DISEÑO DE UN "SIMULADOR ELIPSOMETRICO" PARA ESTUDIAR LA EXACTITUD EN LAS MEDICIONES DE LAS CONSTANTES OPTICAS DE PELICULAS ULTRAFINAS.

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1 DISEÑO DE UN "SIMULADOR ELIPSOMETRICO" PARA ESTUDIAR LA EXACTITUD EN LAS MEDICIONES DE LAS CONSTANTES OPTICAS DE PELICULAS ULTRAFINAS. Muñoz Rafael A., García Rodolfo, González de Clamens Zaida Universidad de Carabobo. Facultad de Ingeniería. Departamento de Física. (Proyecto Financiado por el CODECIH-.U.C) RESUMEN Este artículo presenta un paquete de computación en Lenguaje Basic que resuelve la ecuación básica de la Elipsometría para la determinación de las constantes ópticas y el espesor de películas finas y que permite adicionalmente estudiar mediante simulación, la exactitud de los resultados como función de los errores en la medición de las variables experimentales. El diseño del programa reúne las siguientes características: aplicable a películas finas y ultra finas, alta precisión, tiempo corto de respuesta, fácil manejo por parte del usuario y visualización en todo momento de resultados parciales o totales. 1. INTRODUCCION El sistema típico que se estudia mediante la elipsometría, consiste en una película de índice de refracción N 1, y espesor d sobre un substrato absorbente de índice de refracción N 2, inmerso en une medio de índice no. Todos los medios se consideran isotrópicos, siendo n 0 un índice de refracción real mientras que N 1, y N 2 pueden ser complejos, de la forma n i k donde n y k son los llamadas constantes ópticas de la películas. Considere un rayo de luz, de longitud de onda λ que incide en la interfaz entre el medio de inmersión y la película, fig. 1, los coeficientes de reflexión R p y R s, para las componentes paralela y perpendicular al plano de incidencia están dados respectivamente por las siguientes ecuaciones (1). donde λ, es el cambio de fase de la luz causada al atravesar la película, dado por la expresión

2 Figura 1. Reflexión de luz linealmente polarizada en la interfase (0,1) Los r ij denotan los coeficientes de Fresnel para las reflexiones en los planos de la película, como funciones de los índices de refracción, el ángulo de incidencia 0 y los ángulos de refracción 1 y 2 - (fig. 2), tal como se presentan en las siguientes ecuaciones. La elipsometría relaciona el arcotangente de la atenuación relativa de las amplitudes de R p y R s y el cambio de fase relativo, a través de la siguiente ecuación conocida como la ecuación básica de la elipsometría. Esta ecuación representa un conjunto de dos ecuaciones: donde f 1 es la magnitud de la relación entre los coeficientes de reflexión, y f 2 representa el desfasaje entre dichos coeficientes. El sistema de ecuaciones (9) y (10) se resuelve para las incógnitas N 1, y d, conocidos n 0, N 2, 0, ψ, 0 y, y λ.

3 2. SOLUCIONES DE LA ECUACION BASICA DE LA ELIPSOMETRIA El programa desarrollado resuelve la ecuación de la elipsometría para los casos que permiten determinar: - Constantes ópticas del substrato cuando está libre de película. - Espesor de la película conocido su índice de refracción. Figura 2. Reflexión múltiple en una película delgada - Indice de refracción de una película absorbente conocido su espesor. - Indice de refracción y espesor de películas transparentes. Las características de la ecuación implican la aplicación de diferentes métodos de solución de acuerdo a los datos y al rango del espesor considerado. (2,3) 2.1. METODO DE SOLUCION DE DITCHBURN PARA SUPERFICIES LIMPIAS. En esta condición, el espesor de la película es cero (d=0) y la ecuación (8) puede resolverse analíticamente para las constantes ópticas del substrato (n y k). Ditchburn (4) obtuvo la solución en una forma apropiada para utilizar en computación De las ecuaciones (11) y (12) se obtienen n y k según:

4 donde Este caso aunque sencillo, permite calcular las constantes ópticas de una superficie metálica limpia y observar cambios en las mismas por efectos contaminantes METODO DE MC CRACKIN PARA CALCULAR ESPESORES DE PELICULAS ABSORBENTES Y TRANSPARENTES. En este método (5) se ordenan los términos de la ecuación de la elipsometría hasta lograr una forma cuadrática: donde La solución de la ecuación (17) es de la forma: Se calcula D a partir de (22) y sustituyendo este valor en (18) se obtiene el espesor buscado. El método tiene las siguientes limitaciones: a) La necesidad de conocer el índice de refracción de la película. b) Cuando este índice se aproxima al del medio de inmersión, se pierde mucho la sensibilidad para determinar el espesor. Tiene como ventajas la facilidad de programación y que el espesor puede ser determinado precisamente hasta para películas muy delgadas METODO DE REINBERG PARA DETERMINAR EL INDICE DE REFRACCION DE LA PELICULA CUANDO EL ESPESOR ES CONOCIDO. Este método (6) se basa en la forma cuadrática de Mac Crackin (ecuación (l7)), cuya solución es en general un número complejo Z:

5 pero se conoce que la solución de (17) es De (23) y (24) resulta que p = 1; es decir que la solución de la ecuación cuadrática que se obtiene utilizando (22) y que es una función del índice de refracción n 1 de la película, tiene como módulo la unidad. Por lo tanto ln ρ = 0. Utilizando una aproximación iterativa para el índice de refracción de la forma el procedimiento consiste en dar un valor inicial al índice de refracción de la película (n 1 ); luego se selecciona la solución de (22) con el valor de ln ρ lo más cercano a cero, seguidamente se calcula un valor de n 1 utilizando (25). El ciclo se repite hasta que la diferencia entre dos valores consecutivos de n, sean menores que un valor establecido. Entonces se evalúa el espesor de la película según la ecuación (24). El método presenta facilidad de programación y el algoritmo converge rápidamente a la solución inclusive si los valores iniciales estimados del índice de refracción difieren mucho del valor real. Sin embargo, para espesores muy delgados de películas, la magnitud de Z se aproxima a la unidad ( p 1) para cualquier valor del índice de refracción n 1, por lo cual, el método tiene problemas de convergencia en estos casos PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR TABLAS DE 'h Y 0 EN FUNCION DEL INDICE DE REFRACCION Y EL ESPESOR DE LA PELICULA. El uso de tablas tiene gran aplicación cuando no es posible tener a mano un computador que nos dé a corto plazo la respuesta buscada. Con este propósito en mente, el programa desarrollado en este trabajo permite elaborar tablas de ψ y para uso posterior. El procedimiento es el siguiente: Se toman como datos fijos: 0, n 0, n 2 y λ. Se inicia el proceso con un valor dado de n 1, y con un valor d=0 para el espesor de la película. Se evalúan los coeficientes de Fresnel según la ecuaciones (4), (5), (6) y (7) y luego los coeficientes Rp y Rs utilizando (1) y (2). A continuación se resuelve la ecuación de la elipsometría para ψ y. Se da incremento al espesor (50 Å) y se repite el procedimiento hasta llegar a un espesor prefijado. Como ψ y son funciones periódicas del espesor, las tablas se repiten con un período de 180 para δ, por lo tanto se utiliza como espesor máximo en las tablas, aquel correspondiente a este valor METODO DE YORIUME PARA DETERMINAR EL INDICE DE REFRACCION Y EL ESPESOR DE PELICULAS ULTRAFINAS. El principio del método se basa en la comparación numérica entre los valores teóricos de los coeficientes de Fresnel Rp y Rs con los respectivos valores calculados a través de la ecuación básica de la elipsometría (7). Si se multiplica la ecuación (2) por tanψ e i se obtiene la siguiente relación

6 La cual permite calcular el valor de Rp elipsométrico cuando el Rs teórico coincide con el Rs elipsométrico. Así, en estas circunstancias Rs. tanψ e i = Rp elipsométrico. (27) Este valor de Rp elipsométrico calculado a partir de los valores de ψ y, debe coincidir con el resultado obtenido a través de la ecuación (1). Las amplitudes complejas Rp y Rs conforman un conjunto de transformaciones lineales, de una variable z, definida por Z = e -i2 δ (28) Si δ toma valores reales, z traza círculos de radio 1 en el plano complejo. Se definen las variables complejas η 1 y η 2 por η 1 = R p (29) η 2 = Rs tan ψ e i (30) Dado que R s y R p representan transformaciones bilineales de la variable compleja z, η 1 y η 2 trazan círculos individualmente. Si n 1, y d corresponden a los valores medidos de ψ y, entonces η 1 y η 2 toman el mismo valor, dado por las coordenadas de intersección de los dos círculos. La Figura 3 muestra esquemáticamente la intersección de los dos círculos. Las coordenadas є del centro y los radios τ de los círculos están dados por las siguientes expresiones

7 Figura 3. Intersección de los círculos n 1 y n 2 Para determinar las coordenadas (x,y) de los puntos de intersección de los círculos, el procedimiento numérico requiere determinar las coordenadas (E x,e y ) del centro y los respectivos radios, τ, a partir de las ecuaciones de los círculos en el plano complejo Una vez calculadas las coordenadas de las intersecciones de los círculos η 1 y η 2, se deben calcular los factores de fase δ 1 y δ 2 invirtiendo las ecuaciones (29) y (30). Cuando se obtiene la solución correcta el factor de fase δ toma el mismo valor independientemente si se calcula a partir de la ecuación (37) o la ecuación (38). En la práctica se parte de un valor estimado del índice de refracción de la película n 1, y se calculan los coeficientes teóricos de Fresnel R p y R s, lo cual permite obtener las ecuaciones de los círculos η 1 y η 2. Seguidamente se determinan las coordenadas de intersección de estos círculos y se calculan los factores de fase s 1, y s 2 respectivamente. Si estos valores no coinciden se repite el procedimiento, utilizando un nuevo valor del índice de refracción n 1, hasta lograr que δ 1 - δ 2 < un valor permisible. 3. DESCRIPCION GENERAL DEL PROGRAMA El programa se diseñó de una manera modular, mediante la integración de los diferentes métodos de solución de la ecuación básica de la elipsometría, aplicando cada método de acuerdo a los datos y a sus limitaciones en cuanto a rapidez de las soluciones y dependencia del rango del espesor calculado. Adicionalmente se diseñó un menú que facilitara su operación, para permitir que sea usado por operarios de laboratorio con poca experiencia

8 en computación. Seguidamente se describirán, desde el punto de vista funcional, tanto el programa principal como las subrutinas del mismo PROGRAMA PRINCIPAL Es el encargado de inicializar los diferentes arreglos y variables que se requieren. Presenta en pantalla un menú general contentivo de las diferentes opciones de tal manera que el usuario pueda llamar una cualquiera de ellas con sólo pulsar una tecla. (Figura 4). Figura 4. Menú principal 3.2 SUBRUTINA DATOS Se encarga de presentar en pantalla un segundo menú en donde solicita los datos requeridos de acuerdo a la opción elegida. En la Figura 5 se presenta el menú DATOS correspondiente a la opción No. 6, como ejemplo típico. Figura 5. Menú caso 6 generado por subrutina DATOS

9 3.3. SUBRUTINAS CALCULO No. 1 Realiza los cálculos comunes a todos los casos, a saber: determinación de senos y cosenos de los ángulos de incidencia y refracción y los coeficientes de reflexión de Fresnel (r 0l ) p, (r 01 ) s, (r 12 ) p y (r 12 ) s SUBRUTINA CALCULO No. 2 Calcula los coeficientes de reflexión R p y R s y los valores de ψ y que satisfacen la ecuación de la elipsometría SUBRUTINA CALCULO No. 3 Encargada de encontrar las soluciones de la ecuación básica de la elipsometría mediante el método cuadrático de Mac Crackin SUBRUTINA CALCULO No. 4 Contiene el algoritmo necesario para determinar el espesor e índice de películas ultrafinas mediante el método de transformaciones conformes. La Figura 6 presenta un diagrama de flujo funcional del método. Aunque para este método se fijó un límite máximo de espesor igual a 400 Å, se ha comprobado que funciona bien hasta unos 650 Å. Algo parecido sucede con el método de Reinberg; tal y como aparece en el menú principal, se le fijó un límite inferior de 400 Å pero también se ha demostrado que es válido hasta unos 200 Å. Esta superposición en el rango de 200 a 650 Å en el cual ambos algoritmos son eficientes, permitió realizar ciertas comparaciones respecto al tiempo requerido para obtener los resultados y a la precisión de los mismos SUBRUTINA CALCULO DE ERRORES. Esta subrutina provee al investigador de una poderosa herramienta que le permite simular condiciones experimentales reales, dándole la posibilidad de estudiar la exactitud de las soluciones para el índice de refracción de la película y el espesor de la misma en función de los errores presentes durante la medición de los parámetros involucrados (ψ, ). Es imprescindible que el usuario conozca el orden de magnitud de la película a fin de poder seleccionar entre dos posibles opciones de cálculo de errores, dependiendo de si el espesor es superior o inferior a 400 Å (Figura 7). A continuación, se calcula el espesor e índice de la película con los valores medidos de los parámetros ψ y ; y luego se repiten los mismos cálculos pero variando uno a la vez, cada uno de los parámetros antes mencionados. En la Figura 7, se presenta un diagrama de flujo de esta subrutina.

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12 3.8 SUBRUTINA PRINTER Es la encargada de producir reportes escritos totales o parciales según lo desee el investigador y de acuerdo a la opción seleccionada en el menú principal. 4. ANALISIS Y DISCUSION DE RESULTADOS La validez y confiabilidad de los resultados se comprobó mediante la comparación de los mismos con los presentados por otros autores. La Tabla 1, muestra los valores del espesor e índice de refracción de películas de Dióxido de Silicio sobre un substrato de Silicio, comparando los resultados obtenidos por el método de transformaciones conformes, el método de Reinberg y los comunicados en la literatura especializad (8). La misma tabla compara el número de iteraciones, (N.1), necesarias para obtener los resultados mediante cada uno de los métodos, considerando el mismo valor de entrada o estimado del índice de refracción de la película.

13 De igual manera, se pueden observar los tiempos de computación requeridos por cada uno de los algoritmos en una microcomputadora de 8 bits. En la Tabla 2 se muestran los resultados para películas de Oxido de Aluminio sobre Aluminio en el rango de 10 a 100 Angstrom de espesor (4). En este rango, los resultados experimentales presentan una incertidumbre del 20%, cuando se emplean otros métodos de medida distintas a los elipsométricos. También se estudió la efectividad del método de transformaciones conformes en situaciones en las que el índice de refracción del medio es cercano al índice de refracción de la película. En este caso el algoritmo permite obtener soluciones correctas, si el n 1, inicial estimado es cercano al valor real. Así este método permite superar limitaciones encontradas con el método de Mc Crackin. (Tabla 3). Con respecto al estudio sobre la exactitud de los resultados se fijó un valor máximo de ± 0.1 para los errores casuales en ψ,, y 0. El error sistemático en estas mismas cantidades se fijó en 0.01 de acuerdo a las especificaciones técnicas de elipsómetros comerciales. Adicionalmente se realizaron los cálculos para un valor intermedio de 0.05 a fin de representar el comportamiento numérico de las soluciones. Los resultados demuestran: i) El grado de exactitud con que se obtienen los valores del espesor d, y el índice de refracción, n 1, de la película depende tanto de la magnitud como del signo de los errores.

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15 Tabla 1. Espesor e Indice de Refracción de Películas de Dióxido de Silicio (S 1 S 2 ) sobre Silicio

16 Tabla 2. Valores del Espesor d, e Indice de Refracción de Películas de Oxido de Aluminio (n 1 =1.635) sobre Aluminio (n , K 2 =6.12), 0 = 63 51, λ = 5490 Å. Tabla 3. Indice de Refracción del Medio Cercano al de la Película RESULTADOS:

17 ii) Para películas ultrafinas (d < 100 Å) las incertidumbres en la medición del azimut ψ son las que afectan en mayor grado los resultados. La tabla 4 muestra los resultados para la película de aceite de silicón sobre oro, en función de los errores. iii) A medida que el espesor de las películas aumenta se hace más relevante el error cometido en la medición del ángulo de incidencia 0, tal como se observa en la Tabla 5, para una muestra de dióxido de silicio sobre silicio. 5. CONCLUSIONES El programa presentado resulta de gran utilidad en la determinación del espesor y el índice de refracción de películas finas y ultrafinas, aún en situaciones en que el índice de refracción del medio es cercano al índice de refracción de la película. El programa permite realizar un estudio de las características más relevantes de un experimento elipsométrico, pudiéndose establecer criterios mínimos indispensables en el diseño, construcción y operación de un elipsómetro. Al mismo tiempo de indicar al investigador cuál de los parámetros debe medir con mayor exactitud de acuerdo al rango del espesor de las películas a medir. Tabla 4. Errores Para Indice de Refracción y Espesor de la Película (Método de Transformaciones Conformes) Tabla 5. Errores para índice de refracción y espesor de la película (Método di Transformaciones Conformes)

18 REFERENCIAS 1) MILIANI DE SOUSA, L. "Estudio de las Propiedades Opticas de Superficies Selectivas por medio de la Elipsometría". Trabajo de Ascenso, Sept Fac de Ingeniería. U.C. 2) GONZALEZ DE CLEMENS, Z. - GARCIA, R. "Soluciones a la Ecuación de la Elipsometría utilizando un microcomputador". Trabajo de Ascenso. Nov, Fac. Ingeniería. U.C. 3) MUÑOZ, R. A. - GARCIA, R. "Inversión de la Ecuación de la Elipsometría y Diseño de Un Simulador Para Estudiar la Exactitud de las Constantes Opticas y el Espesor de Películas Ultrafinas". Trabajo de Ascenso. Nov, Fac. de Ingeniería. U.C. 4) NEAL, W. E. S. "Optical Examination and Monitoring of Surface". Application of Surface Science. Vol. 2 (1979), Pág ) MC CRACKIN, F., PASSAGLIA E., STOMBERG, R. and STEINBERG, H. "Measurement of The Thickness and Refractive Index of Very Thin Films and Optical Properties of Surface by Ellipsometry". Journal of Research of The National Bureau of Standars. Vol, 67 A. No. 4 (1963). Pag ) REINBERG, A. R. "Elipsometer Data Analysis With a Small Programmable Desk Calculator". Applied Optics. 11. No 5 (1972). Pag ) YORIUME, Y. "Method for Numerical Inversion of The Ellipsometric Equation for Transparent Film?. J. Opt. Soc. Am. Vol. 73. No ) VEDAM, K.R, LUKES, F. & SRNIVASAN, R. "Simultaneous and Independent Determination of the Refractive Index and the Thickness of Thin Films by Ellipsometry". Jour. Opt. Soc. Am. Vol. 58 No 4 (1968) pag. 526.