero, consérvelo, y si tiene una condición no importa, consérvelo. Si el área tiene un uno, se mantiene si no está totalmente cubierta, se coloca un X si esta totalmente cubierta, por ejemplo cubierta con la variable y su complemento. Si a la variable de entrada lo acompaña una condición no importa, donde aparece coloque un cero. Si en el área se encuentra la variable de entrada (+) la misma variable complementada con una condición no importa coloque si no cubre totalmente o si solo se cubre el complemento. Debe colocarse una X (no importa) si se cubre totalmente o si el término necesario se cubre

76 Ejemplo de lectura de mapas con variables Este es el mapa 0 C 0 2 C 3 Página 76

77 Transformación del mapa El uno se puede representar como la suma de la variable de entrada y su complemento 0 C 0 2 C+C C 3 Página 77

78 Paso. Agrupar las variables B(C) 0 C C+C C A(C) Página 78

79 Paso 2. Transformar el mapa Ahora se deben agrupar los unos AB Página 79

80 La solución Será la unión de todos los términos. Esto es: f ( A, B, C) = BC + AC + AB Página 80

81 Ejemplo Reagrupar las variables 0 0 C+CX 2 C 3 Página 8

82 Paso. Agrupar las áreas 0 0 C+CX B 2 C+C C 3 Página 82

83 Paso 2. Transformar el mapa AB 0 0 X Página 83

84 Solución f ( A, B, C) = B + AB Página 84

85 Otro ejemplo Página 85

86 Mapa para la función f AD f 0 B 3 2 X D DX A DX D AC C 7 6 AB Página 86

87 Mapa para la función f 2 AD f 2 B A C 3 2 D+DX D 0 DX D DX 7 6 ABD CD Página 87

88 Mapa transformado para f AC f 0 B 3 2 X 0 0 A ACB C 7 6 Página 88

89 Mapa transformado para f 2 Página 89 AB A f C B AC X 7 6

90 Solución para f f A, B, C, D) = AD + AB + ( ACB Página 90

91 Solución para f 2 f A, B, C, D) = AD + CD + ABD + AC + 2 ( AB Página 9