Intervalos de confianza Muestras grandes. Estadística Cátedra Prof. Tamara Burdisso

Transcripción

1 Intervalos de confianza Muestras grandes

2 Por qué un intervalo de confianza? En la Unidad 3 revisamos los conceptos de población y muestra. Los parámetros poblacionales son la media μy la varianza σ 2. Son constantesy generalmente no se conocen. Contrariamente, el estadístico X ( la media muestral) y el 2 estadístico S (la varianza muestral) son variables aleatorias, ya que varían de muestra en muestra. Es por eso que cuantificamos la incertidumbre asociada al estimador puntual. Ya vimos que, en el caso de la media, esta incertidumbre se llama error estándar. En definitiva, utilizamos una muestra de la población, para conjeturar sobre la población. Pero quétan buena es nuestra estimación puntual? La respuesta a esta pregunta nos la provee el intervalode confianza. Unidad 4 Intervalos de confianza 2

3 Por qué un intervalo de confianza? La ventaja del estimador puntual es que es muy fácil de calcular y fácil de interpretar. La desventaja es que no tenemos la menor idea de cuan certero y preciso es el estimador. Para lidiar con esta incertidumbre, es que se construye un intervalo de confianza, el cual provee un posible rango de valores para el parámetro poblacional. Si uno provee un estimador puntual va a ser difícil de acertar con el parámetro poblacional. Por el contrario, si uno provee un intervalo de confianza, i.e. un rango de valores, hay más posibilidades que dicho intervalo contenga al verdadero parámetro poblacional. Unidad 4 Intervalos de confianza 3

4 Intervalos de confianza para la media Muestras grandes Acános focalizamos en el caso donde el estimador puntual es la media muestral y el parámetro es la media poblacional. Pensemos que disponemos de una muestra, la cual nos provee X, nuestra mejor estimación de la media poblacional. Que nos dice el TCL para la media muestral: X X ~ N( µ X, σ 2 X n) Unidad 4 Intervalos de confianza 4

5 Cómo se lee un intervalo de confianza al 95%? El 95% de las muestras o más precisamente el 95% de los intervalos construidos en base a las muestras, contendrán la verdadera media poblacional, dentro del intervalo correspondiente a la media muestral +/-2 errores estándar(se). σ X ± 2 SE= X ± 2 Estimador puntual para la media poblacional n Margen de error Por lo tanto el nivel de confianzaes la probabilidad de que el intervalo estimado contenga al verdadero parámetro poblacional, en nuestro caso la media poblacional. Unidad 4 Intervalos de confianza 5

6 Cómo se construye un intervalo de confianza? En general construimos un intervalo de confianza alrededor de la media muestral utilizando la siguiente expresión donde X ± Z c * σ = X ± Z X c * σ n Margen de error X = la media muestral Z c σ X = es el valor Z asociado a una confianza C%. = el error estándar de la media. Lo usual para el nivel de confianza es C%= 90%, 95%, 99%. Unidad 4 Intervalos de confianza 6

7 Condiciones para el intervalo de confianza La construcción del intervalo de confianza se basa en el TCL. Por lo tanto se debe cumplir al menos con los mismos requerimientos del TCL i.i.d. : las observaciones muestralesdeben ser independientes Muestreo aleatorio/ asignación aleatoria Si la muestra es sin reemplazo, entonces n 10%de la población. Asimetría/tamaño de la muestra: n>30, o aún más grande si la distribución es asimétrica. Unidad 4 Intervalos de confianza 7

8 Intervalo de confianza exacto al 95% Un intervalo de confianza aprox. para la media al 95% estádado por X ± 2* σ = X ± 2* X Cómo se construye el intervalo exacto al 95%? σ n P Z > zα =α 2 P Z zα = 1 α 2 P Z ( Z z ) 0.05 z0.05 = P = 2 Unidad 4 Intervalos de confianza 8

9 Interpretación del intervalo de confianza Supongamos que tomamos muchas muestras y construimos intervalos de confianza al 95% para cada una de las muestras. estimación puntual± 1.96* SE Luego, alrededor del 95% de los intervalos de confianza contendrán al verdadero parámetro poblacional. Unidad 4 Intervalos de confianza 9

10 Intervalo de confianza: certero vs. preciso Decimos que el intervalo es certero si el mismo contiene o no al verdadero parámetro poblacional. Decimos que el intervalo es preciso dependiendo del ancho del intervalo. Nivel o Región de confianza usuales Región de confianza α α/2 z α/2 90% % % Unidad 4 Intervalos de confianza 10

11 Certeza vs. precisión Si uno quisiera tener certeza de que captura al verdadero valor del parámetro, i.e. la media poblacional μ,entonces que querríamos un intervalo más amplio o un intervalo más restringido? Unidad 4 Intervalos de confianza 11

12 Certeza vs. precisión Por lo tanto si lo que se persigue es certeza, entonces se debe aumentar el nivel de confianza, pero también aumenta el ancho del intervalo. Mayor certeza incrementar el nivel de confianzapero veremos que hay una pérdida Unidad 4 Intervalos de confianza 12

13 Certeza vs. precisión Hay alguna desventaja en aumentar el nivel de confianza para tener mayor certidumbre? nivel de confianza ancho certeza pero precision Entonces como se resuelve esto. Existe alguna manera de aumentar la certeza y aumentar la precisión simultáneamente? incrementando el tamaño de la muestra. Al incrementar el tamaño de la muestra disminuye el error estándar del estimador, y por ende se reduce el margen de error sin alterar el nivel de confianza, i.e. sin incrementar el ancho del intervalo. Unidad 4 Intervalos de confianza 13

14 Ejemplo Volviendo al ejemplo de los tiempos en minutos de la maratón de la 2012 CherryBlossom Run. Tomamos una muestra de tamaño 100 y la media muestral resulta X = La desviación estándar de la población es de Calcule el intervalo de confianza al 90%, 95% y 99% para la media poblacional? Otra muestra de 100 corredores arroja un valor de X = Compruebe que los que varían son los intervalos y no la media poblacional. Ojo con la interpretación del intervalo! Hay un 95% de probabilidad de que la verdadera media poblacional este dentro del intervalo [, ] INCORRECTO Hay un 95% de probabilidad de que cualquier intervalo de confianza generado a partir de una muestra aleatoria contenga a la verdadera media poblacional. CORRECTO Unidad 4 Intervalos de confianza 14

15 Ejemplo Como tenemos un 95% de probabilidad de que cualquier intervalo de confianza contenga a la media poblacional, entonces tenemos un 5% de probabilidad de que no lo contenga, en cuyo caso estaríamos cometiendo un error. Este 5% de probabilidad es conocido como nivel de significación α, o probabilidad de cometer Error de Tipo I Región de confianza 1-α Nivel de significación α Unidad 4 Intervalos de confianza 15

16 Ejercicio La General Social Surveyde los EE.UU. es una institución que se ocupa de recopilar datos sobre las características demográficas y actitudes de los residentes de USA. Durante el año 2010, la encuestadora entrevistóa 1154 residentes. En base a los resultados de esta encuesta, se construyóun intervalo de confianza del 95% para el número de horas diarias promedio que los residentes americanos dedican al ocio después de un día de trabajo promedio fue de 3.53 a 3.83 horas. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Unidad 4 Intervalos de confianza 16

17 Ejercicio - continuación a. 95% de los americanos dedican entre 3.53 y 3.83 horas diarias al ocio después de un día de trabajo b. 95% de las muestras de 1154 residentes americanos van a arrojar intervalos de confianza que contengan al verdadero número de horas promedio que los americanos dedican al ocio después de un día de trabajo. c. 95% de las veces el verdadero número de horas promedio que los residentes americanos dedican al ocio después de un día de trabajo es 3.53 y 3.83 d. Se tiene una confianza del 95% que los residentes americanos de esta muestra dedican en promedio entre 3.53 y 3.83 horas al ocio después de un día de trabajo. Unidad 4 Intervalos de confianza 17

18 Tamaño de la muestra vs. certeza Dado un margen de error deseado, un nivel de confianza, información sobre la variabilidad de la muestra (o de la población), se puede determinar el tamaño de muestra requerido para alcanzar el margen de error deseado. ME = Z c * σ = X Z c * σ n n = Z c * σ ME 2 Unidad 4 Intervalos de confianza 18

19 Ejemplo Un grupo de investigadores desean evaluar el posible efecto que cierta medicación para epilepsia, recetada a mujeres embarazadas, tiene sobre el desarrollo cognitivo de sus hijos. Como evidencia quieren estimar el coeficiente intelectual de niños de 3 años de edad nacidos de madres que hayan ingerido esta medicación durante el embarazo. Estudios previos sugieren que la SD (desviación estándar) del coef. intelectual de los niños de 3 años es de 18 puntos. Quétamaño debería tener la muestra si se desea un intervalo de confianza del 90% y un margen de error menor o igual a 4 puntos? Quéocurriría con el tamaño de la muestra si se quisiera disminuir el margen de error a 2 puntos? Unidad 4 Intervalos de confianza 19

20 Ejemplo La General Social Surveyde los EE.UU. preguntó: Cuantos días durante los últimos 30 estuvo su salud mental (stress, depresión, problemas emocionales) en problemas. En base a las respuestas de 1151 residentes de USA, la encuesta reportó un intervalo del 95% de 3.40 a 4.24 días durante Interpretar este intervalo en el contexto de los datos. En el contexto del problema, que significa un intervalo de confianza del 95%? Recordemos que un intervalo de confianza al 95% significa que, el 95% de los intervalos construidos en base a muestras aleatorias, del mismo tamaño y de la misma población van a contener al verdadero parámetro poblacional. Unidad 4 Intervalos de confianza 20

21 Quéocurre si no conocemos σ? Recordemos que estamos suponiendo que n es grande (n>30) Si no se conoce σ, la desviación estándar poblacional, podemos obtener una estimación a partir de la muestra, i.e. reemplazar a σ por la desviación estándar muestral, S. X ± σ Zc * X ± Zc * n S n Siempre y cuando n>30 Unidad 4 Intervalos de confianza 21

22 Intervalo de confianza para una proporción en muestras grandes También se puede estimar la proporción de una población mediante la construcción de un intervalo de confianza a partir de una muestra. Requisitos para aproximar la Binomial a la Normal: observaciones i.i.d. y np 10 y n(1-p) 10 El intervalo de confianza para la proporción es pˆ ± Z * σ c pˆ pˆ ± Z c * p(1 n p) Unidad 4 Intervalos de confianza 22

23 Intervalo de confianza para una proporción en muestras grandes Nuestro desafío es estimar p, la proporción poblacional, pero necesitamos un valor de p para calcular el error estándar. Solución: estimar el error estándar (SE) utilizando, la proporción basada en la muestra aletoria. pˆ ˆp ˆ σ = pˆ(1 n pˆ) pˆ ± Z * ˆ σ c pˆ pˆ ± Z c * pˆ(1 n pˆ) Unidad 4 Intervalos de confianza 23

24 Ejemplo Cierta industria decide capacitar a sus empleados en un nuevo programa de adiestramiento en reparación de máquinas. De acuerdo con la experiencia de la empresa, la empresa sabe que una persona que apruebe el examen tiene una alta probabilidad de desempeñarse bien es su puesto. Después de alguna discusiones la empresa acordóbasar la evaluación del nuevo método de adiestramiento considerando la proporción de empleados que aprobaron el examen. De los 64 empleados que asistieron al curso de capacitación, solo aprobaron el examen 40. Determinar el intervalo de confianza para la media poblacional con una confianza del 90%. Interpretar el resultado. Unidad 4 - Intervalos de confianza 24

25 Tamaño de la muestra para una proporción Al igual que para la media muestral, se puede determinar el tamaño de muestra requerido para un margen de error deseado. Cual es el tamaño de muestra requerido para estimar la proporción de fumadores en Argentina si se desea una confianza del 99% con un margen de error del 5%? ME = Z σ c * p ˆ n= = Z c p(1 * n Zc p( 1 p) ME 2 p) Unidad 4 - Intervalos de confianza 25