COLEGIO BILINGÜE BUCKINGHAM. Matemáticas. Nivel Medio. Portafolio. Tipo I. Números Estelares. Preparado por. Juan Manuel Barreto. Cód.

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1 COLEGIO BILINGÜE BUCKINGHAM Matemáticas Nivel Medio Portafolio Tipo I Números Estelares Preparado por Juan Manuel Barreto Bogotá, Colombia

2 1 Para el estudio de figuras geométricas que llevan a los números especiales se trabajo en etapas. En primer lugar se trabajo con los números triangulares, que sirvieron para entender el concepto de número especial y su relación con las figuras geométricas. El trabajo con los números triangulares consistió en encontrar una proposición general que sirviera para encontrar cualquier término dentro de los números triangulares. Esto se logro por medio del análisis y los medios tecnológicos que ayudaron a llegar a la proposición general. Después de esto se trabajo con los números, donde representa el número de vértices en la estrella. El propósito de este trabajo era encontrar una proposición general para cualquier número estelar. Primero se trabajo con el numero 6estelar, organizando los datos en una tabla, graficando y obteniendo una proposición general para el numero 6estelar. El mismo procedimiento se hizo con los números 4 y 5 estelares, lo que permitió llegar a una proposición general. Por ultimo se analizaron los alcances y las limitaciones de la proposición general. Esta tarea tendrá como propósito la búsqueda de números especiales. Un ejemplo de estos números especiales los constituyen los números cuadrados 1,4, 9 y 16 que pueden ser representados por cuadrados de lados 1,2, 3 y 4 respectivamente. Esto quiere decir que tanto la base como la altura de la representación del cuadrado, deben representar la raíz cuadrada del número cuadrado. Otro ejemplo de los números especiales son los números triangulares. Los números triangulares son aquellos que se pueden representar en la forma de un triangulo equilátero, es decir que el numero triangular se pueda reorganizar en igual numero de puntos por ejemplo y de esta manera formar un triangulo equilátero. Los siguientes son ejemplos de números triangulares: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Podemos observar los números triangulares 1, 3, 6, 10 y 15. En cada uno de ellos observamos como el numero triangular se distribuye en igual numero de puntos, y estos se organizan de manera que representen un triangulo equilátero que al sumar el numero de puntos obtenemos el numero triangular. A partir de esto podemos dibujar los siguientes tres números triangulares que son 21, 28 y 36.

3 2 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Teniendo en cuenta las figuras de las representaciones de los números triangulares podemos organizar los datos en una tabla: Termino Numero Estelar Tabla 1: Números triangulares A partir de los datos que tenemos podemos proceder a encontrar una proposición general que nos permita encontrar el respectivo número estelar para cualquier término. Para este propósito podemos graficar los datos de la tabla anterior en el programa graficador Graphmatica y ajustar la curva a una función. La grafica que se obtiene es la siguiente:

4 3 Grafica 1: Números triangulares en un sistema de coordenadas Al graficar los números podemos ver como forman una curva y con la aplicación Curve Fit del software Graphmatica ajustamos la grafica a distintas funciones hasta encontrar la más apropiada. En este caso, la función que mejor se ajusto a los datos fue una función polinomica de segundo grado, también conocida como función cuadrática, que se expresa de la forma: Otra función del software Graphmatica es que al seleccionar la curva que se ajusto a los datos, nos entrega la función específica para este juego de datos. De esta manera al seleccionar la curva en esta grafica obtenemos: Esta información nos muestra distintos aspectos a considerar. En primer lugar nos muestra un coeficiente de correlación, lo que quiere decir que el ajuste de la función cuadrática o polinómica de segundo grado es perfecta para los datos. Además de esto nos muestra el dato mas importante y es el valor de las variables para la función cuadrática en esta caso en especifico. Graphmatica nos entrega la función:

5 4 Esto quiere decir que y que. Además de esto podemos considerar que el valor de debido a que Graphmatica no lo tiene en cuenta. Podemos considerar entonces la función como una sucesión donde, por lo cual la proposición general para los números triangulares es: Para comprobar la validez de la proposición general podemos encontrar dos números triangulares que ya tengamos y otros dos números triangulares mas grandes. Termino En la proposición Resultado Tabla 2: Comprobación de la validez de la proposición general Podemos ver como para distintos números se cumple la proposición general de los números triangulares. Como un segundo punto podemos considerar las figuras estelares de vértices, que representan de igual manera los números. Estas figuras son las siguientes: Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12

6 5 A partir de estas figuras podemos graficar hasta el término, y de esta manera encontrar el número de puntos en cada estrella que representa así mismo el número 6estelar. Las figuras son las siguientes: Figura 13 Figura 14 Tras realizar las figuras de los números estelares podemos organizar el número de puntos en cada término lo que nos indicara así mismo el número 6estelar. De esta manera obtenemos la siguiente tabla: Termino Numero 6 estelar Tabla 3: Datos de los números 6 estelar Es importante tener en cuenta la notación cuando trabajamos con números debido a que indica el número de vértices que lleva la estrella, por lo cual no es lo mismo referirse al numero que al numero

7 6 Continuando con el análisis de los datos podemos observar que al realizar las restas entre los términos obtenemos un patrón y es el siguiente: Al realizar las restas observamos que los resultados son múltiplos de 12, por lo cual podemos ver que los términos van a estar dados por la suma del término anterior mas un determinado múltiplo de 12, de la siguiente manera: Después de analizar estos patrones en los números 6estelares podemos proceder a encontrar una proposición general que nos permita encontrar el número de puntos, o número estelar para cualquier término. Para lograr esto se grafican los datos en el software Graphmatica, donde podremos ajustar la curva a una función que nos permita encontrar la proposición general. De esta manera la grafica que se obtiene es la siguiente:

8 7 Grafica 2: Números 6estelares Al probar distintas funciones que se ajusten a la curva observamos que la función que mejor se ajusta es la cuadrática o polinomial de segundo grado que esta dada de la forma: Además de esto, al seleccionar la curva observamos que los datos que nos brinda el software proporcionan información exacta sobre el ajuste de los datos a este determinado set de datos. La información es la siguiente: En primer lugar observamos que la función tiene un coeficiente de correlación, lo que indica que el ajuste es perfecto. En segundo lugar encontramos que la función cuadrática para este set de datos es: Si consideramos esta función como una proposición:

9 8 A partir de esta función podemos encontrar distintos términos para los números 6 estelar. Para comprobar la validez de esta proposición podemos encontrar el termino numero 7 o, de los números 6estelar. Para esto reemplazamos 7 en la proposición: Además, para confirmar que este si es el término 7, tomamos en cuenta el patrón de los múltiplos de 12 por lo cual: Para comprobar por completo la validez de la proposición general tomamos otros valores, como el. Y además de esto con los múltiplos de 12: Teniendo en cuenta la validez, podemos afirmar que la proposición general para términos de los números 6 estelar es: De igual manera podemos tener en cuenta otros valores para, es decir trabajar con distintos números estelares. Para esto se trabajara con dos valores, y En primer lugar, debemos tener en cuenta las figuras para los números 4estelar, en las fases.

10 9 Figura 15 Podemos organizar los datos de los términos en una tabla para analizarlos y buscar regularidades o patrones: Termino Numero 4estelar Tabla 4: Números 4estelar Al analizar los datos podemos encontrar que hay un patrón y de nuevo tiene que ver con la diferencia que se presenta entre los números 4 estelares. Para analizar este patrón realizamos las restas entre los términos de la siguiente manera: Podemos observar que el patrón para los números 4estelar están relacionados con los múltiplos de 8. Además de esto podemos ver que:

11 10 Para encontrar una proposición general que nos permita encontrar distintos términos para los números 4estelares graficamos en Graphmatica los puntos que obtenemos y ajustamos la curva a la función cuadrática o polinomica de segundo grado. A partir de esto obtenemos la siguiente grafica: Grafica 3: Numero 4 estelares Además de esto podemos tener en cuenta la información que nos presenta el graficador en el momento en que se selecciona la curva. La información es la siguiente: Podemos observar que el ajuste de la función cuadrática es perfecta y que el coeficiente de correlación es Además de esto, el programa nos presenta la función ajustada a los datos de la forma: Lo que podemos considerar como la proposición general para los números 4 estelares de la forma:

12 11 Para confirmar la validez de la proposición podemos encontrar los términos y. Que se confirma por el patrón de los múltiplos de 8: De igual manera con Que se confirma por el patrón de los múltiplos de 8: Teniendo en cuenta la validez, podemos afirmar que la proposición general para los números 4estelares es: Ahora podemos trabajar con los números 5estelares, o con el valor lo que quiere decir que trabajaremos con estrellas que tendrán 5 vértices. Para empezar debemos encontrar las figuras de los números 5estelares para cuatro etapas. Figura 16

13 12 En primer lugar podemos organizar los datos de los distintos términos en una tabla para buscar regularidades o patrones. La tabla es la siguiente:. Termino Numero 5estelar Tabla 5: Numero 5estelar Al analizar los datos podemos encontrar que hay un patrón y de nuevo tiene que ver con la diferencia que se presenta entre los números 5 estelares. Para analizar este patrón realizamos las restas entre los términos de la siguiente manera: Podemos observar que el patrón para los números 4estelar están relacionados con los múltiplos de 10. Además de esto podemos ver que: Para encontrar una proposición general que nos permita encontrar distintos términos para los números 5estelares graficamos en Graphmatica los puntos que obtenemos y ajustamos la curva a la función cuadrática o polinomica de segundo grado. A partir de esto obtenemos la siguiente grafica:

14 13 Grafica 4: Números 5estelares Además de esto podemos tener en cuenta la información que nos presenta el graficador en el momento en que se selecciona la curva. La información es la siguiente: Podemos observar que el ajuste de la función cuadrática es perfecta y que el coeficiente de correlación es Además de esto, el programa nos presenta la función ajustada a los datos de la forma: Lo que podemos considerar como la proposición general para los números 4 estelares de la forma: Para confirmar la validez de la proposición podemos encontrar los términos. y

15 Que se confirma por el patrón de los múltiplos de 10: Juan Manuel Barreto 14 De igual manera con Que se confirma por el patrón de los múltiplos de 8: Teniendo en cuenta la validez, podemos afirmar que la proposición general para los números 5estelares es: Teniendo en cuenta las proposiciones generales de los números 4,5 y 6 estelares podemos llegar a una proposición general para los números estelares. De esta manera, si: Podemos observar que las proposiciones solo varían en las constantes y de la función cuadrática por lo cual podemos afirmar que y, por lo cual la proposición general para los números esterales es: Donde es el número de vértices en la estrella, y es el término a encontrar dentro del número estelar. Para comprobar la validez de la proposición podemos encontrar el termino 7 del numero estelar 6, del cual ya conocemos el resultado. De esta forma:

16 15 Recordando que previamente se había realizado, obteniendo: Teniendo en cuenta que la proposición es valida podemos proceder a considerar los alcances y las limitaciones de la proposición. En primer lugar tenemos que tener en cuenta que la proposición general se debe tomar solo para números En segundo lugar la proposición esta establecida para números naturales, debido a que una estrella debe tener un numero entero de vertices, que ademas sean positivos. En tercer lugar la proposicion abarca todos los valores positivos desde 0 hasta por lo cual podemos afirmar que la proposicion abarca un gran numero de valores lo que la hace ser efectiva y que sus alcances sean muy amplios. Por ultimo, se explicara brevemente como se llego a la proposición general. En primer lugar, al analizar números especiales se tuvo en cuenta los números triangulares y los números estelares. Los números triangulares sirvieron como preámbulo para introducir el concepto de número especial. Tras entender esto se empezó a trabajar con los números estelares, y lo primero que se tomo en cuenta fue el numero 6 estelar que sentó las bases para la investigación de los números estelares. Al organizar los datos obtuvimos un patrón respecto a los múltiplos de 12, lo que ayudo posteriormente a comprobar los resultados. Se graficaron los datos de la tabla y se obtuvo la proposición por medios tecnológicos. Tras comprobar la validez al reemplazar y al confirmar por medio del método de los múltiplos se tuvo en cuenta la proposición. Esto se repitió con los números 4 y 5 estelares, mostrando resultados muy parecidos con respecto a las proposiciones generales, que solo variaban en un aspecto muy claro, lo que permitió reunir toda la investigación hecha previamente en la proposición general establecida.