DETECCIÓN DE OBSERVACIONES INFLUYENTES EN DISEÑOS FACTORIALES 2 k-p, ESTUDIO DE CASOS

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1 XVIII Simposio Colombiano de Estadística Estadística en la industria y los negocios Cartagena de Indias, Agosto 11 al 15 de 2008 DETECCIÓN DE OBSERVACIONES INFLUYENTES EN DISEÑOS FACTORIALES 2 k-p, ESTUDIO DE CASOS Detection of influential observations in factorial design 2 k-p, Case Studies Tatiana Pamela Jiménez *... Resumen Uno de los problemas que se pueden presentar al analizar un diseño con estructura factorial fraccionada es la presencia de observaciones influyentes, las cuales pueden distorsionar el análisis de varianza, conllevando a conclusiones erróneas. Este problema, no tratado aún el la literatura estadística, es el interés principal de este trabajo. En este se plantea la posibilidad de detectar las observaciones influyentes mediante el uso de herramientas implementadas en los modelos de regresión lineal múltiple. Palabras claves: Diseño Factorial Fraccionado, Mínima Aberración, Regresión Lineal Múltiple, Observaciones Influyentes. Abstract One of the difficulties that can appear when analyzing a factorial structure design is the influent observation presence, which can distort the variance analysis, leading to wrong conclusions. This problem, which is not so explored until now in the statistics research, is the main topic in this work. The possibility of detecting influent observations through the usage of tools implemented in the multiple linear regression models, is suggested. Keywords: Fractional Factorial Design, Minimal aberration, Multiple Linear regression, Influent Observations. 1. Introducción El uso de técnicas experimentales dentro del programa de producción y mejoramiento de la calidad en la industria, ayuda a seleccionar en forma óptima, la combinación de las categorías de los factores que intervienen en la elaboración de un producto; de forma tal que este se acerque al ideal tanto en calidad como en economía; este hecho ha permitido que muchas empresas hayan fortalecido sus departamentos de estadística, ante la efectividad de estas herramientas en el control de la calidad final del producto. Por lo general en los procesos industriales que conducen a problemas de optimización, en aras al mejoramiento de la calidad se busca estudiar el efecto de las variables Estadística, Magister en Ciencias Estadísticas: mtjimenezv@gmail.com 1

2 Tatiana Pamela Jiménez Valderrama (factores) en la elaboración del producto. Cuando en la elaboración de un producto intervienen muchos factores, se recomienda la aplicación del diseño con arreglo factorial como una alternativa más eficiente a los métodos donde se van estudiando los factores en forma separada, es decir frente a los experimentos secuenciales, esto se traduce en eficiencia y economía. Sin embargo, en condiciones de uniformidad y de encontrarse similitudes, los efectos de las interacciones de orden superior con frecuencia son negligibles (de poco interés práctico) siendo deseable emplear un diseño fraccionado que con menos corridas dé información sobre los efectos de mayor interés (efectos principales e interacciones dobles). Uno de los problemas que puede presentarse al desarrollar esta clase de experimentos es el de identificación de observaciones influyentes, el cual no ha sido abordado hasta el momento según la revisión literaria realizada. Se han realizado algunas propuesta para solucionar este problema en los diseños factoriales 2 k, Oehlert (1994), Vargas (1998) y Jiménez (2000). Se han propuesto diferentes metodologías, destacándose principalmente los métodos robustos y la aplicación de métodos de identificación de observaciones influyentes desarrollados en la teoría de la regresión. Esta técnica de reparametrización es de gran interés en el desarrollo de este trabajo ya que se utiliza este resultado para transformar el diseño de estructura factorial fraccionada 2 k p a un modelo de regresión lineal múltiple con el fin de emplear las herramientas de detección de observaciones influyentes que existen para este modelo y poder así dar una posible solución a la detección de observaciones influyentes en el diseño factorial fraccionado. 2. Métodos Empleados Para la identificación de observaciones influyentes presentes en un diseño factorial fraccionado 2 k-p se propone utilizar los estadísticos DfFits, Matriz de Influencia M y los estimadores M redescending. Método que han sido propuestos en la literatura estadística con el fin de identificar observaciones influyentes en modelos de regresión lineal múltiple Estadístico DfFits Este estadístico está diseñado para detectar la presencia de observaciones influyentes mediante la medición del número de desviaciones estándar ñeque cambian los valores ajustados al eliminar una observación determinada, como se explica en Montgomery & Peck (1995), este estadístico se define como: DfFits i = yˆ i s ( i) yˆ ( i) h ii ˆ i con i=1,2,,n, y( ) es el valor ajustado de y i sin utilizar la i-ésima observación, y ( ) es el valor ajustado utilizando todas las observaciones, s (i) la estimación de la escala sin tener en cuenta la i- ésima observación y h ii es el elemento de la diagonal de matriz H = X(X t X) -1 X t correspondiente a la i-ésima observación. ˆ i

3 Detección de Observaciones Influyentes 3 El estadístico DfFit se ve afectado tanto por los errores de predicción como por apalancamiento, en general cualquier observación para la cual DfFit i > 4( p / n) requiere atención Matriz de Influencia M Es un método, propuesto por Peña & Yohai (1985), para detectar conjuntos de observaciones influyentes en modelos de regresión lineal múltiple mediante el estudio las coordenadas de los vectores propios de una matriz de covarianzas no-centradas. Esta matriz esta definida como: 1 M = EDHDE 2 ps Donde s 2 representa la estimación del cuadrado medio del error para el modelo de regresión lineal múltiple, E es una matriz diagonal cuyos elementos son los residuales obtenidos y D es una 1 matriz diagonal con elementos (1 h ). ii Para determinar cuáles observaciones tienen grandes ponderaciones se deben comparar el valor relativo de las componentes para identificar los elementos del conjunto. El método sugerido es observar todas las razones posibles entre las componentes en orden decreciente, buscando un punto claro de corte y formar un conjunto de posibles puntos influyentes, y se procede a probarlos Estimadores M redescendign Vargas (1998) propone utilizar estimadores M redescending, en regresión robusta, con el fin de identificar celdas con información influyente cuando se requiere ajustar un modelo de orden menor, por ejemplo un modelo de efectos principales únicamente, razón por la cual esté método se propone como una buena alternativa ya que se ajusta al tipo de diseño considerado para este estudio. Se define a los estimadores M como aquellos que minimizan una función ρ de los residuales: n min ρ( β i= 1 e i ) Donde la función ρ está relacionada con la función de máxima verosimilitud para una distribución de los errores, seleccionada en forma adecuada. Para obtener un estimador M se resuelve el sistema: n t y i xi β x Ψ ij i= 1 cs donde ψ denota la derivada de la función ρ, y c es una constante de ajuste.

4 Tatiana Pamela Jiménez Valderrama Vargas (1998) considera el diseño factorial con la siguiente estructura para los datos: p y mi = x i θ j + δ i + ε i j= 1 donde i=1,2,,n, y mi es la mediana de las r réplicas por tratamiento y δ i = 0 para la mayoría de las celdas. Aquellas para las cuales δ i 0 se identifican como posibles influyentes. Se asume que εi sigue una distribución normal con media igual a cero y varianza σ 2. El modelo anterior se ajusta mediante una regresión robusta y aquellas celdas a las que el ajuste les asigne un peso muy pequeño se consideran candidatas a influyentes. 3. Ejemplo Los datos de éste factorial fueron simulados por Oehlerth (1994) con el fin de ajustarse a un modelo de efectos principales más una interacción de segundo orden. Su estructura es presentada en la Tabla 1 donde las observaciones correspondientes a la combinación de tratamientos donde todos los niveles de los factores están presentes en el nivel bajo se encuentra contaminada. Tabla 1: Datos del diseño factorial 2 4 propuesto por Oehlerth (1994) D A B C Bajo Alto Bajo Bajo Bajo 26,1 27,5 23,5 21,1 Alto Bajo Bajo 11,4 11,0 20,4 22,0 Bajo Alto Bajo 22,0 20,2 28,1 29,9 Alto Alto Bajo 18,9 16,4 26,5 26,6 Bajo Bajo Alto 22,8 23,8 30,6 32,5 Alto Bajo Alto 22,3 20,2 28,7 28,8 Bajo Alto Alto 30,0 29,3 38,3 38,5 Alto Alto Alto 29,6 29,8 34,5 34,9 El análisis de varianza (Tabla 2) para este factorial completo muestra, que con un nivel de significancia de 0.05 el único efecto no significativo es CD, as subir el nivel de significancia a 0.08 todos los efectos son significativos. El hecho de que aparezcan como significativas intersecciones de tercer orden hace sospechar de la presencia de observaciones influyentes en el conjunto de datos, así que se realizaron las pruebas para la validación de supuestos: con la prueba de Levene se obtuvo un valor de prueba F 15,16 =0,174 (p_valor de 0,999) para la hipótesis nula de igualdad de varianzas intratratamientos; al realizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov se obtuvo un p_valor de 0,454 para la hipótesis nula de distribución normal para los errores. De esta forma se comprueban los supuestos del modelo. Esto, en condiciones ideales, sería suficiente para suponer que el modelo propuesto en el análisis de varianza es el correcto. j

5 Detección de Observaciones Influyentes 5 Tabla 2: Análisis de varianza para el diseño factorial 2 4 propuesto por Oehlerth (1994) Fuente de Variabilidad Sumas de Cuadrados p_valor A 120,901 0,000 B 204,020 0,000 C 472,781 0,000 D 335,405 0,000 AB 18,000 0,005 AC 24,811 0,002 AD 15,125 0,010 BC 27,380 0,001 BD 10,811 0,025 CD 6,480 0,073 ABC 11,520 0,021 ABD 34,031 0,000 ACD 50,000 0,000 BCD 22,111 0,000 Error 30,251 Sin embargo, el estudio llevado a cabo por Jiménez (2000) mostró que las observaciones correspondientes al tratamiento (1) fueron identificadas como influyentes mediante el método propuesto por Vargas (1998) y se estimaron dichas observaciones en 14,23. Al estudiar de nuevo el conjunto de datos, ahora con las observaciones influyentes ya corregidas se obtiene un nuevo análisis de varianza (Tabla 3) en el cual a un nivel de significancia de 0,05 son significativos los efectos principales, una interacción de segundo orden y una de tercer orden. El error estándar del error fue reducido a 0,97, el R 2 ajustado es de 0,982 el cual también mejoró y la prueba de distribución normal sobre los errores obtuvo una significancia de 0,781 mejor que la obtenida con los datos originales. Ahora, bien como el interés es identificar este tipo de observaciones en una estructura factorial fraccionada, ya que es la de uso más frecuente en problemas industriales, se fraccionó el factorial 2 4 según el criterio de la tabla de signos (Tabla 4).

6 Tatiana Pamela Jiménez Valderrama Tabla 3: Análisis de varianza para el factorial 24 de Oehlerth (1994) con observaciones ajustadas Fuente de Variabilidad Sumas de Cuadrados p_valor A 42,920 0,000 B 350,728 0,000 C 685,796 0,000 D 517,937 0,000 AB 0,041 0,838 AC 0,293 0,585 AD 0,308 0,575 BC 0,622 0,428 BD 1,337 0,250 CD 3,605 0,067 ABC 1,103 0,295 ABD 1,931 0,171 ACD 6,901 0,015 BCD 0,067 0,794 Error 16,026 Tabla 4: Estructura de las fracciones generadas para el factorial 2 4 de Oehlerth (1994)

7 Detección de Observaciones Influyentes 7 Así las fracciones quedaron de tal forma que la información influyente se encuentra en la fracción generada por I = +ABCD y la fracción generada por I = ABCD se encuentra limpia de observaciones influyentes. Al llevarse a cabo el análisis de varianza para la fracción I = +ABCD (Tabla 5) se encuentra que todos los efectos son significativos, su R 2 ajustado es 0,957 y s 2 es 1,417. Estos resultados concuerdan con el análisis de varianza del factorial completo, ya que significancia de las interacciones dobles hace sospechar de la posible presencia de observaciones influyentes. Tabla 5: Análisis de varianza para la fracción generada por I = +ABCD Fuente de Variabilidad Sumas de Cuadrados p_valor A 123,210 0,000 B 26,010 0,003 C 126,563 0,000 AB 23,040 0,004 AC 34,223 0,001 BC 41,603 0,001 ABC 111,303 0,000 Error 11,340 Sin embargo, con la otra fracción, I = ABCD, se obtiene que únicamente son significativos los efectos principales y la interacción de orden tres (alias del efecto principal D), su R 2 es 0,989 y s 2 es 0,641 (Tabla 6), lo cual concuerda con el análisis de varianza del factorial completo cuando se han ajustado las observaciones influyentes. Tabla 6: Análisis de varianza para la fracción generada por I = -ABCD Fuente de Variabilidad Sumas de Cuadrados p_valor A 19,803 0,001 B 228,010 0,000 C 380,250 0,000 AB 1,440 0,172 AC 1,440 0,172 BC 0,903 0,270 ABC 235,622 0,000 Error 5,130 A partir de estos análisis de varianza se comprueba la importancia de identificar observaciones influyentes, pues se pueden tomar decisiones en forma errónea si se considera como único criterio el análisis de varianza.

8 Tatiana Pamela Jiménez Valderrama Ahora, se lleva a cabo el diagnóstico de presencia de observaciones influyentes estudiando el diseño con estructura factorial fraccionada como un modelo de regresión lineal múltiple. La primera herramienta propuesta fue el estadístico DfFits, con valor de prueba F = 2 p / n = 2 7 /16 = 1,323, el máximo valor absoluto obtenido, mediante en paquete SPSS, de los DfFits fue 1,25, el cual es más pequeño que el valor de prueba por tanto se puede concluir que ninguna de las observaciones fue identificada como posible valor influyente (Tabla 7). Tabla 7: Valores DfFit para la fracción generada por I = +ABCD A B C DfFits Bajo Bajo Bajo -0,70 0,70 Alto Alto Bajo 1,25-1,25 Alto Bajo Alto 1,05-1,05 Bajo Alto Alto 0,35-0,35 Alto Bajo Bajo -0,80 0,80 Bajo Alto Bajo -0,90 0,90 Bajo Bajo Alto -0,95 0,95 Alto Alto Alto -0,20 0,20 El siguiente método empleado fue el de Matriz de Influencia, para la cual se tuvo en cuenta los valores residuales que se presentan en la Tabla 8 para la construcción de la Matriz E, también se construyó la matriz X t X, la cual es una matriz diagonal con elementos (x t x) ii = 16, a partir de esta se obtuvo la matriz H cuyos elementos de la diagonal fueron h ii = 0,4375 y teniendo en cuenta estos valores se construyó la Matriz D, obtenidas las marices E, D y H se tienen todos los elementos para la construcción de la matriz M que se muestra a continuación:

9 Detección de Observaciones Influyentes 9 La cual tiene siete (7) valores propios no nulos, cada vector propio esta conformado por los componentes: { 0.707, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.707}. Según el procedimiento de identificación de observaciones influyentes mediante la Matriz de Influencia M, el siguiente paso consiste en ordenar las componentes de cada vector propio y así calcular los valores de a j = v i(j) /v i(j 1), con j = n, n 1, n 2,..., c 1, y de b j = v i(j) /v i(j+1) con j = 1, 2, 3,...,c 2 : al ordenar las componentes se obtiene un arreglo como el presentado en el párrafo anterior de esta forma si se quiere calcular el valor de b 1 y el valor de a n como son divisiones se tendría entonces operaciones indefinidas, no solo en ente caso sino también para el calculo de los otros valores de b j y de a j ya que las componentes que están en medio son iguales a cero. Esto último indica que para este tipo de diseños este método no es viable. Tabla 8: Residuales para la fracción generada por I = +ABCD A B C Residuales Bajo Bajo Bajo -0,70 0,70 Alto Alto Bajo 1,25-1,25 Alto Bajo Alto 1,05-1,05 Bajo Alto Alto 0,35-0,35 Alto Bajo Bajo -0,80 0,80 Bajo Alto Bajo -0,90 0,90 Bajo Bajo Alto -0,95 0,95 Alto Alto Alto -0,20 0,20 Por último se emplearon métodos robustos utilizando como funciones de influencia las de Hampel, Huber y Andrews. Las constantes de ajuste que se utilizaron fueron las establecidas en el programa S-PLUS2000 (Huber: c = 1,5, Hampel: a = 1,5, b = 3,5 y c = 8 y para Andrews c = 2,1). Como se muesra en la Tabla 9 estas funciones no identificaron ninguna observación como posible influyente. De estos se esperaba que identificaran de forma eficaz la celda con información influyente pero no se obtuvo el resultado esperado, los estimadores de Huber y Hampel asignaron pesos iguales a 1 para todas las observaciones y el de Andrews pesos iguales a 0,958, así que no identificaron a ninguna de las observaciones como posible influyente. 4. Conclusiones En este caso ninguno de los métodos propuestos identificaron las observaciones influyentes contenidas en la fracción I = +ABCD, con lo cual se llega a la conclusión que los efectos correspondientes a los factores principales y a los de las interacciones son significativos para la variable respuesta, sin embargo esto conlleva a una decisión errónea y podría significar un alto costo si de esto dependiera la elaboración de un producto.

10 Tatiana Pamela Jiménez Valderrama Tabla 9: Asignación de pesos a las observaciones, de la fracción generada por I = +ABCD, por métodos robustos Residual Ajuste Peso asignado por Huber Peso asignado por Hampel Peso asignado por Andrews -0,70 26, ,97 0,70 26, ,97-0,95 31, ,95 0,95 31, ,95-0,90 29, ,95 0,90 29, ,95 0,35 29, ,99-0,35 29, ,99-0,80 21, ,96 0,80 21, ,96 1,05 21, ,94-1,05 21, ,94 1,25 17, ,91-1,25 17, ,91-0,20 34, ,00 0,20 34, ,00 Referencias Jiménez, M. (2000), Ajuste de factoriales 2k con presencia de Observaciones Influyentes y Valores Faltantes mediante Modelos de Regresión, Trabajo de Grado (Estadística), Universidad Nacional de Colombis, Facultad de Ciencias, Departamento de Estadística, Bogotá. Montgomery, D. C., & Peck, E. A., (1995), Introduction to Linear Regression, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. New York. Oehlert, G., (1994), Isolating One-Cell Interactions, Technometrics 36, Peña, D. & Yohai, V. J., (1995), The Detection of Influential Subsets in Lineal Regression using an Influence Matrix, Journal of the Royal Statistical Society, Serie B 57, Vargas, J. A., (1998), Identificación de Celdas Atípicas en Experimentos Factoriales Mediante el uso de Regresión Robusta Revista Colombiana de Estadística 22, 9-16.