JUEGOS COOPERATIVOS VECTORIALES. Miguel A. Hinojosa Ramos M Carmen Melgar Hiraldo

Transcripción

1 JUEGOS COOPERATIVOS VECTORIALES Miguel A. Hinojosa Ramos M Carmen Melgar Hiraldo Departamento de Economía y Empresa. Universidad Pablo de Olavide Resumen: La teoría de juegos clásica estudia las situaciones de conflicto entre dos o más individuos. Si los jugadores valoran varios criterios, se producirán, además, conflictos entre los distintos criterios de cada uno de ellos. Estamos entonces ante un juego vectorial o juego multicriterio. Estudiamos en este trabajo los juegos cooperativos vectoriales, extendiendo a este caso algunos conceptos de los juegos escalares. Tratamos de determinar cómo repartir los beneficios totales, de manera justa, entre todos los que participan en el juego, centrándonos en los repartos estables, en el sentido de que ninguna coalición sea capaz de mejorar, por sí sola, los pagos que se le asignan. Esta mejora, en el caso vectorial, puede entenderse componente a componente o en el sentido de no dominancia. La primera de las interpretaciones nos lleva a tres conceptos de solución del juego: imputaciones de preferencia no dominadas, imputaciones de preferencia no dominadas por asignaciones y núcleo de preferencia del juego. Analizamos las relaciones entre ellas, observando que cada una contiene a la siguiente, y dando una caracterización del juego para que el núcleo de preferencia sea no vacío. Palabras clave: juego cooperativo, juego vectorial, imputación, núcleo. 41

2 1 Introducción Los juegos bipersonales suelen tratarse en forma normal o estratégica, pues esta representación permite el estudio de las estrategias mixtas, base del concepto de solución de estos juegos al no existir la posibilidad de formar coaliciones. Los juegos n-personales, son susceptibles de un tratamiento más apropiado a través de la función característica, sobre todo en el caso de que exista posibilidad de acuerdo entre los jugadores. Si en un juego cooperativo n-personal se forman coaliciones por un cierto tiempo es porque sus miembros alcanzan un cierto equilibrio o estabilidad. Esta idea debe ser analizada en cualquier teoría que aborde con éxito el concepto de solución en estos juegos. En un juego cooperativo escalar un individuo o coalición consigue en una realización del juego un pago real y comparable con el pago de otros jugadores o coaliciones, o bien con la fuerza de ese individuo o coalición, que se mide en términos de la función característica. Sin embargo, en juegos cooperativos vectoriales aparece el problema de la incomparabilidad entre vectores de pagos o entre éstos y los vectores que proporciona la función característica. En estas circunstancias, el concepto de mejora puede interpretarse de formas distintas. Si lo interpretamos como mejora componente a componente, a lo que nos referiremos como preferencia, el problema es equivalente a tratar tantos juegos n-personales escalares como criterios tienen los jugadores y por ello los resultados obtenidos en juegos escalares se extienden de modo natural al caso de juegos vectoriales. Si lo interpretamos en el sentido de no empeorar los pagos, a lo que nos referiremos como no dominancia, hemos de abordar otros conceptos más amplios de solución que tienen el inconveniente de no establecer control alguno acerca de las cuantías de los aumentos/disminuciones en los criterios. 4

3 Formulación y Definiciones Consideremos un entero positivo, n, el conjunto N {1,,...,n} y la familia N de sus subconjuntos no vacíos. Los elementos de N se llaman jugadores y los de N coaliciones. Definición 1 Un juego cooperativo escalar es un par (N,v) donde N {1,,...,n} es el conjunto de los jugadores y v : N Ø IR es una correspondencia que asocia a cada coalición un número real, cumpliendo v(ø)0. A v se le llama función característica. A la familia de todos los juegos cooperativos escalares la denotaremos por g v. La función característica valora numéricamente la fuerza de cada coalición. Si los jugadores valoran m criterios, esta valoración vendrá dada por un único vector de IR m. Estaremos ante un juego cooperativo vectorial. Definición Un juego cooperativo multicriterio de valoración vectorial única es un par (N,v) en el que N {1,,...,n} es el conjunto de los jugadores y donde v : N Ø IR m es una correspondencia que asocia a cada coalición un único vector de IR m, cumpliendo que v(ø) 0. A la correspondencia v se le denomina función característica. A la familia de todos los juegos de este tipo la denotaremos por G v. Dada una matriz X M mxn, que interpretaremos en 3. como la matriz de pagos del juego, el vector columna X i, i 1,,...n, representará los pagos del jugador i según la matriz X. Dada una coalición cualquiera S N, la suma X S i S Xi, donde X i es el vector columna i-ésimo de X, representará los pagos totales de la coalición S según X. Ilustramos el concepto anterior con un ejemplo de sinergia entre empresas. Ejemplo 1 En una cierta zona coexisten una cooperativa agraria dedicada mayormente a la producción hortofrutícola, una industria agroalimentaria constituida principalmente por una conservera y una empresa de servicios 43

4 que, entre otras cosas, está dedicada a la comercialización y distribución de productos alimentarios. La cooperativa obtiene unos beneficios brutos anuales de Pts y 00 de sus trabajadores son subvencionados por la Administración; la industria obtiene Pts anuales y tiene 400 trabajadores subvencionados y la empresa de servicios obtiene anualmente Pts y el coste de 100 empleados es subvencionado por la Administración. La Administración ha ideado un plan contra el paro y el desarrollo regional para fomentar la cooperación entre las empresas. Ha entrado en conversaciones con las tres empresas porque afirma que, si se siguen las directrices marcadas por el estudio realizado, una cooperación total entre las tres produciría una sustancial mejora en la zona pudiéndose alcanzar los Pts de beneficios y sería posible subvencionar puestos de trabajo. Los órganos de dirección y gestión de las tres empresas han estudiado a fondo el plan de desarrollo regional ideado por la Administración y están estimando los resultados que se producirían si la cooperación se produjera entre dos de las tres empresas. La cooperativa y la industria podrían mejorar la suma de sus beneficios totales en Pts y tendrían derecho a 100 trabajadores subvencionados más que los que reunían entre las dos; la cooperación entre la cooperativa y la empresa de servicios no mejoraría sustancialmente los resultados ni en términos de beneficios totales ni en términos de subvención de puestos de trabajo; la industria y la empresa de servicios sí que mejorarían la suma de sus beneficios totales en Pts, pero sería a costa de perder 100 subvenciones. En este ejemplo de sinergia entre empresas hay tres jugadores, N {1,, 3}, que son la cooperativa, la industria y la empresa de servicios. Hay dos objetivos, K {1, }, que son beneficios totales brutos, en decenas de millones de Pesetas, y empleo subvencionado, en cientos de puestos de trabajo, con coste a cargo de la Administración. 44

5 Así los pagos que cada empresa o coalición puede conseguir por sí misma son: S {1} {} {3} {1, } {1, 3} {, 3} N v(s) Para este juego, la matriz X M x3 es una matriz 3 5 de pagos que reparte entre las tres empresas los Pts y los trabajadores subvencionados, de forma que, individualmente, ninguna de ellas tiene motivos para estar en desacuerdo con el reparto, porque: X > v({1}) ;X 4 5 > v({}) ;X 3 5 > v({3}). Colectivamente, tampoco ninguna coalición tiene nada que reprochar al reparto X porque: X {1,} 7 8 > v({1, }); X {1,3} 8 5 > v({1, 3}); X {,3} 9 7 > v({, 3}). Consideremos ahora el reparto dado por la matriz Y Esta otra matriz de pagos reparte entre las tres empresas los Pts y los trabajadores subvencionados, pero ni individual ni colectivamente el reparto supone una mejora componente a componente respecto a lo que cada jugador o coalición puede garantizarse, porque tanto para el jugador como para la coalición S {1, }, se tiene que Y 5 3 /> v({}); Y {1,} 8 6 /> v({1, }). Sin embargo, si interpretamos la mejora en el sentido de no empeorar, ningún jugador o coalición tendrá motivos para estar en desacuerdo con los pagos que le proporciona la matriz Y, porque cada uno 45

6 obtiene, mediante Y, unos pagos que no empeoran los que pueden garantizarse por sí mismos. A continuación, extendemos algunas definiciones clásicas en juegos convencionales al caso vectorial. Definición 3 El juego (N,v) G v se dice de suma constante si se verifica: v(s)+v(n S) v(n) S N. Definición 4 El juego (N,v) G v se dice esencial si cumple n i1 v({i}) v(n). E s fácil ver que, según la definición dada, un juego cooperativo multicriterio es esencial si y sólo si alguno de sus juegos escalares componentes lo es. Definición 5 Diremos que la colección β {S 1,S,...,S l } de subconjuntos no vacíos de N es equilibrada si existen α 1,α,...,α l reales y positivos tales que j i S j α j 1 i N. A los números α 1,α,...,α l colección β. se les denomina pesos de equilibrio para la Definición 6 El juego (N,v) G v es equilibrado si para cualquier colección equilibrada de coaliciones β N, con pesos de equilibrio (α S ) S β se verifica S β α S v(s) < v(n). Es immediato probar que una condición necesaria y suficiente para que un juego cooperativo vectorial sea equilibrado es que todos sus juegos escalares componentes lo sean. 3 Concepto de Imputación 3.1 Imputaciones en juegos cooperativos escalares Dadas las valoraciones de las coaliciones que se forman en la realización de un juego cooperativo, se trata de estudiar los posibles vectores de pagos 46

7 que obtendrán los jugadores. Este análisis se basa en suponer un cierto equilibrio o estabilidad entre los jugadores que aceptarán una cooperación total, formarán la gran coalición N y se repartirán su vector de pagos v(n). El problema se centra en cómo dividir los beneficios totales, de una manera justa, entre los jugadores que participan en el juego. En un juego escalar (N,v), diremos que el vector x (x 1,x,...,x n ) IR n es una preimputación del juego si reparte v(n) entre los jugadores, es decir, n i1 xi v(n). El conjunto de las preimputaciones de un juego cooperativo escalar lo representamos por I (N,v). Si la preimputación es tal que cada jugador consigue en el reparto más o igual que por sí mismo, x i v({i}) i N, el vector x IR n se denomina imputación. El conjunto de las imputaciones de un juego cooperativo escalar se representará pori(n,v). Si n i1 v({i}) >v(n), el conjunto de imputaciones es vacío y si se da la igualdad dicho conjunto sólo tiene un elemento x (v({1}),v({}),...,v({n})), que será la solución del juego sin importar las coaliciones que se formen. Se dice que el juego es esencial si n i1 v({i}) <v(n). Se tiene asegurada entonces la existencia de imputaciones no triviales. De entre todas las imputaciones de un juego escalar, estamos interesados en los repartos de v(n) que sean estables en el sentido de que ninguna coalición sea capaz, por sí misma, de obtener unos pagos superiores a los que se le asignan en el reparto. Dadas dos preimputaciones, x, y I (N,v) del juego escalar (N,v), y dada la coalición S N, diremos que y domina a x a través de S yse S representa y dom x si se verifica y i >x i i S, y S v(s) donde y S i S yi. Consideraremos, en primer lugar, las imputaciones para las que ninguna coalición encuentra otra imputación mejor en el sentido de la definición de dominancia anterior. Las denominaremos imputaciones no dominadas, y al conjunto de todas ellas lo representaremos por IND(N,v) y será IND(N,v) 47

8 { } x I(N,v) / / S N, y I(N,v) / y dom S x. Hay juegos escalares en los que el conjunto de las imputaciones no dominadas es vacío, como se pone de manifiesto en el siguiente ejemplo: Ejemplo Consideremos el juego cooperativo escalar de cuatro jugadores que valoran dos criterios y viene dado por la función característica siguiente: S {1, }, {3, 4} S N S/ {{1, }, {3, 4},N} N v(s) Este juego es esencial, por lo que el conjunto de sus imputaciones es no trivial: I(N,v) { x IR 4 /x i 1,x 1 + x + x 3 + x 4 5 }. Cualquiera que sea la imputación elegida, las coaliciones S 1 {1, } y S {3, 4} estarán en desacuerdo con ella, porque de la definición se deduce que x 1 + x 3 y x 3 + x 4 3 x I(N,v) y por tanto no hay imputaciones no dominadas en este juego: dada cualquier x I(N,v), siempre será posible mejorar el reparto para S 1 en una cantidad menor o igual que 3 (x 1 + x ) através de una imputación reduciendo los pagos correspondientes de S o al contrario, mejorar el reparto para S en una cantidad menor o igual que 3 (x 3 + x 4 ) através de una imputación reduciendo los pagos correspondientes de S 1. Si en la condición de dominancia del concepto anterior ampliamos el ámbito de posibilidades al conjunto de repartos factibles, sean o no imputaciones, tendremos un subconjunto de IND(N,v) que denominaremos conjunto de las imputaciones no dominadas por asignaciones (INDA). INDA(N,v) {x I(N,v) / / S N, y I (N,v) / y dom S x}. Obsérvese que esta definición de imputación estable es equivalente a la siguiente: INDA(N,v) {x I(N,v) / / S N, y IR n / y dom S x} 48

9 En el caso de juegos cooperativos escalares este concepto coincide con el de núcleo del juego, dado por C(N,v) { x IR n /x N v(n), x S v(s) S N }, que es más restrictivo que el concepto de imputación no dominada, como se ve en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 Consideremos el juego cooperativo escalar de tres jugadores dado por la función característica siguiente: v({1}) v({}) v({3}) 1, v({1, }) 4, v({1, 3}) v({, 3}),v(N) 4. S {1}, {}, {3} {1, } {1, 3}, {, 3} N v(s) El reparto de v(n), x {, 1, 1}, es una imputación no dominada, pero no es una imputación del núcleo, al ser posible encontrar y {.5, 1.5, 0} I (N,v) tal que y dom {1,} x. En g v pueden encontrarse juegos en los que todas las imputaciones son dominadas como en el Ejemplo, juegos con núcleo vacío en los que existan imputaciones no dominadas como en el Ejemplo 3 y juegos con núcleo no vacío, pero para un mismo juego cooperativo escalar es imposible encontrar una imputación del núcleo y una imputación no dominada que no sea del núcleo, como se demuestra a continuación: Teorema 1 Dado el juego cooperativo escalar (N,v), si C(N,v) Ø, entonces IND(N,v) \ C(N,v) Ø Demostración: Sea x C(N,v) y supongamos, por reducción al absurdo, que existe una imputación y IND(N,v)\C(N,v). Tanto x como y son imputaciones del juego, por lo que x N v(n), x i v({i}), y N v(n), y i v({i}). La imputación y no es estable, pero la imputación x síloes: S N/y S < v(s),x S v(s). Por tanto y S <x S. Sea ɛ v(s) y S. Como x N y N 49

10 v(n), si consideramos el conjunto S {i N \ S/y i >x i }, se cumplirá que S Ø y además y S x S X S Y S ɛ. Si denotamos por S al cardinal de S vamos a construir z IR n siguiente forma: z i y i ɛ i i S de la z i y i + ɛ S i S, z i y i i N \{S S }, donde hemos elegido ɛ i, i S de forma que i S ɛ i ɛ, y i x i ɛ i. z IR n es una imputación del juego escalar (N,v) ya que n i1 zi v(n) y además z i y i v({i}), i S, z i y i v({i}), i N \{S S }, z i x i v({i}) en otro caso. Por otro lado, por la construcción que hemos hecho de z I (N,v), se verifica que z dom S y, lo que supone una contradicción con que y IND(N,v). Elnúcleo de un juego cooperativo escalar puede tener más de un punto lo que no supone ningún problema y sólo significa que hay más de un reparto estable. Sin embargo, el núcleo puede ser vacío como en los juegos esenciales de suma constante (ver [Owen 95]). Para que el juego escalar tenga núcleo no vacío tiene que existir una solución z v(n) para el problema: min z n i1 xi s.a.: i S xi v(s) S N Si escribimos la formulación dual del problema tenemos que un juego escalar tiene núcleo no vacío si y sólo si el siguiente problema lineal tiene solución óptima con q v(n): max s.a.: q S N α S v(s) α S 1 S N i S N i N α S 0 S N. Ambos problemas son factibles y la solución del dual será q z. Por tanto C(N,v) Ø q v(n). Se cumple así el Teorema de Bondareva, [Bondareva 63, Shapley 67], que demuestra que el juego escalar tiene núcleo no vacío si y sólo si el juego es equilibrado. 50

11 3. Imputaciones en juegos cooperativos vectoriales En el caso de juegos vectoriales la extensión natural de la idea de reparto consiste en utilizar una matriz de pagos cuyas filas representen los repartos en x 1 1 x 1... x n 1 x cada criterio. Así la matriz X 1 x... x n M mxn. representa x 1 m x m... x n m por columnas los pagos que recibe un jugador en cada criterio, es decir X i ( ) t x i 1, x 1,,..., x 1 m son los pagos del jugador i en los m criterios, y por filas la distribución del total obtenido en cada criterio, es decir X j ( ) x 1 j, x j,,..., x n son los pagos en el criterio j que recibe cada jugador. j Definición 7 Una preimputación del juego es una matriz X M mxn que verifica X N j v j (N) j K {1,,...,m}, es decir, X N v(n). El conjunto de preimputaciones del juego (N,v) G v lo representaremos por I (N,v). No todas las preimputaciones del juego son aceptables por los jugadores de un juego cooperativo vectorial. Vamos a interesarnos por aquellas que tienen un cierto equilibrio o estabilidad. Un reparto se considerará estable si los jugadores, individualmente o colectivamente a través de las distintas coaliciones que se pueden formar, no encuentran motivos para estar en desacuerdo con él, en el sentido de que no pueden mejorar sus pagos. En los juegos multicriterio podemos considerar varias interpretaciones del concepto de mejora y se pueden definir distintas condiciones de estabilidad en el conjunto de preimputaciones de un juego. Consideraremos como criterios, las ideas de preferencia y no dominancia. Así, interpretaremos el principio de racionalidad individual de dos formas. La primera, aplicando la idea de preferencia: cada jugador espera una distribución en la que lo que a él le corresponde sea preferido a lo que puede conseguir por sí mismo. La otra interpretación del principio de racionali- 51

12 dad individual sería que se considera aceptable un reparto si cada jugador obtiene unos pagos no dominados por el vector que puede conseguir por sí mismo. Podemos entonces, en el caso vectorial, definir el concepto de imputación de dos maneras. Definición 8 La preimputación X I (N,v) del juego (N,v) G v es una imputación generalizada o simplemente imputación si X i /< v({i}) i N. Al conjunto de todas las imputaciones del juego lo representaremos por I(N,v; /< ). Diremos que X es una imputación de preferencia si X i > v({i}) i N. Al conjunto de todas la imputaciones de preferencia del juego lo representaremos por I(N,v; > ). Además del principio de racionalidad individual que subyace en la definición de imputación, consideramos ahora, como extensión del caso escalar, el principio de racionalidad colectiva dentro del conjunto de imputaciones, es decir, una imputación será estable si ninguna coalición es capaz de mejorar los pagos que le corresponden en dicha imputación. Definición 9 Sean X, Y M mxn yseas N una coalición. Diremos que S Y domina individualmente a X através de S (Y domi X) siy i X i i S, Y S < v(s). Diremos que Y domina a X através de S (Y S dom X) siy S X S, Y S < v(s). Estos conceptos de dominancia coinciden y son equivalentes a que X S < v(s) 4 Imputaciones de Preferencia El concepto de imputación de preferencia puede ser un primer concepto de solución de un juego cooperativo vectorial, que extiende el concepto de mejora del caso escalar. Este concepto de solución es bastante general pues la mayoría de los juegos la admiten. 5

13 Cada fila de una matriz imputación es una imputación del correspondiente juego escalar componente y recíprocamente. Así, dado (N,v) G v, cuyos juegos escalares componentes son (N,v j ) I(N,v; > ) X j I(N,v j ) j K. j 1,,...,m, se verifica: X Como consecuencia, si alguno de los juegos escalares componentes es esencial, el juego (N,v) G v es esencial y admite imputaciones no triviales. En el conjunto de las imputaciones de preferencia vamos a establecer una condición de estabilidad que imponga la no existencia de otras imputaciones que dominen a una dada a través de alguna coalición. A una imputación de preferencia que cumpla esta condición la denominaremos una imputación de preferencia no dominada. { IND(N,v; > ) X I(N,v; > ) / /S N,Y I(N,v; > ), A partir de imputaciones no dominadas de los juegos escalares componentes, es posible obtener imputaciones de preferencia no dominadas del juego multicriterio. El recíproco no es cierto. Existen imputaciones no dominadas del juego (N,v) G v que no se obtienen a partir de imputaciones no dominadas de los juegos escalares componentes. Y } S dom X. Ejemplo 4 Para el juego de tres jugadores, N {1,, 3}, y dos objetivos, K {1, }, S {1}, {}, {3} {1, } {1, 3}, {, 3} N v(s) la matriz X M x3. es una imputación no dominada del 1 1 juego. Sin embargo, S {1, } N, y ( 3, 3, 1) I(N,v ) / y S dom X porloquex / IND(N,v ). 53

14 Esto nos indica que el juego vectorial no puede ser analizado sólo a través de los juegos componentes, dado que no todas las imputaciones no dominadas del juego provienen de imputaciones no dominadas de los juegos escalares componentes. Como en el caso escalar, haremos más restrictiva la condición de estabilidad de las imputaciones no dominadas para llegar a las imputaciones no dominadas por asignaciones. En el concepto de imputación de preferencia no dominada la condición de estabilidad subyacente es: una imputación X es no dominada si ninguna S coalición encuentra otra imputación Y tal que Y dom X. Sin embargo, en juegos cooperativos vectoriales, puede haber imputaciones no dominadas en las que bajo la óptica de una determinada coalición sean posibles mejoras factibles, es decir, puede haber imputaciones no dominadas que pueden mejorarse por matrices de pagos que no sean imputaciones. Si esto tampoco ocurre tendremos lo que denominamos imputaciones de preferencia no dominadas por asignaciones. INDA(N,v; > ) { X I(N,v; > ) / /S N,Y I (N,v) :Y } S dom X Se verifica que INDA(N,v; > ) IND(N,v; > ). Incluso, a diferencia de lo que ocurre en el caso escalar, el contenido puede ser estricto, como se muestra con el siguiente ejemplo: Ejemplo 5 Para el juego de tres jugadores, N {1,, 3}, y dos objetivos, K {1, }, S {1}, {}, {3} {1, } {1, 3}, {, 3} N v(s) la matriz de pagos X M x3 es una imputación de preferencia no dominada del juego, X IND(N,v; > ), pero la coalición S {1, } 54

15 puede mejorar los pagos en su primer criterio aunque sea a través de una matriz de pagos que no es imputación. Sin embargo la matriz Y M x también es una imputación 3 3 no dominada del juego, más estable que la anterior porque, en este caso, para ninguna coalición es posible ninguna mejora factible. Por tanto Y es una imputación no dominada por asignaciones. A partir de imputaciones del núcleo de los juegos escalares componentes, es posible obtener imputaciones de preferencia no dominadas por asignaciones del juego multicriterio. El recíproco no es cierto y el Ejemplo 4 lo prueba, pues la matriz X 3 1 M x3 del ejemplo no sólo es imputación de preferencia no 1 1 dominada sino que es no dominada por asignaciones. Sin embargo X / C(N,v ). De forma análoga al caso escalar, consideramos como concepto de solución de un juego cooperativo vectorial, el concepto de núcleo de preferencia del juego, denominado núcleo producto cartesiano y dado por C(N,v; > ) { } X I (N,v) /X S > v(s) S N 1. Coincide con el producto carte- siano de los núcleos de los juegos escalares componentes, y viene caracterizado por una condición semejante a la que se establece en juegos escalares. Teorema Dado (N,v) G v, cuyos juegos escalares componentes son (N,v j ) j 1,,...,m, se verifica C(N,v; > ) Ø (N,v) es equilibrado. Demostración: Sea X C(N,v; > ). Entonces, X N v(n) yx S > v(s) S N. Por lo tanto, Xj S v j (S) S N j 1,...,m, es decir, 1 El núcleo producto cartesiano ha sido estudiado por Jörnsten y Lind (1996) y por Lind y Megen(1996). 55

16 todos los juegos componentes son equilibrados y el juego vectorial (N,v) es equilibrado. Igual que ocurre en el caso escalar, los juegos esenciales de suma constante tienen núcleo de preferencia vacío, pero a diferencia de lo que ocurre en aquel caso, en juegos cooperativos vectoriales el conjunto de imputaciones no dominadas por asignaciones y el núcleo del juego no son iguales, cumpliéndose C(N,v; > ) INDA(N,v; > ). En el siguiente ejemplo vemos que el contenido puede ser estricto: Ejemplo 6 Para el juego de tres jugadores N {1,, 3} y dos objetivos, K {1, }, S {1}, {}, {3} {1, } {1, 3}, {, 3} N v(s) la matriz X 1 1 M x3 es una imputación del núcleo producto 1 1 cartesiano del juego y por tanto una imputación no dominada por asignaciones; sin embargo la matriz X M x3 es una imputación no dominada por asignaciones que no está en el núcleo producto cartesiano, pues X {1,} /> v({1, }). Este ejemplo pone de manifiesto que el concepto de imputación no dominada por asignaciones es importante porque hay casos en los que el núcleo de preferencia es vacío y, sin embargo, es posible encontrar imputaciones no dominadas por asignaciones. El siguiente ejemplo representa un juego no equilibrado y por tanto con núcleo de preferencia vacío, pero en el que hemos encontrado una imputación no dominada por asignaciones. Ejemplo 7 Sea el juego de tres jugadores, N {1,, 3}, y dos objetivos, K {1, }, 56

17 S {1}, {}, {3} {1, } {1, 3} {, 3} N v(s) Este juego no es equilibrado, utilizando el orden natural, pues para la colección equilibrada β {{1, }, {1, 3}, {, 3}} con pesos α S 1/ S β, se verifica que: 1/ v({1, })+1/ v({1, 3})+1/ v({, 3}) 5 7 < v(n). Por tanto, el juego tiene núcleo de preferencia vacío. 5 Sin embargo, X 3 M x3 es una imputación no dominada por asignaciones. 5 Conclusiones Es frecuente que, en situaciones de conflicto, los decisores evalúen las situaciones con respecto a varios criterios. Se considera entonces que en el proceso de decisión intervienen múltiples objetivos, no siempre fácilmente comparables y sin función de utilidad dada explícitamente. Estas situaciones no deben modelarse con una única función objetivo sino que han de tenerse en cuenta simultáneamente todos los criterios relevantes en la decisión. Hay muchas razones para estudiar la teoría de juegos multicriterio. En primer lugar, ésta extiende las situaciones de conflicto que se analizan en la teoría de juegos convencional, dándose no sólo conflictos entre los jugadores sino entre los distintos criterios de cada uno. Es interesante analizar las posibles extensiones de la teoría de juegos clásica porque, debido a la dificultad adicional que implica trabajar con objetivos múltiples, muchos de los resultados teóricos del caso escalar podrían no ser válidos en el caso vectorial. En 57

18 segundo lugar, esta teoría hace innecesario definir funciones de pago que escalaricen los criterios dando un valor único y que ponen ciertas restricciones a las estructuras de preferencia de los jugadores. En tercer lugar, la teoría de juegos proporciona una visión más general de la situación en conflicto que podría llevar a una solución del problema con objetivos múltiples. Este trabajo muestra cómo los conceptos de núcleo definidos en juegos cooperativos multicriterio son más complicados que los correspondientes en juegos escalares y que no existe un concepto de núcleo único que se corresponda con el equivalente de juegos escalares. Para juegos cooperativos vectoriales, si el concepto de mejora se considera componente a componente, la utilización del principio de racionalidad individual nos lleva al concepto de imputaciones de preferencia. Hemos visto cómo aplicando el principio de racionalidad colectiva dentro del conjunto de dichas imputaciones, tenemos tres conceptos de solución del juego, cada uno conteniendo al siguiente: imputaciones de preferencia no dominadas, imputaciones de preferencia no dominadas por asignaciones (INDA) y el que hemos denominado núcleo de preferencia del juego. Los dos primeros conceptos de solución son muy parecidos y el núcleo de preferencia viene caracterizado por que el juego sea equilibrado, condición semejante al caso escalar y que equivale a dicha condición sobre los juegos componentes. Es importante destacar que, si bien el núcleo de preferencia coincide con el producto cartesiano de los núcleos de los juegos escalares componentes, en el caso de las imputaciones no dominadas y no dominadas por asignaciones, no todas las asignaciones se obtienen a través de imputaciones no dominadas o no dominadas por asignaciones en los juegos escalares componentes. También merece researse que la condición impuesta para definir el núcleo de preferencia es bastante restrictiva, por lo que muchos juegos tendrán núcleo de preferencia vacío. Esto hace que el concepto de INDA cobre especial interés. 58

19 Bibliografía [Aumann-Harts (Eds.) 9] Handbook of Game Theory with Economic Applications. Vol I North-Holland. Amsterdam. [Aumann-Harts (Eds.) 94] Handbook of Game Theory with Economic Applications. Vol II North-Holland. Amsterdam. [Bondareva 63] Bondareva O.N.(1963) Some Applications of the Methods of Linear Programming to the Theory of Cooperative Games. Problemy Kubernetiki, Vol 10, pp [Driessen 88] Driessen T.S.H.(1988) Cooperative Games, Solutions and Applications. Kluwer Academic Publishers. London. [Hannan 8] Hannan E.L. (198) On Games withmultiple Payoff. International Journal of Game Theory, Vol 11, n.1, pp [Jörnsten et al. 96] Jörnsten K., Lind M. (1996) Core Concepts for Multiple Criteria Games. Publication No. 96/5, Department of Operations Research, University of Aarhus, Arhus, Demmark. [Jörnsten et al. 95] Jörnsten K., Lind M., Tind J. (1995) Stable Payment Schemes of TU-Games with Multiple Criteria. Revised version of Publication No. 93/3, Department of Operations Research, University of Aarhus, Arhus, Demmark. [Lind et al. 95] Lind M., Megen F. (1996) Order Based Cost Allocation Rules. Discusion paper num. 9656, Center of Economic Research, Tilburg University, Tilburg, The Netherlands. [Newmann et al. 44] Newmann von J., Morgenstern O. (1944) Theory of Games and Economics Behaviour. University Press, Princeton, New Jersey. 59

20 [Nouweland et al. 90] Nouweland A. van den, Aarts H., Borm P. (1990) Multi-Commodity Games. Methods of Operations Research, Vol 63, pp [Owen 95] Owen G. (1995) Game Theory. Academic Press. San Diego, California. [Shapley 67] Shapley L.S. (1967) On Balanced Sets and Cores. Naval Research Logistics Quart. Vol 14, pp [Zeleny 75] Zeleny M. (1975) Games withmultiple Payoff. International Journal of Game Theory, Vol 4, n.4, pp [Zhao 91] Zhao J. (1991) The Equilibria of a Multiple Objective Game. International Journal of Game Theory, Vol 0, pp