Matemática Aplicada y Computación Gráfica:

Transcripción

1 1/1 Matemática Aplicada y Computación Gráfica: Deformación de Imágenes usando Dinámica de Fluidos. Dalia Melissa Bonilla Correa Orientador: Luiz Velho IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada Rio de Janeiro Marzo, 2012 Cartagena, Colombia

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3 Grado (b) Dalia Bonilla, Luis Guillermo Martinez, /1

4 Cartagena - Rio de Janeiro 4/1

5 5/1

6 6/1 IMPA IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 1 1

7 7/1 Objetivo investigación en matemática formación académica para maestría y doctorado promueve la iniciación científica, para estudiantes de universitarios

8 8/1 Personas 2 Matemáticos brasileños Artur Avila Fernando Codá Marcelo Viana Elon Langes de Lima Manfredo do Carmo Matemáticos latinoamericanos y el mundo Enrique Pujals Jean Cristophe Yoccoz Steve Smale 2

9 9/1 Áreas de Investigación 3 Álgebra Análisis / Ecuaciones diferenciales parciales Geometría Diferencial Sistemas Dinámicos Dinámica Compleja Optimización Dinámica de fluidos Economía Matemática Probabilidades Computación gráfica 3

10 10/1 Biblioteca ejemplares de libros clásicos y modernos, y volúmenes en periódicos y áreas científicas relacionadas. 4

11 11/1 Ubicación Localizado en Horto del Barrio Jardim Botanico, en la ciudad de Rio de Janeiro.

12 12/1 Calendario Verano Marzo/Junio Agosto/Noviembre

13 13/1 Vídeos 5 Actualmente tiene a disposición de la comunidad vídeos de algunos de los cursos dictados en el instituto. 5

14 Visgraf El Laboratorio de VISGRAF se creó el 1989 con el propósito de desarrollar la investigación de Computación Gráfica en el Instituto de Matemática Pura y Aplicada. 14/1

15 15/1 Computación Gráfica Convertir datos en una imagen

16 16/1 Computación Gráfica Cuando manipulamos imágenes en el computador nos enfocamos en tres puntos de vista: Síntesis de imágenes genera una imagen de un modelo geométrico. Procesamiento de imágenes acepta una imagen como entrada y genera una imagen de salida después de un proceso. Análisis de imágenes analiza una imagen con el objetivo de extraer información topológica, geométrica y física de los objetos representados en la imagen.

17 Computación Gráfica 17/1

18 18/1

19 19/1 Imagen D R 2 f

20 Fluidos 20/1

21 21/1 Fluidos El campo de velocidad satisface las ecuaciones de Navier-Stokes u = (u )u + ν 2 u + f, t u = 0 donde u es la velocidad; ν es la viscosidad; f son la fuerzas externas;

22 22/1 Fluidos Consideramos la densidad de una sustancia inmersa en el fluido moviéndose a través del campo de velocidad where ρ es la densidad; κ es la razón de difusión; S son las fuentes de densidad. ρ t = (u )ρ + κ 2 ρ + S

23 23/1 Discretización El dominio es dividido en una malla uniforme con (N + 2)x(N + 2) cuadrados. Figura: u 1,u 2,f, ρ, ϕ

24 24/1 Trabajos Relacionados Figura: Stable Fluids, Jos Stam, 1999.

25 Trabajos relacionados Figura: Real-Time Fluid Dynamics for Games, Jos Stam, /1

26 26/1 Pasos para resolver ENS Temam probó que podemos resolver las ENS en cuatro pasos. u 0 === fuerza u 1 ==== difusión u 2 ===== advección u 3 ====== proyección u 4

27 26/1 Pasos para resolver ENS Temam probó que podemos resolver las ENS en cuatro pasos. u 0 === fuerza u 1 ==== difusión u 2 ===== advección u 3 ====== proyección u 4 Pasos 1. Adición de Fuerzas: u t = f.

28 26/1 Pasos para resolver ENS Temam probó que podemos resolver las ENS en cuatro pasos. u 0 === fuerza u 1 ==== difusión u 2 ===== advección u 3 ====== proyección u 4 Pasos 1. Adición de Fuerzas: u t = f. 2. Difusión: u t = ν 2 u.

29 26/1 Pasos para resolver ENS Temam probó que podemos resolver las ENS en cuatro pasos. u 0 === fuerza u 1 ==== difusión u 2 ===== advección u 3 ====== proyección u 4 Pasos 1. Adición de Fuerzas: u t = f. 2. Difusión: u t = ν 2 u. 3. Advección: u t = (u )u.

30 26/1 Pasos para resolver ENS Temam probó que podemos resolver las ENS en cuatro pasos. u 0 === fuerza u 1 ==== difusión u 2 ===== advección u 3 ====== proyección u 4 Pasos 1. Adición de Fuerzas: u t = f. 2. Difusión: u t = ν 2 u. 3. Advección: u = (u )u. t 4. Proyección: Pu = v, v = 0.

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32 28/1 Warping Intuitivamente warping es una continua deformación de los objetos de una imagen. (a) Imagen Original (b) Resultado del Warping

33 29/1 Aplicaciones del Warping Imágenes medicas. Figura: lecture11_alignment.pdf

34 30/1 Aplicaciones del Warping Corrección de distorsiones. Figura: lecture11_alignment.pdf

35 Aplicaciones del Warping Na industria do entretenimiento. (a) Imagen Original (b) Resultado del Warping 31/1

36 Morphing Transicio n de una imagen en otra. 32/1

37 Fluido y Warping de Imágenes 33/1

38 34/1

39 35/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Viscosidade Forças

40 36/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Viscosidade Forças

41 37/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Viscosidade Forças

42 38/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Forças Viscosidade

43 39/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Forças Viscosidade

44 40/1 Técnica de Viscosidad e Fuerzas (VF) Alta Baixa Forças Viscosidade

45 41/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

46 42/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

47 43/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

48 44/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

49 45/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

50 46/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

51 47/1 Técnica de Viscosidad Variable (VV) Viscosidade Forças

52 Técnica de Viscosidad Variable (VV) 48/1

53 Te cnica de controle Keyframe de Partı culas (KP) Alta fi Baixa Viscosidade Forças fi =?? fi =?? 49/1

54 Te cnica de controle Keyframe de Partı culas (KP) Alta fi Baixa Viscosidade Forças fi =?? fi =?? 50/1

55 51/1 Vetor Estado Para la simulación de fluidos, el vector estado en el tiempo i consiste de: las velocidades en ese tiempo las posiciones de los pontos en el tiempo i.

56 Simulación Una simulación basada en física comienza con un estado inicial q 0 repetidamente aplica una secuencia de operaciones j i sobre el estado, así que q i+1 = j i (q i ) para todo i 0 y calculamos la secuencia de estados {q 1, q 2,..., q n } j 0 j 1 j n 1 52/1

57 53/1 Simulación y Control Simulación de Fluidos Estados de salida q i Estados deseados KEYFRAMES Controles Optimizador

58 54/1 Optimización u f obj (u) f obj u Método de optimización casi-newton Lbfgs u

59 55/1 Gradiente f obj (Simulación) =?? u

60 56/1 Método Adjunto.Regla General q 2 A 2 q 1 = p 1 (A p 2 ) T 2 =

61 57/1 Código y Código Adjunto u adición_de_forças_externas advección difusión proyección f obj (u), q i q i a_proyección a_difusión a_advección a_adición_de_fuerzas_externas aq i, f obj u

62 58/1 Morphing Una aplicación de la técnica de warping es el morphing

63 Morphing 59/1

64 60/1 Bibliografía Recipes for Adjoint Code Construction RALF GIERING An Introduction to the Adjoint Approach to Design MICHAEL B. GILES Simulation and Control of Physical Phenomena in Computer Graphics JOS STAM Keyframe control of complex particle systems using the adjoint method Chris Wojtan

65 61/1 Gracias!!!