DISEÑO INTEGRADO DE PROCESOS EN EL MARCO DEL CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS

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1 DISEÑO INTEGRADO DE PROCESOS EN EL MARCO DEL CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS M. Francisco, P. Vega Dpto. Informática y Automática. E.T.S. Ingeniería Inustrial. Universia e Salamanca. Av. Fernano Ballesteros s/n, Béjar, Salamanca (España). Fax: mfs@usal.es, pvega@usal.es Resumen En este trabajo se ha esarrollao el Diseño Integrao el proceso e fangos activaos en una planta e epuración e aguas, incluyeno un controlaor preictivo lineal multivariable con restricciones. La metoología aplicaa permite obtener procesos óptimos ese el punto e vista económico que operan e forma inámica eficiente alreeor e puntos e trabajo estacionarios. Matemáticamente se plantea como un problema e optimización con múltiples objetivos no lineal con restricciones cuya solución proporciona la planta y el sistema e control óptimo. Concretamente, los ínices consieraos para el iseño e la planta y el controlaor incluyen las normas H y las normas l e algunas matrices e transferencia el sistema en lazo cerrao, entre otras. El uso e moelos lineales para el control facilita la consieración e ínices e funcionamiento convexos y simplifica el problema e optimización evitano la integración e las ecuaciones inámicas el moelo. Palabras clave: Diseño Integrao, Control Preictivo, Controlabilia, Optimización no lineal, Optimización con múltiples objetivos.. INTRODUCCIÓN El iseño y control e los procesos han sio tareas que generalmente se han venio realizano e forma secuencial, y el estuio e la controlabilia el sistema resultante se lleva a cabo únicamente cuano la configuración el proceso y los parámetros óptimos han sio ya eterminaos. La metoología e Diseño Integrao permite la evaluación e los parámetros e la planta y el sistema e control al mismo tiempo, hacieno que el sistema iseñao sea más fácilmente controlable [4]. En la etapa e iseño, iversos ínices e controlabilia se evalúan junto con consieraciones económicas para proucir una planta y un sistema e control óptimos. Muchos trabajos aplican técnicas e Diseño Integrao, particularmente al iseño e procesos químicos tales como columnas e estilación o reactores químicos, estacano las interacciones entre iseño y control [7]. Estos trabajos también consieran el problema e la selección e la estructura el proceso resolvieno un problema e síntesis. Una completa revisión e avances en el área se presenta en [8]. Algunos ejemplos e Diseño Integrao aplicaos al proceso e fangos activaos se estallan en [], one la planta se iseña junto con controlaores e tipo PI, incluyeno esigualaes lineales matriciales (LMI) para imponer coniciones e estabilia y cierto comportamiento eseao en lazo cerrao; y en [0], one se presenta un estuio el Diseño Integrao con controlaores PI aplicao a iferentes estructuras e la planta. En [6] se utilizan técnicas e optimización global para resolver el mismo problema. Puesto que el proceso a iseñar posee una inámica complicaa, es interesante incluir controlaores avanzaos en el Diseño Integrao e este tipo e procesos. De esta forma se mejoraría notablemente el esempeño el control y porían obtenerse plantas económicamente más rentables [0],[]. En este trabajo se ha elegio un control preictivo lineal basao en moelos (MPC) como métoo e control avanzao. El uso e moelos lineales para el control facilita la consieración en el iseño integrao e ínices e funcionamiento convexos y simplifica el problema e optimización. En [3] se plantea un métoo e iseño integrao e procesos e fangos activaos y controlaores preictivos consierano la integral cuarática el error (ISE) y e los esfuerzos e las variables manipulaas como ínices e esempeño el sistema en lazo cerrao. La necesia e realizar la integración e las ecuaciones inámicas el moelo para calcular la función e coste en caa iteración, hace que el tiempo e cálculo sea muy elevao. Por este motivo, en este trabajo se plantean ínices compactos para el iseño e la planta y el controlaor que incluyen las normas H y l e

2 algunas matrices e transferencia el sistema en lazo cerrao, que permiten resolver el problema como uno e optimización estática, y se han aplicao a un proceso e fangos activaos. Este trabajo está organizao e la siguiente manera. En primer lugar se plantea en líneas generales el problema e iseño integrao tal y como se ha aborao en este trabajo. En seguno lugar, se presenta la formulación el controlaor preictivo presentano el métoo e sintonía automática esarrollao sobre el que escansa la metoología e Diseño Integrao presentaa. A continuación se plantea el problema e Diseño Integrao y se resuelve para el proceso e fangos activaos presentano algunos resultaos, y finalizano con las conclusiones el trabajo.. DISEÑO INTEGRADO DE PLANTA Y CONTROLADOR El problema e Diseño Integrao consiste en eterminar simultáneamente los parámetros e la planta y el controlaor junto con un punto e trabajo estacionario, minimizano a su vez los costes e construcción y operación junto a otros objetivos e controlabilia e la planta. EL problema puee plantearse matemáticamente como un problema e optimización no lineal con restricciones el tipo { f x f x } min ( ), ( ) x sa.. gm () x 0 h ( x) 0 n () sieno f (x) y f (x) las funciones objetivo a minimizar. La primera refleja los costes e operación y e construcción e la planta y la seguna la controlabilia y el renimiento el sistema en lazo cerrao, g m (x) son m restricciones e proceso y el control, h n (x) las n ecuaciones el moelo y el vector x son las variables el proceso y parámetros e control que eben ser evaluaas en el iseño (volúmenes, superficies, cauales, horizontes e control, etc.) El punto clave consiste en expresar las propieaes e la planta en lazo cerrao e forma compacta y en función e los parámetros e iseño. La metoología utilizaa en este trabajo sigue los pasos siguientes: - Definir una estructura e planta y e control. - Definir el problema e optimización el iseño e la planta especificano f (x), el moelo no lineal e la planta h n (x) y el conjunto e restricciones g m (x). - Linealizar el moelo en torno a un punto e operación genérico e manera que las matrices e estao el sistema sean función e los parámetros e iseño. - Formular la operabilia e la planta en términos e las matrices e transferencia el sistema en lazo cerrao para efinir f (x) y algunas restricciones e controlabilia contenias en el conjunto g m (x). De cara a la resolución se procee e forma iterativa. En primer lugar, con una planta inicial fijaa, el controlaor se sintoniza. En el seguno paso la planta se iseña con el controlaor obtenio en el paso anterior, iterano hasta que se cumple un criterio e convergencia consistente en que la isminución el coste a lo largo e varias iteraciones sea menor que una eterminaa cota. (Figura ). Dimensiones planta Punto estacionario SINTONÍA DEL CONTROLADOR Algoritmo en os pasos (aleatorio + SQP) DISEÑO DE PLANTA Algoritmo SQP Parámetros controlaor Figura. Algoritmo iterativo para Diseño Integrao 3. SINTONIA AUTOMATICA DEL CONTROLADOR MPC 3. FORMULACION DEL MPC El MPC consierao en este trabajo está basao en un moelo e la planta en el espacio e estaos, y calcula las variables manipulaas resolvieno en línea el siguiente problema e optimización con restricciones en las entraas, en las preicciones y en los cambios e las variables manipulaas. Δu Hc i 0 Hp min V( k) W ( yˆ ( k+ i k) r( k+ i k)) + i Hw W Δ uˆ k + i k y u ( ( )) () one k enota el períoo e muestreo actual, yk ˆ( + i k) es la salia preicha en tiempo k+i, con meias hasta k, rk ( + i k) es la trayectoria e referencia, Δ û son los cambios en las variables manipulaas, H p es el horizonte e preicción

3 máximo, H w es el horizonte e preicción mínimo, H c es el horizonte e control, W u es un vector iagonal con los pesos asociaos a los cambios e las variables manipulaas y W y es otro vector iagonal con los pesos asociaos a los errores e seguimiento e la referencia. La implementación el controlaor está basaa en la corresponiente Toolbox e MPC e Matlab y algunas moificaciones basaas en [5]. El moelo interno e preicción es un moelo lineal iscreto e la planta en el espacio e estaos, obtenio linealizano las ecuaciones iferenciales el moelo el proceso. Se consiera también que las trayectorias e referencia se aproximan al valor e consigna exponencialmente ese el valor actual e la salia, con T ref como constante e tiempo e la exponencial. Cuano el MPC es lineal y sin restricciones puee representarse meiante la matriz e transferencia, K MPC (K, K, K 3 ) e forma que el sistema en lazo cerrao corresponería al e la figura, one aparecen explícitamente las perturbaciones e carga. La ley e control en forma matricial es r u ( K K K3) y Kr+ Ky+ K3 (3) sieno K i las matrices e transferencia entre la señal e control y las entraas (r,y,) que epenen e los parámetros e sintonía el controlaor (W u, H p, H w,, H c, T ref ). En este trabajo la formulación elegia [5] hace que K K. r + u y G - K Figura. Sistema en lazo cerrao con MPC Si tenemos en cuenta también las funciones e transferencia el sistema en lazo abierto, la respuesta el sistema en lazo cerrao puee obtenerse e GK y r+ + GK + GK K 3 G % % ( GK + G ) (4) 3 Con el fin e establecer en las secciones siguientes las funciones objetivo para el iseño integrao e una posible planta y e su sistema e control, efinimos la matriz e transferencia e sensibilia S (entre las perturbaciones e carga () y las salias (y) así como la sensibilia al control (M ) efinia entre las perturbaciones () y las señales e control (u) cuano la referencia es nula. Su cálculo es irecto con y S GK3 + G + GK K3 KG u M + GK 3. SINTONÍA AUTOMÁTICA DEL MPC (5) El proceimiento e sintonía automática e los parámetros el MPC se basa en la minimización e iferentes ínices e esempeño inámicos. El problema poría aborarse como ( ) min f x (6) K, K3 sujeto a un conjunto e restricciones. Básicamente se han consierao funciones que reflejan la atenuación e las perturbaciones e carga penalizano los esfuerzos e control, como por ejemplo, los ínices H e sensibilia mixta basaos en normas. En este trabajo se ha utilizao el siguiente ínice: WS p sieno N esf pesos aecuaos. f ( x) N (7) W s M, x ( H p, H c, W u) y W p, W esf Las restricciones que se han consierao en este trabajo son restricciones sobre el rechazo e perturbaciones y restricciones basaos en las normas l e las señales para evitar saturación e los actuaores: W p S < M < umax S < y (8) max El problema e optimización que se genera se puee plantear como un problema e optimización multiobjetivo consierano las os últimas restricciones (8) como objetivos a cumplir, junto con el objetivo f. Por lo tanto la función multiobjetivo final quea así: f( x) ( f, f, f 3 ) one f M ; f 3 S (9) En este métoo los objetivos eben tratar e alcanzar valores objetivo prefijaos previamente, que proporcionarán mayor o menor importancia a caa uno e ellos.

4 3.3 DESCRIPCION DEL ALGORITMO La principal ificulta a la hora e resolver este problema e optimización es que involucra variables enteras y reales. En la aplicación que presentamos se plantea un algoritmo en os pasos consistente en una combinación e una búsquea aleatoria basaa en [9], y el métoo clásico e optimización por programación secuencial cuarática (SQP). En un primer paso se sintonizan los horizontes con el métoo e optimización aleatoria, mantenieno los restantes parámetros constantes, y en el seguno paso, el métoo SQP se utiliza para sintonizar los pesos W u el controlaor, con los horizontes obtenios en el paso anterior. Este proceso se repite iterativamente hasta que se cumple un cierto criterio e finalización. 4. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DE FANGOS ACTIVADOS Y DEL MPC q i, s i, x i xir sir q r q p x,s,c fk q c CONTROLADOR PREDICTIVO x x b x r q Figura 3. Estructura e la planta 4. PROBLEMA DE CONTROL s, q sal El control e este proceso consiste mantener el sustrato en el efluente (s ) por ebajo e un eterminao límite legal a pesar e las importantes variaciones el caual e entraa (q i ) y e la concentración e sustrato en icho caual (s i ), que son las perturbaciones e entraa al sistema DESCRIPCION DE LA PLANTA El proceso e fangos activaos entro e una planta e epuración e aguas resiuales tomao como ejemplo respone a la estructura e la figura 3 y consiste en un tanque aerobio (reactor) y un ecantaor secunario. El funamento el proceso consiste en mantener una población e microorganismos (biomasa) en el reactor, la cual elimine los esechos bioegraables (sustrato) cuano exista oxígeno isuelto proporcionao por las turbinas e aireación incorporaas al reactor. El agua que sale el reactor va hacia el ecantaor, one los fangos activaos se separan el agua limpia y se recirculan e nuevo al reactor para mantener allí un nivel e microorganismos aecuao. si (mg/l) Figura 4. Perturbaciones e sustrato en el influente. Ref. s Controlaor qp qr PROCESO x s De forma genérica, x se utiliza para las concentraciones e biomasa (mg/l), s para las concentraciones e sustrato orgánico (mg/l), c para las concentraciones e oxígeno (mg/l) y q para los cauales (m 3 /h). Un moelo el sistema basao en primeros principios puee verse en []. El perfil e perturbaciones utilizao en las simulaciones inámicas (Figura 4) ha sio eterminao por el programa COST 64 y su benchmark []. Figura 5. Estructura general el controlaor. La estructura general e un controlaor multivariable aplicao al proceso e fangos activaos puee verse en la figura 5. Se consieran os variables manipulaas: caual e recirculación (qr ) y caual e purga (q p ), y también os salias: sustrato (s ) y biomasa (x ). Aquí la concentración e biomasa no se controla, sino que únicamente se acota para un buen esempeño el proceso. Dao que la influencia e qr en el proceso es mucho mayor que la e q p, en este trabajo los resultaos e iseño se han obtenio consierano únicamente la primera variable manipulaa.

5 El MPC consierao está basao en un moelo e la planta en el espacio e estaos iscreto como el siguiente: x( k+ ) Ax( k) + Bu( k) + B ( k) yk ( ) Cxk ( ) (0) one el vector e estaos x(k), e entraas u(k) y e perturbaciones (k), quean efinios e la forma siguiente: x( k) ( s, x, x, x, x, c ) uk ( ) ( qr) k ( ) ( s, q) b r i i y las matrices A, B, B y C son e imensiones aecuaas. 5. DISEÑO DEL PROCESO DE FANGOS ACTIVADOS El problema e iseño e la planta, que incluye como ya se comentó el problema e sintonía automática expuesto arriba, se plantea en este trabajo en función e un conjunto e objetivos efinios por: f w V + w A n n f M () f 5 G G sieno V n y A n el volumen el reactor y el área el ecantaor normalizaos aecuaamente. El propósito el objetivo f es minimizar costes e construcción y operación e la planta. El objetivo f trata e limitar el valor el control en presencia el peor caso e perturbaciones, y el objetivo f 5, está relacionao con las funciones e transferencia e la planta y trata e conseguir una planta capaz e rechazar perturbaciones en el peor caso. El conjunto total e variables e optimización es: x(s,x,c,x,x b,x r,,fk,qr,q p,v,a), Estas variables están limitaas en el problema, y aemás se incluyen otras restricciones e controlabilia y e proceso. Tiempo e resiencia y carga másica en los tanques aireaos: V qs ; i i+ qrs () Vx 4 8 q Límites en la capacia hiráulica y la ea e fangos en el ecantaor, y límites en las relaciones entre el caual e entraa, el e recirculación y el e purga: q.5 A ; Vx + Alx r r 3 0 (3) qx4 p r q p q ; (4) q q Restricciones sobre las ecuaciones iferenciales no lineales e la planta para obtener una solución cercana a un estao estacionario (ε próximo a cero). Por ejemplo, la restricción sobre la erivaa e la concentración s es la siguiente: i s s x x q t k s s V μ + fk k + fk kc x + sir s s + ( ) ε (5) Los pesos w i (i, ) e la función f han sio tomaos el moelo CAPDET (Computer Aie Proceure for Design an Evaluation of Wastewater Treatment Systems), y tienen unos valores normalizaos e w ; w RESULTADOS DE SINTONÍA En este apartao se presentan algunos resultaos e sintonía automática consierano istintos pesos y objetivos. Para toos ellos el controlaor que se ha utilizao es un MPC con restricciones aplicao al moelo no lineal e la planta, con perioo e muestreo e T0.5, aecuao para representar la inámica el proceso. Las perturbaciones s i y q i se consieran meibles y escalaas para las simulaciones. La concentración e biomasa x es una variable únicamente restringia y no controlaa. La planta es fija con imensiones V 7668 m 3 y A m ; y un punto estacionario e trabajo efinio por s y qr Problema e sensibilia mixta H consierano los objetivos f y f En la tabla se presentan resultaos numéricos para tres casos e sintonía automática. En primer lugar se presenta una comparación para os pesos W p iferentes (casos y ) mantenieno W esf constante.

6 W p 6.6s + 3 8s Wp s s En la Figura 6 se observa que el rechazo e las perturbaciones es mejor cuano se utiliza el peso W p porque los anchos e bana e los sistemas en lazo cerrao permitios en la sintonía automática son mayores que con W p En la figura 7 se presenta una comparación e resultaos con os pesos W esf iferentes (casos y 3), mantenieno ahora W p constante. W 0.s W s + 5s esf 0.0s s + 5s esf 3 En icha figura se puee ver que para el caso 3 los esfuerzos e control están más relajaos que para el caso, proucieno un mejor rechazo e perturbaciones pero con mayor consumo energético. Figura 6. Comparación e las respuestas e sustrato y funciones e sensibilia S para os pesos W p y W p (caso : línea continua; caso : línea a trazos) Tabla : Resumen e resultaos para sintonía automática el apartao 6. Caso Caso Caso 3 Wu H p H c 3 Max(qr ) Max(s ) N M S WS p Pesos W p W p, W esf W esf3 Tiempo computacional Figura 7. Comparación e las respuestas e sustrato y las funciones e sensibilia a los esfuerzos e control para os pesos W esf y W esf3 (caso : línea a trazos; caso 3: línea continua) 6.. Problema e sensibilia mixta H consierano los objetivos f y f 3 El Seguno planteamiento consiste en consierar la función objetivo f 3 en vez e f. En la figura 8 se presenta una comparación e las salias e sustrato utilizano los pesos W p el apartao anterior. En la tabla se presentan los resultaos numéricos corresponientes. Para el caso 4 el rechazo e perturbaciones es mejor que para el caso 5 porque W p es menos restrictivo que W p.

7 Tabla : Resumen e resultaos para sintonía automática el apartao 6. Caso 4 Caso 5 W u H p 9 0 H c 4 Max(qr ) Max(s ) N M S WS p Pesos W p W p Tiempo computacional perturbaciones y sus imensiones son mayores (Figura 9). Tabla 3: Resultaos e Diseño Integrao W p W p W u H p 0 0 H c 4 V A S r Max(s ) Max(qr ) Coste planta f (x) Tiempo computacional Figura 8. Comparación e las respuestas e sustrato para os pesos W p y W p (caso 4: línea continua; caso 5: línea a trazos) En las últimas filas e toas las tablas se presenta el tiempo e cálculo en minutos referio a un orenaor Pentium IV a.4 GHz. Este tiempo es relativamente reucio puesto que para calcular las normas el sistema no se necesitan realizar simulaciones no lineales el proceso. 7. RESULTADOS DE DISEÑO INTEGRADO Una vez vistos algunos resultaos parciales e sintonía automática el MPC, en la tabla 3 se recogen resultaos e iseño integrao e planta y MPC para istintos pesos W p : W p 6.6s s + 40 Wp s s W p es más restrictivo sobre S en magnitu, por lo que la planta resultante rechaza mejor las Figura 9. Comparación e las respuestas e sustrato con W p (línea iscontinua) y W p (línea continua) Tabla 4: Resultaos e Diseño Integrao con istintos valores objetivo Valores objetivo para f W u H p H c 4 V A Max(s ) Max(qr ) Coste planta f (x) Tiempo computacional Finalmente, la tabla 4 muestra una comparación en la que los valores objetivo fijaos para f varían, manteniénose constantes los restantes. Se ve que tienen gran influencia en los costes e la planta (imensiones) y también en el controlaor. Como es lógico, el rechazo e perturbaciones es peor si se pesan más los costes e la planta (figura 0).

8 Agraecimientos Los autores esean agraecer la financiación recibia el MEC a través el proyecto e investigación DPI C0-0. Referencias Figura 0. Comparación e las respuestas e sustrato (s ) y controles (qr ) con valor objetivo 0.3 para f (línea iscontinua) y.6 (línea continua) 8. CONCLUSIONES En este trabajo se ha esarrollao un proceimiento e Diseño Integrao para obtener una planta óptima para el proceso e fangos activaos y su controlaor MPC sintonizao. Se observa que el Diseño Integrao proporciona plantas más controlables que el proceimiento e iseño clásico. Las respuestas para los iseños en lazo cerrao con MPC muestran un buen comportamiento para las variables e interés. Cuano se aplica el proceimiento e Diseño Integrao, la planta iseñaa es capaz e rechazar las perturbaciones con uniaes e proceso óptimas en cuanto a costes. Este es un resultao importante porque así se pueen obtener plantas óptimas con menores costes y mayor rechazo e perturbaciones. El problema resuelto también garantiza el cumplimiento el moelo inámico no lineal e la planta, así como toas las restricciones e operación y e proceso. La metoología propuesta aquí es general, puiénose consierar otros criterios e esempeño. El uso e moelos linealizaos también permite la especificación e criterios convexos resolubles fácilmente entro el marco e las esigualaes lineales matriciales (LMI). [] Copp, J.B. (00). The COST Simulation Benchmark: Description an Simulator Manual. Office for Official Publications of the European Community. [] Francisco, M., P. Vega, O. Pérez, M. Poch (003). Dynamic Optimization for Activate Sluge Integrate Design. European Control Conference. Cambrige (UK). [3] Francisco, M., P. Vega, O. Pérez (005). Process Integrate Design within a Moel Preictive Control framework. IFAC 05 Worl Congress (Prague) [4] Luyben, M. L. (993). Analyzing the Interaction Between Process Design an Process Control. Ph.D. Thesis, Princeton University. [5] Maciejowsky, J. M. (00). Preictive Control with Constraints. Prentice Hall. [6] Moles, C. G., G. Gutiérrez, A. A. Alonso, J. R. Banga (003). Integrate process esign an control via global optimization: a wastewater treatment plant case stuy. Chem. Eng. Res. & Des., 8, [7] Ross, R., J.D. Perkins, E. N. Pistikopoulos, G.L.M. Koot, J.M.G. van Schijnel. (00). Optimal esign an control of a high purity inustrial istillation system. Computers an Chemical Engineering, 5, pp [8] Sakizlis, V., J. D. Perkins, E. N. Pistikopoulos (004). Recent avances in optimization-base simultaneous process an control esign. Computers an Chemical Engineering, 8, pp [9] Solis, F.J.,R. J-B. Wets (98). Minimization by ranom search techniques. Mathematics of Operations Research, 6, pp [0] Sotomayor, O. A. Z., C. García (00). Moel- Base Preictive Control of a pre-enitrification plant: a linear state-space moel approach. Proceeings of the IFAC Worl Congress, Barcelona (Spain). [] Vega, P., G. Gutiérrez, (999). Optimal Design Control an Operation of wastewater treatment plants. European Control Conference (Germany)