Capítulo 2 Ecuación de Oscilación y Consideraciones Mecánicas
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- Diego Caballero Villanueva
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1 ELC-3054 Sistemas de Potencia II Capítulo Ecuación de Oscilación y Consideraciones Mecánicas Prof. Francisco M. González-Longatt fglongatt@ieee.org
2 Sistemas de Potencia II Ecuación de Oscilación Consideraciones Mecánicas
3 Introducción El estudio de estabilidad en régimen transitorio de un sistema de potencia, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema; Debido a que después de un reajuste de potencia, los rotores han de ajustar sus ángulos relativos para satisfacer las condiciones de carga impuestas. Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad.
4 Introducción Debido a la necesidad de comprender los transitorios mecánicos en las máquinas, se hace necesario establecer una serie de consideraciones mecánicas. jx
5 Consideraciones Mecánicas El estudio de un sistema de potencia para establecer su estabilidad en régimen transitorio, acarrea consigo una serie de consideraciones sobre algunas propiedades de carácter mecánico de las máquinas del sistema Los fenómenos originados son de naturaleza eléctrica y mecánica, y es necesario tener presente ambos en el estudio de estabilidad jx
6 Consideraciones Mecánicas Movimiento lineal Rotación Cantidad Símbolo/Ec uación Unidades MKS Cantidad Símbolo/ Ecuación Unidades MKS Longitud s Metro (m) Desplazamiento angular θ Radianes (rad) Masa M Kilogramo (Kg) Momento de Inercia J r dm Kg.m Velocidad v ds dt Metro/segundo (m/s) Velocidad angular dθ ω dt Rad/s Aceleración a dv dt m/s Aceleración angular dω α dt Rad/s Fuerza F Ma Newton (N) Torque T Jα N-m o J/rad Trabajo W Fds Joule (J) Trabajo W Td θ J o W.s Potencia p dw dt Watt (W) Potencia p dw dt W
7 Consideraciones Mecánicas En esencia un cuerpo movimiento posee asociado una cierta energía cinética (E c ), que puede ser expresada para el caso del movimiento lineal: v M Ec 1 Mv
8 Consideraciones Mecánicas En esencia un cuerpo en rotación posee asociado una cierta energía cinética (E c ), que puede ser expresada por: Ec 1 Iω Siendo I el momento total de inercia del cuerpo rotante [Joule-sec /rad ], y la velocidad angular con que rota el cuerpo [rad/sec]. ω
9 Consideraciones Mecánicas La cantidad de movimiento (P), en el caso del movimiento lineal viene dado por: P Mv v M
10 Consideraciones Mecánicas El dual giratorio de la cantidad de movimiento, es el momento angular [Mega-Joule-sec/rad]. M Iω Generalmente se expresa como el producto del momento de inercia I y la velocidad angular ω. ω I
11 Consideraciones Mecánicas El momento angular M, se suele confundir con otro cierto término, denominado constante de inercia, H, esta se define como la energía almacenada por una máquina a la velocidad sincrónica por la potencia en régimen de la máquina. H Energia almacenada a velocidad sincronica regimen de la maquina en MVA y se denota: G régimen de la máquina en MVA GH Energía almacenada en MegaJoulio ω
12 Consideraciones Mecánicas Si la energía almacenada en una parte giratoria, se encuentra en forma de energía cinética, se puede decir: E c GH Ec 1 Iω E c M ω ω
13 Ecuación de Oscilación 1 ω E GH Iω M c Si se considera en estos instantes, que la parte giratoria, corresponde al rotor de una máquina que gira a una velocidad ω en grados eléctricos por segundo, entonces, se puede estimar la velocidad en función de la frecuencia ωπf, siendo f la frecuencia en ciclos por segundo (Hz)
14 Consideraciones Mecánicas Se puede realizar la observación que el momento angular M, depende del tamaño y tipo de máquina, mientras que H, no varía mucho con el tamaño GH M M GH 180 f 360 f Mega - Joule Grados Electricos
15 Consideraciones Mecánicas H Energia almacenada a velocidad sincronica y se denota : regimen de la maquina en MVA G régimen de la máquina en MVA Utilizando la notación antes establecida se reduce: GH Energía almacenada en MegaJoulio
16 Consideraciones Mecánicas Valores típicos de H Rotor Liso 4 a 6 Rotor de polos Salientes 3 a 5 Construcción de tipos de rotores (a) rotor cilíndrico (b) rotor de polos salientes
17 Consideraciones Mecánicas Unidad S rated (MVA) MWsec H mach MWS/S rate H sys MWsec/100 d H H H F F F CF1-HP CF1-LP N N SC SC
18 Sistemas de Potencia II Ecuación de Oscilación Ecuacion de Oscilacion
19 Ra jx s E f + I t + V t
20 Ecuación de Oscilación Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a una barra de potencia infinita: X d X T X LT G T LT Barra Barra de de potencia infinita infinita
21 Ecuación de Oscilación Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a una barra de potencia infinita: X d X T X LT G T LT X X + X + s d T X LT Se Se obtiene obtiene una una reactancia equivalente
22 Ecuación de Oscilación Suponga ahora, una máquina sincrónica conectada a una barra de potencia infinita, que durante su operación esta puede entregar una potencia que viene dada por: jx d jx + + E I T jx LT V X X + X + s d T X LT P E V X s senδ
23 Ecuación de Oscilación Si no se considera: el par originado por el rozamiento mecánico, el rozamiento del aire, pérdidas en el núcleo, pérdidas por corrientes de Focault en los arrollados amortiguadores, entonces cualquier P diferencia entre la acel Pmec Pelec potencia mecánica (P mec ) y la eléctrica (P elec ) debe actuar sobre la máquina como
24 Ecuación de Oscilación Esta potencia acelerante es causada por una diferencia entre el torque mecánico y el electromagnético. En función de la energía cinética del rotor, la potencia acelerante queda expresada por: P acel T ω acel Incluyendo la relación entre el torque de aceleración y el momento de inercia : T acel Iα
25 Ecuación de Oscilación Si se aplica la segunda Ley de Newton aplicada a los torques, resulta: ω + T mec T elec - d θ I mec T T T mec elec dt T acel
26 Ecuación de Oscilación En donde, es la aceleración angular. En el rotor de la máquina, se hacen presentes dos torques, T elec el torque electromagnético y T mec el torque mecánico. Si se aplica la segunda Ley de Newton aplicada a los torques, resulta: d θ mec T I Tmec Telec dt T acel ω T mec T elec
27 Ecuación de Oscilación El torque acelerante, será positivo, si el torque mecánico supera al electromagnético, con lo que la máquina se acelera; caso contrario pierde aceleración T acel > 0 Sea θ mec el ángulo de rotor medido respecto a una referencia ω s, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad sincrónica.
28 Ecuación de Oscilación Sea θ mec el ángulo de rotor medido respecto a una referencia ω s, la velocidad sincrónica de la máquina y δ el desplazamiento angular del rotor respecto a un eje que gira a velocidad ω sincrónica. Refererencia θ mec δ + ω s t ω
29 Ecuación de Oscilación ω Refererencia θ mec δ + ω s t ω θ dθ d mec dt θ dt mec δ + ω t mec dδ + ω s dt d dt s δ
30 Ecuación de Oscilación Se deduce que la aceleración absoluta es igual a la relativa δ d I T T T mec elec dt acel multiplicando por la velocidad angular rotorica en ambos lados de la ecuación anterior se reduce : d δ ω I ωt ω mec T ω elec T dt T acel
31 Ecuación de Oscilación por la definición de momento angular resulta : d δ M ' Pmec Pelec dt donde M' es por: M ' Iω ωm M ' ω s ωiω ω s s P acel
32 Ecuación de Oscilación La cantidad es conocido como el momento angular a velocidad sincrónica de la máquina. Rescribiendo la ecuación resulta: ω d δ M Pmec Pelec ω dt s se puede realizar la aproximación que ω ω s 1 acel ya que la variación de velocidad es menor al 3%, con lo que resulta P
33 El momento angular de M de una máquina, no es constante, puesto que varía la velocidad angular, pero puede considerarse constante, Ya que la velocidad de la máquina no varía considerablemente de la velocidad sincrónica, siempre que no se sobrepase el límite de estabilidad. M ' ω M ω 1 M ' M ω s ω s
34 Ecuación de Oscilación δ d M P P mec elec dt P acel La ecuación anterior recibe el nombre de ecuación de oscilación y caracteriza la reposición del rotor de la máquina sincrónica durante la perturbación. La ecuación de oscilación es una ecuación diferencial trascendental de segundo orden y su solución da origen a una integral elíptica
35 Ecuación de Oscilación La ecuación de oscilación puede ser tratada en cantidades por unidad : M J GH ω s GH d δ ω s dt P mec P elec P acel
36 Ecuación de Oscilación GH d δ ω dt s P mec acel supóngase que se divide en ambos miembros de la expresión por la potencia base S base Hb d δ ω dt s H ω s b d P dt mec δ S P base P elec P elec acel P [ p.u] P S acel base
37 Ecuación de Oscilación H ω s b d dt δ acel [ p.u] donde H b : es la constante de inercia de la máquina en la nueva base (GH S base H b ). Se realiza el cambio se obtiene: H πf b d dt δ P P acel
38 Ecuación de Oscilación En forma de radianes eléctricos: H π f b d δ P acel dt δ: Radianes eléctricos. f s : Hertz.
39 Ecuación de Oscilación En la forma de grados eléctricos: H 180 b d δ P acel f dt δ: Grados eléctricos. f s : Hertz.
40 Constantes de Inercia y Aceleración Existe una variedad de métodos, con los cuales es posible deducir la entrada eléctrica y la salida de cada máquina como una curva simple potencia ángulo, o una extensión trigonométrica simple con el ángulo entre la Fuerza Electro Motriz (FEM) interna como la variable. La potencia acelerante (P acel ) depende de la condición de operación inicial y de la diferencia entre la entrada y la salida, incluyendo el efecto de las pérdidas.
41 Constantes de Inercia y Aceleración Entonces para un generador la potencia acelerante es la variable, ΔP es: Δ 0 ( P L) P Pi + donde: Pi es la entrada mecánica, P 0 es la salida eléctrica y L es la pérdida total. En un motor sincrónico la ecuación anterior es similar en significado, pero el signo numérico de las fuerzas acelerantes es negativo cuando la entrada es menor que la salida más las pérdidas.
42 Constantes de Inercia y Aceleración La inercia de una máquina sincrónica varía a través de un ancho rango dependiendo principalmente de la capacidad y velocidad y en que inercia adicional ha sido intencionalmente agregada. Las constantes varían a través de un relativamente estrecho margen si ellas son expresadas en términos de la energía almacenada por KVA de capacidad.
43 Constantes de Inercia y Aceleración La relación entre la energía almacenada H y WR es dado por la siguiente expresión: H KWatt seg KVA WR 0.31 ω 10 S donde WR es el momento de inercia en libras-pies al cuadrado y ω es la velocidad en revoluciones por minuto (rpm). 6
44 Constantes de Inercia y Aceleración Las constates de inercia varía a través de un rango desde menor a uno hasta alrededor de diez kilowattsegundos por KVA, dependiendo del tipo de aparato y la velocidad. Además el control de la inercia es uno de los métodos posibles de aumentar la estabilidad del sistema.
45 Constantes de Inercia y Aceleración Frecuentemente es conveniente cuando se desprecia las pérdidas reemplazar un sistema de dos máquinas, cada una con inercia finita, por otro sistema consistente de una máquina con una inercia equivalente y una segunda máquina con una inercia infinita. Por estos medios, el problema es reducido a un sistema de una sola máquina.
46 Constantes de Inercia y Aceleración Si las energías almacenadas de las máquinas son H a KVA a y H b KVA b, entonces la constante de inercia equivalente de uno de ellos es H eq (a) es dada por: H eq( a) 1+ H a H akva H KVA b a b
47 Constantes de Inercia y Aceleración En este método, la aceleración, velocidad, y fase que relaciona la máquina seleccionada son obtenidas con relación a la otra máquina como referencia. Cuando pérdidas, cargas intermedias, o más de dos máquinas están consideradas, es necesario usar el método más general donde la relación de aceleración absoluta, velocidad y ángulo de cada máquina son separadamente determinada.
48 Constantes de Inercia y Aceleración Con la constante de tiempo, H, y la potencia acelerante o desaceleante, ΔP, es posible calcular la aceleración por medio de la siguiente ecuación: 180 fδp α HS Donde α es la aceleración o desaceleración de ángulos eléctricos por segundo por segundo, f es la frecuencia del sistema en ciclos por segundo, ΔP, es la potencia de aceleración (o desaceleración) en KiloWatt, H es la constante de inercia de inercia en KiloWatt-Segundos/KVA.
49 Calculo de H Se tiene que la energía almacenado en movimiento giratorio del un cuerpo viene dado por: Energía almacenada Energía cinética 1 [ W s] E c Jω. 1 6 [ ] E c Jω 10 MW. s Donde J: Momento de inercia en Kg-m, ω: velocidad nominal en rad/seg.
50 Calculo de H De tal modo que resulta: H H 1 J 1 Jω MVA no 10 RPM π 60 MVA no 6 min al min al 10 6 H ( RPM ) 9 J 10 MVA no min al 6
51 Calculo de H Algunas veces el momento de inercia del rotor es dado en términos de WR, lo cual es igual al pero de las partes giratorias multiplicado por el cuadrado de los radianes de giro en lb.ft. 1m 1kg 1slug 3.81 ft.05lb ft slug 1.356kg Entonces el momento de inercia en slug.ft WR /3.. m
52 Calculo de H Las siguientes relaciones entre las unidades MKS y las unidades inglesas es útil para convertir de WR a J: 1m 3.81ft 1kg 1slug.05lb ft slug 1.356kg m
53 Calculo de H El momento de inercia J en kg-m a WR es: J De modo que resulta: WR H MVA ( WR) ( RPM ) [ MW s / MVA] no min al
54 Amortiguamiento El principal factor de amortiguamiento cuando el rotor de una máquina tiende a separarse de la velocidad sincrónica, se debe a los devanados amortiguadores. En general el amortiguamiento esta fuertemente relacionado con la velocidad relativa de la máquina. Si la potencia del amortiguamiento es proporcional a la velocidad resulta: P amortig K 0 dδ dt
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