Mapas de Karnaugh para 4 variables

Transcripción

1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA Mapas de Karnaugh para 4 variables San Cristóbal, enero de 2009

2 Índice Página Introducción Conceptos Básicos, Suma de Productos Producto de Sumas Conclusión

3 Introducción Para comenzar, es de gran importancia explicar brevemente quién es el creador del método tabular, mejor conocido como Mapas de Karnaugh. Maurice Karnaugh, es un ingeniero de telecomunicaciones estadounidense. Graduado en la universidad de Yale en el 1952, es actualmente gobernador del ICCC (International Council for Computer Communication). Ha trabajado como investigador en los Laboratorios Bell desde 1952 a 1966 y en el centro de investigación de IBM de 1966 a Así mismo, ha impartido de informática en el Politécnico de Nueva York de 1980 a 1999, y desde 1975 es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunicaciones. Los mapas de Karnaugh sirven principalmente para minimizar expresiones del tipo suma de productos o producto de sumas, obteniendo otra suma de productos o producto de sumas. Por ejemplo en la suma de productos, la expresión obtenida será mínima, si no existe otra con menor número de sumandos, ni otra con igual número de sumandos con menor cantidad de variables. Mediante los diagramas de Karnaugh, se representa la función, y se obtiene directamente la forma canónica, considerando los unos o ceros obtenidos del diagrama. La propiedad más importante de los mapas de Karnaugh es la adyacencia de celdas, ya que si en dos celdas adyacentes existen unos, se puede sacar factor común entre dichas celdas y eliminar así, una variable. Dos celdas son adyacentes si no difieren en más de un bit. Habiendo explicado esto inicialmente, se hace más fácil abordar el tema principal de la investigación, el cual es la elaboración de mapas de Karnaugh con 4 variables. 3

4 Conceptos Básicos - Literal: se refiere a una variable o a su complemento (X, X ) - Término Producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un AND (A B, C A) - Término Suma: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un OR (A+B, C+A) Empleando suma de productos (SDP) Mapas de Karnaugh para 4 variables La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh utiliza un método gráfico basado en la Suma de Productos. El mapa se realiza por medio de una matriz de 16 celdas, la cual representa los 16 mintérminos posibles (2 4 ) que se pueden obtener con cuatro variables de entrada, en un arreglo de 4 x 4. 4

5 La minimización por medio de un mapa de 4 variables se puede efectuar con las celdas adyacentes entre sí y las celdas de los bordes que se pueden concatenar para reducir la expresión. Por ejemplo, m 13 y m 15 son celdas adyacentes así como m 0, m 8, m 2 y m 10. El mapa se construye colocando un 1 en las celdas correspondientes a los mintérminos presentes en la función de salida. Por ejemplo, para el término F(1,1,0,0)= A B C D = 1 se situaría un 1 en la celda Para los mintérminos no presentes en la función se pone un 0. Por ejemplo el término F(1,1,1,1)= A B C D= 0, será una celda con valor 0 en la celda Se procede con la agrupación de unos, la determinación del término producto correspondiente a cada grupo y la suma de los términos producto obtenidos. Las reglas para reducir términos en un mapa de Karnaugh de 4 variables son las siguientes: 1. Una celda representa un mintérmino, dando como resultado un término de cuatro literales. 2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociación de dos mintérminos, dando como resultado un término de tres literales. 3. Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociación de cuatro mintérminos, dando como resultado un término de dos literales. 4. Ocho celdas agrupadas pueden representar la asociación de ocho mintérminos, dando como resultado un término de un literal. 5. Dieciséis celdas agrupadas pueden representan un valor de función igual a 1. Ejemplo: Simplifíquese la función de Boole F 2 = (m1,m3,m8,m10,m14) 5

6 El primer grupo se forma con los mintérminos m 1 y m 3 y el segundo grupo se forma con los mintérminos m 8, m 10 y m 12, m 14. Del primer grupo resulta el término A B D ya que en la columna 1 no se presentan cambios para las variables A y B y se presenta transición en la variable C en las columnas 2 y 3. El segundo grupo da como resultado el término A D. La razón radica en la simplificación de la variable B en la tercera y cuarta fila y en la variable C en la primera y cuarta columna. Sumando los mintérminos obtenidos se obtiene la ecuación simplificada: F 2 = A B D + A D Empleando producto de sumas (PDS) La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh también es posible mediante el método de producto de sumas. En este método, cada celda representa un maxtérmino. La construcción del mapa es similar a la suma de productos. La diferencia radica en que cada celda representa un maxtérmino. La representación de la función lógica se hace simplemente copiando los ceros de la tabla de verdad en las celdas del mapa. Este método es más apropiado cuando en la columna de resultados de la tabla de verdad predominan los ceros. Ejemplo: Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas: F 4 = (A+B+C+D) (A+B +C) (A+B +C +D ) (A +B +C+D ) (A + B+C +D ) (A +B+C+D ) (A +B+C +D ) El segundo término tiene que ampliarse a (A+B +C+D) (A+B +C+D ). La función completa se pasa al mapa de Karnaugh. 6

7 El término suma para cada grupo se muestra en la figura y el producto de sumas resultante es: F 4 = (A+C+D) (A+B'+D') (A'+D') 7

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