MAPAS DE KARNAUGH. Representación gráfica. Distancia. Distancia. Circuitos Digitales EC1723

Transcripción

1 Representación gráfica MAPAS DE KARNAUGH Circuitos Digitales EC1723 Representación gráfica de los intérinos (o axtérinos) de dos variables. y (0,1) (0,0) (1,0) (1,1) Si una función de x e y incluye, por ejeplo, los intérinos 2 y 3, podeos aplicar el teorea de cobinación para eliinar un literal: x y +x y = x x Departaento de Electrónica y Circuitos Prof. Juan. C. Regidor 1 En la gráfica, estos intérinos se encuentran en el lado arcado en verde, que corresponde al literal x. El segento (0,0)-(1,0) corresponde al literal y. 2 Distancia Distancia La distancia entre dos intérinos es el núero de segentos que se recorren para llegar de un punto a otro La distancia entre (0,0) y (0,1) es 1 La distancia entre (0,1) y (1,0) es 2 Si la distancia entre dos intérinos es 1, se dice que son Si abos están presentes en una función, puede aplicarse el teorea de cobinación y eliinar un literal. y (0,1) (0,0) (1,0) (1,1) x 3 Los intérinos de 3 variables pueden representarse coo los vértices de un cubo. Una arista del cubo representa al producto de dos literales, pues se eliina una variable por cobinación. Una cara del cubo representa a un literal. El T. de cobinación perite eliinar 2 variables. Ejeplo: x y z + x y z + x y z + x y z = y z + y z = z z (0,0,1) (0,1,0) (0,0,0) (0,1,1) y (1,0,0) (1,0,1) x (1,1,1) (1,1,0) 4

2 Métodos de iniización Mapa de Karnaugh de 3 Variables Estas ideas de distancia, adyacencia y eliinación de variables por cobinación se pueden extender a diensiones ayores, y son la base de los étodos prácticos de iniización de funciones lógicas: A B Mapa de Karnaugh, propuesto en 1953, perite el trataiento anual de funciones de 2 a 6 variables. Algorito de Quine-McCluskey, propuesto por W. V. Quine en 1955 y odificado por E. J. McCluskey en 1956; usado por prograas de coputadora, perite iniizar funciones de cualquier taaño. B } C C } A 5 6 Mapa de 3 Variables (intérinos) Los puntos del iso color indican recuadros Mapa de 3 Variables (Maxtérinos) Los puntos del iso color indican recuadros = B.C = A.C M0. M4 = B+C M1. M3 = A+C = A.B = A M6. M7 = A +B M4. M5. M6. M7 = A 8 10

3 Mapa de Karnaugh de 4 Variables Mapa de 4 Variables (intérinos) C 01! " # 10 B A! " # D A ! " # D C! " # B Los puntos del iso color indican recuadros = A.B.D = B.D = B.C.D = A.C!(1,3,5,7,9,,13,15) = D 13 Mapa de 4 Variables (Maxtérinos) Mapa de 5 Variables (intérinos) Los puntos del iso color indican recuadros Los puntos del iso color indican recuadros M12. M14 = A +B +D M1. M9 = B+C+D M2. M3. M6. M7 = A+C M0. M2. M8. M10 = B+D "M(1,3,5,7,9,,13,15) = D = A.B.C.E!(9,,13,15) = A.B.E 15!(16,18,24,26) = A.C.E = B.C.D.E 17

4 Mapa de 5 Variables (intérinos) Los puntos del iso color indican recuadros Mapa de 5 Variables (Maxtérinos) Los puntos del iso color indican recuadros!(4,6,20,22) = B.C.E!(10,,26,27) = B.C.D!(1,5,9,13,17,21,25,29)=D.E!(0,8,16,24) = C.D.E M4. M6 = A+B+C +E "M(9,,13,15) = A+B +E 19 "M(16,18,24,26) = A +C+E M1. M17 = B+C+D+E 21 Mapa de 5 Variables (Maxtérinos) Los puntos del iso color indican recuadros Mapa de 6 Variables (intérinos) = A.C.D.E.F "M(4,6,20,22) = B+C +E "M(1,5,9,13,17,21,25,29)=D+E "M(10,,26,27) = B +C+D "M(0,8,16,24) = C+D+E = B.C.D.E.F!(13,29,45,61) = C.D.E.F!(1,3,17,19,33,35,49,51) = C.D.F!(32,36,40,44)= A.B.E.F 25

5 Mapa de 6 Variables (Maxtérinos) Miniización de funciones con Mapas de Karnaugh M14+M30 = A+C +D +E +F M10+M42 = B+C +D+E +F "M(13,29,45,61) = C +D +E+F "M(1,3,17,19,33,35,49,51)= C+D+F "M(32,36,40,44) = A +B+E+F Iplicante: grupo de intérinos o axtérinos Iplicante prio: es aquel que no está contenido en otro. Iplicante prio esencial: un iplicante que cubre a un o M que no aparece en ningún otro iplicante Miniización de funciones con Mapas de Karnaugh 1 10 El apa contiene iplicantes: 5 intérinos, 5 pares de intérinos, y un grupo de 4 intérinos Hay dos iplicantes prios: 4+5 y!(5,7,13,15) Abos iplicantes prios son esenciales. Miniización de funciones con Mapas de Karnaugh Para obtener una expresión ínia a partir del apa de Karnaugh: Toar todos los iplicantes prios esenciales Copletar la cobertura de térinos de la función usando la enor cantidad posible de iplicantes prios no esenciales Se debe dar prioridad a aquellos iplicantes que contengan el enor núero de literales 29 30

6 Miniización de funciones con Mapas de Karnaugh Miniización de funciones con Mapas de Karnaugh El apa contiene 8 iplicantes prios. Si no existe ningún iplicante esencial, se toa uno cualquiera coo si lo fuera y se procede a partir de él En cualquier caso es posible que existan varias expresiones diferentes con la isa coplejidad No hay ningún iplicante esencial Ejeplos Ejeplos Miniizar F(A,B,C) =!(2, 3, 4, 6, 7) C Miniizar F(A,B,C) = "M(0, 1, 5) C F(A,B,C) = B + A C F(A,B,C) = (A + B) (B + C ) Miniizar F(A,B,C,D) =!(4, 5, 7, 13, 15) 1 10 F(A,B,C,D) = B D + A B C 34 35

7 Ejeplos Ejeplos Reducir F(A,B,C,D) = "M(0, 1, 2, 4, 5, 8, 10) F(A,B,C,D) = (A+C) (B+D) Reducir F(A,B,C,D) = "M(0, 1, 2, 4, 5, 8, 10) F(A,B,C,D) = (A+C) (B+D) Reducir F(A,B,C,D) = #!(3,6,7,9,,12,13,14,15) 1 F(A,B,C,D) = # A B + C D + A D + B C Ejeplos Ejeplos Miniizar F(A,B,C,D,E) =!(2, 4, 6, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 24, 25, 26, 29) A = 0 A = 1 BC BC DE DE F(A,B,C,D,E) = A.C.D + C.D.E + A.C.E + B.C.D.E Reducir F(A,B,C,D,E,F) ="M(5,7,10,, 21,23,26,27,37,42, 43,48,49,50,51,58, 59) F(A,B,C,D,E,F) = (C'+D+E'). (A'+B'+C+D). (A+C+D'+F'). (B+C+D'+E+F') A = 0 A = 1 EF EF B = EF EF B =

8 Ejeplos Problea de Votación Miniizar F(A,B,C,D) =! A,B,C,D (0,2,4,5,10,,13,15) F = A C D +B C D+A C D+B C D F = A B D +A B C +A B D+A B C Un coité de cuatro iebros (A, B, C y D) debe toar decisiones por ayoría siple. En caso de epate, el voto del presidente del coité (A) es decisivo. Hallar una función lógica ínia que valga 1 cuando el voto sea aprobatorio, y 0 en caso contrario. 1 1 V = A B + A C + A D + B C D Suador Copleto Suador Copleto X n Y n Ci n... X 2 Y 2 Ci 2 X 1 Y 1 Ci 1 X 0 Y 0 Ci 0 XY Cin X Y Cin C n S n C 2 S 2 C 1 S 1 C 0 S 0 S = X Y Cin + X Y C in + X Y C in + X Y Cin S = X! Y! Cin X Y C in C out S X Y Cin Cout S S = X! Y! Cin XY Cin Cout = XY + XCin +YCin 41 Cout = XY + XCin +YCin 42

9 Convertidor de Binario a Convertidor de Binario a B3 B2 B1 B0 G3 G2 G1 G G3 = B3 43 B3 B2 B1 B0 G3 G2 G1 G G2 43 Convertidor de Binario a Convertidor de Binario a B3 B2 B1 B0 G3 G2 G1 G G1 43 B3 B2 B1 B0 G3 G2 G1 G G0 43

10 Convertidor de Binario a Convertidor de Binario a B3 B2 B1 B0 G2 G1 G3 G3 = B3 G2 = B3! B2 G3 = B3 G2 = B 3B2 + B3B 2 = B3! B2 G1 = B2! B G0 G1 = B2B 1 + B 2B1 = B2! B1 G0 = B 1B0 + B1B 0 = B1! B0 Gk = Bk+1! Bk G0 = B1! B Convertidor de Código Convertidor de Código G3 G2 G1 G0 B3 B2 B1 B B3 = G3 46 G3 G2 G1 G0 B3 B2 B1 B B2 46

11 Convertidor de Código Convertidor de Código G3 G2 G1 G0 B3 B2 B1 B B1 46 G3 G2 G1 G0 B3 B2 B1 B B0 46 Convertidor de Código Convertidor de Código G3 G2 G1 G0 G3 G2 G1 G0 B2 B1 B3 B2 B3 B2 B0 B3 = G3 B2 = G 3G2 + G3G 2 = G3! G2 B1 = G 3G2 G 1 + G3G 2 G 1 + G 3G 2 G1 + G1 = G3!G2!G1 B0 = G3! G2! G1! G0 Bk = Gn 1! Gn 2!...! Gk B1 B0 B1 B