De los sólidos platónicos a los balones de fútbol y de allí a los ovoides

Transcripción

1 De los sólidos platónicos a los balones de fútbol y de allí a los ovoides MarthaCeciliaMosqueraUrrutia DocentedeMatemáticasAplicadasalaquímica UniversidadSurcolombiana Sitio: Mail:tangrams49@gmail.com mcmosquera@usco.edu.co Resumen ElobjetivodeestetalleresmostrarlaformadeimplementarlaESTRATEGIADEMEDIACIÓN PEDAGÓGICA PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: APRENDER A TRANSFERIR, que busca aprender los conceptos en un contexto para ponerlos en funcionamientoenotros. Paraempezarexploramosmoléculaselementalescuyosmodelosreproducensólidosplatónicos;luego, pasamosalossólidosarquimedianos,quesonlabaseparalarepresentacióngeométricaymolecularde losfullerenosyterminamosconelfullerenoovoide;conelfindeacercarnosalacomprensióndel objetodeestudiodealgunasdisciplinasdevanguardiacomo:lageometríamolecular,espectroscopia, nanotecnología,virologíaybiomedicina. PalabrasClave:geometríamolecular,poliedros,fullerenos,transferencia. Introducción Parasudesarrollohedivididoeltallerencuatropartes:Enlaprimerarealizounanálisisdeciertas formasenlanaturaleza,obrasdearte,arquitecturaeingenieríaenlascualesseevidencialapresencia defigurasycuerposgeométricosycurvasnotables:luegorecurroalanálisisdealgunosapartesdellibro XIIIdeEuclides:destinadoporÉl,alestudiodelaspropiedadesdelospolígonosypoliedrosregulares, enespeciallasproposicionesdesdela13hastala17,sobreloscincosólidosplatónicosyla18enlacual hacelacomparacióndeloscincoutilizandoreglaycompás.enlatercera,presentounarevisióndelos trabajosdedurero,davinciyucello;haciendodenuevoreferenciaalasconstruccionesconreglay compásyavanzandohastalaconstruccióndelossólidosarquimedianos,utilizadosporellosenalgunas

2 desusobras;esteanálisisquedaríaincompletosinmencionarakepler,quiendedicógranpartedesu vidaalaconstruccióndeunsistemacósmicodeluniversoa imagenysemejanza delossólidos perfectos,llegandoconelloalaformulacióndelasleyesdelmovimientoplanetario.enlaúltimaparte, pasoalanálisisdelageometríadelasmoléculasydespuésdepresentarlasbasesfundamentales,me dedicoespecialmentealasmoléculasdecarbonoysusformasalotrópicas,mostrandocomosehaceal análisisdelageometríadelasmismasapartirdelaespectroscopia,paraterminarluegoenlos fullerenos y la forma como su descubrimiento ha permitido grandes avances en virología, biomedicinaynanotecnología,llegandohastaelúltimoconocido,llamadoporloscientíficos: el improbablefullerenoovoide. Laideaesquelosasistentesrealicenalgunasconstruccionesutilizabdoparaelloreglaycompás, modelosmolecularesyelsoftwarecabrigeometreiiplus. Delossólidosplatónicosalosbalonesdefútbolydeallíalosovoides Loscincosólidosplatónicos(tetraedro,hexaedro,octaedro,dodecaedroeicosaedro)definenuna especiedelímitealoquepuedeconstruirsedemaneraperfectaenelespaciotridimensional.son los únicos que pueden formarse con caras planas iguales y regulares (triángulo equilátero, cuadradoypentágonoregular)yángulossólidosiguales. DeestossederivanlossólidosdeArquímedesquesonunaseriedepoliedrossemirregulares cuyascarascombinandosotrespolígonosregularesdistintos;estetipodepoliedrosocupaun lugardestacadoentrelosartistasdelrenacimientocuyafascinaciónporlospoliedroslescondujoa estudiarydesarrollarpropiedadesdeantiguosynuevospoliedros. MenciónespecialmereceelpintorymatemáticoPieroDeLaFrancesca( ),considerado actualmentecomounodelosprimerosartistasdelrenacimiento.unodesuslibros,``libellusde quinquecorpibusregularibus''(1480),conservadoenlabibliotecavaticana,contienelafiguramás antiguaqueseconocedeunpoliedrocuyassesentacarassonpentágonosyhexágonosenla mismadistribuciónqueahoraseutilizaparaconstruirbalonesdefútbol. Ambasespeciesdesólidos(losplatónicosylosarquimedianos),puedeninscribirseenunaesfera, llamadacircunsfera,detalmaneraquetodossusvérticestocanlasuperficiedeésta,lossólidos platónicossonlosúnicosquecircunscribenunaesferalainsfera,cuyasuperficieestangenteacada unadesuscaras. Unaterceraesferalamesosfera,eslaquedefineelradioqueconectaelcentrodelsólidoconel puntomediodecualquieradelasaristas,yselasencuentratantoenlossólidosplatónicoscomo en los arquimedianos. La superficie de la mesosfera se cruza con las caras del sólido, extendiéndosetantohaciaadentro,comohaciafuera.dosdelossólidosdearquímedesestán definidosporlamesosferadesólidosplatónicos,ellosson:elcuboctaedroyelicosidodecaedro. Aunquelosgriegosyasabíanyhabíanlogradoprobarpormétodosempíricosquesóloexisten cincopoliedrosregulares,descartesymástardeeulersehicieronlapreguntasobrelaexistencia de alguna característica común a todos los poliedros simples 2 y que por ende permitiera distinguirlos,llegandoalaconclusióndequeenunpoliedrosimple:elnúmerodevértices,menos elnúmerodearistasmáselnúmerodesuscarassiempreesigualados. 2 Unpoliedroessimplesitopológicamenteequivaleaunaesfera.

3 Lossólidosplatónicosllamanlaatenciónporsubellezayperfeccióngeométrica,otroestudiomucho más interesante es el de sus simetrías; éste, ha sido ampliamente utilizado por los químicos inicialmenteparadeterminarlaformadeloscristales. Laformadelasmoléculas:elusodelateoríadegruposporlosquímicosparaestudiarlaspropiedades delasmoléculasesunprocedimientomuyinteresante,unavezestablecidosloscriteriosparaasociar unaestructurapoliedralaunamoléculaoaunasustancia,setienequealgunasdelaspropiedades quedanreflejadasenlaestructurapoliedralasociaday,engeneral,éstapuedesermáscomplejaqueun solopoliedroycontenersubpoliedrosasociadoscongruposfuncionalesdeterminados.enmuchas ocasioneslaestructurapoliedralcorrespondienteestáinmersaenelespacioeuclídeo,loquepermite, estudiandosusgruposdesimetría,analizardiversascuestionescomoporejemplo:laestructuradelos empaquetadosdelosátomosymoléculas. Ladisposiciónordenadadecationesyanionesestárelacionadaconlaspropiedadesmagnéticasdela sustanciaconsiderada.ladisposicióndelosenlacesenvariascapasplanasoenredesespacialestiene queverconladurezadelmaterialconsiderado. Otroaspectointeresanteeseldelaisomería,esdecir,aquellosfenómenosasociadosconsubstancias que tienen esencialmente los mismos componentes pero éstos admiten distintas disposiciones geométricas,loquepuedeoriginardiferentespropiedades.porejemplo,dosnúcleosconigualmasay númeroatómicopuedenpresentardistintaspropiedades,acausadeunaestructuracióndiferentede suscomponentes. Demodogeneraldestacaréqueenlaestructurapoliedralintervienendecisivamenteeltamañodelos átomos,eldeloscationesyanionesyeltipoycapacidaddeenlacequetenganloselementosque formanlasustanciaaanalizar.además,avecesesinteresantetenerencuentaqueeltamañoytipode enlacespuedesermodificadoporlatemperatura,presiónuotrosfactoresqueafectenalmaterial considerado. Elusodelatecnologíaenlabúsquedadeherramientasquepermitendevelarlaestructurapoliedralde lassubstanciashatenidounavancevertiginoso;enlaactualidadsedisponedediferentestiposde rayos,aceleradores,microscopioselectrónicos,reactoresnuclearesyotrastécnicasdetipofísicoo químico,paralogrartalfin. Losfullerenos:unarecienteramadelaquímica,especialmentericaeninvestigaciónyenlaqueeluso de técnicas poliedrales es muy amplio, es la de los fullerenos. Este campo se inició con el descubrimientoen1985delamoléculac 60,quefuebautizadaconelnombredebuckminsterfullereno, yabreviadamenteselellamafullereno,enhonoralarquitector.b.fuller.estamoléculaconsisteen60 átomosdecarbonounidosmediantedocepentágonosyveintehexágonos.suformaeslamismaquela deunbalóndefútbolyaproximadamentesutamañoesaldelbalón,comoeldeésteesaldelatierra; enestecasolaestructurapoliedralesmuysimple,enelsentidodequeconstadeunsolopoliedroque esunicosaedrotruncado. EstasmoléculasdeC 60 secondensanenunaformanuevadecarbonosólido,unaformacristalinade carbonopurodiferentedelosyaconocidosdiamanteografito. AunqueinicialmenteelC 60 sólopodíaproducirseenmuypequeñascantidades,locuálrestringíasuuso paraotrosexperimentos,w.krätschen,l.lamb,k.fostiropoulosyd.huffman,descubrieronen1990 el modo de producirlo en mucha mayor cantidad, lo que abrió nuevas posibilidades para las investigacionesexperimentales.

4 EldescubrimientodelC 60,hechoporelcualsusdescubridoresrecibieronelPremioNobeldeQuímica en1996,hasidoeliniciodeunperiododegranactividadenlaquímicadelosllamadosfullerenos (compuestos de moléculas de carbono formadas con diferente número de átomos que generan estructuraspoliedralesconcaraspentagonales,hexagonalesoinclusoheptagonales).posteriormente tambiénsehansintetizadootrosmuchosfullerenos:c 70,C 76,C 78,C 82,C 84,yelmáspequeñohastaahora conocidoelc 20.Muchostrabajossecentranenlosfullerenosdebidoaquealañadirlesciertosátomos alcalinosseobtienencompuestossuperconductoreseléctricos. Actualmentehayabiertounnuevocampodeinvestigaciónquepermiteelestudiodelosposibles fullerenosatravésdeherramientasmatemáticastalescomolateoríadegrafos,poliedros,topología algebraica,teoríadegruposygeometríadiferencial;enestesentido,existeunaimportanterelación entrelaclasedesuperficiesorientadasyconexasregularesconcaraspentagonales,hexagonalesy heptagonales,móduloisomorfismospoliedrales,ylosposiblescompuestosdecarbonopurodeltipo anterior. EstosdescubrimientoscierrandenuevoelcírculoentornoaKepler,quienyahabíahabladodelos poliedrostruncados,haciendoreferenciaalossólidosarquimedianos. Entrelosfullerenoselmásestableeselcarbono60,(C 60 )quetieneunasuperficiecasiesféricacon12 pentágonosy20hexágonosunidosensusuperficieylosátomosdecarbónenlosvértices. LaestructuradelC 60 seobtieneapartirdelicosaedropormediodetruncamientos,dividiendocadauna desusaristasentrespartesiguales,loscincopuntosquequedanmarcadossobrelasaristasqueson máscercanosaunvérticeformanunpentágonoregular.sicortamoselicosaedropormediodelos doce planos que contienen estos pentágonos obtenemos el icosaedro truncado, esta figura tiene 5x12=60vértices,ysuscarasson12pentágonos(losdeloscortes)y20hexágonos(queseformande cadaunadelasveintecarasdelicosaedroalcortar). ElgrupodesimetríasdelicosaedroesA 5,comoloscortesquesehacenparaobtenerelicosaedro truncadosonestablesconrespectoaestegrupo(esdecir,uncortevaapararenotrocortecuandose aplicaunasimetríaenelicosaedro)entoncesa 5 eselgrupodeisometríadelc 60. Lateoríaflaquea!loqueeraconocidohastaahora,esqueencualquierfullereno,lospentágonosse encuentranrodeadosdeotrasfigurasgeométricas(hexágonos,triángulosoheptágonos),hastahace algunos meses en que algunos de los investigadores calentaron una mezcla de carbono y otros ingredientes bajo condiciones especiales para hacer una combinación de fullerenos; después la enviaronalauniversidaddecaliforniaendavis,paraqueserealizaraeltrabajodecaracterizaciónde susestructuras. Cuandosecomenzóa"cartografiar"laestructura,seencontrarondospentágonosunoalladodel otro,formandolaporciónpuntiagudadelhuevo."fueunasorpresatotal". Inicialmente,sepensóquelosresultadoseranunerror,peroalmostrarlosdatosaMarilynOlmstead, unaexpertaencristalografíaporrayosx,éstaverificóelhallazgo,yquedóclaroquelosresultadoseran reales. Nopodríaterminarestaexposiciónsinhacerunabrevealusiónalusodelasestructuraspoliedralesen arquitecturayenvirologíaeindicarqueestecampoeslobastanteextensoeinteresantedeestudiar, quedefinitivamentenovalelapenaquesigamosengañandoanuestrosaprendientesconelcuentode que"losúnicossólidosqueexistensonlossólidosplatónicos"... MarthaCeciliaMosqueraUrrutia.

5 Metodología Paradesarrollareltemapropuestoharéunaexposiciónutilizandovideobeam,lailustracióndela construccióndelossólidosplatónicoslarealizaréutilizandoelsoftwaredegeometríadinámica:cabri GEOMETREIIPLUS,yparaterminarleenseñaréalospresentesaconstruirdosmódulosenorigami, quelespermitiránconstruirpoliedrosparafuturasaplicaciones. Recursos ComputadorequipadoconelsoftwareCABRIGEOMETREIIPLUS,Videobeam,papelparaorigami nessande8cmx8cm(20hojasporcadaparticipante). Bibliografía ABAUDAquilinoyotros.HaciaLaQuímica2.EditorialTemisS.A.BogotáColombia DURERO,Alberto,DelaMedida,Madrid,AkalEdiciones EUCLIDES.TheThirteenbooksoftheElements.NewYork,DoverPublications,Inc.,tresvolúmenes traducidodeltextodeheiberg,conintroducciónycomentariosporthomasl.health. Kepler,Johanes.ElSecretodelUniverso.Madrid,alianzaEditorial,traducciónalespañoldeEloyde PradaGarcía TextosdelacolecciónLaCienciaParatodos.FondodeCulturaEconómica.México,D.F. BRAUNEliezer.ArquitecturadesólidosyLíquidos.#26. BRAUNEliezer.UnMovimientoEnzigzag.#13. DELAPEÑAJoséA.ÁlgebraEnTodasPartes.#166. FUENTESSergioyDIAZGabriela.Catalizadores.#59 GARCÍACOLINS,Leopoldo.YSinEmbargoSeMueven...#36. ONGAYFausto.MathemaElArteDelConocimiento.#177. DEVLINKeith.ElLenguajeDeLasMatemáticasEditorialPrinterLatinoamericana.Bogotá2003. SitiosdeinterésenInternet:

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