Dinámica de poblaciones marinas

Transcripción

1 : Dinámica de poblaciones marinas : Francisco J. Gomariz Castillo 1 fjgomariz@um.es; francisco.gomariz@ua.es Febrero 2013

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4 : INTRODUCCIÓN

5 : Por qué?: Muchas de las variables en el espacio se conocen con puntos de muestreo y se pretende predecir valores en zonas no muestreadas. Principio (Burrough y McDonnell, 1998): Todas las cosas están relacionadas entre si y es muy probable que los valores de puntos cercanos sean mas similares entre si, que con valores de puntos mas lejanos. Por tanto, la se centra en el análisis y simulación de una muestra de datos, así como su comportamiento en el espacio e influencia en otros puntos

6 Tipos : Existen decenas de métodos de en función de su naturaleza, tipo de datos, etc.: Geoestadísticos vs no geoestadísticos Globales (utilizan los datos de toda la región) vs locales (utilizan un subconjunto). Exactos vs inexactos Determinísticos vs estocásticos (incorporan el concepto de aleatoriedad mediante una parte determinista y otra estocástica o errores asociados) Graduales vs abruptos Univariantes vs multivariantes Irregulares vs regulares

7 Tipos : Ejemplos: TIN: Univariante no geoestadístico, determinístico, local, exacto y abrupto. : Univariante no geoestadístico, determinístico, local, inexacto/exacto y gradual. LM: Uni/multivariante no geoestadístico, estocástico, global, inexacto y gradual. Modelos kriging: univariante/multivariante geoestadístico, estocástico, local, exacto y gradual. Comparativa de técnicas de (Li y Heap, 2008)

8 Ejemplos de uso : Podríamos necesitar estimar el valor de una variable secundaria en cualquier punto del espacio: Curvas de nivel del BCN25 y batimetrías. Mar Menor

9 Ejemplos de uso : Podríamos necesitar estimar el valor de una variable secundaria en cualquier punto del espacio: mediante

10 Ejemplos de uso : mediante TIN

11 Ejemplos de uso : Podríamos necesitar estimar el valor de una variable primaria en cualquier punto del espacio en función de la distancia de puntos conocidos:

12 Ejemplos de uso : O relacionada con una serie de variables secundarias:

13 Algunos programas : Algunos programas y métodos de (Li y Heap, 2008)

14 Exploración de los datos y selección de : Análisis previo de los datos: Debemos analizar los datos objeto de estudio, saber el tipo de distribución (normal, lognormal, binomial, poisson,...), analizar la distribución en el espacio (mapas) y analizar la correlación : Uso de correlogramas o variogramas. Y qué modelo podemos utilizar?. Debemos tener en cuenta: Tipo de variable Densidad y distribución de los datos tipo de superficie estructura existe información secundaria? conocemos los procesos que intervienen?

15 : A modo de ejemplo se puede seguir el siguiente árbol de decisión (Hengl, 2009):

16 : MODELOS DE INTERPOLACIÓN ESPACIAL

17 : El método de la media ponderada por el inverso de la distancia (Inverse Distance Weighting) estima la variable Z a partir de medias ponderadas mediante la función: n i=1 ẑ(x j ) = z(x i) d α ij n i=1 d α ij donde: ẑ: Valor estimado en el punto x j. x j : Punto en los que se estima el valor de la variable. x i : Puntos muestrales vecinos. z: Valor observado de la variable en el punto muestral dentro de la región de vecindad. n: Número de puntos muestrales utilizados en la estimación. d ij : Distancia euclidiana entre x j y x i. α: Exponente de ponderación. Normalmente α = 2. Regla: la autocorrelación disminuye con el incremento de la distancia d ij de acuerdo a una función de ponderación d α ij

18 : Decisiones a tomar: a) Los n puntos más cercanos al punto a interpolar o b) el umbral r al punto a interpolar Criterios para aplicar (Alonso Sarría, 2012)

19 : Aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales (Matheron, 1963) Se basa en la Teoría de las variables regionalizadas (Matheron, 1971): La variación de una variable (variable geográfica) puede ser obtenida mediante tres componentes: Estructural: Valor medio constante o tendencia constante (parte determinista) Aleatoria: Componente estocástica mente correlacionada Ruido aleatorio: Error residual gausiano, mente independiente y con µ = 0 Z (x) = m(x)+ǫ +ǫ

20 : Por otro lado, el proceso se dice que es homogéneo si (estacionario de 2 o orden): Los puntos tienen el mismo valor esperado E [Z (x)] = E [Z (x +h)] = µ y misma varianza σ 2 Existe autocorrelación en toda el área de estudio y la covarianza C (x) = C [Z (x),z (x +h)] es función de h Si se cumplen ambos se puede calcular la semivarianza γ(x) = σ 2 C (x)

21 Variograma : Variograma experimental: Función estadística para caracterizar la variabilidad a partir de puntos de muestreo: 1 2γ = [Z (x i ) Z (x j )] 2 N(h) N(h) N(h) = Número de pares distintos Se podría definir como la media de los cuadrados de las diferencias entre pares de puntos separados por una distancia h. El variograma se define por tres parámetros: Meseta C 0 : Valor máximo que alcanza el semivariograma cuando la variable es estacionaria. Un buen estimador es la varianza experimental de los datos. Rango a: Distancia h a la que se alcanza la meseta; zona de influencia de un punto sobre el resto, por encima autocorrelación nula. Pepita C 0 : Discontinuidad de salto en el origen. Se puede traducir en la ausencia de correlación entre dos puntos muy próximos.

22 Variograma : Sobre la dirección de la variabilidad: El comportamiento es isotrópico si la variación es igual en todas direcciones (variograma omnidireccional) El comportamiento es anisotrópico si la variación cambia con la dirección. Variograma omnidireccional y variogramas direccionales (Gallardo, 2006)

23 Variograma : Variograma teórico: Modelo paramétrico para ajustar los datos muestrales. La estimación de los parámetros se puede realizar de forma visual o con métodos como MVL, mínimos cuadrados, etc. tiny Algunos : Esférico γ(h)= ( 3 C 0 +C 1 2 C 0 +C 1 Exponencial γ(h)=c 0 +C 1(1 exp( 3h a )) ( h ( ) a) 1 h 3 2 a) h a h > a Gausiano ( )) γ(h)=c 0 +C 1 (1 exp h 2 a 2

24 Kriging : Si suponemos la medición de la variable Z en los puntos x i y queremos predecir Z (x 0 ) no conocido se puede hacer como combinación lineal de las variables: Z (x 0 ) = n λ i Z (x i ) Siendo λ i la ponderación de los valores originales, con suma igual a 1, que pueden ser estimados mediante γ(h) Propiedades: i=1 Proceso estacionario de media media desconocida Estimador lineal Insesgado Óptimo (minimiza la varianza de la estimación V (Z (x 0 ) Z (x 0 ))) Exacto Puede incluir infor. sec (CK) Proporciona la varianza de la estimación

25 : MODELOS LINEALES

26 : Los Regresión Lineal Múltiple () intentan analizar una relación entre una variable dependiente Y y otras independientes, dependencia relacional matemática y no causal. Objetivos: Conocer la relación entre la variable respuesta y la(s) variable(s) regresora(s) Utilizar el modelo de regresión ajustado para predecir el valor de la variable respuesta Y cuando la(s) variable(s) regresora(s) toma(n) un valor determinado Se pueden considerar de?: Si consideramos como variables predictoras las coordenadas X e Y y otras variables es (como la profundidad) le conferimos al modelo una dimensión ( globales estocásticos) En algunos estudios es, si se concluye que los residuos aleatorios poseen autocorrelación, es posible modelizarlos y agregarlos al modelo para disminuir su error

27 : Supuestos a cumplir: Y = β 0 +β 1 X 1 +β 2 X β k X k +ǫ Linealidad entre la variable dependiente y las independientes. Independencia de los residuos ǫ i. Homocedasticidad de ǫ i. La esperanza de ǫ debe ser 0 (E (ǫ) = 0). Normalidad de la distribución condicional (ǫ N ( 0,σ 2) ). Ausencia de colinealidad entre las variables independientes e inclusión de aquellas relevantes (principio de parsimonia).

28 : Se puede abordar este tipo de estudios a partir de: Estudio de la asociación Estimación del modelo de regresión (Mínimos Cuadrados, M.verosimilitud) Contraste de hipótesis y análisis del modelo Predicción puntual o por intervalos Los contrastes de hipótesis sirven para analizar los parámetros. Pueden ser: Significación individual de los parámetros (t-student) Significación global: ANOVA, basado en F expt mediante la descomposición de variabilidades: Fuentes Suma cuadrados g.l. Estimadores F VE VNE VT (ŷi y) S 2 VE = VE 2 1 (yi ŷ) 2 n 2 S 2 R = VNE n 2 (yi y) 2 n 1 S 2 y = VT n 1 S 2 VE S 2 R F 1,n 2 Como medida de bondad de ajuste se puede utilizar R 2 = 1 SC E SC T, proporción de variabilidad de Y explicada por las var. independientes.

29 Interpretación de los residuos : Normal Q Q Plot res. lm(formula=arcilla~prof,data=datos2) lm(formula = Arcilla ~ Prof, data = datos2) Sample Quantiles residuals(modelo) Theoretical Quantiles fitted(modelo) Normalidad: Contrastes de normalidad (K-S, Shapiro) o gráfico (qqplot res. observados frente a teóricos) Homocedasticidad: Gráfico del valor de los residuales frente a observados o contrate de Breusch-Pagan A tener en cuenta también: Valores anómalos (outliers) Valores influyentes

30 : Generalización flexible de los que relacionan la distribución aleatoria de la var. dependiente con la parte sistematica mediante una función enlace Y = g 1 (Xβ)+ǫ donde Y es el vector de respuesta n-dimensional, β los coeficientes estimados y ǫ el vector de residuos del modelo. g 1 es el inverso de la función link o enlace, que relaciona los valores esperados de la variable respuesta con los predictores lineales. Componentes de los : Aleatoria que identifica la variable respuesta Y y su distribución de probabilidad Sistemática de las variables explicativas Función link o vínculo específica de EY que la expresa como combinación lineal de las variables predictoras (linealiza la relación entre Y y las var. predictoras)

31 : Ventajas frente a : Manejo de gama de funciones de la familia exponencial, como conteos (Y Bin(1, φ)) o presencia-ausencia (Y Pois(ρ), siendo EY = ρ = µ). La relación de la var. respuesta a la predicción lineal a través del link g (E (Y)) garantiza linealidad y restringe la predicción al rango de posibles valores. Soluciones (como la quasi-verosimilitud) para hacer frente a la sobredispersión Algunas funciones de vínculo: Fuente: Cayuela, 2010

32 para datos binomiales y conteos : Si respuesta es binaria (1 o 0) o Y Bin(1,φ) se utiliza la función de vínculo canónica logit (regresión logística): ( ) µ g (µ) = ln 1 µ Si a respuesta es discreta (conteos) o Y Pois(ρ), siendo EY = ρ = µ la función canónica será la logarítmica Para analizar la bondad de ajuste se utilizará la cantidad de varianza explicada o devianza D 2 = Dev null Dev res Dev null

33 : TESTEO Y SELECCIÓN DE LOS MODELOS

34 Validación cruzada : Objetivo: Evaluar y comparar los métodos de y obtener una estimación del error cometido por el modelo. Validación cruzada Leave-one-out cross-validation: Se valida dejando para cada iteracción una muestra y estimando el modelo y su error para n 1 elementos. Estimación del error: Analiza el error generado por el modelo comparando el valor observado con el estimado. Un estimador puede ser el RMSE (mínimo error cuadrático medio): RMSE = 1 n n (ẑ(x j ) z(x j )) 2 (1) j=1 donde: n: Número de puntos de validación. ẑ(x j ): Valores estimados. z(x j ): Valores observados.

35 : Alonso Sarría, F. (2012). Sistemas de Información Geográfica. Universidad de Murcia, Murcia. Burrough, P.A. y McDonnell, R.A. (1998). Principles of Geographical Information Systems. Oxford University Press, New York. ISBN Hengl, T. (2009). A Practical Guide to Geostatistical Mapping. University of Amsterdam, Amsterdam, 2nd a edición. ISBN Li, J. y Heap, A.D. (2008). A review of spatial interpolation methods for environmental scientists. Geoscience Australia, Canberra. Matheron, G. (1963). Principles of geostatistics. Economic Geology, 58, pp Matheron, G. (1971). The theory of regionalized variables and its applications. Centre de Morphologic Mathématique de Fontainebleau.

36 : EJERCICIOS

37 : Ejercicio1 Con objeto de iniciar un estudio sobre el comportamiento de diferentes especies en la zona de la playa de la Llana y Torre Derribada (San Pedro del Pinatar, Murcia) se hace necesario disponer de valores de profundidad y biocenosis en la zona de estudio. Para ello se realizó un muestreo aleatorio de 400 puntos, obeniéndose como información secundaria el tipo de biocenosis y profundidad. A partir de la hoja de cálculo datos.xls e información secundaria relativa a la distancia a la costa, construye una superficie de profundidades y distribución de biocenosis mediantes técnicas de.

38 : Ejercicio2 Con objeto de inicar un estudio en Cabo Tiñoso (Murcia) sobre el Delfín Mular se requiere estudiar la probabilidad de ocurrencia en su observación. Partiendo de información relativa a profundidad, distancia a la costa, pendientes del lecho y coordenadas, generar una superficie de probabilidad de observación.