ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS CIENCIAS. Francisco Balibrea Gallego

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS CIENCIAS QUÍMICAS Y FÍSICAS Francisco Balibrea Gallego Víctor Jiménez López Universidad de Murcia, 2000

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3 Índice general Introducción V I. Ecuaciones Diferenciales: teoría cuantitativa 1 A. Objetivos B. Desarrollo de Contenidos I.1. Nociones básicas I.2. Motivación: ecuaciones de la Cinética Química y la Química Cuántica I.3. Ecuaciones en variables separadas. Aplicaciones I.4. Ecuaciones lineales de primer orden. Aplicaciones I.5. I.6. Ecuaciones lineales de segundo orden y sistemas de ecuaciones lineales: el caso con coeficientes constantes. Aplicaciones.. 23 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Aplicaciones C. Actividades de Aplicación D. Ejercicios de Evaluación E. Bibliografía II. Ecuaciones Diferenciales: teoría cualitativa 61 A. Objetivos B. Desarrollo de Contenidos II.1. Motivación: estados de equilibrio para las reacciones complejas reversibles y el modelo Brusselator I

4 II ÍNDICE GENERAL II.2. Puntos críticos, órbitas regulares y órbitas periódicas. Diagramas de fases II.3. El caso lineal: Atractores, repulsores y puntos de silla II.4. El caso no lineal: isoclinas, comportamiento local cerca de puntos críticos, teorema de Poincaré-Bendixson e integrales primeras. Aplicaciones C. Actividades de Aplicación D. Ejercicios de Evaluación E. Bibliografía III. Ecuaciones en Derivadas Parciales 101 A. Objetivos B. Desarrollo de Contenidos III.1. Modelos matemáticos III.2. Nociones básicas III.3. Leyes de Conservación III.4. Fenómenos de Difusión III.5. Transporte contaminante en los acuíferos III.6. Vibraciones de una cuerda III.7. Mecánica Cuántica III.8. Flujo de calor en tres dimensiones espaciales III.9. La ecuación de Laplace III.10. Acústica III.11. Clasificación de las EDP C. Actividades de Aplicación D. Ejercicios de Evaluación E. Bibliografía IV. Series de Fourier y algunos problemas mixtos 141 A. Objetivos B. Desarrollo de Contenidos IV.1. Introducción a las series de Fourier IV.2. Resolución de la ecuación del calor por el método de separación de las variables ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QUÍMICAS Y FÍSICAS

5 ÍNDICE GENERAL III IV.3. La ecuación de la cuerda vibrante C. Actividades de Aplicación D. Ejercicios de Evaluación E. Bibliografía ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QUÍMICAS Y FÍSICAS

6 IV ÍNDICE GENERAL ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QUÍMICAS Y FÍSICAS

7 Introducción Un problema recurrente que se plantea, tanto a profesores como alumnos, cuando han de preparar una asignatura de Ecuaciones Diferenciales para una titulación experimental (en especial Químicas o Ingeniería Química), es la absoluta carencia de adecuados textos de consulta. Esta afirmación puede parecer un tanto exagerada e incluso gratuita, pues si de algo está bien provista la literatura matemática es de tratados dedicados exclusivamente a dicha materia. Más aún, entre éstos hay muchos que, a sabiendas de las dificultades que las Ecuaciones Diferenciales (como cualquier otra disciplina de las Matemáticas) suscitan entre los no especialistas, están redactados con un lenguaje claro y accesible, se restringen a problemas razonablemente asequibles, y huyen de rígidos formalismos (que, en el presente contexto, carecen desde luego de sentido). Estamos convencidos, pues nuestra experiencia así lo avala, de que si el docente orienta el curso a través de uno de tales textos entonces hay buenas posibilidades de que, al final, una parte importante de sus alumnos puedan presumir de haber aprendido Ecuaciones Diferenciales. El problema estriba en lo siguiente: les servirán de algo? En efecto, lo que podríamos denominar el cuerpo básico de doctrina para las ecuaciones diferenciales se ha ido decantando a lo largo de los últimos cuatro siglos, conforme aparecían y se iban resolviendo los problemas que en cada momento histórico suscitaban el interés de los expertos. Como estos problemas eran y son de índole muy diversa (unos de inspiración física, otros provenientes de la Astronomía, algunos planteados por fenómenos de la Química o la Ecología...), nos encontramos con un riquísimo acervo de conocimientos y, entre ellos, los interesantes para un químico pueden tener escasa importancia para un biólogo, así como los fundamentales para un físico antojarse irrelevantes al economista. En definitiva, si uno explica el clásico curso estándar de Ecuaciones Diferenciales al alumnado de una carrera de Ciencias, es probable que buena parte de lo que se enseñe carezca de interés real para el auditorio al que va destinado. Parece entonces preferible remitirse a los textos propios de la licenciatura que se está impartiendo, y entresacar de ellos las ecuaciones diferenciales que se van a V

8 VI INTRODUCCIÓN necesitar. Sin embargo también ahora surgen problemas, ya que el usualmente escaso (por no decir raquítico) sustrato matemático en el que se apoyan las explicaciones fuerza a no tratar problemas de evidente interés pero cierta dificultad, o a estudiarlos de forma tan críptica que poco o nulo provecho puede sacar el lector poco avezado. El presente Texto-Guía intentar alcanzar un compromiso entre los dos enfoques (ambos, en nuestra opinión, erróneos), tratando con la adecuada solvencia matemática problemas que sean de verdadero interés para los alumnos hacia los que se enfoca, que son primordialmente los de las titulaciones de Licenciado en Ciencias Químicas e Ingeniero Químico. De hecho, los Capítulos I y II están diseñados para cubrir la asignatura de 4.5 créditos Ampliación de Matemáticas de la primera, y complementados con (parte de) los contenidos de los Capítulos III y IV podrían constituir los 6 créditos de la asignatura Ecuaciones Diferenciales de la segunda. Nótese que el título de este trabajo hace también alusión a las Ciencias Físicas, y es que una buena porción de los dos últimos capítulos tiene buen encaje en la asignatura Ecuaciones Diferenciales de esta ultima licenciatura. Hemos estructurado cada uno de los cuatro capítulos del Texto-Guía conforme a un esquema similar. Tras una breve introducción en la que se describen los contenidos a grandes rasgos y se enumeran los objetivos fundamentales que pretenden alcanzarse, se pasa al desarrollo de la materia a estudiar; hemos incluido una considerable cantidad de Actividades Prácticas al objeto de entrenar y/o ilustrar los conocimientos explicados previamente. Vienen a continuación una cantidad suficiente de ejercicios, divididos en los bloques Actividades de Aplicación y Ejercicios de Evaluación; en el segundo se han seleccionado algunos que nos parecen de especial relevancia, y de hecho unos cuantos están extraídos de los exámenes que hemos planteado a nuestros alumnos los años precedentes. Culmina cada capítulo la bibliografía recomendada para el mismo; adviértase que un mismo libro puede aparecer citado varias veces. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LAS C. QUÍMICAS Y FÍSICAS