El modelo Lineal General

Transcripción

1 El Lineal General Román Salmerón Gómez Universidad de Granada RSG El lineal uniecuacional múltiple 1 / 68

2 Estimación del Validación del Explotación del Estimación del Validación del Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 2 / 68

3 Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 3 / 68

4 Modelo lineal uniecuacional múltiple Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del El lineal uniecuacional múltiple analiza la relación lineal entre una variable dependiente, Y, y más de una variable independiente, X i, i = 1,...,k, k > 1, más un término aleatorio, u. Así, a partir de n observaciones para cada variable, el puede ser expresado como: Y t = β 1 + β 2 X t2 + β 3 X t3 + + β k X tk + u t, t = 1,...,n, (1) donde se ha considerado que hay término constante, es decir, X 1t = 1, t. El objetivo será estimar (es decir, obtener una aproximación numérica) aquellas cantidades constantes presentes en el (1), así como la bondad de la estimación realizada. En primer lugar, se escribe dicho para todas y cada una de las observaciones: Y 1 = β 1 + β 2 X 12 + β 3 X β k X 1k + u 1 Y 2 = β 1 + β 2 X 22 + β 3 X β k X 2k + u 2. Y n RSG El lineal uniecuacional múltiple 4 / 68. = β 1 + β 2 X n2 + β 3 X n3 + + β k X nk + u n

5 Modelo lineal uniecuacional múltiple Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del Que nos conduce a la siguiente forma matricial: donde: y n 1 = Y 1 Y 2. Y n y n 1 = X n k β k 1 + u n 1, (2), β k 1 = X n k = β 1 β 2. β k, u n 1 = 1 X X 1k 1 X X 2k X n2... X nk. u 1 u 2. u n, RSG El lineal uniecuacional múltiple 5 / 68

6 Hipótesis del Modelo lineal uniecuacional múltiple Hipótesis del Estimación del Validación del Explotación del Consideraremos las siguientes hipótesis básicas en el lineal uniecuacional múltiple: El vector y se puede expresar como combinación lineal de las variables explicativas más un vector de perturbación. La perturbación aleatoria está centrada (E[u t ] = 0, t = 1,...,n), es homocedástica ( V ar(u t ) = E[u 2 t] = σ 2, t = 1,...,n ) e incorrelada (Cov(u t, u s ) = E[u t u s ] = 0, t s, t, s = 1,...,n). En tal caso se dice que las perturbaciones son esféricas y se verifica que E[u] = 0 n 1 y V ar(u) = E[u u t ] = σ 2 I n n. La matriz X es no estocástica y de rango completo por columnas, es decir, rg(x) = k (como consecuencia n > k y las columnas de X, es decir, X i, i = 1,...,n, son linealmente independientes). No hay relación entre variables independientes y la perturbación aleatoria: Cov(u n 1, X i ) = E [ (u E[u]) (X i E[X i ]) t] = E [ u (X i X i ) t] = E[u n n ] = 0 n n. RSG El lineal uniecuacional múltiple 6 / 68

7 Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Estimación del Validación del Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 7 / 68

8 Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Definiendo los errores o residuos, e, del lineal uniecuacional múltiple como la diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su estimación, esto es e = y ŷ, donde ŷ = X β, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos e t e = (y X β) t (y X β) = y t y 2 β t X t y + β t X t X β, se obtiene la estimación del parámetro β como β = ( X t X ) 1 X t y. Dicho método recibe el nombre de mínimos cuadrados ordinarios, MCO, por lo que los estimadores obtenidos a partir de dicho método reciben el nombre de estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, EMCO. Como consecuencias de dicha estimación se verifica que X t e = 0 k 1, i t e = 0 1 1, i t ŷ = i t y y ŷ t e = donde i t = ( ) 1 n. RSG El lineal uniecuacional múltiple 8 / 68

9 Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Adviértase que: Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria X t X = n n X t2 t=1 n. X tk t=1 n t=1 n t=1 n t=1 X t2 X 2 t2. X tk X t2 n X tk t=1 n t= X t2 X tk n Xtk 2 t=1, Validación del Explotación del y X t y = n Y t t=1 n t=1 n t=1 X t2 Y t. X tk Y t. RSG El lineal uniecuacional múltiple 9 / 68

10 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios son lineales, insesgados y óptimos (ELIO), es decir, tienen varianza mínima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados. En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal. Así, llamando: C k n = ( X t X ) 1 k k Xt k n = c 11 c c 1n c 21 c c 2n c k1 c k2... c kn, se tiene que β se expresa como combinación lineal del vector y: β k 1 = C k n y n 1 = c 11 Y 1 + c 12 Y c 1n Y n c 21 Y 1 + c 22 Y c 2n Y n. c k1 Y 1 + c k2 Y c kn Y n. RSG El lineal uniecuacional múltiple 10 / 68

11 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Para que el estimador β de β sea insesgado se ha de cumplir que E[ β] = β. En efecto, sustituyendo y = Xβ + u en β: β = ( X t X ) 1 X t y = ( X t X ) 1 X t (Xβ + u) = β + ( X t X ) 1 X t u β = β + ( X t X ) 1 X t u. Entonces, teniendo en cuenta que E[u] = 0: [ E[ β] = E β + ( X t X ) ] 1 X t u = β + ( X t X ) 1 Xt E[u] = β. Explotación del Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de β: ) [ ) ) ] [ t ) V ar ( β = E ( β E[ β] ( β E[ β] = E ( β β [ (X = E t X ) 1 X t u u t X ( X t X ) ] 1 ( β β ) t ] = ( X t X ) 1 Xt E[u u t ] X ( X t X ) 1 = σ 2 (X t X ) 1 X t X ( X t X ) 1 = σ2 (X t X ) 1, RSG El lineal uniecuacional múltiple 11 / 68

12 Teorema de Gauss-Markov Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del donde se ha tenido en cuenta que β es insesgado, β β = (X t X) 1 X t u y V ar(u) = E[u u t ] = σ 2 I n n. Para demostrar que β es de mínima varianza consideraremos otro estimador, ) β, de β lineal e insesgado de forma que V ar ( β < V ar (β ). En efecto, β = D k n y n 1 tal que D X = I k k es lineal e insesgado. Además, V ar (β ) = σ 2 DD t. En tal caso, puesto que podemos escribir D = (X t X) 1 X t + W con W 0 k n, se tiene que DD t = (X t X) 1 + WW t, y en tal caso: V ar (β ) = σ 2 DD t = σ 2 (Xt X ) ) 1 +σ2 WW t = V ar ( β +σ 2 WW t, ) esto es, V ar (β ) V ar ( β = σ 2 WW t. ) Y como WW t es definida positiva: V ar (β ) V ar ( β caso: ) V ar (β ) > V ar ( β. > 0, y en tal RSG El lineal uniecuacional múltiple 12 / 68

13 Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Estimación del Estimación mínimo cuadrática de los coeficientes del Teorema de Gauss-Markov Estimación de la varianza de la perturbación aleatoria Validación del Explotación del Además de los coeficientes de las variables independientes, hay en el otra cantidad constante que habrá que estimar: la varianza de la perturbación aleatoria, σ 2. Un estimador insesgado de σ 2 es: σ 2 = et e n k, ya que E[e t e] = (n k) σ 2. Para calcular dicho estimador se dispone de la expresión: σ 2 = yt y β t X t y n k. En consecuencia, la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas de β es: ) V ar ( β = σ 2 (X t X ) 1. RSG El lineal uniecuacional múltiple 13 / 68

14 Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Validación del Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 14 / 68

15 Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del Una vez estimado el lineal uniecuacional multiple, es decir, una vez obtenidas las estimaciones de β y σ 2, el siguiente paso será estudiar la calidad de dichas estimaciones. Así, a continuación, obtendremos el coeficiente de determinación, que no es más que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios. Dicho coeficiente de determinación, que se denota por R 2, se define como el porcentaje de variabilidad explicada por el. Por tanto, éste se obtendrá como el cociente entre la varianza explicada por la estimación y la total: R 2 = 1 T 1 T n i=1 n i=1 (Ŷi Y ) 2 ( Yi Y ) 2 = n i=1 n i=1 (Ŷi Y ) 2 ( Yi Y ) 2. Como se observa, el coeficiente de determinación queda expresado en función de la suma de cuadrados explicados (SCE) y los totales (SCT). RSG El lineal uniecuacional múltiple 15 / 68

16 Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del Luego, teniendo en cuenta la descomposición se tiene que SCT = SCE + SCR, R 2 = SCE SCT = 1 SCR SCT. Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresión: R 2 = β t X t y n Y 2 y t y n Y 2 = 1 yt y βt Xt y y t y n Y 2. Adviértase que, siempre que el lineal tenga término independiente, el coeficiente de determinación varía entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando la SCE es nula y, por tanto, el no es adecuado; mientras que toma el valor 1 cuando la SCR es nula y, por tanto, el es adecuado. RSG El lineal uniecuacional múltiple 16 / 68

17 Coeficiente de determinación corregido Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el el coeficiente de determinación aumenta aunque las variables que incluyamos no sean significativas, esto supone un problema. El coeficiente de determinación corregido, R 2, viene a resolver este problema del coeficiente de determinación. Dicho coeficiente mide el porcentaje de variación de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinación) pero teniendo en cuenta el número de variables incluidas en el. Se define como: R 2 = 1 (1 R 2 ) n 1 n k. En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de ser sobrevaloradas. Obtener un R 2 o R 2 cercano a 1 no indica que los resultados sean fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de las hipótesis básicas y los resultados no ser válidos. Por tanto, estos indicadores han de ser considerados como una herramienta más a tener en cuenta dentro del análisis. RSG El lineal uniecuacional múltiple 17 / 68

18 Criterios de selección de s Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Por otro lado, se podría pensar en usar el coeficiente de determinación para comparar distintos s. En tal caso, estos deben de tener la misma variable dependiente ya que así tendrán la misma suma de cuadrados totales. Y aún así, habría que tener cuidado con el problema ya comentado: aumenta su valor al añadir una nueva variable explicativa, sea cual sea su aportación al. Para evitar tales problemas, a la hora de comparar s para elegir uno de ellos se usan los criterios de selección de s. Más concretamente, estudiaremos los criterios de información de Akaike (AIC), el bayesiano de Schwarz (BIC) y el de Hannan-Quinn (HQC). Estos criterios se obtienen a partir de la suma de cuadrados de los residuos y de un factor que penaliza la inclusión de parámetros. Así, un más complejo (con más variables explicativas) reducirá la suma de cuadrados de los residuos pero aumentará el factor de penalización. Utilizando estos criterios se escogería aquel con un menor valor de AIC, BIC o HQC. Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 18 / 68

19 Criterios de selección de s: AIC, BIC y HQC Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Teniendo en cuenta que: L = n 2 (1 + ln(2 π) ln(n)) n 2 ln(scr), el criterio de información de Akaike responde a la expresión: el de Schwarz a: y el de Hannan-Qinn: AIC = 2 L + 2 k, BIC = 2 L + k ln(n), HQC = 2 L + 2 k ln (ln(n)). Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 19 / 68

20 Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Introduciendo la hipótesis de que la perturbación aleatoria sigue una distribución normal, esto es: u n 1 N(0 n 1, σ 2 I n n ). En consecuencia, β k 1 N(β, σ 2 (X t X) 1 ), ya que: β sigue una distribución normal ya que se puede expresar en función de una normal: β = β + (X t X) 1 X t u. ] se tienen calculados el vector de medias, E [ β ) varianzas-covarianzas, V ar ( β = σ 2 (X t X) 1. = β, y matriz de Por otro lado, ya que e t e = u t Mu siendo M n n = I X (X t X) 1 X t simétrica, idempotente y con rg(m) = n k < k se tiene que ut Mu σ 2 χ 2 n k, lo que se traduce en que Explotación del (n k) σ 2 σ 2 χ 2 n k. RSG El lineal uniecuacional múltiple 20 / 68

21 Contraste de un conjunto de hipótesis lineales Estimación del A continuación abordaremos la especificación de contrastes sobre un conjunto de hipótesis lineales sobre los coeficientes del. Concretamente, suponiendo q restricciones lineales independientes entre sí: Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del a 11 β 1 + a 12 β a 1k β k = b 1 a 21 β 1 + a 22 β a 2k β k = b 2.. =... a q1 β 1 + a q2 β a qk β k = b q Plantearemos contrastar la hipótesis nula H 0 : Rβ = r donde a 11 a a 1k a 21 a a 2k R q k =......, r q 1 =.. a q1 a q2... a qk b 1 b 2.. b q. RSG El lineal uniecuacional múltiple 21 / 68

22 Contraste de un conjunto de hipótesis lineales Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Usando la distribución ( R β Rβ) t [R (X t X) 1 R t ] 1 q σ 2 ( ) R β Rβ rechazaremos la hipótesis nula al nivel de significación α si ( R β r) t [R (X t X) 1 R t ] 1 q σ 2 ( ) R β r F q,n k, > F q,n k (1 α), donde F q,n k (1 α) es el punto de una F de Senedecor de q y n k grados de libertad que deja por debajo suyo una probabilidad 1 α. Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 22 / 68

23 Casos particulares Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del Un caso particular de suma importancia será aquel en el que se desee contrastar la hipótesis nula H 0 : β i = b i, i = 1,...,k. En tal caso, q = 1, R = ( i)... 0) y r = b i, por lo que la distribución anterior queda simplificada como ( βi b i ) 2 σ 2 w i F 1,n k, donde w i es el elemento (i,i) de la matriz (X t X) 1, o lo que es lo mismo, σ 2 w i es el elemento (i,i) de σ 2 (X t X) 1 = V ar ( β ), esto es, la varianza estimada de β i. Teniendo en cuenta que la raíz cuadrada de una F-Snedecor con 1 y n grados de libertad es una t-student con n grados de libertad se tiene que β i b i σ w i t n k, RSG El lineal uniecuacional múltiple 23 / 68

24 Casos particulares Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza y en tal caso rechazaremos H 0 : β i = b i al nivel de significación α si β i b ( i σ w i > t n k 1 α ), 2 donde t n k ( 1 α 2 ) es el punto de una distribución t de student con n k grados de libertad que deja por debajo suya una probabilidad 1 α 2. Este caso particular es de vital importancia cuando b i = 0, ya que entonces estaremos contrastando si el coeficiente de la variable independiente X i es o no nulo. De forma que al rechazar dicha hipótesis tenemos garantizado que la variable X i ha de estar en el, por lo que sus variaciones influyen en la variable dependiente. En tal caso se dice que dicha variable es significativa y que el contraste es un contraste de significación individual. Intervalos de confianza Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 24 / 68

25 Mínimos Cuadrados Restringidos Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del En el caso en el que no se rechace la hipótesis nula H 0 : Rβ = r, sería deseable incorporar dicha información al. En tal caso, se obtiene un nuevo estimador: β R = β + ( X t X ) 1 R t [ R ( X t X ) 1 R t ] 1 ( ) r R β, que recibe el nombre de mínimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenido con la restricción de que ha de verificar que R β R = r. Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hipótesis nula H 0 : Rβ = r sea cierta y óptimo. Es decir, el estimador por mínimos cuadrados restringidos tiene menor varianza que el estimador mínimo cuadrático ordinario siempre y cuando la restricción (hipótesis nula) sea cierta. Luego, cuando una restricción lineal sobre los coeficientes de las variables independientes es cierta, el estimador por mínimos cuadrados ordinarios deja de ser óptimo y habrá que usar el estimador por mínimos cuadrados restringidos. Además se verifica que: SCR R SCR, R 2 R R 2. RSG El lineal uniecuacional múltiple 25 / 68

26 Análisis de la varianza Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del El análisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hipótesis nula que todos los coeficientes de las variables independientes son nulos simultáneamente, esto es, H 0 : β 2 = β 3 = = β k = 0. Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobre k 1 restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes. En este caso, rechazaremos la hipótesis nula al nivel de significación α si F exp = SCE k 1 SCR n k > F k 1,n k (1 α). Para calcular dicho estadístico se suele resumir la información anterior en una tabla, conocida como tabla de análisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que en ella se recogen las fuentes de variación de la varianza: Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Medias Explicada SCE = β t X t y ny 2 k 1 Residuos SCR = y t y β t X t y n k Total SCT = y t y ny 2 n 1 SCE k 1 SCR n k RSG El lineal uniecuacional múltiple 26 / 68

27 Análisis de la varianza Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Adviértase que rechazar H 0 implica que hay al menos un coeficiente no nulo, por lo que la relación existente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al azar, lo cual valida el en su conjunto. Por otro lado, sin más que dividir la región de rechazo por SCT tanto en el numerador como en el denominador se obtiene la expresión equivalente: R 2 k 1 1 R 2 n k > F k 1,n k (1 α). La importancia de esta nueva expresión para la región de rechazo es que permite calcular una cota, sin más que despejar R 2, a partir de la cual el coeficiente de determinación es significativo. Esto es, el coefciente de determinación es significativo al nivel de significación α si Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del R 2 > k 1 n k F k 1,n k(1 α) 1 + k 1 n k F k 1,n k(1 α). RSG El lineal uniecuacional múltiple 27 / 68

28 Intervalos de confianza Estimación del Validación del Bondad de ajuste: Coeficiente de determinación Criterios de selección de s Distribución en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hipótesis lineales: casos particulares Mínimos Cuadrados Restringidos Análisis de la varianza Intervalos de confianza Explotación del A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados es inmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel 1 α: Intervalo de confianza para β i ( β i ± t n k 1 α ) σ w i, i = 1,...,k. 2 Intervalo de confianza para σ 2 donde χ 2 n k [ (n k) σ ( 2 1 α ), 2 χ 2 n k (n k) σ2 ( χ 2 α ) n k 2 ( 1 α 2 ) y χ 2 n k ( α 2 ) son los puntos de una distribución chicuadrado con n k grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente, una probabilidad 1 α 2 y α 2. Una forma alternativa de contrastar hipótesis es usando los intervalos de confianza. De manera que para contrastar H 0 : Rβ = r se calculará la región de confianza para Rβ y si r pertenece a dicha región, no se rechazará la hipótesis nula. ], RSG El lineal uniecuacional múltiple 28 / 68

29 Estimación del Validación del Explotación del Predicción Puntual Óptima Predicción por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 29 / 68

30 Predicción Puntual Óptima Estimación del Validación del Explotación del Predicción Puntual Óptima Predicción por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Una vez validado el, la siguiente fase de un econométrico es la explotación, siendo entonces la predicción o la permanencia estructural algunos de sus objetivos. La predicción se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizaremos una predicción puntual dando un único valor de predicción para un instante en concreto; b) por otra parte, puesto que Y es una variable aleatoria, podemos calcular su esperanza dado un valor en concreto de las variables independientes. Siguiendo las directrices anteriores se llega a la misma expresión algebráica en ambos casos: p 0 = x t 0 β, donde x t 0 = (1 X 02 X X 0k ) contiene los valores de las variables independientes para los que se quiere obtener la predicción. Este predictor, p 0, mínimo cuadrático (ya que se obtiene a partir del estimador por mínimos cuadrados ordinarios de β) es lineal, insesgado y óptimo (en el sentido de mínima varianza). RSG El lineal uniecuacional múltiple 30 / 68

31 Predicción por intervalo Estimación del Validación del Explotación del Predicción Puntual Óptima Predicción por intervalo Contraste de Permanencia Estructural En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperado de Y dado x 0, es decir, para E[Y 0 /x 0 ] = x t 0 β. Como x t 0 β se distribuye según una normal (ya que está en función de β) y E[x t 0 β] = x t 0β, ya que es insesgado. ( V ar x t 0 β ) [( = E x t 0 β ) ( x t 0 β x t 0 β )] x t 0 β = x t 0 [ ) ) ] t ) E ( β β ( β β x 0 = x t 0 ( β V ar x 0 = σ 2 x t 0 (Xt X) 1 x 0. se tiene que x t 0 β N ( x t 0 β, σ 2 x t ( 0 X t X ) ) 1 x0. Ahora bien, esta distribución no es apta para hacer inferencia puesto que depende de la cantidad desconocida σ 2. Para resolver este problema, tipificaremos la anterior distribución normal y la dividiremos entre la raíz cuadrada de la siguiente distribución chi-cuadrado RSG El lineal uniecuacional múltiple 31 / 68

32 Predicción por intervalo Estimación del Validación del Explotación del Predicción Puntual Óptima Predicción por intervalo Contraste de Permanencia Estructural (n k) σ 2 σ 2 χ 2 n k, dividida a su vez entre sus grados de libertad, obteniendo la siguiente distribución t-student: x t 0 β x t 0 β t n k. σ x t0 (Xt X) 1 x 0 A partir de esta distribución, el intervalo de confianza al nivel 1 α para E[Y 0 /x 0 ] = x t 0 β es: x t 0 β ( ± t n k 1 α ) σ x t 0 2 (Xt X) 1 x 0, donde t n k ( 1 α 2 ) es el punto de una distribución t de Student con n k grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 α 2. RSG El lineal uniecuacional múltiple 32 / 68

33 Contraste de Permanencia Estructural Estimación del Validación del Explotación del Predicción Puntual Óptima Predicción por intervalo Contraste de Permanencia Estructural Al explotar el mediante la predicción se está presuponiendo que la relación estimada se mantiene para la información no presente en la muestra observada. Para confirmar este aspecto, calcularemos el intervalo de confianza para Y dado x 0, de forma que si la nueva información pertenece a dicho intervalo, la estructura del estimado permanecerá. Partiendo de que ) ( ( Y 0 Ŷ0 = u 0 x t 0 ( β β N 0, σ x t ( 0 X t X ) )) 1 x0, se llega de forma análoga a la anterior a la distribución σ Y 0 1 Ŷ0 t n k, + x t0 (Xt X) 1 x 0 donde Ŷ0 = x t 0 β. Por tanto, el intervalo de confianza al nivel 1 α para Y 0 es: x t 0 β ( ± t n k 1 α ) σ 1 + x t 0 2 (Xt X) 1 x 0. RSG El lineal uniecuacional múltiple 33 / 68

34 Estimación del Validación del Explotación del RSG El lineal uniecuacional múltiple 34 / 68

35 Estimación del Validación del Explotación del A continuación vamos a realizar un análisis exhaustivo del Y t = β 1 + β 2 X t2 + β 3 X t3 + u t, a partir de las siguiente información muestral: Observación Y t X t2 X t En primer lugar calcularemos la estimación por mínimos cuadrados ordinarios de los coeficientes de las variables a partir de la expresión β = ( X t X ) 1 X t y. (3) RSG El lineal uniecuacional múltiple 35 / 68

36 Estimación del Validación del Explotación del A partir de la información muestral anterior es claro que: y = , X = , de forma que: X t X = , X t y = , y entonces a partir de la fórmula (3): RSG El lineal uniecuacional múltiple 36 / 68

37 Estimación del Validación del Explotación del β = = = Es decir, β 1 = , β 2 = y β 3 = Lo cual se traduce en la siguiente estimación del considerado: Ŷ t = X t X t3. RSG El lineal uniecuacional múltiple 37 / 68

38 Estimación del Validación del Explotación del A partir de estas estimaciones es sencillo obtener las estimaciones de Y : ŷ = X β = = , y los residuos del : e = y ŷ = = RSG El lineal uniecuacional múltiple 38 / 68

39 Estimación del Validación del Explotación del Desde un punto de vista teórico, dichos residuos han de sumar cero, si bien en este caso la suma del vector anterior es igual a De igual forma, a partir de dichos residuos se puede obtener fácilmente la estimación de la varianza de la perturbación aleatoria, ya que por definición: σ 2 = et e n k, (4) donde e t e es la suma de los cuadrados de los residuos, n el número de observaciones del y k el número de variables presentes en el mismo. En este caso: σ 2 = = Otra forma equivalente de obtener la estimación anterior es: σ 2 = yt y β t X t y n k. (5) RSG El lineal uniecuacional múltiple 39 / 68

40 Estimación del Validación del Puesto que y t y = 20808, βt X t y = ( ) = , Explotación del es claro que σ 2 = = = Y a partir de esta estimación se puede obtener la estimación de la matriz de varianzas-covarianzas de β mediante: ) V ar ( β = σ 2 (X t X ) 1 = = , (6) RSG El lineal uniecuacional múltiple 40 / 68

41 Estimación del Validación del Explotación del que será usada para calcular la región de rechazo de los contrastes de significación individual así como para los intervalos de confianza de cada coeficiente de la regresión. Para medir la bondad del ajuste realizado mediante la estimación anterior calcularemos el coeficiente de determinación: R 2 = β t X t y ny y t y ny Para la primera expresión de (7), teniendo en cuenta que: = 1 yt y β t X t y y t y ny. (7) β t X t y ny = = = , se tiene que y t y ny = = 3136, R 2 = = Además, en tal caso: R 2 = 1 ( ) 7 5 = RSG El lineal uniecuacional múltiple 41 / 68

42 Estimación del Validación del Explotación del Mientras que para la segunda expresión: R 2 = = = A partir de este coeficiente podemos afirmar que el ajuste realizado permite explicar un % de la variabilidad de la variable dependiente, que si bien se encuentra muy próximo al 100%, más adelante comprobaremos si es significativo y, por tanto, si es suficiente para validar el. Una vez estimadas las cantidades constantes del, a continuación se estudiará la validez del mismo a partir de: contrastes de significación individual. contraste de significación conjunta. significación del coeficiente de determinación. Para abordar los contrastes de significación individual tendremos en cuenta que se rechaza H 0 : β i = 0 si RSG El lineal uniecuacional múltiple 42 / 68

43 Estimación del Validación del Explotación del t exp = β i σ w i > t n k ( 1 α ), i, 2 donde w i es el elemento (i, i) de la matriz (X t X) 1 o, lo que es lo mismo, σ w i es la raíz cuadrada del elemento (i, i) de la matriz σ 2 (X t X) 1 = ) V ar ( β. Observando (6) es claro que σ w 2 = = y σ w 3 = = Teniendo en cuenta que t n k ( 1 α 2 ) = t5 (0 975) = 2 57, se obtiene que: rechazo H 0 : β 2 = 0 si t exp = = > rechazo H 0 : β 3 = 0 si t exp = = > Como es evidente, rechazamos H 0 : β 2 = 0 y no rechazamos H 0 : β 3 = 0, es decir, la variable X t2 influye en Y t, mientras que la X t3 no lo hace. En tal situación se dice que la segunda variable es significativa y que la tercera no es significativa. RSG El lineal uniecuacional múltiple 43 / 68

44 Estimación del Validación del Explotación del Para el contraste de significación conjunta, H 0 : β 2 = β 3 = 0, se rechaza la hipótesis nula si F exp = SCE/k 1 SCR/n k > F k 1,n k(1 α), donde F k 1,n k (1 α) es el punto de una F de Snedecor con k 1 y n k grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 α, SCE denota a la suma de cuadrados explicada y SCR a la suma de los cuadrados de los residuos (cantidades que ya han sido calculadas con anterioridad al obtener el coeficiente de determinación). En este caso, para calcular la región de rechazo recurriremos a la tabla ANOVA: Fuentes de variación Sumas de cuadrados Grados de libertad Medias Explicada SCE = k 1 = Residual SCR = n k = 8 3 = Total SCT = 3136 Luego F exp = = RSG El lineal uniecuacional múltiple 44 / 68

45 Estimación del Validación del Explotación del Y como F k 1,n k (1 α) = F 2,5 (0 95) = 5 78, es evidente que se rechaza la hipótesis nula. Esto es, existe al menos un coeficiente que es no nulo de manera que entonces se puede afirmar que hay algún tipo de asociación (que no se debe al azar) entre las variables independientes y la dependiente. Para terminar con la validación del, estuadiaremos si el coeficiente de determinación obtenido con anterioridad es significativo o no. Teniendo en cuenta que: SCE/k 1 SCR/n k = R 2 /k 1 (1 R 2 )/n k, la región de rechazo anterior se puede expresar como: R 2 /k 1 (1 R 2 )/n k > F k 1,n k(1 α), y sin más que despejar el coeficiente de determinación, se obtiene que el es significativo si R 2 > k 1 F n k k 1,n k(1 α) 1 + k 1 F n k k 1,n k(1 α) = R2 sig. RSG El lineal uniecuacional múltiple 45 / 68

46 Estimación del Validación del Explotación del Esto es, se tiene una cota, Rsig 2, a partir de la cual el coeficiente de determinación es significativo. Puesto que en este caso: k 1 n k = 2 5 = 0 4 F k 1,n k (1 α) = F 2,5 (0 95) = 5 78 } k 1 n k F k 1,n k(1 α) = = R 2 sig = = Recordemos que R 2 = , que claramente es significativo al ser superior a la cota inferior de significación R 2 sig = Esto es, el coeficiente de determinación obtenido implica que el es explicativo. Por todo lo anterior, parece claro que el es válido y, por tanto, apto para la predicción. Supongamos ahora que se tiene nueva información para las variables independientes (X 02 = 2 y X 03 = 3) y que se desea obtener una predicción puntual y por intervalo a partir de ella para la variable dependiente. RSG El lineal uniecuacional múltiple 46 / 68

47 Estimación del Validación del Explotación del A partir de dicha información, la predicción puntual óptima será x t 0 β = (1 2 3) = Mientras que para la predicción por intervalo será necesario calcular: x t ( 0 X t X ) x0 = (1 2 3) = 0 596, de forma que el intervalo de confianza para el valor esperado de Y será: x t β ( 0 ± t n k 1 α ) σ 2 x t 0 (Xt X) 1 x 0 = ± = (10 221, ). y el intervalo de confianza para Y será: RSG El lineal uniecuacional múltiple 47 / 68

48 Estimación del Validación del Explotación del ( x t 0 β ± t n k 1 α ) σ 1 + x t 0 2 (Xt X) 1 x 0 = ± = ( , ). Además, a partir de este último intervalo (conocido como permanencia estructural), si se sabe que acompañando a x 0 se tiene Y 0 = 6, puesto que este valor pertenece al intervalo calculado, se puede afirmar (al nivel de confianza considerado) que la relación estimada para las variables se sigue verificando (permanece la estructura) para la nueva información. Por último, con el objetivo de aplicar la estimación con información a priori al considerado vamos contrastar la hipótesis nula H 0 : β 2 + β 3 = 5. Así, en el caso de no rechazarla obtendremos el estimador por mínimos cuadrados restringidos. Como es sabido, se rechazará la hipótesis nula si F exp = ( R β r) t [R (X t X) 1 R t ] 1 q σ 2 ( ) R β r > F q,n k (1 α), RSG El lineal uniecuacional múltiple 48 / 68

49 Estimación del Validación del Explotación del donde F q,n k (1 α) es el punto de una F de Snedecor con q y n k grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 α. A partir de β 2 + β 3 = 5 se obtiene que q = 1, r = 5 y R = (0 1 1), de forma que R β r = (0 1 1) = = , R ( X t X ) 1 R t = (0 1 1) Y en tal caso: = F exp = = , donde recordemos que σ 2 = RSG El lineal uniecuacional múltiple 49 / 68

50 Estimación del Validación del Explotación del Por otro lado, puesto que F q,n k (1 α) = F 1,5 (0 95) = 6 61, es evidente que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, no rechazo que los coeficientes de las variables verifiquen la relación β 2 + β 3 = 5. En tal caso, habrá que incorporar dicha información al con el fin de obtener un mejor estimador (cuando se dispone de información a priori el estimador por mínimos cuadrados ordinarios ya no es óptimo). En esta situación el estimador insesgado con mínima varianza es el de mínimos cuadrados restringidos, el cual responde a la siguiente expresión: β R = β + ( X t X ) [ 1 R t R ( X t X ) ] 1 1 ) R t (r R β. (8) De la expresión anterior se conoce: β = faltando calcular, [ R ( X t X ) 1 R t ] 1 = , r R β = , RSG El lineal uniecuacional múltiple 50 / 68

51 Estimación del Validación del Explotación del ( X t X ) 1 R t = = Entonces, a partir de (8) se obtiene que: β R = = = A partir de esta estimación es fácil comprobar que se obtiene: e t Re R = , RR 2 = , σ R 2 = , verificándose, como es sabido, que e t R e R > e t e y RR 2 < R2. RSG El lineal uniecuacional múltiple 51 / 68

52 Estimación del Validación del Dado el donde: Y t = β 1 + β 2 X t2 + β 3 X t3 + β 4 X t4 + u t, (9) Explotación del Y es el consumo familiar mensual (medido en miles de euros). X 2 es la renta familiar mensual (medida en miles de euros). X 3 es una variable ficticia que toma el valor 1 si la familia correspondiente tiene una deuda en forma de un préstamo para la compra de una vivienda o coche, y el valor 0 en caso contrario. X 4 es el número de hijos de una familia. Se pide analizar el sabiendo que para 22 familias se ha obtenido que: y t y = , X t y = RSG El lineal uniecuacional múltiple 52 / ,

53 Estimación del Validación del Explotación del ( X t X ) 1 = En primer lugar obtendremos la estimación de las cantidades constantes del, es decir, de β y σ 2 : β = = σ 2 = yt y β t X t y n k , (10) = = = 0 087, (11) RSG El lineal uniecuacional múltiple 53 / 68

54 Estimación del Validación del Explotación del donde se ha usado que β t X t y = ( ) = , y se deduce que σ = y Ŷ t = X 2t X 3t X 4t. Además, a partir de la estimación de σ 2 se obtiene una estimación para la matriz de varianzas-covarianzas de β: ) V ar ( β = σ 2 ( X t X ) 1 = RSG El lineal uniecuacional múltiple 54 / 68

55 Estimación del Validación del Explotación del Esta matriz tiene importancia de cara a los contrastes de significación individual ya que entonces se usaran sus elementos de la diagonal principal. Pasamos a continuación a calcular la bondad del ajuste realizado, es decir, el coeficiente de determinación: R 2 = 1 SCR SCT. Como SCR = ya ha sido calculada en la estimación de la varianza de la perturbación aleatoria, tan sólo hay que calcular: SCT = y t y ny 2 = = = , donde se ha usado que a partir del primer elemento de X t y, esto es, 48 5, se obtiene que Y = = En tal caso: 22 i=1 Y t = R 2 = = = , RSG El lineal uniecuacional múltiple 55 / 68

56 Estimación del Validación del Explotación del esto es, la estimación realizada explica un 93 53% de la variabilidad de Y. Ahora bien, como es sabido, cuanto más cercano al 100% mejor será el coeficiente de determinación y, por tanto, la estimación realizada. Está en este caso suficientemente cerca del 100% como para que la estimación realizada sea significativa? Como respuesta afirmativa a esta pregunta, el coeficiente de determinación ha de ser superior a la siguiente cota: k 1 n k F k 1,n k(1 α) 1 + k 1 n k F k 1,n k(1 α) = = = 0 345, donde se ha usado que F 3,18 (0 95) = Puesto que el R 2 obtenido es superior a dicha cota inferior podemos afirmar que el coeficiente de determinación es significativo, es decir, valida al. Esta validación del se puede establecer también a partir del contraste de significación conjunta. Bajo el supuesto de normalidad en el rechazaremos H 0 : β 2 = β 3 = β 4 = 0 si RSG El lineal uniecuacional múltiple 56 / 68

57 Estimación del Validación del Explotación del SCE k 1 SCR n k > F k 1,n k (1 α). Para calcular la región de rechazo y tomar una decisión en este contraste planteamos la tabla ANOVA: Fuentes de variación Sumas de cuadrados Grados de libertad Medias Explicada SCE = k 1 = 3 No explicada SCR = n k = 18 Total SCT = SCE = k SCR = n k El único elemento no calculado hasta el momento de la tabla anterior es SCE = SCT SCR = = En tal caso, se tiene para la región de rechazo que: > , de forma que es evidente que se rechaza la hipótesis nula de que todos los coeficientes pueden ser nulos de forma simultánea. Por tanto, se tiene que la relación existente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al azar, validando el. RSG El lineal uniecuacional múltiple 57 / 68

58 Estimación del Validación del Explotación del Para finalizar estudiaremos los contrastes de significación individual. Como es sabido se rechazará la hipótesis H 0 : β i = 0 si β ( i σ w ii > t n k 1 α ), 2 donde σ w ii es la raíz cuadrada del elemento (i, i) de la matriz t n k ( 1 α 2 ) = t18 (0 975) = H 0 : β 2 = 0 β 2 = σ w 22 = = } ) V ar ( β = β 2 σ w 22 = > y H 0 : β 3 = 0 β 3 = σ w 33 = = } = β 3 σ w 33 = > RSG El lineal uniecuacional múltiple 58 / 68

59 Estimación del Validación del H 0 : β 4 = 0 β 4 = σ w 44 = = } = β 4 σ w 44 = > Explotación del En todos los casos se rechaza la hipótesis nula, lo que se interpreta como que las variables X 2, X 3 y X 4 son significativas. Como es sabido, para llegar a estas conclusiones también se podrían haber obtenido los intervalos de confianza de cada coeficiente: β i ± t n k ( 1 α 2 ) σ w ii, i = 1, 2, 3, 4. Así por ejemplo, para el último coeficiente se tiene que el intervalo de confianza al 95% es: ± = ( , ). Como el cero no pertenece a dicho intervalo se concluirá que el coeficiente correspondiente será distinto de cero. RSG El lineal uniecuacional múltiple 59 / 68

60 Estimación del Validación del Explotación del El intervalo de confianza al 95% para el segundo coeficiente es: ± = ( , ). Al igual que antes se concluirá que el coeficiente correspondiente será distinto de cero. Para finalizar con el cálculo de intervalos de confianza, obtendremos a continuación el intervalo para la varianza de la perturbación aleatoria: [ (n k) σ ( 2 1 α ), 2 χ 2 n k (n k) σ2 ( χ 2 α ) n k 2 ] = [ χ 2 n k SCR ( 1 α ), 2 ] SCR ( α ). 2 χ 2 n k ( ) Puesto que SCR = , χ 2 n k 1 α 2 = χ 2 18 (0 975) = y ) = χ 2 18 (0 025) = es claro que el intervalo para σ 2 es: χ 2 n k ( α 2 ( 1 ) , = ( , ). RSG El lineal uniecuacional múltiple 60 / 68

61 Estimación del Validación del Explotación del Por todo lo expuesto hasta ahora se tiene que el estimado es válido y que las variables de renta familiar, deuda y número de hijos influyen positivamente en el consumo de las familias. Es decir, a mayor renta, deuda y número de hijos mayor consumo familiar. Además, al ser la variable correspondiente a la deuda una variable ficticia, habremos estimado la diferencia esperada en el consumo familiar entre familias con deuda y sin deuda con el mismo nivel de renta y número de hijos. En este caso se obtiene que dicha estimación es positiva, por lo que aquellas familias que tienen algún tipo de deuda consumen más que aquellas que no la tienen. RSG El lineal uniecuacional múltiple 61 / 68

62 Estimación del Validación del Explotación del Supongamos que además del del ejemplo anterior se tienen en cuenta estos otros dos s: Y t = γ 1 + γ 2 X t2 + γ 3 X t4 + v t, (12) Y t = α 1 + α 2 X t2, (13) de forma que para el (12) se tiene la siguiente información: X t X = , X t y = , mientras que para el (13): X t X = ( ), X t y = ( ). Se pide seleccionar el más adecuado. RSG El lineal uniecuacional múltiple 62 / 68

63 Estimación del Validación del Explotación del Para el (9) se tiene que n = 22, k = 4 y SCR = , por lo que: L = n 2 (1 + ln(2 π) ln(n)) n 2 ln(scr), = 11 ( ) = Por tanto: AIC = 2 ( ) + 8 = , BIC = 2 ( ) = , HQC = 2 ( ) = Para los s (12) y (13) seguirán siendo válidos los valores de y t y, n y k, sin embargo, habrá que obtener la suma de cuadrados de los residuos de cada. RSG El lineal uniecuacional múltiple 63 / 68

64 Para el (12) se verifica que: Estimación del Validación del Explotación del SCR = y t y β t X t y = ( , , ) = = En tal caso: L = 11 ( ) = AIC = 2 ( ) + 6 = , BIC = 2 ( ) = , HQC = 2 ( ) = RSG El lineal uniecuacional múltiple 64 / 68

65 Para el (13) se verifica que: Estimación del Validación del SCR = y t y β t X t y = ( , ) ( ) Explotación del = = En tal caso: L = 11 ( ) = AIC = 2 ( ) + 4 = , BIC = 2 ( ) = , HQC = 2 ( ) = RSG El lineal uniecuacional múltiple 65 / 68

66 Estimación del Validación del Explotación del Atendiendo a la información anterior (resumida en la siguiente tabla), podemos observar que el con menores valores para los criterios de selección es el (9). Por tanto, nos quedaríamos con este a la hora de analizar el consumo familiar. Criterios Selección SCR AIC BIC HQC Modelo (9) Modelo (12) Modelo (13) RSG El lineal uniecuacional múltiple 66 / 68

67 Lecturas recomendadas Estimación del Validación del Explotación del [1] Salmerón, R. y García, C. (2010). Experiencia docente en la asignatura de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa para su adaptación al Espacio Europeo de Educación Superior. XXXII Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa. A Coruña septiembre [2] Salmerón, R., López, M. y García, C. (2011). Uso de las TICs en la docencia de la Econometría. XXV Congreso Internacional de Economía Aplicada - ASEPELT, 8-11 junio [3] Salmerón, R. y Tamayo, J. (2012). Incidencia de la calidad en la producción, explotación y exploración de las empresas. I International workshop on Diffusion Process and Multivariate Analysis. Granada 6 julio [4] Salmerón, R. (2012). Entorno de programación R y la econometría: función MUM (online). [5] Novales, A. (1993). Econometría. McGraw Hill. Capítulo 1 (repaso matrices). Puedes encontrarlas en la dirección web: RSG El lineal uniecuacional múltiple 67 / 68

68 Bibliografia Estimación del Validación del Explotación del [1] Esteban, M.V., Moral, M.P., Orbe, S., Regúlez, M., Zarraga, A. y Zubia, M. (2009). Econometría básica aplicada con Gretl. Sarriko-On, Universidad del País Vasco. Capítulos 2, 3, 4 y 7. [2] Gujarati, D. (1997). Econometría. Ed. McGraw Hill. Capítulos 2, 3, 4, 5 y 7. [3] Johnston, J. (1989). Métodos de Econometría. Ed. Vicens-Vives. Capítulos 2, 4, 5 y 6. [4] Novales, A. (1993). Econometría. McGraw Hill. Capítulos 3 y 4. [5] Uriel, E., Contreras, D., Moltó, M.L. y Peiró, A. (1990). Econometría. El Modelo Lineal. Editorial AC. Capítulos 2, 3, 4, 5, 6 y 8. [6] Wooldridge, J.M. (2005). Introducción a la Econometría: Un enfoque moderno. Thomson. Capítulos 2, 3, 4 y 6, y Apéndices. RSG El lineal uniecuacional múltiple 68 / 68