IX CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENCIAS DE LA TIERRA ( SANTIAGO DE CHILE, 6 10 NOVIEMBRE, 2006 )

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1 IX CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENCIAS DE LA TIERRA ( SANTIAGO DE CHILE, 6 1 NOVIEMBRE, 6 ) PONENCIA: REDUCCIÓN Y AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS DE DISTANCIAS APLICANDO EL ANALISIS VECTORIAL AUTOR: FIS MARIO ALBERTO CRUZ DÍAZ DEPENDENCIA: INSTITUTO DE CATASTRO DEL ESTADO DE PUEBLA DOMICILIO: AVE 11 ORIENTE NUM 3 COL AZCARATE, CP 751 PUEBLA, PUE MÉXICO TELÉFONO: FECHA: OCT-6 Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 1

2 I INTRODUCCIÓN Entre las atribuciones del Instituto de Catastro del Estado de Puebla, se encuentra la de realizar levantamientos topográficos y geodésicos de predios rústicos y urbanos en el Estado de Puebla, con el propósito de ligar las observaciones a la Red Geodésica Estatal para alcanzar la precisión necesaria en la georreferenciación de los predios medidos Se ha observado que en algunos casos, se tienen variaciones sobre la cartografía al ubicar los predios medidos en campo, y que pueden ser resultado de observaciones de campo deficientes ó de inconsistencias en la misma cartografía Esta problemática dio origen a un estudio para analizar el status de la cartografía Este consiste básicamente en comparar las coordenadas de los puntos determinados por métodos satelitales (GPS), con las coordenadas de los correspondientes puntos de la cartografía Debido a que no es posible colocar un equipo con tecnología satelital en los vértices que conforman los predios y que las construcciones impiden la recepción de las señales electromagnéticas de los satélites, se propone como solución el método de resección de distancias El Teorema de Taylor lineariza las funciones no lineales que se presentan en el método de resección, induciendo a un modelo matemático de mínimos cuadrados, que para su solución requiere de la posición del punto en primera aproximación Con base en lo anterior, la Tesis que se presenta en este documento, consiste en aplicar el producto escalar de vectores para establecer esta aproximación, lo cual nos ha permitido la convergencia de las distancias, en una sola iteración El principio de este método tiene su fundamento teórico en el producto escalar de vectores unitarios a lo largo de las distancias entre los vértices con posición conocida y los vértices cuyas coordenadas son desconocidas Es importante mencionar que el ajuste se realiza sobre la Proyección Cartográfica UTM, lo cuál implica, que las distancias medidas sobre la superficie terrestre, deben ser reducidas a esta proyección, antes de aplicarse el modelo matemático de Mínimos Cuadrados En Geodesia se ha adoptado al elipsoide como la figura geométrica que describe la forma de la Tierra desde un punto de vista matemático Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz

3 II PLANTEAMIENTO CONCEPTUAL El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente Estos radios de curvatura nos permiten reducir las distancias medidas en campo, a las distancias de cuerda en el elipsoide, y para lo cual se re -quieren las alturas geodésicas ( elipsoidales ) de ambos puntos, y un radio terrestre promedio que este en función de ambos radios, para éste propósito se considera al Radio Medio Gaussiano Una proyección cilíndrica transversa, es aquélla en la que la colocación del cilindro secante al elipsoide es girada 9 y representa la figura donde se proyectan los puntos del elipsoide, para posteriormente desarrollar el cilindro, dando origen así a la proyección UTM Entonces, existe un paso intermedio entre la distancia de cuerda y la distancia sobre la proyección UTM, que consiste en transformar la distancia de cuerda a la distancia en el elipsoide para lo cual se hace una aproximación esférica con el radio medio Gaussiano como el radio de la esfera Una vez que las distancias de cuerda han sido transformadas en distancias elipsoidales, se procede a proyectarlas sobre el cilindro, en donde se presenta una distorsión en las magnitudes lineales, que aumenta a medida que se aleja del meridiano central, por este Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 3

4 motivo, se aplica un factor de escala en el meridiano central ( k = 9996 ), que se introduce en la ecuación del factor de escala que es función de la latitud del punto Al desarrollar las ecuaciones de distancias en el modelo de Resección, se llega a un modelo matemático de Mínimos Cuadrados, cuya solución esta en función de la matriz de diseño ( A ) y la matriz de valores observados ( L ) III RADIOS DE CURVATURA El radio de curvatura en el meridiano ( M ) se deduce a partir de la definición clásica de radio de curvatura de una curva ρ Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 4

5 Donde ρ es el radio de curvatura que esta dado por : ρ = ( d z [1 + d x d z d x ) ] 3 Donde ( dz / dx ) es la derivada de la línea tangente al elipsoide en el punto, y ( d z / dx ) representa la segunda derivada ( X, Z ) son las coordenadas cartesianas del punto situado en la superficie del elipsoide y que están en función de la latitud geodésica del punto El desarrollo de estas derivadas induce la expresión matemática para el radio de curvatura M de la siguiente manera : Esquemáticamente el radio de curvatura en el meridiano ( M ) se puede visualizar M Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 5

6 La expresión matemática para M es: M = a ( 1 e ) ( 1 e sen φ ) 3/ paralelo: El radio de curvatura en el primer vertical ( N ) se deduce a través del radio del N De la figura anterior se tiene que: a N = ( 1 e sen φ) 1/ II 1 Radio Medio Gaussiano Este radio se define como el valor integral medio de R tomado sobre el acimut de a 36 : R = 1 π π π Rα dα = 1 π M M sen α + N cos α dα Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 6

7 Cambiando el límite de integración a π / se tiene que: R = π π / M N cos α Msen α Ncos α dα Finalmente tenemos que el Radio de Curvatura Medio Gaussiano esta dado por: R = a [ 1 e ] 1 / ( 1 e sen φ ) III FACTOR DE ELEVACIÓN El radio de curvatura medio Gaussiano y las alturas geodésicas son los parámetros que definen el factor de elevación y aplicando la ley de cosenos en la siguiente figura: l h 1 s h R l Se tiene que: l = [ ] ( ) ( ) 1 + h 1 R l - h 1 + h R 1 Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 7

8 Donde l es la distancia medida en campo que ha sido reducida a la distancia de cuerda en el elipsoide, ahora se requiere transformar la distancia de cuerda a la distancia en la superficie del elipsoide S ; para este propósito se utiliza una aproximación esférica cuyos parámetros son, el Radio Medio Gaussiano y el ángulo entre las normales al elipsoide en cada uno de los puntos, así tenemos que: S = a [ 1 e ] 1 / ( 1 e sen φ ) cos -1 [ ] 1 - l ( 1 e sen φ ) a [ 1 e ] IV FACTOR DE ESCALA Las distancias en el elipsoide son proyectadas sobre un cilindro que es secante al elipsoide de referencia, y que posteriormente se desarrolla dando origen a la proyección UTM, en la cual, el cilindro se coloca transversalmente, es decir, el eje del cilindro, se encuentra en el Ecuador Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 8

9 La imagen del meridiano central es una línea recta; todos los demás meridianos son líneas curvas que convergen en el polo y son perpendiculares a la imagen del Ecuador, el cual coincide con el eje X Por supuesto que los paralelos mapeados son perpendiculares a los meridianos mapeados El factor de escala k es un elemento de diseño importante, ya que si por ejemplo se analiza la magnitud de un elemento de mapeo x, se encuentra que la magnitud se incrementa a medida que se aleja del meridiano central, siendo despreciable en el meridiano central Al seleccionar un valor de k < 1, se permite una pequeña distorsión en el meridiano central, para así, tener menos distorsión al alejarse del meridiano central, de esta manera, el cubrimiento longitudinal del área de un mapa puede extenderse para un nivel de distorsión aceptable Debido a las características de esta Proyección, es necesario calcular un factor de escala que es función de la latitud, y que esta dado por: k = k [ 1 + ( λ / ) cos φ ( 1 + η ) + λ 4 ( cos 4 φ / 4 ) ( 5 4t +14 η + 13 η 4 8 t η + 4 η 6 48 t η 4 4 t η 6 ) + λ 6 ( cos 6 φ / 7 ) ( t + 16 t 4 ) + ] Donde; t = tan φ η = e cos φ 1 e Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 9

10 Entonces, la distancia UTM se calcula con la siguiente expresión: dutm = k s V TEORIA DE MINIMOS CUADRADOS Sea el siguiente sistema de ecuaciones de observación: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = L 1 + V 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = L + V a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = L m + Vm Este sistema de ecuaciones se representa en notación matricial como: a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn x 1 x x n = L 1 L L m + V 1 V V m A X = L + V La solución de mínimos cuadrados minimiza la suma de los residuos elevados al cuadrado: Σ V = min Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 1

11 En álgebra matricial se minimiza V T V La teoría del Cálculo Diferencial establece que el mínimo de una función se obtiene al derivar dicha función con respecto a las variables e igualando el resultado a cero, entonces: ( V T V) X = V T V X donde V = A X L => V = ( A X L ) = A X X => V T A = Transponiendo las matrices y multiplicando por un medio, se tiene que: A T V = pero V = AX L A T ( AX L ) = (½ )( ) ( V T A ) T = A T A X A T L = A T AX= A T L ( A T A ) 1 ( A T A ) X = ( A T A ) 1 A T L X = ( A T A ) 1 A T L V I PRODUCTO ESCALAR Por definición, el producto escalar de dos vectores esta dado por: a b = ( a 1,, a n ) ( b 1,, b n ) Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 11

12 = a 1 b a n b n Ahora consideremos la proyección de un vector a sobre sus componentes vectoriales unitarias b, y b : b θ a t b s Sea s la componente del vector a sobre b, es decir: s = Comp b a Sea t la componente del vector a sobre b, es decir: t = Comp b a => a = s b + t b = ( Comp b a ) b + ( Comp b a ) b = Proy b a + Proy b a que: Realizando el producto escalar de la expresión anterior con el vector b, se tiene s = a b = a b b b b Donde II b II es la magnitud del vector b, y de la figura anterior: a b = II a II II b II cos θ Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 1

13 V I I METODO DE RESECCIÓN VECTORIAL Para dar solución al modelo matemático de mínimos cuadrados, es necesario conocer las coordenadas aproximadas del punto cuya posición se va a calcular; dicha posición se determina con el producto escalar de vectores unitarios a lo largo de las direcciones entre los puntos fijos que han sido georreferenciados por posicionamiento GPS: Y P d e ˆ ˆ A e eˆ 1 d 1 d b b 1 B C X Donde; e, e1, y e, son los vectores unitarios en la dirección de ( A a P ), ( A a B ) y ( A a C ) respectivamente, y cuyas componentes son: e = ( e x, e y ) e 1 = ( e x 1, e y 1 ) e = ( e x, e y ) d, d1, y d son las distancias medidas en campo, que han sido reducidas a la proyección cartográfica UTM, y las distancias b1 y b, se calculan en la misma proyección: Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 13

14 b 1 = [ ( x B x A ) + ( y B y A ) ] ½ b = [ ( x C x A ) + ( y C y A ) ] ½ De la figura anterior, se tiene por ley de cosenos que: e e 1 = d + b 1 d 1 d b 1 e e = d +b d d b Por lo tanto: ( e x, e y ) ( e x 1, e y 1 ) = ( e x, e y ) ( e x, e y ) = d + b 1 d 1 d b 1 d +b d d b => ( e x e x 1 + e y e y 1 ) = d + b 1 d 1 d b 1 ( e x e x + e y e y ) = d +b d d b En las ecuaciones anteriores, las incógnitas son las componentes ( ex, ey ) del vector unitario e, donde las componentes de los vectores unitarios están dadas por: =[ ( e 1 = ( e 1 x, e 1 y ) x B x A ) b 1, ( y B y A ) b 1 ] Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 14

15 e = ( e x, e y ) = [ ( x C x A ), ( y C y A ) ] b b En notación matricial, se tiene que: ( x B x A ) ( y B y A ) d + b 1 d 1 e x b 1 ( x C x A ) b 1 ( y C y A ) = d b 1 d +b d b b e y d b Que es el modelo matemático de mínimos cuadrados en notación matricial, y cuya solución esta dada por: X = ( A T A ) 1 * A T L Entonces, si α es el ángulo de dirección del vector e, se tiene que: tan α = e x e y expresiones: Y las coordenadas aproximadas para el punto P se calculan con las siguientes Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 15

16 X P = X A + d * sen ( α ) Y P = Y A + d * cos ( α ) Con las coordenadas aproximadas del punto P ( que se obtienen con el producto escalar de vectores unitarios ) se calculan las coordenadas precisas de P, considerando el Teorema de Taylor En la siguiente figura se muestran las distancias UTM que se utilizan en el ajuste por mínimos cuadrados por el método de resección: Y P ( X P,Y P ) d A ( X,Y ) d 1 d B ( X 1,Y 1 ) C ( X,Y ) X Las distancias ( do, d1, y d ) son funciones de las coordenadas de los vértices conocidos y libres de error ( A, B, y C ), así como de las coordenadas del punto P ( XP, YP ) desconocidas: Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 16

17 f ( X P, Y P, X, Y ) = [ ( X P X ) + ( Y P Y ) ] ½ = d f 1 ( X P, Y P, X 1, Y 1 ) = [ ( X P X 1 ) + ( Y P Y 1 ) ] ½ = d 1 f ( X P, Y P, X, Y ) = [ ( X P X ) + ( Y P Y ) ] ½ = d El superíndice ( )en las coordenadas de P indica que son aproximadas, y las cuales serán calculadas con precisión en el modelo matemático de mínimos cuadrados Las ecuaciones de distancia anteriores son funciones no lineales, y para linearizarlas se aplica el Teorema de Taylor: Toda función no lineal, que admite las primeras derivadas, se aproxima por la función evaluada en valores aproximados ( f ), más las primeras derivadas de la función con respecto a las variables : f = f + f X P d X P + f Y P d Y P f 1 = f 1 + f 1 d X P + f 1 d Y P X P Y P f = f + f d X P + f d Y P X P Y P Desarrollando las derivadas parciales de las funciones anteriores, y rearreglando los resultados en notación matricial se tiene que: Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 17

18 X P X Y P Y d d d X P f f X P X 1 d 1 Y P Y 1 d 1 = f 1 f 1 X P X d Y P Y d d Y P f f Estas matrices presentan el diseño del modelo matemático de mínimos cuadrados, que tiene como solución: X = ( A T A ) 1 A T L Donde la matriz solución representada por X, tiene como componentes los elementos diferenciales que se suman algebraicamente a las coordenadas aproximadas del punto P : Es decir, X P = X P + d X P Y P = Y P + d Y P Este proceso continúa hasta que la solución converge Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 18

19 CONCLUSIONES El método vectorial propuesto para la georreferenciación de puntos del terreno, tiene como fundamento teórico, el producto escalar de vectores para la determinación de las coordenadas de los puntos en primera aproximación, que son utilizados en el ajuste por mínimos cuadrados Este método se aplica en las distancias medidas que han sido reducidas a la proyección UTM, por lo que para cada punto se tiene que las incógnitas son las coordenadas ( X, Y ), y ya que la Teoría de mínimos cuadrados establece que debe existir redundancia en la solución ( siendo la redundancia igual al número de ecuaciones menos el número de incógnitas ), entonces se deben medir al menos tres distancias a partir de tres puntos diferentes ( puntos GPS ) hacia los puntos en consideración Se realizaron estudios de campo para probar este método encontrándose que: *Las coordenadas obtenidas tienen una aproximación del orden de a 3 cms, y en el mejor de los casos de a 3 mm con respecto a las coordenadas ajustadas por el método de mínimos cuadrados *Al introducir las coordenadas obtenidas por este método como primera aproximación en el ajuste por mínimos cuadrados, la solución converge en la primera iteración *Se reduce el tiempo de observación, ya que solo se miden distancias y no es necesario medir adicionalmente ángulos, como se lleva a cabo en un levantamiento geodésico tradicional *Ya que resulta imposible el colocar un equipo de posicionamiento satelital clásico en las esquinas de predios urbanos, y debido a que se tienen cortinas que impiden la recepción de las señales satelitales, este método puede resultar una opción adecuada para la georreferenciación precisa de estos elementos de construcción Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz 19

20 *Ya que en nuestro País ( México ), y en especial en el Estado de Puebla, la superficie terrestre sufre de accidentes topográficos de consideración, nos encontramos frecuentemente con sitios que resultan inaccesibles para las mediciones de campo, y esta resultaría otra de las aplicaciones para este método *Adicionalmente, se tiene que ya que la solución se da por un modelo matricial bastante simple, resulta obvio que este método reduce el tiempo de proceso de computo, reflejandose en un ahorro en los recursos económicos asignados para esta actividad BIBLIOGRAFIA *FOWLES,GR,ANALYTICAL MECHANICS,SAUNDERS COLLEGE PUBLISHING,USA,1993 *TORGE,W,GEODESY,WALTER DE GRUYTER INC,USA,1991 *ZAKATOV,PS,CURSO DE GEODESIA SUPERIOR,EDITORIAL MIR,MOSCU,1997 *LIPSCHUTZ,S,LINEAR ALGEBRA,Mc GRAW-HILL,USA, *GANTMACHER,FR,APPLICATIONS OF THE THEORY OF MATRICES, DOVER PUBLICATIONS,USA,5 *RAPP,R,GEODESIA TEÓRICA AVANZADA, NOTAS DE CLASE, FORT CLAYTON,PANAMA,1985 Ponencia: Reducción y ajuste por mínimos cuadrados de distancias aplicando el análisis vectorial / Fis Mario Alberto Cruz Díaz