Los sistemas de representación (II): axonometría ortogonal y oblicua

Transcripción

1 Los sistemas de representación (II): axonometría ortogonal y oblicua En la Unidad didáctica anterior hemos visto cómo el sistema diédrico nos permitía resolver problemas geométricos. Mediante sus proyecciones tenemos una representación precisa de las dimensiones de una figura situada en el espacio; pero la visión que nos ofrece este sistema no es lo suficientemente clara, resultan a veces demasiado abstracta, de tal manera que, es difícil identificar un objeto real. Para subsanar esta deficiencia del sistema diédrico debemos recurrir al uso de las perspectivas, que nos ofrecen una visión inmediata del contorno y la tridimensionalidad del objeto. Estos sistemas perspectivos, axonométrico y cónico, imitan la percepción humana, por lo que resulta complicado obtener verdaderas magnitudes, o resolver problemas geométricos; sin embargo, nos ofrecen la posibilidad de representar la realidad tridimensional de un objeto a partir de sus vistas diédricas. Mediante el sistema axonométrico, al superponer las tres proyecciones diédricas (alzado, planta y perfil) vamos a obtener una visión tridimensional de cualquier forma (plana, pieza, sólido, etc.) La principal finalidad del sistema axonométrico es facilitar al espectador (que puede desconocer el dibujo técnico) la comprensión de los distintos elementos que conforman un proyecto: como ejemplo sirve la imagen superior: sin su perspectiva isométrica sería difícil interpretarla, salvo que se conozcan los fundamentos del sistema diédrico.

2 1. Generalidades El sistema axonométrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal u oblicua, sobre un plano principal y tres planos auxiliares, por tanto, resulta más complejo que el sistema diédrico, ya que obtenemos cuatro proyecciones, una de ellas directa. Los tres planos auxiliares forman un triedro trirrectángulo; la relación de este respecto del plano principal determinan las distintas perspectivas axonométricas. En la imagen superior tienes un ejemplo de la disposición del triedro y las perspectivas que se originan.

3 1.1. Fundamentos Actividad Mediante el sistema axonométrico podemos representar un objeto de forma clara, pero distorsionando la visión real que tendríamos de él. El sistema axonométrico se basa en la proyección cilíndrica, ortogonal u oblicua. Los planos que intervienen en este sistema son cuatro: tres planos perpendiculares entre sí, el triedro trirrectángulo; y un plano de proyección principal (desde ahora plano del cuadro) en el que se apoya el triedro anterior, en un vértice o una de sus caras. Las proyecciones de las aristas del triedro sobre el plano del cuadro son los ejes de la axonometría. Cuando representemos una forma, objeto, pieza, etc.. la situaremos siempre el espacio que define el triedro, por tanto, debemos proyectar ortogonalmente dicho objeto sobre las tres caras del triedro, para después proyectarlas (de forma ortogonal u oblicua) sobre el plano del cuadro. Las dos proyecciones son, en todo caso, cilíndricas. En las siguientes animaciones puedes ver cómo se originan las proyecciones de los ejes axonométricos.

4 Cuando proyectamos sobre el plano del cuadro un eje axonométrico su dimensión queda reducida, originándose una relación de proporcionalidad entre ésta y la real. En la axonometría ortogonal la reducción afecta a los tres ejes, en la animación inferior puedes ver cómo se reduce un segmento contenido en el eje Z. En la axonometría oblicua la reducción solamente afecta a un eje. En la animación inferior puedes ver cómo se origina la reducción de un segmento contenido en el eje Y.

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6 1.2. Elementos Vamos a explicar los siguientes elementos fundamentales del sistema axonométrico: el triedro trirrectángulo, la proyección cilíndrica (ortogonal u oblicua), el plano de proyección, el triángulo de las trazas y el ángulo de pendiente.

7 1.3. Coeficiente de reducción En el sistema diédrico vimos que cuando una recta es paralela a un plano de proyección al proyectarla sobre dicho plano obtenemos su verdadera magnitud; si la recta es oblicua las proyecciones tienen una longitud menor a la real, es decir, su magnitud queda reducida. En el sistema axonométrico una longitud contenida en los ejes axonométricos, proyectada sobre el plano del cuadro, sufre una determinada reducción en cada eje. Esta reducción viene determinada por el coeficiente de reducción, que es la relación entre la medida real de un segmento situado en el espacio y la de su proyección sobre el plano del cuadro. Para poder representar cualquier magnitud real, necesitaremos conocer la escala proyectiva, llamada escala axonométrica, que se calcula para cada eje axonométrico, según el ángulo que este forme con el plano del cuadro. Esta escala gráfica se obtiene multiplicando el valor de la unidad real por el coeficiente de reducción correspondiente. Actividad El valor del coeficiente de reducción depende de la magnitud del ángulo que forma cada eje con el plano del cuadro. En las axonometrías oblicuas, al estar una de las caras del triedro trirrectángulo contenida en el plano del cuadro, todo segmento contenido, o paralelo, a dicha cara, se proyectará en verdadera magnitud. Por tanto, solamente se le aplicará el coeficiente de reducción a un eje. Para calcular el coeficiente de reducción, en las axonometrías ortogonales, podemos emplear varios métodos: Matemático. Mediante el coseno del ángulo que forma cada eje con el plano del cuadro.

8 Actividad En isométrico mediante el tetraedro formado por la intersección de las aristas del triedro trirrectángulo con un plano paralelo al plano del cuadro, también podemos determinar el coeficiente de reducción: Gráfico. La intersección (traza ordinaria) de una cara del triedro, con el plano del cuadro, forma 90º con la arista de la otra cara. Al abatir dicha cara, esta formará con su traza 45º. En la imagen inferior, en perspectiva isométrica, puedes ver cómo la traza de la cara XY del triedro, con el plano del cuadro, forma 90º con el eje Z. La cara XY abatida forma 45º con la traza XY; así mismo el eje Y forma 30º con dicha traza. Recuerda que las aristas del triedro (ejes de la isometría) se cortan ortogonalmente dos a dos. Podemos simplificar todo lo anterior construyendo dos semirrectas que formen 45º y 30º respectivamente con una horizontal. Toda magnitud real colocada sobre la semirrecta del ángulo de 45º al proyectarse sobre el lado del ángulo de 30º quedará reducida según el coeficiente 0,816.

9 Objetivos Existe otro método gráfico, que permite un trazado más preciso; abatir el triángulo fundamental de las trazas, mencionado en el apartado anterior. Este recurso gráfico lo veremos en el siguiente curso. En la imagen izquierda tienes la demostración gráfica de la reducción de una magnitud real aplicando el coseno del ángulo de pendiente (el que forma cada eje axonométrico con el plano del cuadro). Con la siguiente aplicación, cortesía de Juan José Romero Anaya puedes calcular la reducción de una longitud real según el ángulo de pendiente. Como ejemplo comprueba la reducción isométrica de distintas longitudes; recuerda que el coeficiente de reducción para este tipo de axonometría es de 0,816 y que su ángulo de pendiente (35º 16' en sexagesimal) debes pasarlo al sistema mixto: 35.26º. Introduce la longitud real: Introduce el ángulo de pendiente (sin º): Calcular Limpiar Longitud reducida:

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11 2. Clases Dependiendo de cómo se sitúe el triedro trirrectángulo respecto del plano del cuadro y del tipo de proyección cilíndrica empleado tendremos dos tipos de proyecciones axonométricas: Ortogonal: el triedro trirrectángulo está apoyado sobre el plano del cuadro en su vértice, y usa la proyección cilíndrica ortogonal. Oblicua: el triedro trirrectángulo tiene una de sus caras (plano XOZ) contenida en el plano del cuadro y las otras dos perpendiculares a él. Usa la proyección cilíndrica oblicua. En la imagen superior se muestra una pieza dada por sus vistas diédricas y representada por su perspectiva axonométrica ortogonal y oblicua. Actividad Las perspectivas son representaciones planas que expresan con claridad las tres dimensiones propias de las formas volumétricas.

12 2.1 Ortogonal Antes de desarrollar lo contenidos de este apartado vamos a repasar los fundamentos y elementos de la axonometría ortogonal: Las diferentes posiciones que el triedro trirrectángulo adopta respecto del plano del cuadro (ángulos de pendientes) originan tres tipos de perspectivas axonométricas ortogonales: isométricas, dimétricas y trimétricas.

13 Actividad Nosotros emplearemos la perspectiva Isométrica para representar figuras planas y sólidos. Como vimos en el apartado anterior el coeficiente de reducción para cada uno de los ejes depende del ángulo que forme cada eje con el plano del cuadro. Considerando que la amplitud de dicho ángulo puede ser distinto para cada eje, tenderemos varios coeficientes de reducción. En la siguiente tabla tienes los coeficientes de reducción empleados con más frecuencia: VALORES AXONOMÉTRICOS MÁS USUALES Coeficientes Ángulos entre ejes Sistema Escalas de Reducción X Y Z XOY XOZ ZOY Isométrico 1 : 1: 1 0,816 0,816 0, º 120º 120º 1: 1/2 : 1 0,942 0,471 0, º 25' 97º 10' 131º 25' 1: 1/3 : 1 0,973 0,324 0, º 24' 93º 12' 133º 24' Dimétrico 1: 2/3 : 1 0,904 0,603 0, º 35' 102º 50' 128º 35' 1: 3/4 : 1 0,883 0,662 0, º 50' 106º 20' 126º 50' 1: 1/2 7/8 0,872 0,498 0, º 18' 92º 51' 98º 51' 1: 1/2 9/10 0,985 0,493 0, º 95º 11' 107º 49' Trimétrico 1: 1/2 15/16 0,92 0,644 0, º 105º 120º 1: 1/3 23/24 0,951 0,331 0, º 28' 92º 16' 110º 16' Actividad PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA: se aplica coeficiente de reducción. DIBUJO AXONOMÉTRICO: no se aplica coeficiente de reducción.

14 CUADRADO AXONOMÉTRICO Objetivos Para facilitar el trazado en la axonometría dimétrica el ángulo desigual lo forman los ejes X e Y. Así pues, el coeficiente de reducción es igual a los dos ejes, siendo distinto para el eje Z. En la imagen izquierda tienes un ejemplo de cómo se disponen los ejes en la axonometría dimétrica, la perspectiva del cuadrado queda representada como un rombo en el plano XOY y como un romboide en los planos XOZ y ZOY. Pre-conocimiento

15 Las axonometrías ortogonales se emplean, preferentemente, para representar piezas industriales, en otras ocasiones, se usan para proyectar diseños arquitectónicos, como el que aparece en la imagen superior izquierda (banco de imágenes del ITE, Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio de Educación). Desde hace unos años las axonometrías ortogonales, sobre todo la dimétrica, se emplean en el ámbito de los videojuegos ya que permite representar la realidad virtual desde un punto de vista bastante alto (casi a vista de pájaro). En la imagen superior central y derecha tienes dos ejemplos de videojuegos: Empire Earth y Los Sims para Facebook. AV - Pregunta Verdadero-Falso

16 Verdadero Falso

17 2.2. Oblicua El triedro está apoyado por una de sus caras en el plano del cuadro, dependiendo de qué cara sea, tendremos dos tipos: Perspectiva caballera: la cara XZ está contenida en el plano del cuadro. Perspectiva planimétrica o militar: la cara XY está contenida en el plano del cuadro. En la imagen superior tienes una perspectiva militar, observa cómo la planta está en verdadera magnitud, esto es así ya que los ejes X e Y forman 90º. Recordemos los fundamentos y elementos de la axonometría oblicua: Actividad COEFICIENTE DE REDUCCIÓN. Se expresa numéricamente como razón o cociente: 1/2, 2/3 ó

18 Perspectiva Caballera: se aplica al eje Y. Perspectiva Planimétrica o Militar: se aplica al eje Z. Objetivos La perspectiva planimétrica o militar se usa normalmente en diseños de obras civiles o arquitectónicas, ya que ofrece una visión en verdadera magnitud de la planta. El nombre de esta perspectiva deriva del uso que hacían de la misma los ingenieros y arquitectos militares. En la imagen izquierda puedes ver el diseño de una vivienda unifamiliar realizada en este tipo de perspectiva. AV - Pregunta de Elección Múltiple

19 magnitud? La perspectiva Caballera o Frontal La perspectiva Militar o Planimétrica

20 3. Representación En el sistema diédrico obteníamos dos proyecciones, una en cada plano de proyección, y otra auxiliar, llamada de perfil. En el sistema axonométrico, al tener un plano de proyección más, se obtiene una cuarta proyección llamada directa, por ser su proyección inmediata sobre el plano del cuadro. Las otras tres proyecciones son secundarias, pues, como se explicó anteriormente, se proyectan perpendicularmente sobre los planos del triedro y luego de forma ortogonal u oblicua, sobre el plano del cuadro, dependiendo del tipo de axonometría. En la imagen superior puedes ver un punto A situado en el espacio, entre los planos del triedro, y sus proyecciones axonométricas. También hemos proyectado otro punto B que junto con A conforman el segmento AB.

21 3.1. Notaciones La correspondencia entre este nuevo sistema y el anterior es la siguiente: Proyección plano XOY proyección horizontal PHP. Proyección plano XOZ proyección vertical PVP.P Proyección plano YOZ proyección de perfil. Así pues, para representar las proyecciones de un punto, recta o plano, usaremos las mismas notaciones que las empleadas en el sistema diédrico, con la salvedad de la proyección directa que siempre va en mayúscula. Ejemplo punto A, recta M y plano P. En el espacio: A, M y P Proyección Directa: A, M y P. Proyección plano XOY: a, m y P. Proyección plano XOZ: a', m' y P'. Proyección plano YOZ: a'', m'' y P''.

22 3.2. Sistema de coordenadas El triedro trirrectángulo de referencia, de vértice O. En la axonometría ortogonal divide al espacio en ocho triedros u octantes. Como origen de coordenadas tenemos al vértice O y las aristas OX, OY, OZ representan los ejes del sistema. Sus caras definen los planos coordenados o planos axonométricos: plano horizontal (XOY) y dos verticales (XOZ y ZOY). El primer triedro, zona ocupada por el observador, queda determinado por las direcciones positivas de las aristas, el resto queda conformado según se explica en a la siguiente animación: Actividad Solamente vamos a representar, mediante coordenadas, los puntos situados en el primer diedro. El sistema de coordenadas en Axonométrico que vamos a emplear es el mismo que usamos en el sistema diédrico, las coordenadas cartesianas (XYZ). Podemos localizar cualquier punto, y definir su proyección directa, si describimos su posición con respecto a los tres ejes X,Y, Z. El origen: se sitúa en el vértice (O) del triedro. A partir de él el sentido puede ser positivo o negativo. El ancho: el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la derecha, a partir de O El alto: el eje Z (coordenada altura o cota), sentido positivo hacia arriba, a partir de O. La profundidad: eje Y (coordenada de alejamiento), sentido positivo hacia la derecha, a partir de O. Representación de un punto por coordenadas. En la representación axonométrica, sin coeficiente de reducción, de un punto, dadas sus coordenadas, se sigue el procedimiento empleado en la imagen izquierda:

23 A). 1. Sobre cada eje axonométrico se coloca la coordenada correspondiente (sobre el eje X la coordenada X, etc.) 2. Por cada punto determinado en un eje se trazan paralelas a los otros ejes (por la coordenada del eje X se dibujan paralelas a los ejes Z e Y). 3. La intersección de dos paralelas determina la proyección secundaria del punto (paralelas a los ejes X y al Y determinan la proyección secundaria a). 4. Las paralelas trazada desde las proyecciones secundarias (a cada eje restante) determinan en su intersección la proyección directa del punto (las paralelas dibujadas por las proyecciones secundarias a y a' (a los ejes Z e Y respectivamente) determinan la proyección directa En la animación inferior puedes ver de manera detallada este procedimiento. Actividad Necesitamos dos coordenadas, como mínimo, para poder definir la proyección secundaria de un punto. En la imagen izquierda tienes las coordenadas axonométricas de los puntos A y B y los ejes isométricos X, Y, Z; tienes que dibujar las proyecciones isométricas de los puntos dados y del segmento M que pasa por dichos puntos.

24 Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

25 3.3. Paso de diédrico a Axonométrico Para realizar un dibujo o perspectiva axonométrica podemos emplear las plantillas de dibujo o crear una retícula, llamada PAUTA AXONOMÉTRICA formada por las direcciones de los ejes axonométricos. El origen de esta retícula es la pauta ortogonal, de estructura cuadrangular, cuyas direcciones son las de las vistas diédricas del objeto a representar. Así pues, al pasar del sistema diédrico al axonométrico, el cuadrado se adapta a los ejes axonométricos, transformándose en otro cuadrilátero (rombo o romboide). Para realizar un dibujo o perspectiva axonométrica podemos emplear las plantillas de dibujo o crear una retícula, llamada PAUTA AXONOMÉTRICA formada por las direcciones de los ejes axonométricos. Cuando representamos piezas en perspectiva axonométrica, normalmente recurrimos a la isometría, ya que la disposición de sus ejes facilita el trazado, ya sea con las plantillas de dibujo (los ángulos del cartabón coinciden con los ejes isométricos) o mediante la PAUTA ISOMÉTRICA. En la imagen superior tienes un ejemplo de representación isométrica mediante el empleo de una pauta isométrica Actividad Los procedimientos para pasar del sistema diédrico al sistema axonométrico los desarrollaremos con mayor detenimiento en los siguientes temas de esta unidada didáctica. CUADRADO AXONOMÉTRICO. Para entender la estructura de las pautas axonométricas es necesario entender cómo se adapta un cuadrado a los ejes de este sistema (axonometría ortogonal u oblicua). Axonometría ortogonal: se transforma en un ROMBO o ROMBOIDE. En la animación inferior puedes ver el dibujo isométrico de un cuadrado.

26 Axonometría oblicua: se transforma en un CUADRADO y en dos ROMBOIDES. En la animación inferior puedes ver la perspectiva caballera de un cuadrado (coeficiente de reducción 1/2). LA PAUTA ISOMÉTRICA: Cuando pasamos de una retícula ortogonal (PAUTA DIÉDRICA) al sistema ISOMÉTRICO obtenemos una retícula formada a partir de rombos cuyos lados siguen las direcciones de los ejes, por tanto, la estructura de dicha pauta será triangular (triángulos equiláteros). En la animación inferior puedes ver la estructura de dicha pauta y cómo quedan dispuesta en ella las vistas diédricas.

27 En la animación inferior puedes ver cómo se realiza un dibujo isométrico (sin coeficiente de reducción) de una pieza dadas sus vistas diédricas: alzado, planta y perfil derecho, sobre una pauta isométrica.

28 Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. En la imagen izquierda tienes representada una pieza, según sus vistas diédricas (planta, alzado y perfil derecho), sobre una pauta ortogonal; tienes que realizar su dibujo isométrico sobre la pauta isométrica de la derecha.

29 4. QCAD (XII) El dibujo de perspectivas isométricas es más sencillo cuando lo hacemos ayudado de una aplicación de diseño asistido. Para empezar, el problema que se plantea con los coeficientes de reducción, aquí queda facílmente resuelto directamente por el programa. No obstante, debemos tener presente que QCad es un programa de dibujo en dos dimensiones, lo que nos lleva a dibujar con el ordenador de forma similar a la que usamos al emplear el método tradicional de plantillas, compás, etc., sólo que tendremos algunas herramientas suplementarias que facilitarán la tarea.

30 4.1. Proyecciones isométricas Veamos cómo usar la herramienta que nos permite convertir una proyección ortogonal (las diédricas) en otra isométrica dentro de la aplicación QCad. En principio, debes tener claro que la herramienta que vas a estudiar no construye perspectivas de forma automática, sino que convierte una proyección ortogonal en otra isométrica. En la siguiente figura puedes observar la función de convertir la vista diédrica del alzado de una pieza, en la proyección de la misma sobre el plano XZ. La herramienta de proyección isométrica la encontramos en la parte inferior del menú principal de herramientas de la aplicación. El proceso para obtener la proyección isométrica a partir de una ortogonal es el siguiente: Las figuras obtenidas están compuestas por líneas comunes de QCad, y esto quiere decir que podemos hacer cualquier tipo de edición con ellas: recortar, alargar, girar, cambiar de capa, etc.

31 4.2. Coeficiente de reducción Ya sabes que al dibujar una figura en perspectiva isométrica, ésta sufre una reducción de 0,8165 aproximadamente. Cuando trazamos una proyección isométrica en QCad, esta reducción se aplica de forma automática y no tendrás que preocuparte por este asunto, aunque debes tenerlo presente siempre que realices una de estas perspectivas. Si deseas dibujar una isométrica sin la reducción, el proceso que deberás seguir es el de dibujarla normalmente (con reducción) y luego aplicar a esa figura la herramienta de edición Escalar, usando como coeficiente de reducción el que ya conoces de invertido. En la imagen de arriba puedes ver que en la ventana para indicar el factor de reducción, podemos introducir una fórmula. En ella, para indicar una raíz cuadrada escribimos sqrt (del inglés square root) y usando los paréntesis necesarios para establecer el orden operacional (igual que harías con una de las modernas calculadoras científicas). La fórmula introducida es sqrt(3/2): También podríamos haber escrito la expresión: 1/sqrt(2/3), que se corresponde con la expresión matemática: Ambas expresiones, como sabes, son equivalentes. En otros temas te hablaremos de forma detallada de las diferentes expresiones que puedes usar para introducir datos numéricos en QCad.

32 4.3. Personalización de entidades Para realizar los dibujos que vienen a partir de ahora será interesante que aprendas a ajustar las propiedades de las entidades -cada una de las líneas trazadas- sin que tengamos que crear una capa específica con ellas. Debes hacer visible la barra de herramientas Trazador en QCad, que activarás en Ver > Barras de herramientas > Trazador. En la siguiente imagen puedes apreciar los menús desplegados de la nueva barra que se incorpora a la barra superior en QCad Observa en ella que en el primer desplegable seleccionamos el color, en el segundo, el grueso de línea y en el tercero, el tipo de línea. Mediante esta barra puedes modificar las propiedades de todas las entidades que traces después de haber hecho los ajustes, y dichas propiedades prevalecerán sobre las de la capa en la que se encuentre la entidad o también si la cambias de capa. Ten en cuenta que este menú no nos sirve para modificar las propiedades de las entidades ya dibujadas. Para modificar propiedades en entidades que ya se encuentran dibujadas tendremos que acudir al menú de herramientas de edición (Edit) y seleccionar la herramienta Atributos, que abrirá una ventana de ajuste que puedes ver en la siguiente imagen. Para proceder al cambio, 1. selecciona la(s) entidad(es) a modificar, 2. pulsa sobre botón de la herramienta y 3. haz los ajustes que desees

33 4.4. Practica lo aprendido 1. Para practicar las proyecciones isométricas, realiza los siguientes ejercicios sobre figuras planas: A. Dibuja los tres ejes isométricos para delimitar los planos de proyección. Crea una capa para ello. B. En la capa 0 dibuja un cuadrado de 20 cm de lado. C. Dibuja las tres proyecciones isométricas cuidando de que el resultado final sea parecido al que te mostramos en la siguiente imagen. 2. Construye una plantilla con un pautado ortogonal (para vistas diédricas) y otro isométrico siguiendo los pasos siguientes: A. Traza los márgenes siguientes a un formato A4 (más adelante veremos la forma normalizada de trazar los márgenes, pero ahora nos vendrá bien trazarlos con estas medidas) B. Traza el siguiente cajetín de datos en la esquina inferior derecha de los márgenes del formato. C. Traza una retícula ortogonal formada por 15 líneas verticales y 15 horizontales de 140 mm de longitud situándola como se indica en la imagen.

34 D. Para la rejilla isométrica dibuja un cuadrado de 10 mm de lado con la diagonal y paralelas a ésta que ves en la siguiente imagen. E. Trázale la vista de arriba para obtener la imagen siguiente (puedes borrar el cuadrado anterior del paso D, puesto que no se va a usar). F. Mediante la opción Mover/copiar múltiple (herramienta de edición), copia 11 veces la figura del paso 2 para obtener una imagen como la siguiente. G. Mediante la opción Mover/copiar múltiple, copia 11 veces la figura del paso 3 para obtener una imagen como la siguiente. H. Sitúa la rejilla isométrica hasta obtener el resultado final como el siguiente

35 Observa que para las rejillas hemos elegido un color gris para que no interfieran demasiado cuando dibujemos sobre ellas.