La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad del modelo. Anomalía y perturbación de la gravedad. Desviación de la vertical.

Transcripción

1 La Tierra y su campo de gravedad. Gravedad real y gravedad del modelo. Anomalía y perturbación de la gravedad. Desviación de la vertical. *Bibliografía -Bernhard Hoffman Wellenhof Helmut Moritz (005). Physical Geodesy. Springer WienNewYork. -Torge W., 001. Geodesy. 3rd Edition. Walter de Gruyter Berlin New York.

2 *La Tierra y su campo de gravedad *Gravedad real y gravedad del modelo *Anomalía y perturbación de la gravedad *Desviación de la vertical

3 La Tierra y su campo de gravedad Porque requiere la Geodesia el conocimiento del campo de la gravedad? La figura de la Tierra ha sido modelada por el campo de la gravedad Es la referencia natural para muchas mediciones geodésicas Los satélites artificiales se mueven en torno de la Tierra según su campo de la gravedad Aportará al conocimiento de la estructura interna de la Tierra

4 La Tierra y su campo de gravedad mm. l F = 1 G l l Para una masa puntual m1=m y m=1 G. m G. m F = l V = l l V V V F = i ; j; k x y z lim V = 0 r Para todo el planeta Es la clave del problema. Densidad(x,y,z) ρ lim V (r) = G. dv = 0 l r V Tierra Potencial gravitacional

5 La Tierra y su campo de gravedad ΔV = V + V + xx yy V zz Laplaciano En el interior de la Tierra: ΔV = 4. π. G.ρ Ecuación de Poisson En el exterior de la Tierra: ΔV = 0 Ecuación de Laplace V es armónica en el exterior de las masas

6 a = grad V c = grad Z La Tierra y su campo de gravedad La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre. Potencial Gravitacional g = a + ρ W = V + Z = G dv + l Tierra c ω W: Potencial de la Gravedad Potencial de la Gravedad p g = grad W Potencial Centrífugo Vertical del Lugar

7 La aceleración de la gravedad es el resultado de la atracción gravitatoria (a) más la aceleración centrífuga (c) debida a la rotación terrestre. g = a + c a = grad V c = grad Z Potencial Gravitacional ρ W = V + Z = G dv + l Tierra ω W: Potencial de la Gravedad Potencial de la Gravedad p g = grad W Potencial Centrífugo ΔW = Δ(V + Z) = ΔV + ΔZ Z No es armónico y por lo tanto, tampoco W. Pero Z es conocido Luego, nuestro interés se limita a determinar V

8 La Tierra y su campo de gravedad V (r) = G. Tierra ρ l dv La función 1/l es armónica y se desarrolló en términos de Legendre En Término el exterior central de la Tierra, la solución de la ecuación de Laplace : V G M r Zonales l (Lat) l a r ( P) = 1+ ( C + ) lm( ) l,m.cosmλ Sl,m sin mλ.p cosϑ l= 1 m= 0 Si el origen del sistema coincide con el Geocentro, l= Tesserales (Lat, Long) Coeficientes armónicos esféricos Funciones asociadas de Legendre Sectoriales (Long) Térm Central = 1 C 0 = 10 3 Resto

9 La Tierra y su campo de gravedad *Las superficies equipotenciales del campo de la gravedad (W = cte) no son paralelas entre sí. Tienden a separarse en el Ecuador, indicando un gradiente menor que en los polos. g = grad W g < ecuador g polo 9.83 m/s *Las sup equipotenciales son interceptadas perpendicularmente por la línea de la plomada 9.78 m/s 9,80 m/s = 980 Gal Geoide: es la superficie equipotencial (W = Wo) que mejor ajusta al nivel medio del mar de una determinada época (Mather, 1978; Rapp, 1995).

10 El campo de la gravedad normal Geoide (Wo) Elipsoide de nivel (Uo) N Ondulación del Geoide Es la forma de aproximarnos al campo de la gravedad real desde el campo del modelo. Lo hacemos a partir de un elipsoide de nivel cuyo potencial es idéntico al del Geoide. W 0 = U 0

11 Análogamente al campo real: El campo de la gravedad normal U = Ve + Ze Este potencial U se genera a partir de: *un elipsoide de revolución (a, b) *de masa total M (igual a la Tierra) *velocidad angular (rotación de la Tierra) Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84) γ = grad(u) g = grad(w) U W γ = g = h H

12 El campo de la gravedad normal U = Ve + Ze Surge la relación con el Sistema de Referencia Geodésico (ej. WGS84)

13 El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales. *Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre: GM = U 1 r n= Para n=1 (l=, m=0) 1 n a r J n P n ω (cos θ) + r sin θ ω a m = 5 f β = m γ a 3 GM = a γa 1 f + m γ0 = γa(1 + β sin ϕ) Aprox. al Teorema de Pizetti + Aprox. al Teorema de Clairaut Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones ) podemos determinar γa,γb y β. A partir de un valor de a se calcula m y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico.

14 El campo de la gravedad normal *Expresando la Ec. de Laplace en coordenadas elipsoidales se obtiene una solución de Ve en armónicos elipsoidales. *Pero lo más usual es expresarlo en armónicos esféricos. En términos de los Polinomios de Legendre: GM = U 1 r n= Para n=1 (l=, m=0) f = (a-b) / a 1 n a r J ω (cos θ) + GM a 3 1 ω 3 γ( ϕ) = 1 3. θ r sin β = J(γ cos r r b -γ a ) / γ a GM Aprox. al Teorema de Pizetti n P n r sin ω a m = 5 f β = m γ a 3 GM = a γa 1 f + m γ0 = γa(1 + β sin ϕ) θ + Aprox. al Teorema de Clairaut Conocidos valores de γ sobre el elipsoide (reducciones ) podemos determinar γa,γb y β. A partir de un valor de a se calcula m y el T de Clairaut permite obtener el aplanamiento geométrico. θ

15 La primera expresión de Clairaut ( de Newton), toma un valor aproximado de: g 978gal ( sen φ) Bruns y Helmart a principios del siglo XX (y fines del anterior) establecieron formulas mas precisas tanto en el establecimiento de tèrminos como en la determinación de sus constantes; el profesor G. CASSINIS en base a esos antecedentes obtuvo una expresión, que fue adoptada por la Unión Geodésica y Geofísica Internacional (UGGI), reunida en Estocolmo, en La misma reducida al elipsoide adoptado en Madrid 194 por la misma Unión (a = m; 1/f = 97) y fue denominada expresión de la gravedad normal. γ = gal ( sen φ sen (φ)) Posteriormente (en 1978) en Canberra (Australia) se consideró que debìa actualizarse y de allí surgió el SISTEMA DE REFERENCIA GEODESICO 1980 (GRS80) con lo parámetros elipsódicos a = m 1/f = γ = gal( sen φ sen (φ))

16 El campo de la gravedad normal *A partir del desarrollo en serie γ en potencias de h (próx a la superficie), en el espacio exterior obtuvimos: 3 ( 1+ f + m f sin ϕ) h + γ = γa 1. a 0 h *Para γ=9,81 ms - y a=6378 km se obtiene: a γ h = mgal / m

17 El campo Perturbador T(P) = W(P) U(P) = (V + Z) (V e + Z e ) T(P) = V V e *Las diferencias entre W y U se limitan a la componente gravitacional V y reflejan la diferencia entre la Tierra Real y el modelo. *El campo normal Ve contiene únicamente términos Zonales (Lat) *En consecuencia, T(P) no contendrá el término central y diferirá de W(P) solo en los términos Zonales pares (simétricos con respecto al Ecuador) *En el exterior de las masas: ΔT = 0

18 OBSERVABLES Vector anomalía de la gravedad Anomalía de la gravedad n P n Δg = g Po γ Qo W=Wo P o Geoide Anomalía de la gravedad Δg = g Po γ Qo U=Wo N ε g La diferencia de dirección es la Desviación de la Vertical Q o γ Elipsoide ζ = Φ ϕ η = ( Λ λ) cosϕ Normal elipsoidal n (ϕ, λ) Normal geoidal n (Φ, Λ)

19 OBSERVABLES δg Definimos además, el vector perturbación de la gravedad δg = g P γ P (h) Perturbación de la gravedad = g p γ P Perturbación de la gravedad La diferencia de dirección es la misma Desviación de la Vertical, pues W=Wo U=Wo n H N Q o P n P o ε g Geoide Elipsoide Normal elipsoidal n (ϕ, λ) γ h (GPS) la dirección de γ P coincide con la de γ Q Normal geoidal n (Φ, Λ)

20 Fórmula de Bruns U UPo = UQo + = UQo γqo. N n' W = U + T = U γ. N + Po Po Po Qo Qo T Po W=Wo U=Wo n N n P o ε g Geoide Pero W P = U Q Q o γ Elipsoide T P = γ Q.N N = T γ Fórmula de Bruns

21 Ecuación Fundamental de la Geodesia Física δg = gp γ P = grad(w) grad(u) = grad(t) W U W U δg = gp γp = + + n n' n n T T δg = = n h T γ = gp γp = gp ( γq + N) n h T γ = Δg N T Por Bruns = N n h γ T 1 γ Δg = + T T δg = h γ h h

22 Ecuación Fundamental de la Geodesia Física δg = gp γ P = grad(w) grad(u) = grad(t) *Relaciona la cantidad medible (g) con el Potencial Perturbador (incógnita) *Pero g es conocida sobre la Tierra y puede reducirse al Geoide. Es decir, no es conocida en todo el espacio exterior. La ecuación puede ser δgusada = gsolo p como γp = una condición + de contorno y no es + suficiente por si sola para calcular T T Δg = + h 1 γ T γ h W n U n' *Pero fuera del Geoide, es válida la Ec de Laplace Δ T x T y T z T = + + = 0 W n U n *Con ambas es posible determinar T a partir de observaciones gravimétricas. Aplicando Bruns, se obtiene el parámetro geométrico más importante de la Geodesia Física (N). N = T γ