Exponencial, lineal y logarítmico

Transcripción

1 Exponencial, lineal y logarítmico Se verán en este apartado ejemplos de procesos que cursan en un número de pasos exponencial, lineal o logarítmico en la talla de la entrada. Para ilustrar estos procesos se utilizará la sucesión de Fibonacci. 1 Exponencial. La función (o sucesión de Fibonacci se define como la aplicación f : N N tal que f(0 = 0 f(1 = 1 (1 f(n +2 = f(n +1+f(n, (n N En la tabla adjunta se exponen los valores de f(i, (0 i 9 i f(i En términos de procedimientos la definición (1 se escribe: (define (fib n (cond ((= n 0 0 ((= n 1 1 (else (+ (fib ( n 1 (fib ( n 2 (2 Se trata de una definición doblemente recursiva que genera procesos que conllevan un número de pasos exponencial en n y consumen memoria también exponencial en n. Como ejemplo, nótense los tiempos de ejecución (en milisegundos, correspondientes a valores de n en el rango 20 a 27: n tiempo Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de

2 2 Lineal. Versión iterativa de la función de Fibonacci: Sea f 2 : N N N N la función tal que f 2 (u, v, 0 = u, (u, v N (3 f 2 (u, v, n +1 = f 2 (v, u + v, n, (u, v, n N Se prueba por inducción sobre n (ejercicio que De donde, en particular, se obtiene: f 2 (u, v, n +1=f(nu + f(n +1v, (n N f 2 (0, 1,n=f(n, para todo n N (4 Las relaciones (3 y (4 proporcionan un método para calcular f(n de modo iterativo. En términos de procedimientos pondremos, por (3: (define (fib2iter u v ind (if (= ind 0 u (fib2iter v (+ u v ( ind 1 (5 y, por (4: (define (fib2 n (fib2iter n (6 O bien, pasando a iteración explícita: (define (fib3 n (do ( (u 0 v (v 1 (+ u v (ind n ( ind 1 ((= ind 0 u El procedimiento fib3 genera procesos iterativos que consumen memoria constante, salvo la talla de los enteros (nótese que fib3(32000 tiene 6688 dígitos en base 10, y con un número de pasos que crece linealmente con la talla de la entrada. 2.1 Ejercicio. Calcula el tiempo de ejecución de (fib y de(fib Pueden usarse expresiones de la forma (time (fib4 xxxx (void 2.2 Ejercicio. Realizar una tabla de tiempos de ejecución de (fib3 n para los siguientes valores de n: n = 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de

3 Usar expresiones de la forma indicada en el ejercico precedente, o bien expresiones del tipo (time (fib4 xxxx (void. Comentar los resultados observados. 3 Logarítmico. Las primeras potencias de la matriz F = 1 1 son F 0 =, ( F = F 1 =,F = F 4 = 2 3,F 5 = ,F 6 = 5 8,F 3 = ( , 2 3,F 7 =... Proposición. Se tienen: F 0 = 1 0 y, para todo número natural n, f(n f(n +1 F n+1 = f(n +1 f(n +2 Demostración. Inducción sobre n: F n+2 = F n+1 F = f(n f(n +1 = f(n +1 f(n f(n +1 f(n+f(n +1 f(n +1 f(n +2 = = f(n +2 f(n +1+f(n +2 f(n +2 f(n +3 Corolario. Para todo número natural n, el término f(n de la sucesión de Fibonacci coincide con el coeficiente (1, 2 de la matriz potencia F n. (F n 1,2 = f(n ( 7 Puesto que todas las potencias F n, (n N, son de la forma, b a+ b Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de

4 ( podemos representar dichas matrices por el par (a, b: (a, b b a+ b 8 Consideremos el conjunto F de todas las matrices 2 2 de la forma con b a+ b coeficientes en el conjunto de los enteros. El conjunto F con la multiplicación de matrices es un monoide: La unidad es la matriz ( 1 0 Si U, V F, digamos p q U =,V =, b a+ b q p+ q entonces ap + bq aq + bp + bq UV = bp + aq + bq 2bq + ap + bp + aq En consecuencia, si U F está representada por (a, b, y V F está representada ( por (p, q, entonces la matriz producto UV pertenece a F y está representada por ap+bq, aq +b(p+q ; en particular, la matriz U 2 está representada por (a 2 +b 2, 2ab+b 2 : U (a, b UV ( ap + bq, aq + b(p + q (9 = V (p, q U 2 ( a 2 + b 2, 2ab + b 2 ( Nótese también que la matriz unidad I 2 = está representada por el par (1, 0: y que la matriz F está representada por el par (0, 1: I 2 (1, 0 (11 F (0, 1 (12 Recordemos el método para el cálculo de potencias de exponente entero no negativo en un número de pasos logarítmico en la talla del exponente. En un monoide M =(M, con unidad e se tiene, para todo m M,n N: m n = e, si n =0 =(m n/2 2, si n es par = m m n 1, si n es impar Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de

5 En nuestro caso, la unidad e es el par (1 0 (por (11 lase m es un par de enteros ( (por (8 (define (potmatriz m n (cond ((= n 0 (list 1 0 ((even? n (cuadradomatriz (potmatriz m (/ n 2 (else (multmatriz m (potmatriz m ( n 1 Se multiplica una matriz representada mediante ( por una matriz representada mediante (p q usando (9: (define (multmatriz m1 m2 (let ((a (car m1 (b (cadr m1 (p (car m2 (q (cadr m2 (list (+ (* a p (* b q (+ (* a q (* b (+ p q Y el cuadrado de una matriz representada mediante ( se realiza usando (10: (define (cuadradomatriz m (let ((a (car m (b (cadr m (let ((b2 (* b b (list (+ (* a 2 (+ (* 2 b2 Finalmente, el término f(n de la sucesión de Fibonacci viene dado, según (12 y (7, por el procedimiento: (define (fib4 n (cadr (potmatriz (list n Aquí el par ( representa a la matriz F, n es el exponente y cadr selecciona el segundo elemento de un par. Ejemplo: (fib Ejercicio. Realizar una tabla de tiempos de ejecución de (fib4 n para los siguientes valores de n: n = 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000, Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de

6 Usar expresiones de la forma (time (fib4 xxxx (void Comentar los resultados observados y compararlos con los tiempos del ejercicio análogo (ejercicio 2.2 para fib3. Comparar esos mismos resultados con los de la primitiva fibonacci de Maple (en el paquete de funciones combinatorias combinat; úsese en la forma: t := time(: combinat[fibonacci](n: time( t; 3.2 Ejercicio. El procedimiento potmatriz es recursivo y genera procesos recursivos. Programar las versiones recursivo-iterativa (potmatriz2 e iterativa (potmatriz3, así como los respectivos procedimientos para el cálculo del término n de la sucesión de Fibonacci. 3.3 Ejercicio. Definir un procedimiento fibmod para el cálculo del término n de la sucesión de Fibonacci módulo un entero m. La evaluación de (fibmod n m deberá devolver el valor de f(nmod m, pero debe hacerlo de modo eficiente. Programación en Matemáticas. Carlos Ruiz de Velasco y Bellas, Universidad de Cantabria, Santander. 25 de noviembre de