CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE. Triángulos. Ricardo Villafaña Figueroa

Transcripción

1 CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Triángulos

2 2 Contenido Definición de un triángulo a partir de tres puntos... 3 Definición de un triángulo a partir de líneas rectas... 5 Definición de un triángulo a partir de sus lados... 7 Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos... 8 Medianas de un triángulo y centroide... 9 Alturas de un triángulo Alturas de un triángulo y su ortocentro Bisectrices de un triángulo Bisectrices de un triángulo e incentro Circunferencia inscrita a un triángulo Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo... 24

3 3 Definición de un triángulo a partir de tres puntos Ejemplo Definir el triángulo que tiene como vértices los tres siguientes puntos: 3, 1, 1, 3, 2, 1 Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo con la función triangle: Detalle de la figura definida:

4 4 Dibujando el triángulo con la función draw:

5 5 Definición de un triángulo a partir de líneas rectas Ejemplo Definir el triángulo cuyos vértices lo forman la intercepción de las siguientes rectas: 0,, 2 0. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir las tres líneas rectas: Dibujar las tres líneas para observar el triángulo formado:

6 6 Definir el triángulo con las tres líneas dadas: Dibujar el triángulo definido: Detalles del triángulo:

7 7 Definición de un triángulo a partir de sus lados Ejemplo Cada uno de los lados de un triángulo mide cinco unidades. Definir el triángulo. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo a partir de tres de sus lados: Detalle de la figura obtenida: Comprobar si es equilátero a través de la función IsEquilateral:

8 8 Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos Ejemplo Definir el triángulo cuyos dos de sus lados miden dos y cuatro unidades respectivamente y el ángulo entre ellos de de 90 grados. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo dado dos de sus lados y el ángulo entre ellos: Es recto el triángulo formado? Uso de la función IsRightTriangle.

9 9 Medianas de un triángulo y centroide Ejemplo Los vértices de un triángulo son:. Encontrar la ecuación de sus medianas y su punto de intersección (centroide). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los tres puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo T con los puntos dados y la función triangle: Encontramos la mediana meda que pasa por el punto A y su ecuación correspondiente con las funciones median y Equation: Encontramos la mediana medb que pasa por el punto B y su ecuación correspondiente Encontramos la mediana medc que pasa por el punto C y su ecuación correspondiente:

10 10 Encontramos el punto de intersección, al que llamaremos interseccion, de las tres medianas con la función centroid: Calculamos las coordinadas de la intersección con la función coordinates:

11 11 Alturas de un triángulo Ejemplo Los vértices de un tríangulos ABC son los siguientes: A (0,0), B (2, 1) y C (1, 3). Encuentre la ecuación de la altura que va del vértice A al lado opuesto. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triangulo ABC a partir de los puntos dados: Definiendo la altura que se desprende del vértice A: Definiendo la ecuación de la altura: Detalles de los objetos geométricos definidos:

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13 13 Alturas de un triángulo y su ortocentro Ejemplo El ortocentro de un triángulo está formado por la intercepción de sus tres alturas. Encontrar el ortocentro del triángulo formado por los puntos A ( 2, 0), B (1, 3) y C (3, 1). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los puntos que formarán el triángulo; Definiendo el triángulo: Obteniendo el ortocentro con la función orthocenter: Obteniendo las coordenadas del ortocentro:

14 14 Dibujando el triángulo y el ortocentro:

15 15 Bisectrices de un triángulo Ejemplo Dado el triángulo ABC definido por los puntos A (0, O), B (0, 3), C (3, 0), encontrar la bisectriz del vértice A. Solución Cargar la biblioteca de geometría: Definir el triángulo ABC: Encontrar la bisectriz del ángulo formado por el vértice A: Detalles del triángulo ABC:

16 16 Detalles de la bisectriz: assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

17 17 Bisectrices de un triángulo e incentro Ejemplo El incentro es punto donde se cruzan las bisectrices de un triángulo. Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus bisectrices y el punto de intercepción de sus bisectrices (incentro). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triángulo ABC: Definiendo las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo. Lado AB: Lado AC:

18 18 Lado BC: Definiendo cada una de las bisectrices del triángulo y sus respectivas ecuaciones. Bisectriz A: Bisectriz B: Bisectriz C:

19 19 Cargando el paquete de gráficas que permite dibujar ecuaciones implícitas: Dibujando cada uno de los elementos del triángulo: El incentro queda en el punto: Valor aproximado del valor de y:

20 20 Circunferencia inscrita a un triángulo Ejemplo Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo, las coordenadas de su centro y su radio. Dibuje el triángulo y la circunferencia encontrada. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el triángulo ABC: Definiendo el incentro:

21 21 Detalle del incentro encontrado: assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively Dibujando el triángulo y la circunferencia inscrita:

22 22 Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo Ejemplo Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son las siguientes: A (0, 0), B ( 2, 4), C(4, 2). a) Dibujar el triángulo. b) Calcular su área y la longitud de cada uno de sus lados. Solución Cargando la biblioteca de geometría: a) Definiendo los puntos dados con la función point: Definiendo el triángulo con la función triangle:

23 23 Dibujando el triángulo: b) Calculando la longitud de los lados con la función sides: Calculando el área del triángulo con la función area:

24 24 Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo Ejemplo Un triángulo está formado por los vértices A ( 2, 1), B (2, 1) y C (0, 4). Encontrar las ecuaciones de las circunferencias externas a cada uno de sus lados. Graficar el triángulo y las circunferencias. Solución En un triángulo ABC, una circunferencia k tangente a un lado c del triángulo y tangente a las extensiones de los lados a y b es conocida como circunferencia externa. La circunferencia forma su centro con las intersecciones de las bisectrices externas de los vértices A y B. Cargar el paquete geometría:

25 25 Definir los tres vértices del triángulo: Definir el triángulo T sobre el que se calcularán las ecuaciones: Utilizar el comando excircle para el cálculo de las tres circunferencias externas: Detalles de cada una de las circunferencias encontradas:

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27 27 Dibujo del triángulo y las circunferencias: Cálculo y dibujo de cada una de las ecuaciones de los lados del triángulo:

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29 29 Solución dada con Geogebra a la circunferencia 3: