Sistemas dinámicos - Estabilidad

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1 Sistemas dinámicos - Estabilidad Por correcciones, dudas o sugerencias escribir a [email protected] 1. Caracterización general A diferencia de los análisis estático o estático-comparativo, donde se supone a priori la existencia de un punto de equilibrio, en el caso de los problemas dinámico el objetivo es analizar si las variables de interés convergen o no a determinados valores de equilibrio. Para desarrollar este análisis es necesario conocer la forma del cambio de las variables a lo largo del tiempo; a partir de lo cual, si se adicionan ciertas condiciones iniciales, se podrá determinar inequívocamente sus traectorias temporales óptimas. Este tipo de estudio difiere si se considera al tiempo como variable continua o discreta, aplicando los conceptos de ecuaciones diferenciales ecuaciones en diferencia respectivamente. La interpretación económica de ambas situaciones es diferente; en el caso continuo asumimos que los procesos suceden en cada instante, mientras que en el caso discreto se supone que la actividad se encuentra concentrada en el final de cada período el cual coincide con el comienzo del siguiente. En el caso particular de estos apuntes, nos centraremos en el estudio de la estabilidad para el caso continuo, por lo que trabajaremos con ecuaciones diferenciales. Más aún, dado que trabajaremos con más de una variable que se necesita de una ecuación por cada variable para determinar su evolución, nuestros problemas se transformarán en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. Dada esta caracterización general, estudiar la estabilidad de un modelo puede asimilarse a la idea de ver qué sucede con el comportamiento de las variables en un problema dinámico cuando se altera levemente su formulación. Esto es, analizar tanto si las variables convergen o no al equilibrio como la forma en que lo hacen, si nos encontramos en un entorno cercano del mismo. Y como la naturaleza del análisis dinámico radica en la evolución temporal de las variables, el equilibrio puede interpretarse como un equilibrio intertemporal. A continuación se presentan los distintos tipos de equilibrio intertemporal: 1. Nodos. Cuando todas las traectorias de la variable asociadas al equilibrio fluen directamente no cíclica hacia él, estamos en presencia de un nodo estable; por el contrario, si las traectorias se alejan del equilibrio de forma no cíclica estamos frente a un nodo inestable. 1

2 Figura 1: Nodo estable 2. Punto silla. Se corresponde con aquel punto que es estable para ciertas traectorias e inestable en otras. A las primeras se las llama ramas estables a las segundas ramas inestables. Figura 2: Punto silla 3. Foco. En este tipo de equilibrio las traectorias fluen de forma cíclica hacia él foco estable o fluen cíclicamente alejándose foco inestable. 2

3 Figura 3: Foco estable 4. Vórtice. Es aquel punto en el que las traectorias orbitan alrededor del equilibrio en movimiento perpetuo. Es decir, al igual que un foco, es un movimiento cíclico, pero el equilibrio es inalcanzable independientemente del punto inicial. Es por tanto un equilibrio inestable. Figura 4: Vórtice 3

4 2. Formulación del modelo En esta sección se describe brevemente un modelo básico de resolución de un problema de estabilidad en tiempo continuo. Como se mencionó anteriormente, el objetivo es determinar si la traectoria de la viable de interés converge o no al equilibrio intertemporal, a partir de cierta condición inicial una ecuación de comportamiento de la misma ecuación que describe el cambio de la variable a lo largo del tiempo. En primer lugar, a modo de simplificación recogiendo la forma general que se presenta en el curso, una ecuación diferencial de primer orden grado, con coeficientes término constantes puede escribirse de la siguiente forma: d dt + αt = β, 1 donde t representa el tiempo variable independiente, t la variable de interés dependiente del tiempo α, β constantes reales. A modo de simplificación de la notación expresemos d dt = ẏ. Como se ha visto en cursos anteriores, resolver esta ecuación diferencial implica hallar la función t de forma que cumpla la igualdad. Dicha solución consta de dos partes: una solución general homogénea h una solución particular no homogénea nh, como se indica en la siguiente ecuación: t = h + nh. 2 La característica más interesante de este tipo de soluciones es que cada componente posee una interpretación económica particular en términos del análisis de estabilidad. Es así que se asociará h con la desviación del equilibrio e nh con el equilibrio intertemporal. Por tanto, el equilibrio será estable convergerá si la traectoria temporal de la variable t tiende a nh cuando t. En suma: t }{{} traectoria temporal = h }{{} desviación del equilibrio + }{{} nh. 3 equilibrio intertemporal Ahora bien, los modelos económicos analizados en el curso cuentan con ciertas características específicas, para las cuales la forma típica de resolución de ecuaciones diferenciales no es directamente aplicable. En primer lugar, como a fuera mencionado, se trabaja usualmente con más de una variable por tanto con más de una ecuación de comportamiento, por lo que será necesario conocer cómo resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. En 4

5 segundo lugar, usualmente en los modelos económicos se utilizan relaciones de comportamiento generales, donde no se especifica una forma funcional explícita para describir las relaciones entre las variables. Esto nos obliga a requerir de algún metodo matemático que permita aproximar dichas funciones de comportamiento a una forma funcional conocida, por lo que se utilizará el polinomio de Talor de primer orden como aproximación. Finalmente, dado que el objetivo es estuidar qué sucede cerca del equilibrio, el polinomio se evaluará en dicho punto. 5

6 3. Resolución del modelo: un caso general El caso que analizaremos a continuación se basa en un modelo con dos variables endógenas, cuas ecuaciones de comportamiento son ecuaciones diferenciales de primer grado, primer orden, con coeficientes términos constantes. Adicionalmente, se supone que el coeficiente que multiplica a la derivada de la variable endógena es 1 el término constante 0. Supongamos que nuestras variables endógenas son x e, considerando los supuestos mencionados arriba, las ecuaciones de comportamiento también llamadas de movimiento son: { ẋ = fx, ẏ = gx,. 4 Como no se conoce la forma explícita de las funciones fx, gx,, se aproximan sus valores mediante el desarrollo de Talor de primer orden, evaluado en el punto de equilibrio el cual denominaremos x, ȳ. Así, ambas funciones pueden aproximarse como: { fx, f x, ȳ + fx x, ȳx x + f x, ȳ ȳ gx, g x, ȳ + g x x, ȳx x + g x, ȳ ȳ, 5 donde f x x, ȳ, f x, ȳ, g x x, ȳ, g x, ȳ representan las derivadas parciales respecto de las variables endógenas evaluadas en el punto de equilibrio. Adicionalmente, dado que estamos evaluando el polinomio en dicho punto, el primer sumando del lado derecho de la igualad es 0. De esta manera, el polinomio de Talor queda expresado de la siguiente manera: { fx, fx x, ȳx x + f x, ȳ ȳ gx, g x x, ȳx x + g x, ȳ ȳ, 6 Sustituendo este resultado en las ecuaciones de movimiento se tiene que: { ẋ = fx x, ȳx x + f x, ȳ ȳ ẏ = g x x, ȳx x + g x, ȳ ȳ, 7 reagrupando de forma tal que en el lado izquierdo de la igualdad figuren los términos variables en el derecho los términos constantes, el sistema de ecuaciones diferenciales queda defino como: { ẋ fx x, ȳx f x, ȳ = f x x, ȳ x f x, ȳ ȳ ẏ g x x, ȳx g x, ȳ = g x x, ȳ x g x, ȳ ȳ. 8 6

7 Con motivo de simplificar la notación escribiremos las derivadas parciales evaluadas en el equilibrio, f i x, ȳ, simplemente como f i, para i = x,. Representemos ahora el sistema en términos matriciales: ẋ ẏ g x g x = g x g x ȳ. 9 Cabe aclarar que la matriz identidad premultiplicando el vector de derivadas respecto del tiempo de las variables endógenas, si bien no es estrictamente necesaria para la formulación matricial, posee gran utilidad a los efectos de poder resolver el sistema de ecuaciones, como veremos más adelante. Mirando detenidamente esta ecuación, vemos que la matriz que premultiplica a nuestras variables endógenas es la matriz Jacobiana de las funciones del problema la que denominaremos J. Ahora bien, como vimos en la ecuación 3, analizar la estabilidad del modelo implica resolver la ecuación diferencial. Esto equivale a encontrar la solución general homogénea lo que llamamos desviación del equilibrio la ecuación particular no homogénea equilibrio intertemporal. Veamos cómo se resuelve esto en el caso del sistema de ecuaciones diferenciales. Solución general homogénea Como es sabido, la solución general homogénea implica resolver la siguiente ecuación: ẋ ẏ g x g x = Las solución general será de la siguiente forma: x = e λt, 11 por lo que las derivadas respecto al tiempo serán: ẋ ẏ = λ e λt. 12 Si ahora sustituimos en 10 luego reordenamos se obtiene que: λ e λt g x g e λt = 0 0, 13 7

8 1 0 observando que λ 0 1 en la ecuación 13, λ 0 = posteriormente tomando como factor común 0 λ e λt, se tiene que: λ fx f g x λ g e λt = Como sabemos que e λt es estrictamente positivo sin importar el valor de λ solo pueden existir dos tipos de casos en la solución para la ecuación 14. La primera es que las constantes, A 1 = = 0, lo que implica que no existe traectoria temporal de las variables x e ; resultado inconsistente desde el punto de vista económico con los supuestos iniciales. La otra opción, relevante a los efectos de nuestro estudio, es que la matriz 2 2 no sea invertible por tanto exista una solución no nula que dependerá del valor que asuma el parámetro λ. Para que la matriz no sea invertible es necesario suficiente que su determinante sea igual a 0. Veamos cómo proceder en este segundo caso. Para comenzar calculemos el determinante de la matriz en cuestión: λ fx f det g x λ g realizando distributiva agrupando en λ tenemos: λ fx f det g x λ g = λ f x λ g f g x, = λ 2 f x + g λ + f x g f g x. 15 Obtenemos así un polinomio de grado dos en λ llamado polinomio característico de la matriz J, donde sus coeficientes son 1, trazaj detj respectivamente. Así, la solución dependerá del signo magnitud de la trazaj el detj. Este particular resultado es fundamental para el análisis de estabilidad. Previo a plantearnos la solución analítica de las raíces de este polinomio, veamos lo que se denomina Regla de Descartes. Esta regla nos permitirá, bajo ciertas circunstancias, determinar la estabilidad o no del problema analizado. Un posible enunciado sería: existen tantas raíces reales positivas como cambios de signo presentan los coeficientes del polinomio característico. Si recordamos que las soluciones de la ecuación homogénea son de la forma Ae λt aquí A es una matriz columna cuas entradas son A 1, la Regla de Descartes nos permitirá afirmar que: 8

9 1. si existen dos cambios de signo el polinomío tendrá dos raíces reales positivas, por lo que la ecuación homogénea divergirá a infinito cuando t, teniendo por tanto un equilibrio inestable nodo inestable; 2. si existe un solo cambio de signo tendremos una raíz real positiva por tanto la otra negativa, teniendo así un punto silla; 3. no existen cambios de signo, por lo que las raíces o bien pueden ser reales negativas o complejas en este caso serán conjugadas porque el polinomio tiene coeficientes reales. Para determinar la solución de este caso necesitamos conocer el signo del discriminante de las raíces del polinomio característico. Volvamos pues al cálculo de las raíces de dicho polinomio. A partir de la ecuación 15 obtenemos: λ 1, λ 2 = f + g x ± f + g x 4f g x f x g 2 = trazaj trazaj 2 4 detj Así, la solución del problema dependerá del signo del discriminante el número debajo de la raíz cuadrada, pudiendo identificar los siguientes casos: 1. Dos raíces reales distintas a las que llamamos λ 1 λ 2 : trazaj 2 > 4 detj, a λ 1 < 0, λ 2 < 0 Nodo estable. b λ 1 > 0, λ 2 > 0 Nodo inestable. c λ 1 < 0, λ 2 > 0 Punto silla. 9

10 2. Dos raíces reales iguales a la que llamamos λ: trazaj 2 = 4 detj a λ < 0 Nodo estable. b λ > 0 Nodo inestable. 3. Dos raíces complejas: trazaj 2 < 4 detj. En este caso las raíces son conjugadas pueden escribirse de la forma h ± v i, siendo i = 1. La estabilidad o no del modelo depende aquí del signo de la parte real de la raíz compleja, es decir, decidiremos en función del valor de h. Así se tiene que: a h < 0 Foco estable. b h > 0 Foco inestable. c h = 0 Vórtice. Solución particular no homogénea Para completar la solución del modelo debemos hallar la solución particular no homogénea. Recordamos la ecuación 9, ẋ ẏ g x g x = g x g x ȳ. 17 Dado que el término independiente es constante, las soluciones particulares también lo serán no dependerán del tiempo, por lo que: x x0 =, por lo tanto: 0 ẋ ẏ = 0 0. Sustituendo ambas igualdades en 9 llegamos a: g x g x0 0 = g x g x ȳ. 18 Para poder resolver esta igualdad debemos saber el signo del detj. Si éste fuera 0 la matriz J no tiene inversa la solución es la trivial, x 0 = 0 = 0. En caso contrario, la matriz tiene inversa obtenemos la solución económicamente interesante generalmente la única posible: 10

11 x0 0 = Por lo tanto, la solución particular homogénea es constante coincide con el punto de equilibrio. En suma, el análisis de la estabilidad dinámica de un modelo económico a partir de ecuaciones de movimiento tiene por desarrollo analítico la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales. La estabilidad o no, directa o fluctuante, estará determinada por las raíces del polinomio característico derivado de la solución general homogénea; coeficientes que en nuestro desarrollo denominamos con la letra λ. Por supuesto, aunque no lo veremos aquí, este resultado se encuantra directamente relacionado a los supuestos de comportamiento del modelo, conduciéndonos en cada caso particular a diversas interpretaciones económicas del fenómeno estudiado. x ȳ. 11