INTERPOLACIÓN Y DIEZMADO Temas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS

Transcripción

1 INTERPOLACIÓN Y IEZMAO Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS Señales unidiensionales Señales ultidiensionales iezado: Objetivo: f = f, donde es el factor entero de diezado. iezado: Objetivo: Una señal discreta señal discreta ψ = ψ [ n ], definido en ψ. toa valores en n. El objetivo es generar una nueva, donde n son los untos de un retículo de diezado, Modelo: uestreo cada, señal de uestreo Modelo: Sea una estructura de uestreo entera definida or el retículo: = n / n = ki vi, ki i=, donde { v v v },,..., k Exresado en fora atricial, = { n / n = V k, k } V [ v, v,..., v ] es una atriz generatriz del retículo. = k foran una base de, donde. Señal de uestreo: [ ] = δ [ ] n n k k =, (ejelo con = 3) Esta señal uede interretarse coo un tren de deltas deslazadas sobre los untos de una estructura de uestreo definida or el retículo = { n / n = k, }, cuya celda de Voronoi, V ( ), es recisaente el eriodo fundaental [, ], y cuya densidad es recisaente la frecuencia de uestreo: d( ) = = f. Señal uestreada: f = f = f δ[ n k ] = f δ[ n k ] k= Señal diezada: f = f [ n ] = f [ n ] Esta señal uede interretarse coo una noralización del eje teoral de f [ ] n or el Señal de uestreo: n = δ n n [ ] [ ], o en fora atricial, = δ [ n V k] n Esta señal uede interretarse, de nuevo, coo un tren de deltas deslazadas sobre los untos de una estructura de uestreo definida or el retículo. Por analogía con el caso, uede interretarse que es eriódica de eriodo fundaental V ( ) densidad de uestreo d ( ). Señal uestreada: ψ = ψ = ψ δ[ n V k] Señal diezada: ψ [ ] [ ] [ ] [ ] d n = ψ n = ψ V n = ψ V n Esta señal resulta de noralizar la señal ψ [ ] n en las direcciones que indican los y Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

2 valor, es decir, or la alitud del vector que genera el retículo, de odo que si resenta valores no nulos en n = k = n, entonces n = n. f vectores base del retículo, de odo que si ψ [ ] n = V k = V n, entonces n= V n. Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS n resenta valores no nulos en Análisis frecuencial: Análisis frecuencial: Señal discreta original: TFT [ ] F f n Señal de uestreo: TFT [ ] P n P k f = δ ( Ω ) k = La transforada P ( Ω) uede interretarse coo un tren de deltas onderadas or d =, y deslazadas sobre los untos del retículo recíroco ( ) = { Ω / Ω = k f, k } intervalo [ f, f ] d( ) =., cuya celda de Voronoi y eriodo fundaental es el, y cuya densidad es la inversa de la del retículo : Señal uestreada: TFT f n F Ω = F Ω P Ω [ ] ( ) ( ) ( ) = ( Ω ) F F k f k = 0 Señal discreta original: ψ Ψ SFT La región en la cual se verifica Ψ 0 ψ [ n ]. Señal de uestreo: SFT n P Ω = d δ Ω Uk [ ] ( ) ( ) ( ) T, donde U es la atriz generatriz de, es decir U = ( V ), se denoina región de soorte de la señal Señal uestreada: SFT ψ n Ψ Ω = Ψ Ω P Ω = d Ψ Ω Uk [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La transforada F ( Ω) uede interretarse coo un suatorio de versiones de F ( Ω) onderadas y deslazadas sobre los untos del retículo recíroco. Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

3 Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS Señal diezada: = F F = (( Ω ) ) F F k k = 0 Conclusiones: Para oder recuerar f [ n ] liitada en banda a artir de f [ ] diezada or de la señal f [ n ], es necesario que la arte no nula de ( ) n, que es una versión un intervalo, de odo que no se roduzca solae esectral (aliasing). F f encaje en Señal diezada: Ψ ( ) ( ) ( ) ( ) Ω =Ψ U Ω = d Ψ U Ω Uk Conclusiones: Para oder recuerar ψ [ n ] liitada en banda a artir de ψ [ n ], que uestrea [ ] un retículo, es necesario que la región de soorte de ψ [ n ] encaje en la celda de Voronoi del retículo, de odo que no se roduzca solae esectral (aliasing): ( Ω) Ω V ( ) Ψ = 0, ψ n en En el diezado de una señal discreta uede or tanto roducirse el fenóeno de aliasing (y la consiguiente erdida de inforación). Si se quiere evitar es necesario hacer un filtrado aso-bajo ideal revio con una frecuencia de corte fc = f =. Si este filtro no fuera ideal, se roduciría solae. En el diezado de una señal discreta uede or tanto roducirse el fenóeno de aliasing (y la consiguiente erdida de inforación). Si se quiere evitar es necesario hacer un filtrado aso-bajo ideal revio con una región de soorte igual a la celda de Voronoi del retículo. Si este filtro no fuera ideal, se roduciría solae. Resuesta en frecuencia del filtro asobajo ideal revio: Ω < f l Ω = 0 resto, y su resuesta al iulso: n hl = sinc Resuesta en frecuencia del filtro aso-bajo ideal revio: H l ( ) Ω V ( ) Ω = 0 resto Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

4 Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS Interolación Objetivo: Obtener una versión interolada (con ás uestras), fi [ n ], de la señal original [ ] donde I es el factor entero de interolación. f n, Interolación Modelo: Señal tras la inserción de ceros: f [ n I], n últilo de I fe = 0, resto Señal interolada: [ ] = [ ] [ ], de odo que f [ ki ] = f [ k] f n f n h n I e i I Análisis frecuencial: Señal discreta original: TFT [ ] F f n Señal tras la inserción de ceros:: Fe = F( IΩ ), (ejelo con I = ) Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

5 Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS Filtro interolador ideal:: I Ω < fi i Ω =, con 0 resto f I = I Señal interolada:: F = F ( Ω) H I e i Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

6 Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS Conclusiones: El roceso de interolación no roduce solae esectral (aliasing) ni suone érdida ni ganancia de inforación. El roceso garantiza que la señal interolada toa los isos valores que la original en los últilos del factor de interolación. El resto de los valores de la señal interolada deenden del filtro interolador. Si el filtro interolador es ideal, la señal interolada antiene la isa distribución f n resentará esectral relativa que la original. Si no lo es, la señal interolada I [ ] distinta distribución frecuencial y en su caso coonentes de alta frecuencia de fe [ n ], las que queden bajo la ulsación de corte de dicho filtro. Este efecto será tanto ayor cuanto ás ancho sea el esectro de la señal original f [ n ] ; en este sentido, si la señal discreta original se uestreó uy or encia de la tasa de Nyquist, resentará una TFT concentrada en la arte baja del esectro y or tanto será enos sensible a la no idealidad del filtro interolador. A continuación se uestran filtros interoladores de distinto orden, utilizados habitualente en rocesos de interolación. Orden de la interolación: Ideal:: I Ω < fi i Ω = 0 resto, con f I = I, cuya resuesta al iulso es: n hi = sinc I Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales

7 Teas Avanzados en Proceso de Señales - TAPS e orden cero ( I iar): 0, n ( I ) hi =, con 0, resto, cuya resuesta en frecuencia es: 0 sin ( Iπ f ) i Ω = sin ( π f ), que es de fase nula, otencia las bajas frecuencias de F ( ) e Ω y no eliina sus coonentes de alta frecuencia. 0 Si I fuera ar, al no oder ser hi [ n ] siétrico, la fase del filtro interolador resultante no sería nula. e orden uno: I k hi = δ + ( δ[ n k] + δ[ n k = I, cuya resuesta en frecuencia es: I ( ) k Hi Ω = + cos( kω) k = I, que es de fase nula, otencia las bajas frecuencias de F ( ) e Ω y eliina en gran edida sus coonentes de alta frecuencia. Jesús Bescós Cano Tea : Señales y sisteas ultidiensionales