CASO: Stratton Company

Transcripción

1 CASO: Stratton Company La Stratton Company produce dos tipos de tubos de plástico. Tres recursos son fundamentales para la producción de esos tubos: las horas de extrusión, las horas de embalaje y un aditivo especial para las materias primas del plástico. Los siguientes datos presentan la situación correspondiente a la semana próxima. Todos los datos están expresados en unidades de 100 pies de tubo. Recurso Producto Tipo 1 Tipo 2 Disponibilidad de recursos Extrusión 4 horas 6 horas 48 horas Embalaje 2 horas 2 horas 18 horas Mezcla aditiva 2 libras 1 libra 16 libras La contribución a las ganancias y a los gastos generales por cada 100 pies de tubo es de $34 para el tipo 1 y de $40 para el tipo 2. Formule un modelo de programación lineal para determinar qué cantidad de cada tipo de tubo será necesario producir para maximizar la contribución total a las ganancias y a los gastos generales. FORMULACIÓN: Sean: X 1 = Cantidad de tubo tipo 1 que será necesario producir y vender la próxima semana, medido en incrementos de 100 pie de tubo (donde X 1 = 2, expresaría 200 pies de tubo). X 2 = Cantidad de tubo tipo 2 que será necesario producir y vender la próxima semana, medido en incrementos de 100 pie de tubo. Tal que: Sujeto a: MAX Z = 34 X X 2 4 X X 2 48 (horas disponibles Extrusión) 2 X X 2 18 (horas disponibles Embalaje) 44

2 2 X 1 + X 2 16 (libras disponibles Aditivo) X 1, X 2 0 SOLUCION GRAFICA: Graficando las restricciones tenemos: A) Disponibilidad de horas de extrusión (en el límite) 4 X X 2 = 48 si X 1 = 0 ; entonces X 2 = 48/6 = 8 ; punto (0,8) si X 2 = 0 ; entonces X 1 = 48/4 = 12 ; punto (12,0) B) Disponibilidad de horas de embalaje (en el límite) 2 X X 2 = 18 si X 1 = 0 ; entonces X 2 = 18/2 = 9 ; punto (0,9) si X 2 = 0 ; entonces X 1 = 18/2 = 9 ; punto (9,0) C) Disponibilidad de libras de aditivo (en el límite) 2 X 1 + X 2 = 16 si X 1 = 0 ; entonces X 2 = 16 ; punto (0,16) si X 2 = 0 ; entonces X 1 = 8 ; punto (8,0) D) Graficando la Función Objetivo (en un valor de Z arbitrario) Z = 34 X X 2 Sea Z = 136 (valor arbitrario y conveniente) si X 1 = 0 ; entonces X 2 = 3.4 ; punto (0,3.4) si X 2 = 0 ; entonces X 1 = 4 ; punto (4,0) Graficando tenemos: 45

3 GRAFICO FINAL: B Horas disponibles Embalaje 4 X X 2 18 Solución Optima (3,6) C libras disponibles aditivo D Horas disponibles Extrusión A E A) Función Objetivo MAX Z = 34 X X 2 46

4 SOLUCION ANALITICA: Tabla de Solución analítica del problema SOLUCION Variable Valor de La Variable Coeficiente original Sensibilidad del Coeficiente X X Restricción Valor original Lado derecho Holgura o Excedente Precio Sombra Extrusión Embalaje Mezcla Valor de la Función Objetivo : 342 ANÁLISIS Y RANGOS DE SENSIBILIDAD Coeficientes de la Función Objetivo Variable Límite Coeficiente Límite Inferior original Superior X X Valores del lado derecho Variable Límite Inferior Valor original Límite Superior Extrusión Embalaje Mezcla Sin límite 47

5 Variables de Holgura y de Excedentes: Tanto de la tabla de la Solución analítica como del gráfico anterior podemos ver que la mezcla de productos óptima agotará todos los recursos de extrusión y embalaje, porque en el punto vértice óptimo (3,6), las dos restricciones se convierten en igualdades. Al sustituir los valores de X 1 y X 2 en esas restricciones, vemos que el lado izquierdo de las ecuaciones se vuelve igual al lado derecho de las mismas: 4(3) + 6(6) = 48 (horas de extrusión) 2(3) + 2(6) = 18 (horas de embalaje) Una restricción como la correspondiente a la extrusión que ayuda a formar el punto vértice óptimo recibe el nombre de restricción obligatoria, porque limita la posibilidad de mejorar la función objetivo. Si una restricción obligatoria se Relaja, es decir se vuelve menos restrictiva, surge la posibilidad de encontrar una solución mejor. Relajar una restricción significa incrementar el parámetro del lado derecho, si se trata de una restricción, o reducirlo si se trata de una restricción. No es posible obtener una,mejoría si la restricción que se ha relajado no es obligatoria, como es el caso de la restricción de la mezcla aditiva ilustrada en color amarillo en la gráfica anterior. Si aumentáramos el lado derecho de 16 a 17 y resolviéramos nuevamente el problema, la solución óptima no cambiaría. En otras palabras, ahora tendríamos una mezcla aditiva mayor de lo necesario. En el caso de restricciones de desigualdad no obligatorias, es útil saber en cuanto difieren entre sí el lado izquierdo y el derecho. Esa información nos indica en que grado se acerca la restricción a convertirse en obligatoria. Para una restricción,, la cantidad por la cual el lado izquierdo es menor que el lado derecho se conoce como holgura. Para una restricción, la cantidad por la cual el lado izquierdo es mayor que el lado derecho se conoce como los excedentes. Para encontrar la holgura de una restricción por el método algebraico, agregamos una variable de holgura a la restricción y convertimos esta en una igualdad. A continuación, sustituimos los valores de las variables de decisión y resolvemos para la holgura. Por ejemplo la restricción de la mezcla aditiva del gráfico anterior, 2 X 1 + X 2 16, se puede escribir agregando la variable de holgura S 1, así: 2 X 1 + X 2 + S 1 = 16 Después, calculamos la holgura correspondiente a la solución óptima (3,6): 2(3) S 1 = 16 S 1 = 4 48

6 El procedimiento es muy parecido al que se usa para encontrar el excedente de una restricción, excepto que en este caso restamos una variable de excedente del lado izquierdo. Supongamos que X 1 + X 2 = 6 fuera otra restricción en el problema de Stratton Company, que representara un límite más bajo para el número de unidades producidas. Entonces rescribiríamos la restricción, restando una variable de excedente S 2 X 1 + X 2 - S 2 = 6 La Holgura de la solución óptima (3,6) sería la siguiente: S 2 = 6 S 2 = 3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Rara vez se conocen con certeza los parámetros de la función objetivo y las restricciones. Con frecuencia solamente son estimaciones de sus valores reales, Por ejemplo, las horas disponibles señaladas para el embalaje y extrusión en la Stratton Company con estimaciones que no reflejan las incertidumbres asociadas al ausentismo o a las transferencias de personal, y las horas requeridas por unidad por embalar o extruir pueden ser normas de trabajo que, en esencia, son simples promedios. En forma semejante, las contribuciones a las ganancias utilizadas para determinar el valor de los coeficientes de la función objetivo no reflejan las incertidumbres presentes en los precios de venta y en ciertos costos variables, como salarios, materias primas y embarques. A pesar de estas incertidumbres, se requieren estimaciones iniciales para resolver el problema. Los sistemas de información de contabilidad, marketing y normas de trabajo nos proporcionan a menudo estas estimaciones iniciales. Después de haber resuelto el problema utilizando esos valores estimados, el analista puede determinar en que medida resultarían afectados los valores óptimos de las variables de decisión y el valor de la función objetivo Z si ciertos parámetros tuvieran valores diferentes. Este tipo de análisis posterior a la solución, que se realiza para responder a preguntas del tipo Que pasaría si...?, se llama Análisis de Sensibilidad. COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO: Iniciaremos el análisis de sensibilidad de la Función Objetivo de un problema con dos variables, calculando la pendiente de las líneas Isogancias (Isocostos). La ecuación de cualquier recta puede ser escrita como y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta. En nuestra solución gráfica del problema de Stratton Company usamos x 2 en el lugar de y, y usamos x 1 en el lugar de x. Así, la ecuación que muestre la pendiente de una recta será: x 2 = mx 1 + b. Para expresar en esta forma la función objetivo, resolvemos dicha función para x 2 en términos de x 1 y Z: 49

7 34 X X 2 = Z 40 X 2 = - 34 X 1 + Z X 2 = - (34 X 1 / 40) + Z/40 De esta manera la pendiente m de las rectas isoganancias para el caso de la Stratton Company es 34/40, es decir En general, es el valor negativo de la razón el que se encuentra al dividir el coeficiente de X 1 de la Función Objetivo entre el coeficiente de X 2 de la misma función. Veamos ahora lo que pasa cuando cambia un coeficiente de la Función Objetivo. Definimos C 1 como la contribución a las ganancias por cada 100 pies de X 1, y C2 como la contribución a las ganancias por cada 100 pies de X 2. En estas condiciones, la ecuación de la línea de isoganancias se convierte en: X 2 = - (C 1 X 1 / C 2 ) + Z/ C 2 Si C 1 aumenta, mientras C 2 permanece constante, la pendiente se vuelve más negativa (o empinada) y la recta gira en sentido inverso (en el sentido de las agujas del reloj). Por ejemplo, si C 1 aumenta a $40, la pendiente cambia a 1.00, es decir, -40/40. Pero si C 1 disminuye, la pendiente se vuelve menos negativa y la recta gira en sentido directo. Si la reducción es suficientemente apreciable, la pendiente de la Función Objetivo será igual a la pendiente de la restricción de Extrusión. Cuando esto sucede, el punto B se convierte en un punto vértice óptimo. Si, en cambio C 1 aumenta a tal grado que la pendiente de la Función Objetivo se vuelve más negativa que la pendiente de la restricción de embalaje, entonces el punto vértice D se convierte en óptimo. Podemos sacar conclusiones similares en el caso de los cambios de C 2. RANGO DE OPTIMIZACION: Cuando el coeficiente de la Función Objetivo hace que la pendiente de dicha función sea mayor que la pendiente de la restricción de embalaje, pero menor que la pendiente de la restricción de extrusión, el punto C seguirá siendo la solución óptima. El punto C continúa siendo la solución óptima si la pendiente de la Función Objetivo es mayor que 1.00, es decir la pendiente de la restricción de embalaje, y menor que 2/3, es decir, la pendiente de la restricción de extrusión. En consecuencia, tenemos las siguientes relaciones: -1 - (C 1 /C 2 ) - 2/3 Usamos esta relación para encontrar el rango dentro del cual C 1 puede variar, sin que cambie la optimización del punto C, manteniendo C 2 constante en $40: -1 - (C 1 /40) - 2/3 50

8 Realizando las transformaciones convenientes, obtenemos: 40 C o bien lo podemos expresar de la siguiente forma: C 1 40 que sería el rango dentro del cual puede variar la contribución unitaria al beneficio total, asociado al tipo de tubo 1. Así pues, el coeficiente de la función objetivo para X 1 fluctúa entre un límite inferior de $26.67 y un límite superior de $ Este rango de optimización define un límite inferior y un límite superior, dentro de los cuales los valores óptimos de las variables de decisión permanecen sin cambios. Por supuesto, el valor de Z se modificaría si C 1 cambiara. Por ejemplo, si C 1 aumentara de $34.00 a $40.00, el valor de Z en el punto C cambiaría a $ X X 2 = Z 40(3) + 40(6) = 360 Cuál es el rango de Optimización para C 2 en el caso de la Stratton Company? Este rango puede ser deducido de igual manera como lo hicimos para C 1, sin embargo lo podemos leer de la tabla de resultados de la solución analítica que el software nos proporciona. Por lo que tendíamos: 34 C 1 51 PARÁMETROS DEL LADO DERECHO: Veamos ahora de que manera un cambio en el parámetro del lado derecho de una restricción puede afectar la región factible y, tal vez, provocar un cambio en la solución óptima. Analicemos el problema de Stratton Company, modificando C 1 de $20 a $34. Y además, estudiemos la posibilidad de añadir una hora más al recurso correspondiente al embalaje, incrementando éste de 18 a 19horas. Precios Sombra: El cambio anterior tendría un efecto en la expansión del área del polígono de soluciones factibles original, con lo que la solución óptimacambia del punto C al punto C. El punto C es mejor en términos de Z porque la unidad agregada de una restricción obligatoria se utilizará para elaborar más producto. Para encontrar la cantidad de dicho mejoramiento, 51

9 calculamos primero los nuevos valores de X 1 y X 2, resolviendo en forma simultánea las dos restricciones obligatorias en el punto C, en el cual: 4 X X 2 48 (horas disponibles Extrusión) 2 X X 2 19 (horas disponibles Embalaje) Los valores óptimos son: X 1 = 4.5 y X 2 = 5, el nuevo valor de Z es $34(4.5) + $40(5) = $353. En virtud de que el valor de Z era de $342, con 18 horas de embalaje, el valor de una hora adicional de embalaje es de $11 (es decir $353 - $ 342). El cambio en Z por unidad de cambio en el valor del parámetro del lado derecho de una restricción se conoce como precio sombra. El Precio Sombra es el mejoramiento marginal de Z, a cusa del relajamiento de la restricción de la restricción en una unidad. Relajamiento significa hacer la restricción menos estricta, lo cual implica incrementar el lado derecho de una restricción o disminuirlo si se trata de una restricción. El Precio Sombra también es la pérdida marginal en Z, ocasionada cuando la restricción se hace más estricta en el valor de una unidad. En este caso, el Precio Sombra por el recurso de embalaje es de $11 por hora. Así, si es posible programar horas adicionales de embalaje, la gerencia de Stratton deberá estar dispuesta a pagar una bonificación de hasta $11 por hora, además y por encima del costo normal de una hora de embalaje. Sin embargo, si la capacidad se reduce en una hora, las ganancias disminuirán en $11. 52

10 B Horas disponibles Embalaje 4 X X 2 18 C D Horas disponibles Extrusión 4 X X 2 48 A E 53

11 Caso Mezcla de Medios Publicitarios Este tipo de situaciones se refiere a la asignación de recursos (presupuesto publicitario) entre los diferentes medios disponibles (televisión, radio, revistas, periódicos y carteles) de tal manera que algún criterio sea maximizado (ejemplo cobertura) ó minimizado (el presupuesto mismo). Los criterios del primer tipo en orden decreciente de facilidad y crecientes en importancia son: exposición total, frecuencia (impacto), alcance (cobertura), ventas y ganancias. La exposición por período para un medio dado se define como el producto de la cantidad de sujetos del mercadoobjetivo alcanzados en una inserción en el medio por la cantidad de anuncios (exposiciones) en ese medio. La exposición total es por tanto, la suma de las exposiciones en todos los medios. La frecuencia se define como la cantidad promedio de anuncios vistas por cada cliente potencial durante el período de interés. La cobertura es la cantidad de clientes del mercado-objetivo expuestos al menos una vez a un anuncio durante el período considerado. La diferencia entre exposición total y cobertura es que la primera registra número de personas que han sido alcanzados. Una persona puede haber sido alcanzada cinco veces y se cuenta como cinco personas diferentes. En la cobertura se le toma como una persona. Caso Agencia de Publicidad Una compañía distribuidora de productos de primera necesidad ha previsto un gasto en publicidad (presupuesto) total de $1,000,000. El departamento de mercadeo ha establecido que la suma de lo invertido en publicidad en radio más televisión no debe exceder del 50% del presupuesto. Así mismo, el gasto en cada medio no puede ser superior al 30% del presupuesto. Y finalmente se debe satisfacer los segmentos de mercado detallados en la tabla # 1. Una agencia especializada ha determinado los impactos por un (1) anuncio en los diferentes medios (tabla #2). Exposiciones deseadas Mínimo Máximo Jóvenes 25,000 35,000 Mujeres 40,000 Graduados 35,000 Tabla # 1. Segmento meta El Objetivo de esta campaña es obtener el máximo de exposiciones totales. Como metas de contenidos se debe lograr las exposiciones deseadas en los diferentes segmentos establecidos y mantener el gasto financiero total dentro de lo presupuestado y de los gastos por medio dentro de lo estipulado. Como meta de estructura: se debe seleccionar los medios a contratar (de uno a cinco) y la cantidad monetaria a invertir (plan de inversión). Medio Precio por Exposición Segmentos anuncio por anuncio Jóvenes Mujeres Hombres Televisión $50,000 11,000 5,000 3,000 1,500 Radio $20,000 2,400 1, Revista $5, Periódicos $10,000 1, Carteles $5,

12 Solución I Variables de Decisión Los elementos sobre los que se pueden decidir son la cantidad de anuncios a colocar en cada medio, o la cantidad de recurso financiero a invertir en cada medio. La primera solución se hará tomando como variable de decisión el número de anuncios a contratar en cada medio. Sea: X1 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio televisión X2 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio radial. X3 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio escrito revistas. X4 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio escrito - periódico X5 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio de carteles. El Objetivo se alcanzará al encontrar la mezcla que logre el máximo número de exposiciones totales, o sea, sumando la cantidad de exposiciones logradas en cada medio. F.O. MAX 11,000*X1 + 2,400*X *X3 + 1,000*X *X5 Máxima exposición a) Restricciones Financieras Los recursos financieros son de 1 millón de dólares, por tanto la cantidad a invertir es todos los medios no puede ser superior a ésta cantidad. Esta meta de contenido se representa por la siguiente restricción: 50,000*X1+20,000*X2+5,000*X3 + 10,000*X4 + 5,000*X5 < 1, (disponibilidad Presupuestaria) Las metas de contenido financiero (definidas por mercadeo) se representan por las siguientes restricciones: 50,000*X1 + 20,000*X2 < 500,000 50,000*X1 < 300,000 20,000*X2 < 300,000 5,000*X3 < 300,000 10,000*X4 < 300,000 5,000*X5 < 300,000 b) Restricciones de Segmento Las metas de contenido de segmento se representan por las siguientes restricciones: I. 5,000*X1+1,000*X2+50*X3+50*X5 > 25,000 Jóvenes mínimo II. 5,000*X1+1,000*X2+50*X3+50*X5 < 35,000 Jóvenes máximo III. 3,000*X1+800*X2+350*X3+200*X4+100*X5 > 40,000 Mujeres mínimo IV. 1,500*X1+200*X2+200*X3+500*X4+50*X5 > 35,000 Graduados Mín. Restricciones de No Negatividad Todas las X1 > 0 55

13 Solución II Tomando las Variables de Decisión como inversión monetaria en cada medio tendríamos el siguiente modelo. Sea: X1 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en el medio televisión. X2 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en el medio radial. X3 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio escrito revistas. X4 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio escrito - periódico X5 = La cantidad de anuncios a contratar en el medio de carteles. Función Objetivo: Maximizar la exposición total F.O. MAX: 11,000*(X1/50,000) + 2,400*(X2/20,000) + 750*(X3/5,000) + 1,000*(X4/10,000) + 250*(X5/5,000) Restricciones Financieras X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 1,000,0000 (disponibilidad presupuestaria) Las metas de contenido financieras se representan por las siguientes restricciones: X1 + X2 < 500,000 X1 < 300,000 X2 < 300,000 X3 < 300,000 X4 < 300,000 X5 < 300,000 Las metas de contenido de segmentos se representan por las siguientes restricciones: I. 5,000*(X1/50,000) +1,000*(X2/20,000) +50*(X3/5,000) +50*(X5/5,000) > 25,000 Jóvenes Min. II. 5,000*(X1/50,000) +1,000*(X2/20,000) +50*(X3/5,000) +50*(X5/5,000) < 35,000 Jóvenes Max.. III. 3,000*(X1/50,000) + 800*(X2/20,000) + 350*(X3/5,000) + 200*(X4/10,000) + 100*(X5/5,000) > 40,000 Mujeres Min. IV. 1,500*(X1/50,000) + 200*(X2/20,000) + 200*(X3/5,000) +500*(X4/10,000) + 50*(X5/5,000) > 35,000 Mujeres Max. Restricciones de No- Negatividad. Todas las Xi > 0 Cómo se hubiera formulado este caso si el objetivo hubiese sido maximizar el número de exposiciones dentro de los tres segmentos de mercado? 56

14 Caso # Vb. Minimización de Costos Tomando las Variables de Decisión como inversión monetaria en cada medio, tendríamos el siguiente modelo. Sea: X1 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en medio televisivo. X2 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en medio radial. X3 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en el medio escrito revistas. X4 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en el medio escrito - periódico X5 = La cantidad de inversión (monetaria) a contratar en el medio de carteles. Función Objetivo: F.O. MIN: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 Restricciones Financieras X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 1,000,0000 Las metas de contenido financieras se representan por las siguientes restricciones: X1 + X2 < 500,000 X1 < 300,000 X2 < 300,000 X3 < 300,000 X4 < 300,000 X5 < 300,000 Las metas de contenido de segmentos se representan por las siguientes restricciones: I. 5,000*(X1/50,000) +1,000*(X2/20,000) +50*(X3/5,000) +50*(X5/5,000) > 25,000 II. 5,000*(X1/50,000) +1,000*(X2/20,000) +50*(X3/5,000) +50*(X5/5,000) < 35,000 III. 3,000*(X1/50,000) + 800*(X2/20,000) + 350*(X3/5,000) + 200*(X4/10,000) + 100*(X5/5,000) > 40,000 IV. 1,500*(X1/50,000) + 200*(X2/20,000) + 200*(X3/5,000) +500*(X4/10,000) + 50*(X5/5,000) > 35,000 Restricciones de No Negatividad Todas las X1 > 0 57