CONOCIMIENTOS TEÓRICOS. 1 Características del sistema axonométrico

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1 9 Axonometría ortogonal y oblicua UNIDAD CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 1 Características del sistema axonométrico 2 Proyección de los elementos fundamentales 2.1 Representación del punto 2.2 Representación de la recta 2.3 Representación del plano 3 Trazas de un plano 3.1 Con las caras del triedro de referencia 3.2 Traza ordinaria de un plano 4 Determinación de intersecciones 4.1 De dos planos cualesquiera 4.2 Entre recta y plano 4.3 Entre dos superficies o sólidos 5 Determinación de verdaderas magnitudes 5.1 Determinación de la cota de un punto 5.2 Abatimiento de un plano 6 Formas de definir un sistema axonométrico APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Paso de diédrico a axonométrico 1.1 Abatimiento de las caras del triedro 1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones 2 Representación de sólidos 2.1 Cuerpos poliédricos 2.2 Cuerpos de revolución 3 El dibujo en perspectiva como parte del proyecto CUESTIONES Y EJERCICIOS

2 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua En el sistema diédrico, como hemos estudiado en las unidades anteriores, los objetos a representar se proyectan mediante proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos perpendiculares que, junto a un plano de perfil perpendicular a ambos, forman un triedro trirrectángulo (planos horizontal, vertical y de perfil de proyección). De la representación tridimensional anterior, pasamos a un único plano, el del papel, mediante abatimientos respecto a las intersecciones entre los tres planos anteriores. En el sistema axonométrico, inicialmente, usamos un triedro trirrectángulo de referencia sobre el que proyectamos también con proyección cilíndrica ortogonal. La diferencia entre ambos sistemas se halla en el momento de pasar del triedro trirrectángulo al plano del papel, que ahora denominamos plano del cuadro. En la axonometría realizamos una proyección ortogonal u oblicua sobre el plano del dibujo de las caras, aristas y vértice del triedro y una cuarta proyección, la directa, del propio objeto (Fig. 1). Fig. 1 En los próximos apartados, profundizaremos en algunos aspectos del sistema axonométrico en relación a lo ya expuesto en la unidad 12 de Dibujo técnico

3 Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD9 1 CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO Recordamos resumidamente las principales características de un sistema axonométrico: El plano de proyección o del cuadro puede ser cualquier plano, con tal de que no contenga un eje o de que no sea una de las caras del triedro trirrectángulo de referencia. Sobre este plano, las aristas ortogonales del triedro se proyectan según tres rectas, X, Y, Z, concurrentes en un vértice común O, que representan las proyecciones de los ejes axonométricos. De cada punto P del espacio, realizamos cuatro proyecciones: tres de ellas, P, P y P, sobre cada uno de los planos del triedro y una cuarta proyección, la directa del punto P, sobre el plano del cuadro (Fig. 1). De cada punto del espacio disponemos, en el sistema axonométrico, de cuatro proyecciones; las rectas que unen la proyección directa de un punto con cada una de las otras proyecciones son paralelas a cada uno de los ejes, siendo ésta la condición que caracteriza a las proyecciones de un punto. La intersección del triedro trirrectángulo de referencia con el plano del cuadro es un triángulo ABC, denominado triángulo de las trazas, (Fig. 2), cuyos vértices son las intersecciones de los ejes con el plano del dibujo. En aplicación del teorema de las tres perpendiculares, las proyecciones de los ejes coinciden siempre con las alturas del triángulo de las trazas. Los planos paralelos al del cuadro producen, como sección con el triedro trirrectángulo, triángulos semejantes al de las trazas. Fig. 2 Axonometría de la catedral de Chartres. 193

4 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua Del valor y de la relación entre los ángulos de pendiente, α, β y γ, depende el tipo de axonometría (Fig. 3): Isométrica. Con los tres ángulos de pendiente iguales; el triángulo de las trazas es equilátero y las proyecciones de los ejes forman ángulos iguales de 120º. Dimétrica. Cuando sean iguales dos de los ángulos de pendiente; el triángulo de las trazas es isósceles y las proyecciones de los ejes forman entre sí dos ángulos iguales y uno desigual. Trimétrica. Con los tres ángulos distintos; el triángulo de las trazas es escaleno y los ejes se proyectan formando tres ángulos desiguales. Fig. 3 2 PROYECCIÓN DE LOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES Conocidas las características de los sistemas axonométricos, en el presente apartado nos centraremos en la representación axonométrica del punto, de la recta y del plano. Trabajaremos sobre una terna isométrica por la facilidad de los trazados, aunque las representaciones que utilizaremos sean generalizables a cualquier otro sistema axonométrico. 2.1 Representación del punto Fig. 4 De cualquier punto del espacio obtenemos cuatro proyecciones, una directa o perspectiva, la proyección P de la figura 4, y otras tres laterales, P, P y P, estas últimas sobre las proyecciones de cada una de las caras del triedro trirrectángulo de referencia. A la proyección sobre el plano XY la llamamos horizontal y a las otras dos, primera y segunda vertical. A partir de dos cualesquiera de estas cuatro proyecciones, podemos determinar las otras dos y definir la posición del punto. 194

5 Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 9 UNIDAD Si la posición del punto coincide con uno de los planos proyectantes o con alguno de los ejes, las proyecciones anteriores presentan coincidencias, tal como podemos ver en los ejemplos de la figura Representación de la recta Del mismo modo que en los sistemas diédrico y acotado, las proyecciones de una recta vienen definidas al unir las proyecciones homónimas de dos de sus puntos. Así, en la figura 6, a partir de los puntos A y B de la recta r, determinamos sus proyecciones r, r y r. A los puntos de intersección de una recta con los planos coordenados los llamamos trazas de la recta. Excepto en los casos de paralelismo o perpendicularidad respecto a las caras del triedro de referencia, una recta tendrá Fig. 5 Fig. 6 tres trazas: a la intersección con el plano horizontal la denominamos H y a las intersecciones con los dos planos verticales, V 1 y V 2. Cada una de estas trazas se halla, como podemos ver en la figura anterior, en la intersección de la recta r con su proyección sobre ese plano coordenado; así, por ejemplo, la traza H está en la intersección de r y r. Las tres trazas se hallan alineadas sobre la proyección directa r de la recta. 195

6 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua En la figura 7, representamos otras rectas que cumplen condiciones particulares de paralelismo o perpendicularidad en relación a los planos de proyección; es aplicable el principio expuesto en el párrafo anterior, con las particularidades derivadas de cada posición espacial. Fig Representación del plano En los sistemas axonométricos, el plano queda determinado a través de sus intersecciones o trazas con las caras del triedro de referencia; cuando estas trazas son propias, se cortan dos a dos sobre las proyecciones de los ejes, definiendo un triángulo al que llamamos triángulo de trazas (Fig. 8). Fig. 8 En la figura 9, determinamos la trazas de un plano del que conocemos dos de sus rectas que se cortan en un punto I: la recta r, de la que conocemos su proyección r, y la recta s - s. Las trazas del plano α, definido por las dos rectas, unirán las trazas homónimas de éstas. Con los datos de las dos rec- Fig

7 Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD9 tas, determinamos sus trazas H r y V 2r, y H s y V 2s ; la unión de las dos trazas horizontales nos define la traza horizontal H α del plano y, del mismo modo, la unión de las dos verticales nos define la traza V 2α. Conocidas dos de las trazas, la tercera, V 1α, viene determinada por la unión de los puntos donde las otras dos cortan los ejes. De la figura anterior deducimos la condición que ha de cumplir una recta para pertenecer a un plano: sus trazas han de estar situadas sobre las trazas del plano. De forma similar, un punto pertenecerá a un plano cuando esté situado sobre una de las rectas del plano y tendrá, por tanto, sus proyecciones sobre las homónimas de la recta (punto I de la figura 9). 3 TRAZAS DE UN PLANO En las figuras anteriores, 8 y 9, hemos representado las trazas de un plano α con las caras del triedro de referencia en dos posiciones particulares de dicho plano. Veamos otras trazas importantes de un plano cualquiera o del plano del cuadro. 3.1 Con las caras del triedro de referencia Si el plano del cuadro pasa por el vértice del triedro trirrectángulo, su intersección con las caras de éste son tres rectas que pasan por dicho vértice O (Fig. 10). El eje Z es perpendicular a la cara XOY y, por tanto, a todas las rectas de dicho plano, incluida su intersección ϖ 3 con el plano del cuadro. Por el teorema de las tres perpendiculares, el eje Z y la traza ϖ 3 serán perpendiculares en sus proyecciones sobre el plano del cuadro. Aplicando similar razonamiento, determinamos las trazas ϖ 1 y ϖ Traza ordinaria de un plano Fig. 10 En un plano cualquiera, además de sus trazas con las caras del triedro, podemos considerar una cuarta traza: su intersección con el plano del cuadro o de proyección. Esta traza recibe el nombre de traza ordinaria del plano y se utiliza como charnela al realizar el abatimiento de un plano cualquiera sobre el del cuadro. La traza ϖ 1 (Fig. 11), es la intersección del plano YOZ con un plano del cuadro que pasa por el origen. V 1α es la intersección de un plano α con la cara YOZ del triedro de referencia; las rectas ϖ 1 y V 1α son coplanarias (ambas se hallan en la cara YOZ) y su punto común 2 de intersección es un punto que pertenece simultáneamente al plano α y al del cuadro, por lo que pertenece a la traza ordinaria de dicho plano. Un segundo punto 1, determinado de forma similar a la utilizada para hallar el punto 2, nos permite representar la traza ordinaria α 0 del plano. Fig

8 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua En un caso más general en que el plano del cuadro no pase por el origen, además de las trazas del plano tendremos, sobre la misma representación (Fig. 12), el triángulo ABC de las trazas; las intersecciones entre trazas coplanarias nos determinan puntos de la traza ordinaria del plano α. Así, AB y H α se cortan en el punto 1 perteneciente a la traza buscada. 4 DETERMINACIÓN DE INTERSECCIONES Fig. 12 Uno de los problemas más habituales planteados en cualquier sistema de representación es la determinación de intersecciones. Mediante procedimientos muy similares a los utilizados en el sistema diédrico, veamos cómo determinar algunas de las intersecciones más frecuentes en el sistema axonométrico. 4.1 De dos planos cualesquiera Para encontrar las proyecciones axonométricas de la recta intersección de dos planos cualesquiera, nos basta con determinar dos de sus puntos. Las trazas de los planos α y β (Fig. 13), se cortan en los puntos A y B, que pertenecen a la recta i común a ambos planos; estos puntos son las intersecciones entre las trazas homónimas de ambos planos, V 1α con V 1β y V 2α con V 2β. Obtenida la proyección directa i de la recta intersección, referimos las proyecciones de los puntos A y B a los ejes para determinar las restantes proyecciones i', i'' e i''' de la recta buscada. Fig

9 Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 9 UNIDAD En la figura 14 hemos resuelto la intersección entre dos planos, uno oblicuo y el otro paralelo a la cara XOZ; este último es perpendicular a las otras dos caras, por lo que será proyectante respecto a ellas y sus trazas H β y V 1β contendrán a las proyecciones i' e i'' de la recta de intersección. La proyección directa de la recta i la determinamos como en el caso anterior. 4.2 Entre recta y plano Para encontrar el punto de intersección entre una recta r r' y un plano dado por sus trazas con las caras del triedro (Fig. 15), trazamos un plano auxiliar que contenga a la recta; en el ejemplo de la figura se ha utilizado uno de los planos proyectantes de la recta. La intersección entre las trazas de ambos planos nos permite determinar la proyección directa i de su recta de intersección; la intersección entre r e i es el punto I buscado, en que la recta r incide con el plano α y que, considerando opaco al plano, separa las partes vista y oculta de la recta. Fig Entre dos superficies o sólidos Como en el sistema diédrico, suele resolverse utilizando planos auxiliares secantes que pasan por los vértices de uno de los cuerpos; estos planos cortan a ambos en intersecciones que, finalmente, determinan puntos de la intersección buscada. Busquemos la intersección entre el paralelepípedo y la pirámide de la figura 16; ambos cuerpos tienen sus bases apoyadas en el plano XOY. Por la proyección V' del vértice de la pirámide, hacemos pasar planos auxiliares verticales que, pasando por cada uno de los vértices de su base, cortarán al paralelepípedo según generatrices verticales. Los planos auxiliares H α y H β nos permiten encontrar los puntos A y B comunes a ambos cuerpos; cada uno de ellos, unido con los puntos directos de intersección entre sus bases, C, D y E, F, definen las secciones comunes ACD y BEF. Fig. 15 El tercer plano auxiliar, Hγ, corta la base del paralelepípedo en dos puntos que, referidos a la cara superior, nos ayudan a encontrar el punto G, perteneciente a la intersección de la pirámide con la cara superior del otro poliedro. Para completar la sección GHI, tenemos en cuenta que las secciones de dos planos paralelos sobre un mismo cuerpo son paralelas; por tanto, cada uno de los lados del triángulo GHI será paralelo al correspondiente de la base de la pirámide. Fig

10 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua 5 DETERMINACIÓN DE VERDADERAS MAGNITUDES El abatimiento de un plano, respecto a su intersección con el plano del cuadro, es la forma habitual de tener a éste y a los elementos que contiene en verdadera magnitud. 5.1 Determinación de la cota de un punto Antes de realizar el abatimiento de un plano, y para utilizar el procedimiento habitual que conocemos del sistema diédrico, determinamos la cota o altura de un punto P respecto a un plano del cuadro que suponemos pasa por el origen O (Fig. 17). Fig. 17 Por las proyecciones del punto P P', trazamos la horizontal h h' y por sus trazas V 1 y V 2, trazamos las trazas de un plano α paralelo al del cuadro que, lógicamente, contiene el punto P; cada una de las trazas de este plano α es perpendicular a la correspondiente proyección de los ejes. El segmento MON es un triángulo rectángulo visto de perfil, de hipotenusa MN en verdadera magnitud y catetos MO y NO. Respecto a MN, podemos abatir el anterior triángulo sobre el plano α, obteniendo el triángulo rectángulo MO 0 N. El segmento OO 0 es la altura de este triángulo en relación a su hipotenusa, valor que coincide con la distancia entre el plano del cuadro y el plano α y, además, con la altura z del punto P respecto al plano del cuadro. 5.2 Abatimiento de un plano El abatimiento de un plano respecto al plano del cuadro toma como charnela la traza ordinaria, α 0, de dicho plano. Así, el proceso seguido para abatir el plano α de la figura 18 ha sido el siguiente: Fig

11 Axonometría ortogonal y oblicua CONOCIMIENTOS TEÓRICOS UNIDAD9 Determinamos la traza ordinaria α 0 del plano, tal como realizamos en 3.2. Consideramos el punto A A' en que el plano corta al eje X y determinamos su altura z respecto al plano del cuadro que pasa por el origen y, en relación al cual, realizaremos el abatimiento; procedimiento que acabamos de aplicar en 5.1 Por A A' trazamos la paralela y la perpendicular a la charnela del abatimiento, traza α 0, llevando la altura z del punto A sobre la primera de ellas. El punto de corte de la perpendicular anterior con la charnela del abatimiento es el centro de un arco, que nos sitúa sobre dicha perpendicular la posición abatida, A 0, del punto A. Prolongamos V α2 hasta cortar a α 0 en un punto doble del abatimiento que, unido con A 0, nos permite determinar la traza (V α2 ) 0 y sobre ella, B 0. La posición abatida de las otras dos trazas del plano pasa por A 0 y B 0, y por los puntos dobles en que dichas trazas inciden en la charnela α 0. Como ocurría en el sistema diédrico, existe también una relación de afinidad entre la proyección directa de una figura y su correspondiente abatimiento. El eje de esta afinidad es la charnela del abatimiento y su dirección, la perpendicular a la charnela. Conocidos una pareja de puntos afines, la relación de afinidad facilita la determinación de una figura abatida y en verdadera magnitud. 6 FORMAS DE DEFINIR UN SISTEMA AXONOMÉTRICO Utilizar un sistema de perspectiva axonométrica significa hacer dibujos en tres dimensiones según tres direcciones fijas, las de los tres ejes, midiendo sobre ellas según escalas distintas dependiendo del tipo de axonometría, lógicamente. Las direcciones o longitudes no paralelas a los tres ejes se determinan por coordenadas. Veamos las formas más habituales de presentar los datos necesarios para poder realizar un dibujo tridimensional en alguno de los tipos de perspectiva axonométrica: Conocidas las proyecciones axonométricas de los tres ejes de coordenadas sobre el plano del cuadro Cuando se trata de ternas normalizadas (isométrica, Din5 o alguna de las ternas de perspectiva caballera), junto a las proyecciones de los ejes suele indicarse el coeficiente de reducción a utilizar en la dirección de cada uno de ellos. En el caso de una terna trimétrica, a partir de las proyecciones de los ejes, deberemos determinar las escalas axonométricas o coeficientes de reducción a utilizar para cada uno de ellos. 201

12 UNIDAD 9 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS Axonometría ortogonal y oblicua A partir de la terna XYZ de la figura 19, construimos uno de los triángulos de las trazas correspondiente a dicha terna, trazando cada uno de sus lados perpendicular a la proyección del eje opuesto: así, AB es perpendicular al eje Z y el lado BC, a la dirección del eje X, etc. Fig. 19 Para encontrar las escalas axonométricas, buscamos primero los ángulos de pendiente α, β y γ, para lo cual realizamos el abatimiento de los triángulos rectángulos AO'D, BO''E y CO'''F respecto a sus respectivas hipotenusas, que coinciden con las alturas AD, BE y CF del triángulo de las trazas. Fig. 20 Fig. 21 En la figura 20, hemos determinado la escala axonométrica correspondiente al eje X. Sobre la semirrecta MN, llevamos la escala natural y las magnitudes reales. Una segunda semirrecta, con origen común en el punto M y formando con la anterior el ángulo de pendiente α, nos permite obtener magnitudes reducidas trazando perpendiculares desde los puntos correspondientes de la primera semirrecta MN. De forma similar, obtendríamos escalas gráficas para medir magnitudes con la reducción correspondiente a cada uno de los otros dos ejes. Dada la posición del plano del cuadro a través del triángulo de las trazas A partir del triángulo de las trazas ABC de la figura 21, podemos determinar las proyecciones de los ejes; para ello basta trazar las alturas de dicho triángulo. Conocidas las proyecciones de los ejes, determinaremos las escalas axonométricas como en el caso anterior. 202

13 9 Axonometría ortogonal y oblicua APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD 1 PASO DE DIÉDRICO A AXONOMÉTRICO La información para representar un sólido en perspectiva axonométrica suele provenir de las proyecciones diédricas de dicho cuerpo, planta y alzado, normalmente. En los próximos subapartados veremos la forma de construir esta perspectiva, en cualquiera de las modalidades de axonometría, como intersección de las proyecciones dadas del sólido. 1.1 Abatimiento de las caras del triedro En un sistema trimétrico, conocidos los ejes, habremos de determinar los ángulos de pendiente para poder construir las escalas axonométricas; éstas nos permitirán aplicar las reducciones correspondientes a las medidas en la dirección de cada uno de los ejes, tal como hemos visto en el apartado 6. Representamos los ejes y uno de los triángulos de trazas ABC correspondientes (Fig. 22). Al abatir sobre el plano del cuadro la cara AOB del triedro, ésta quedará en verdadera magnitud y, en ella, las proyecciones abatidas de los ejes X 0 e Y 0. Sobre este abatimiento, dibujamos la planta del sólido en verdadera magnitud y, al desabatir, la obtendremos en perspectiva, con sus magnitudes afectadas de la reducción correspondiente. Entre ambas plantas existe una relación de afinidad que tiene por eje la charnela AB del abatimiento, pero que nos produce una planta en perspectiva invertida respecto a la de en verdadera magnitud. Fig

14 UNIDAD 9 APLICACIONES PRÁCTICAS Axonometría ortogonal y oblicua El inconveniente de la planta invertida se soluciona realizando el abatimiento en sentido contrario; para evitar que coincidan ambas proyecciones, desplazamos el abatimiento tal como hemos realizado en la figura 23, mediante las siguientes operaciones: Fig. 23 Trazamos el eje del abatimiento, perpendicular al eje Z y por cualquier punto de éste. Sobre el eje, situamos los puntos A y B de intersección de los ejes axonométricos con el del abatimiento. El vértice abatido O 0 es el punto de intersección del eje Z con la semicircunferencia de diámetro AB (arco capaz de 90º). La unión de O 0 con A y B nos define la posición de los dos ejes abatidos y, lógicamente, ortogonales entre sí. De forma similar a la que acabamos de describir, en la figura 24 realizamos el abatimiento de la cara vertical XOZ respecto a un eje AC perpendicular al eje Y. Con el abatimiento de dos caras, XOY y XOZ, sobre una misma figura, la 25, debemos comprobar que ambos abatimientos se corresponden. Para ello tomamos un punto P del eje común y lo situamos, en cada uno de los abatimientos, a igual distancia de O 0 y de O 0. Con paralelas a los otros ejes, realizamos el desabatimiento, que debe coincidir en un único punto del eje X; de no ser así, alguno de los abatimientos está mal realizado o los errores de precisión en el trazado son excesivos. Fig. 24 Fig

15 Axonometría ortogonal y oblicua APLICACIONES PRÁCTICAS 9 UNIDAD 1.2 Perspectiva por intersección de proyecciones En esta aplicación práctica, situaremos en perspectiva axonométrica el sólido, dado por sus proyecciones diédricas, de la figura 26. Para ello realizamos el abatimiento de las caras correspondientes a las vistas dadas (plano XOY para la planta y XOZ para el alzado), desplazando ambos abatimientos para poder controlar, espacialmente, la posición en que nos quedará el sólido en perspectiva. Sobre las caras abatidas (Fig. 27), representamos las vistas dadas en verdadera magnitud, orientadas en correspondencia diédrica y a la misma distancia d respecto al tercer plano de proyección. Mediante paralelas al eje Fig. 26 Fig. 27 Z, para los vértices de la planta, y al eje Y, para los vértices de la cara XOZ, proyectamos los diferentes vértices del sólido: sus intersecciones respectivas serán puntos de su representación en perspectiva. Las aristas ocultas, o la parte oculta de las mismas, no se representan para obtener una perspectiva en la que la pieza se aprecie con mayor claridad. 205

16 UNIDAD 9 APLICACIONES PRÁCTICAS Axonometría ortogonal y oblicua 2 REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS 2.1 Cuerpos poliédricos Representamos en perspectiva isométrica el sólido poliédrico de la figura 28. Está formado por dos cuerpos, prismático el de la base y piramidal el superior, cuya intersección deberemos determinar. El conjunto presenta simetría respecto al eje vertical. Volvemos al procedimiento ya utilizado en Dibujo técnico 1, al resolver perspectivas axonométricas, de representar primero la planta de acuerdo a la terna propuesta y con la reducción correspondiente a la misma. Así lo hemos realizado en la figura 29, sin aplicar reducciones por tratarse de una isometría y con las medidas tomadas directamente de las vistas diédricas. A la proyección horizontal de la pirámide superior, le hemos circunscrito un cuadrilátero para situar más fácilmente sus diferentes vértices. Fig. 28 Con la base del sólido ya en perspectiva, levantamos paralelas al eje Z por sus diferentes vértices, sobre las que mediremos las alturas tomadas de la proyección vertical. La unión de los diferentes vértices, únicamente en las aristas vistas, completa el trazado de la perspectiva (Fig. 30). Fig. 29 Fig

17 9 Axonometría ortogonal y oblicua APLICACIONES PRÁCTICAS UNIDAD Por el mismo procedimiento, representamos otro sólido poliédrico en perspectiva dimétrica, según la terna normalizada Din5 que acompaña a las vistas del sólido (Fig. 31). Sobre la terna indicamos el coeficiente de reducción a aplicar, en la dirección de cada uno de los ejes, respecto a las medidas tomadas directamente de las vistas; respecto a éstas, y para mayor claridad, la representación se ha hecho a escala 2:1. Fig. 31 Como en el sólido anterior, empezamos por representar la planta cuadrangular, con sus lados paralelos a las direcciones de los ejes X e Y. Trasladando las alturas a los diferentes vértices de la planta, resolvemos las intersecciones entre planos y entre los diferentes cuerpos de la pieza, hasta llegar, con representación de las aristas vistas únicamente, a la pieza representada en la figura 32. Fig. 32 Fig Cuerpos de revolución En la figura 33 indicamos las vistas, planta y alzado, de un cilindro de revolución, que representamos a continuación en perspectiva isométrica. Por el centro de la base (Fig. 34), trazamos los ejes paralelos a X e Y, llevando sobre ellos el radio de la base del cilindro; de esta forma determinamos el romboide circunscrito a la elipse que, en perspectiva axonométrica, corresponde a la proyección de la circunferencia. Para el trazado de la elipse, en relación a uno de los lados del romboide circunscrito, construimos una semicircunferencia auxiliar, cuyos puntos referimos a los de la elipse. La base superior del cilindro se traza trasladando los puntos de la inferior, paralelamente al eje Z, una distancia igual a su altura. Conocidas ambas bases, las tangentes comunes paralelas al eje Z completan el contorno aparente del cilindro. Fig

18 UNIDAD 9 APLICACIONES PRÁCTICAS Axonometría ortogonal y oblicua 3 EL DIBUJO EN PERSPECTIVA COMO PARTE DEL PROYECTO Las representaciones en perspectiva ofrecen, de forma inmediata, una descripción completa del volumen del objeto representado; por ello y por su fácil trazado, las perspectivas isométricas se utilizan para ilustrar catálogos o folletos destinados al público en general, que carece de una formación específica en dibujo técnico. Uno de estos campos es el dibujo arquitectónico en el que se utilizan estas representaciones para describir mejor, por ejemplo, las diferentes plantas de una construcción, tal como vemos en las representaciones de la figura 35. Fig

19 9 Axonometría ortogonal y oblicua CUESTIONES Y EJERCICIOS UNIDAD Elementos simples en axonometria 1. Determinar, en perspectiva isométrica, las trazas del plano que definen los puntos A (5, 7, 9), B (8, 3, 5) y C (11, 7, 0). 2. Determinar la traza ordinaria del plano α representado en la figura Representar en perspectiva isométrica el conjunto indicado en el croquis de la figura 40, a escala doble respecto a las vistas dadas. Elegir la orientación del conjunto para que quede descrito de la forma más explícita posible. Fig. 36 Fig Determinar la recta de intersección entre los planos de la figura 37. Fig Representar en perspectiva isométrica los sólidos indicados en las figuras 41 y 42, a escala doble de las magnitudes representadas. Fig Determinar la intersección entre la recta y el plano de la figura 38. Fig. 38 Representación de cuerpos 5. Representar el sólido poliédrico de la figura 39, a escala doble de la indicada en las vistas y mediante la terna Din5 indicada. Fig. 42 Fig

20 UNIDAD 9 CUESTIONES Y EJERCICIOS Axonometría ortogonal y oblicua 8. Representar el cuerpo dado en proyecciones diédricas en la figura 43, en un sistema axonométrico ortogonal ZOX = 120º y ZOY = 105º. Utilizar el procedimiento de intersección de proyecciones. 10. Representar el sólido dado por sus proyecciones diédricas en la figura 45, mediante una perspectiva isométrica y a escala 2:1 respecto a los valores indicados en las vistas. Fig. 43 Fig A escala doble respecto a las vistas dadas, figura 44, representar el sólido dado según la terna normalizada Din A escala doble respecto a las vistas dadas, figura 46, representar el sólido dado según la terna normalizada Din5. Fig. 44 Fig. 46 Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD. Más actividades en el CD La felicidad no está en la ciencia, sino en la adquisición de la ciencia. EDGAR ALLAN POE 210