Comunicaciones II. Ejemplos Tema 3 Transmisión digital PAM a través de canales AWGN limitados en banda

Transcripción

1 Counicaciones II Ejeplos ea 3 ransisión igital PA a través e canales AWGN liitaos en bana Javier oríguez Fonollosa y argarita Cabrera Beán Ejeplos ea 3 ransisión igital PA a través e canales AWGN liitaos en bana Ecualización Fraccionaria elación entre el ecualizaor Forzaor e Ceros y el SE Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización 4//6 CO II 3-E

2 Ecualización Fraccionaria El iseño e los ecualizaores en recepción (ZF y SE) se ha planteao en el esquea siguiente: α [ k] ϕ() t h c (t) + s(t) r bauios ϕ( t t) ϕ y () t t k + t k h [ k] y [ k] w(t) En one (ver 3-59): pk [ ] h[ k] δ[ k k] ; pk [ ] pt ( + k) p ( k) ; pt ( t ) h( t) ϕϕ c Analizano el problea en el oinio frecuencial la presencia e ISI se anifiesta en la ecuación: n n P ( f) P( f) δ f P f n n 4//6 CO II 3-E3 Ecualización Fraccionaria (II) Si existe un pequeño error e sincroniso, efinieno: p () t p ( t ε ) ε n n Pε ( f) Pε f P f e n n n j π ( f ) ε El espectro iscreto (versión solapaa el espectro analógico) epene el error e sincroniso. Definieno la respuesta frecuencia el ecualizaor (e perioicia /) coo: j π fk H( f) h[ ] e El ecualizaor sólo puee copensar la istorsión el canal para eliinar la ISI en el espectro solapao P ( f) H ( f) ε 4//6 CO II 3-E4

3 Ecualización Fraccionaria (III) En general sin ebargo el ancho e bana e la señal recibia (utilizano pulsos e coseno realzao con α ) no supera el oble el ancho e bana ínio (/): P ( f ) ; f Si la señal a la salia el filtro aaptao se uestrea al oble el perioo e síbolo entonces: n n P f P f P f e ' n j π ( f ) ε ε ε n n En el espectro iscreto el pulso ya no se ha solapao el espectro analógico: Facilita la copensación el retaro e fase por parte el ecualizaor. 4//6 CO II 3-E5 Ecualización Fraccionaria (IV) La respuesta el ecualizaor fraccionario es: ' ' j H( f) h[ ] e π De fora que el espectro iscreto el pulso ecualizao es: ' ' ' ' ' jπ fε ε ε ; P f P f H f P f H f P f H f e f Ahora se poría aproxiar: ' PC ( f) j π fε ' H( f) e P ( f) PC( f) ; f P ( f) De fora que cuano finalente se uestrea a perioo e síbolo se cuple la conición e ISI ya que el pulso ha sio ecualizao antes e solaparse: k ' fk ' k k ' k ( ) ε ( ) ( ) P f P f H f k 4//6 CO II 3-E6 3

4 elación entre el ecualizaor ZF y el SE El criterio e iseño el forzaor e ceros se ha planteao a partir el cupliiento exclusivaente el criterio e ausencia e ISI: pk [ ] h[ k] p [ k] δ[ k k] Esta ecuación puee expresarse coo: p[ k] p[ k] h [ k] p[ k] δ[ k k ] p[ k k] n pnpn [ ] [ k] h [ k] pk [ k] [ k] h [ k] p[ k k] p 4//6 CO II 3-E7 elación entre el ecualizaor ZF y el SE (II) Consierano exclusivaente L + ecuaciones resulta el siguiente sistea: [ k] h [ k] h [ n] [ n k] h [ n] [ k n] p[ k k] p p p n n p[] p[ ] p[ L] h[] p[ k ] p[] p[] p[ L] h[] p[ k ] : : : : : [ L ] [ L ] [] h [ L ] p[ k L ] p p p h p p[ k ] 4//6 CO II 3-E8 4

5 elación entre el ecualizaor ZF y el SE (III) La ecualización según el criterio SE se basaba en la iniización e un criterio totalente istinto: L ε SE E y[ k] s[ k k] E h[ l] y[ k l] s[ k k] l Y se había obtenio e fora atricial el sistea: y[] y[ ] y[ L] h[] p[ k ] [] [] [ L ] h [] p[ k ] y y y σ s : : : : : [ L ] [ L ] [] h [ L ] p[ k L ] y y y h σ p[ k ] y s 4//6 CO II 3-E9 elación entre el ecualizaor ZF y el SE (IV) De fora copacta abos criterios resultan en las ecuaciones: ZF: h p[ k ] SE: h [ k ] Aeás, en el caso e oulaciones sin eoria con eia nula la atriz e correlación e y puee expresarse coo: e fora que el criterio SE se siplifica a: equivalente al ZF para SN alta p y σ sp y s p β s p N σ + σ + I N SE: p + I [ h p k ] σ s 4//6 CO II 3-E 5

6 elación entre el ecualizaor ZF y el SE (V) Interpretación frecuencial: p ZF: [ k] h [ k] p[ k k] P ( f) H ( f) P ( f) e s P f e H ( f) e ( f) * jπ fk P ( f) P jπ fk SE: y[ k] h[ k] p[ k k] Sy( f) H( f) P ( f) e σ N P ( f) + H f P f e σ s H ( f) P ( f) e * jπ fk N P ( f) + σ s * jπ fk * jπ fk * jπ fk 4//6 CO II 3-E elación entre el ecualizaor ZF y el SE (VI) Expresiones que epenen el equivalente iscreto el canal: n j f ( t ) n n n π + ϕ c n n P f P f H f H f e En one se ha utilizao la relación: pk [ ] pt ( + k) p ( k) ; pt ( t ) h( t) ϕϕ c jπ ft j π f ( t + ) ϕ c P ( f) P( f) e H ( f) H ( f) e 4//6 CO II 3-E 6

7 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización Ejercicio 3 Colección e probleas (apartaos f, g, h, i) s(t) y r(t). O. s(t) Y( tk ) h c ( t) y + δ ( t) ( tk ) ( t ) k s ( t) w(t). O. s (t) x( t k ) + + [ ] ( [ ] [ ] ) s( t) s t n a n f ( t n ) c n g( t n ) n n n t t / t t / f( t) sen( π ) Π ; g( t) sen(4 π ) Π + t / [ ] α[ ] s ; ; / t α n p t n p t Π n ± n 4//6 CO II 3-E3 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (II) f) Cálculo el vector e coorenaas en el receptor óptio e s(t) en el caso e sincronización perfecta: y [ n] y (( n+ ) ) s( t) + s ( t) + w( t) f( t) t ( n+ ) a [ n] + β [ n] + α[ ] p( t ) f( t) t ( n+ ) a [ n] + β [ n] + α[ ] p ( n+ ) τ f( τ) τ τ α a[ n] β[ n] α[ ] p( ( n ) α) f( α τ α + + ) α a [ n] + β [ n] + α[ ] ( n ) a [ n] + β [ n] + α[ n] () pf pf 4//6 CO II 3-E4 7

8 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (III) Se fora equivalente: y [ n] y (( n+ ) ) s( t) + s ( t) + w( t) g( t) t ( n+ ) c [ n] + β [ n] + α[ ] p( t ) g( t) t ( n+ ) c [ n] + β [ n] + α[ n] () pg 4//6 CO II 3-E5 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (IV) g) Cálculo el vector e coorenaas en el receptor óptio e s(t) en el caso e retraso e / en la interferencia: y [ n] y (( n+ ) ) s( t) + s ( t) + w( t) f( t) t ( n+ ) a [ n] + β [ n] + α[ ] p( t /) f( t) t ( n+ ) a [ n] + β [ n] + α[ ] p ( n+ ) τ / f( τ) τ τ α a[ n] + β[ n] + α[ ] p( ( n ) / α) τ α f( α) α a [ n] + β [ n] + α[ ] ( n ) / a [ n] + β [ n] + α[ n ] ( /) + α[ n] ( /) + pf [ ] s () t α n p t n n 4//6 pf CO II pf 3-E6 8

9 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (V) De fora análoga y [ n] y (( n+ ) ) s( t) + s ( t) + w( t) g( t) t ( n+ ) c [ n] + β [ n] + α[ ] p( t ) g( t) t ( n+ ) c [ n] + β [ n] + α[ n ] ( /) + α[ n] ( /) pg pg pero en este caso las correlaciones cruzaas se anulan en ± / 4//6 CO II 3-E7 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (VI) esulta una interferencia tan sólo en la priera coorenaa / t pf ( /) p( / τ ) f( τ ) τ sin t p pf ( /) π π a[ n] α[ n ] p α[ n] p β[ n] y IN c[ n] + + β[ n] s + + n esulta una isinución e la istancia ínia e un áxio e: y s 3 int 3 4 s 4 IN s y s 4//6 CO II 3-E8 int p+ p ( p) π log -.75 B π 9

10 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (VII) A la salia el receptor óptio e la interferencia: xn [ ] x(( n+ ) ) st + s( t) + wt p ( t) t ( n+ ) + / a [ ] f( t ) p( t) + t ( n+ ) + / + c [ ] g( t ) p( t) t ( n+ ) + / + β[ n] + α[ n] a [ ] f ( n+ ) + / τ p( τ) τ + + c [ ] g ( n+ ) + / τ p( τ) τ + β[ n] + α[ n] 4//6 CO II 3-E9 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (VIII) esultano: xn [ ] a [ ] f ( n ) + / α p( α) α + + c [ ] g ( n ) + / α p( α) α + β[ n] + α[ n] a [ n] ( /) + a [ n+ ] ( /) + fp fp + c [ n] ( /) + c [ n+ ] ( /) + gp gp + β[ n] + α[ n] pa [ n] + pa [ n + ] + + β[ n] + α[ n] one fp ( /) pf ( /) p fp ( /) π 4//6 CO II 3-E

11 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (IX) Finalente se plantea un problea e iniización e error cuarático eio eiante una cobinación lineal e las iferentes salias. Se efine: y n h y n h x n h x n [ ] eq [ ] + [ ] [ ] + 3 y la función e coste a iniizar es: Desarrollano la función e coste resulta: ε E y [ ] [ ] [ ] eq n a n E e n ε E hy[ n] hx[ n] h3x[ n ] a[ n] + + E ( hy[ n] + hx[ n] + h3x[ n ] a[ n] )( e[ n] ) cuya solución se obtiene aplicano el principio e ortogonalia 4//6 CO II 3-E Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (X) Principio e ortogonalia (error ortogonal a los atos) y[ n] y[ n] a[ n] + pα[ n ] pα[ n] + β[ n] E x[ n] e[ n] ; x[ n] α[ n] + qa[ n+ ] qa[ n] + β[ n] xn [ ] xn [ ] α[ n ] + qan [ ] qan [ ] + β[ n ] Desarrollano la esperanza: y[ n] E x[ n] ( hy[ n] + hx[ n] + h3x[ n ] a[ n] ) xn [ ] [] [] [ ] h yy yx yx yx[] [] [ ] xx xx h q 4 y [ ] [ ] [] h3 q x xx xx 4//6 CO II 3-E

12 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (XI) enieno en cuenta: y [ n] a[ n] + pα[ n ] pα[ n] + β [ n] xn [ ] α[ n] + qan [ + ] qan [ ] + β[ n] xn [ ] α[ n ] + qan [ ] qan [ ] + β[ n ] Los térinos e la atriz e correlación son: N N yy[] ( + p ) + ; [] ( ) xx + q yx[] ( q+ p) ; [ ] yx q+ p 4 4 xx[ ] q 4 4//6 CO II 3-E3 Ejeplo: ISI entre coorenaas y ecualización (XII) Con lo que finalente resulta: + p q p q+ p h N q p q q h q I 4 q p q q + + h3 q 4//6 CO II 3-E4