Teoría de la relatividad especial y la física nuclear

Transcripción

1 Parte II Teoría de la relatividad especial y la física nuclear 1 Teoría de la relatividad especial Todos hemos escuchado del gran Einstein y sus grandes contribuciones a la Física (y al mundo, en general). Incluso podemos fácilmente identificar su famosa fórmula E = m, aunque no tengamos idea de lo qué significa. Esta sección es justamente para conocer un poco más sobre esto. Para empezar, existen dos clases de teorías de la relatividad: la especial y la general. La diferencia nos la da la primera ley de Newton, la ley de la inercia, que nos habla de sistemas inerciales existentes en ausencia de aceleración. Es decir, la relatividad especial vive en un mundo sin la presencia de la aceleración, por lo que las velocidades son constantes. En la relatividad general existe la aceleración y esto complica todas las matemáticas usadas en esta teoría. En esta parte del curso hablaremos exclusivamente de la relatividad especial y sus implicaciones a la realidad que conocemos o, por lo menos, pensábamos conocer. 1.1 Marcos de referencia y el espaciotiempo Un sistema de referencia o marco de referencia es un conjunto de convenciones usadas por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto o sistema físico en el tiempo y el espacio. Esto nos lleva a conclusiones tales como que los objetos parecen moverse dependiendo del sistema de referencia que se tome. Por ejemplo, un observador parado en la calle ve a un conductor de un autómovil acercándose a él; por su parte, el conductor puede pensar que él mismo es el que esta fijo en su asiento y que es el transeúnte el que se esta moviendo hacia él. Es por ello que decimos que el movimiento es relativo, es decir, no hay un sistema de referencia mejor que otro. La relatividad especial trabaja en sistemas de referencia inerciales, esto es, aquellos sistemas de referencia en donde se no existe aceleración o, bien, las velocidades son constantes. Por otro lado, es sabido en la física clásica que un sistema de referencia comprende al espacio, es decir, a un sistema coordenado (x, y, z). Esto es que podemos identificar nuestro movimiento a partir de nuestro desplazamiento en este espacio; estamos en el espacio y nos movemos por el espacio. Pero el universo existe en el espacio o es el espacio el que existe dentro del universo? hay espacio fuera del universo? Son interrogantes que hasta tienen un poco de filosofía en ellas. También podríamos formular estas preguntas para el tiempo, es decir, el universo existe en el tiempo o es el tiempo el que existe dentro del universo? hay tiempo fuera del universo? Y puedo agregar una más, existía el tiempo antes de que comenzara el universo? Einstein responde a estas preguntas postulando que, tanto el espacio como el tiempo, solo existen dentro del universo. Entonces no existe nada de esto fuera de él. De hecho, el espacio y el tiempo son dos partes de un todo llamado espaciotiempo. El movimiento en el espacio afecta el movimiento en el tiempo. Siempre que nos desplazamos en el espacio alteramos en cierta medida la rapidez con la que viajamos al futuro. Y esto es algo que siempre hemos notado, aun sin saber nada de relatividad. 1

2 1.2 Postulados de la relatividad especial Einstein dedujo que no existe en el universo ningún punto de referencia estacionario desde el cual se pueda medir un movimiento absoluto. Todos los movimientos son relativos y todos los marcos de referencia son arbitrarios. Por ejemplo, aun si permanecemos sentados en una silla sin movernos respecto al piso, en realidad nos estamos moviendo respecto al eje de la Tierra que, a su vez, se mueve alrededor del Sol. Además, el sistema solar se mueve dentro de nuestra galaxia y ella viaja por el universo. Es decir, nuestro reposo no implica reposo respecto a otro punto del universo. Entonces, la naturaleza también es relativa? No, no lo es. Einstein refleja esto en sus dos postulados para la relatividad especial. El primero dice: Todas las leyes de la física son invariantes para todos los sistemas de referencia inerciales. Es decir, la física no cambia según el observador. La naturaleza se sigue comportando como debe, sin importarle quién la esté viendo. Por otro lado, el segundo postulado establece que: La velocidad de la luz en el vacío siempre tiene el mismo valor en cualquier parte del universo. Esto es que no hay nada que viaje más rápido que la velocidad de la luz (que es el límite en el universo), en el vacío cuyo valor es de 300,000km/s. Aun así existen fenómenos en donde parece que se viola este postulado aunque, en realidad, no lo hacen. Esto puede ser causado por efectos ficticios, índices de refracción menores a 1, movimientos relativos, entre otras causas. La constancia de la velocidad de la luz es lo que unifica el espacio y el tiempo. Además, para toda observación de un movimiento en el espacio transcurre un intervalo de tiempo correspondiente. El cociente del espacio entre el tiempo para la luz es igual para todos aquellos que lo miden. La rapidez de la luz es una constante. 1.3 Movimiento relativo Como decíamos antes, el movimiento es relativo. Cada vez que damos nuestro estado de movimiento siempre es necesario especificar el sistema de referencia que estamos utilizando (es decir, respecto a qué medimos). Esto es porque la velocidad es una cantidad relativa cuyo valor depende del lugar desde el cual se observa y se mide. La rapidez de un objeto puede ser distinta respecto a diferentes marcos de referencia. Supón que un amigo tuyo lanza siempre la pelota de besibol con la misma rapidez, 60km/h, por ejemplo. Si hacemos a un lado la resistencia del aire, la pelota se desplazará a 60km/h al momento de atraparla. Supón ahora que tu amigo te lanza la pelota desde la caja de un camión que se dirige a ti a 40km/h. Entonces la pelota llega a ti a una velocidad de 100km/h, los 60km/h de la pelota respecto al camión más los 40km/h del camión respecto al suelo. Es decir, la suma de ambas velocidades ya que las dos tienen la misma dirección. Si ahora el camión se aleja de ti a 40km/h pero te siguen lanzando la pelota, la pelota llega a ti a con una velocidad de 20km/h. Esto es los 60km/h de la pelota respecto al camión menos los 40km/h 2

3 del camión respecto al suelo. Es decir, la diferencia de ambas velocidades ya que las dos tienen diferente dirección. La velocidad de la luz en el vacío es una velocidad límite en el universo que no puede ser rebasada por ninguna clase de partícula o radiación. Esta afirmación hace inexacta la adición de velocidades de la física clásica. Es por ello que existe la fórmula siguiente para la suma de velocidades relativistas: v R = v 1 +v 2 1+ v 1v 2 Cuando v 1 y v 2 son pequeñas (respecto a la luz) no hay diferencia significativa en el resultado con respecto a la suma clásica de velocidades. La diferencia se hace notar cuando nos acercamos a la velocidad de la luz, es decir, cuando tenemos velocidades altas o relativistas. 1.4 Masa y energía A velocidades relativistas muchas de las propiedades físicas cambian su magnitud debido al movimiento. En la física clásica la masa es una propiedad de la materia que, además, es constante. En la teoría de la relatividad no lo es. Cuando un cuerpo se mueve su masa no permanece constante, sino que aumenta según se incremente su velocidad. Mediante el empleo de aceleradores de partículas se ha podido comprobar que al aumentar la velocidad de estas también se incrementa su masa. La ecuación relativista que relaciona el incremento de la masa en función del aumento de la velocidad es: m 0 m = 1 v2 donde m es la masa relativista que tiene el objeto a una velocidad v, m 0 es la masa en reposo (cuando el objeto no se mueve) y c es la velocidad de la luz. De acuerdo con la ecuación anterior, de nueva cuenta no vemos efectos relativistas cuando las velocidades son bajas pero el efecto de la masa incrementada si se aprecia cuando las velocidades son altas. Si un cuerpo se moviera con una velocidad igual a la de la luz tendríamos: Esto significa que la masa del cuerpo sería infinita. v 2 = 1 m = m 0 0 La razón por la cual la masa aumenta tiene que ver directamente con la energía. El movimiento es una forma de energía, en este caso, es energía cinética. La masa incrementada de los objetos debe provenir de su energía incrementada. Por lo tanto, la materia puede convertirse en energía y viceversa. La fórmula relativista que relaciona la masa con la energía es E = m Esto es que la energía es proporcional a la masa, si una aumenta entonces la otra también. El factor de proporcionalidad es la energía al cuadrado y esta es, justamente, la fórmula más famosa de Einstein. Una consecuencia muy importante de esta relación es que los cuerpos tienen energía por el simple hecho de tener masa. Si un cuerpo esta en reposo entonces tendrá energía en reposo E 0 = m 0, es decir, por su masa en reposo. Cuando ese mismo cuerpo está en movimiento, la energía cinéica E C ganada por su velocidad es E C = E E 0 o sea, la diferencia entre la energía de la masa relativista y la energía en reposo. 3

4 1.5 Contracción de la longitud Si bien la masa de los objetos que viajan a velocidades altas aumenta, la longitud se hace más pequeña. A esto nos referimos cuando decimos que la longitud se contrae. Si un cuerpo adquiere una velocidad cercana a la de la luz, sería visto por un observador inmóvil con una longitud menor en la dirección de su movimiento. La contracción de los cuerpos recibe el nombre de contracción de Lorentz, y fue él mismo quien propuso la ecuación para el cambio en la longitud. Esta es: L = L 0 1 v2 siendo L 0 la longitud en reposo y L la relativista. De nueva cuenta, si las velocidades son bajas el efecto será imperceptible. Si la velocidad del objeto es la de la luz, tendríamos que v 2 = 1 L = 0 En otras palabras, si un objeto alcanzara la velocidad de la luz, su contracción sería tal que su longitud resultaría nula. Esto nos confirma que la máxima velocidad que puede existir en el universo es la de la luz. Además, la contracción de los cuerpos en movimientos es una consecuencia de la relatividad del tiempo. 1.6 Dilatación del tiempo El tiempo también es relativo, es decir, no es algo intrínseco que exista y transcurra en todo el universo a la vez. Por esto mismo no puede servir de referencia. Imagina que estás en tu casa, en reposo, observando un reloj que marca las 12 del día. Cuando decimos que marca las 12 del día nos referimos a que tu recibes la información que la luz te ha reflejado del reloj. En el espacio exterior, un observador que recibe la luz reflejada de tu reloj podría afirmar que en ese momento son las 12 del día en la Tierra. Lo cierto es que, desde tu punto de vista, estaría equivocado. Tú y el observador distante ven las 12 del día en momentos diferentes. El observador distante realmente ve una información del pasado debido a que tiene que esperar a que la luz viaje (a su velocidad) y llegue a informarle la hora. Supón que ahora te subes a una nave espacial que se mueve a la velocidad de la luz. De esta forma tendrías la información sobre las 12 del día en todo momento porque viajas a la par con la luz. Es decir, para ti el tiempo se congelaría. Otra forma de decir esto es que en el reposo en tu casa, el reloj avanza al futuro a una razón de 60 segundos por minuto. Si te desplazas a la velocidad de la luz verías que los segundos del reloj tardan un tiempo infinito en moverse. Esto implica que entre más cercano estés a la velocidaddelaluzmáslentoverásquepasaeltiempo. Eltiemposealarga,estoesladilatacióndeltiempo. La fórmula que nos muestra el cambio en el tiempo es la siguiente: t = t 0 1 v2 donde t 0 es el tiempo cuando estás en reposo y t es el tiempo de cuando te mueves con una velocidad v. De nuevo, a velocidades bajas no notamos ningun cambio. A velocidades altas es cuando el cambio es perceptible. Un caso clásico que nos proporciona una espléndida ilustración de la dilatación del tiempo es el de los dos gemelos. Uno de los hermanos realiza un viaje hacia el espacio, de ida y vuelta, a una velocidad muy alta mientras que el otro se queda en la Tierra. Cuando el gemelo viajero regresa es más joven que 4

5 el que se quedó. La diferencia de edades depende de las velocidades relativas del viaje. Por ejemplo, si el gemelo viajero mantiene una velocidad de 0.5c durante un año (según lo que dice su reloj), en la Tierra habrán transcurrido 1.15 años. Si el viajero va a 0.87c entonces habrán transcurrido 2 años en la Tierra. Y así sucesivamente. Podemos preguntarnos, puesto a que el movimiento es relativo por qué no funcionan las cosas en el otro sentido? Es decir, podríamos tomar nuestro sistema de referencia alrevés y pensar que el gemelo viajero esta en reposo mientras que la Tierra es la que se mueve. Debería entonces ser el gemelo viajero más viejo que el que se queda en la Tierra? Esta fue una paradoja propuesta por Einstein para ejemplificar los efectos de la relatividad. La razón por la cual no podemos tomar el sistema de referencia alrevés es porque el gemelo viajero no se encuentra en un sistema de referencia inercial. Es decir, al cambiar el sentido de su velocidad para volver a la Tierra existe una aceleración asociada a este viaje por lo que las consecuencias de la relatividad especial no se pueden aplicar a este caso. Lo que si se puede afirmar es que, en efecto, el gemelo que se queda en la Tierra es el que envejece. 1.7 Teoría de la relatividad general En 1915 Einstein amplió la descripción de las leyes de la naturaleza para marcos o sistemas de referencia no inerciales, es decir, para sistemas acelerados. Esto es la teoría de la relatividad general. Aquí la gravedad no es una fuerza sino una consecuencia de la curvatura del espacio creada por la presencia de las masas. Incluso la luz se desvía en presencia de masas, lo cual ha sido comprobado experimentalmente. Otra consecuencia de esta teoría es que no existen líneas rectas y, finalmente, que el universo no se encuentra en estado de equilibrio, por el contrario, se esta expandiendo aceleradamente. 1.8 Preguntas 1. Se puede viajar aun si nos quedamos en un solo punto en el espacio? 2. Viaja la luz por el espacio? y por el tiempo? 3. Cuál es el cociente de la distancia entre el tiempo de las ondas luminosas? 4. Si los fotones tuvieran masa qué implicaciones tendría esto usando relatividad? 5. Es posible que una persona que vive 70 años viaje más allá de la distancia que la luz recorre en 70 años? 6. Explica por qué cuando observamos una región lejana del universo estamos mirando hacia al pasado. 7. Por qué el gemelo viajero, en el problema de los gemelos, es más joven que su hermano? 8. Ve el video Teoría de la relatividad de Einstein con dirección electrónica y haz un resumen explicando tus conclusiones acerca de este tema. 5