Modelo estacionario para la obtención de la caída de presión y los esfuerzos cortantes en arterias medianas a pequeñas con estenosis

Transcripción

1 para la obtención de la caída de presión y los esfuerzos cortantes en arterias medianas a pequeñas con estenosis Trabajo Científico. Temática: Biomecánica, Modelización. José Martín Daniel, Juan Pablo Gigli y José Di Paolo Grupo Biomecánica Computacional, Facultad de Ingeniería UNER Expositor: José Martín Daniel jmdaniel@latinmail.com, giglijuan@yahoo.com.ar, josedp@ceride.gov.ar /1/11, int. 126 CC 47, Suc. 3, 31, Paraná, Entre Ríos Resumen Los modelos matemáticos de situaciones fisiológicas o fisiopatológicas son cada vez mas utilizados en el ámbito de la salud debido a sus características no invasivas y a su poder de predicción cuando se los emplea para situaciones nuevas, reales o supuestas. Mediante su utilización, los profesionales médicos tienen la posibilidad de contar con herramientas cuantitativas de diagnóstico que les permiten comprender con mayor certeza el origen y/o evolución de las diferentes patologías. Una de las principales limitaciones de estos modelos es su dificultad de resolución debido al gran número de variables que gobiernan los fenómenos que ocurren en el cuerpo humano, y su influencia recíproca. Frecuentemente, los modelos de un determinado fenómeno requieren para su solución un costo computacional fuera del alcance de las capacidades actuales. Por ello, los modelos planteados con suficientes hipótesis simplificatorias, capaces de capturar las características más importantes de ciertos fenómenos y cuya resolución sea mucho más económica, son siempre de gran utilidad. En este trabajo se presenta un modelo matemático simplificado para estudiar el comportamiento del flujo sanguíneo dentro de un tramo de arteria con estenosis. El modelo se basa en la hipótesis de validez de las condiciones de flujo de Hagen-Poiseuille en cada sección de la arteria: a la entrada del tramo considerado, en la zona del estrechamiento y en la salida. Ello da lugar a una descripción estacionaria y unidimensional del flujo que permite obtener la caída de presión y los esfuerzos cortantes en las paredes del conducto, a través de un algoritmo computacional que insume escasos segundos de ejecución. Los datos que el algoritmo requiere son: la viscosidad de la sangre, el porcentaje máximo de obstrucción de área (grado de estenosis), el radio de la arteria en el tramo sin estenosis, la forma de la obstrucción y el caudal medio de sangre a lo largo de un pulso cardíaco. Los resultados se validaron comparándolos con los obtenidos a través de un modelo 2D más complejo y de mayor costo computacional de resolución. El modelo estacionario 1D propuesto constituye una simplificación válida mediante la cual se puede obtener, de manera prácticamente instantánea, una buena aproximación de los valores de presión y esfuerzo de corte existentes dentro de arterias de mediano a pequeño calibre con estenosis. La importancia de ello es la información disponible en tiempo real, para establecer diagnósticos y tomar decisiones terapéuticas.

2 I_Introducción Actualmente, numerosos estudios están demostrando la influencia de la caída de presión y, más recientemente, de los esfuerzos cortantes sobre el endotelio de las arterias en el desarrollo de patologías cardiovasculares [1]. La disponibilidad de una herramienta de valoración objetiva del grado de avance de las enfermedades cardiovasculares es de suma importancia para los profesionales médicos encargados de su diagnóstico y tratamiento. Actualmente, las alternativas prácticas existentes se encuentran limitadas, sobre todo por la invasividad de los tratamientos, por ejemplo en el caso de la cateterización para la valoración de la fluidodinámica arterial del paciente. Si bien existen opciones no invasivas, las mismas aún se encuentran en etapa de perfeccionamiento y su principal restricción viene dada por su costo [2]. Una posibilidad de creciente interés y cada vez más utilizada es la modelización matemática de los fenómenos fisiológicos o fisiopatológicos. Estas herramientas permiten realizar diagnósticos o inclusive predicciones desde un punto de vista teórico y completamente no invasivo [3, 4]. Tales métodos deben estar previamente validados de manera conveniente mediante la comparación de sus resultados con mediciones reales. La principal limitación de los modelos matemáticos de los fenómenos que se desarrollan dentro del cuerpo humano, es su dificultad de concepción y su resolución de manera práctica. Tal complicación viene dada por el gran número de variables que los gobiernan y el grado de influencia recíproca entre las mismas. Es aquí donde adquiere importancia fundamental la formulación de hipótesis simplificatorias para lograr la solución de los modelos con los recursos disponibles. II_Objetivos En este trabajo se propone un modelo matemático simplificado, estacionario y unidimensional, para la modelización de la fluidodinámica sanguínea dentro de arterias medianas a pequeñas con estenosis. Los resultados obtenidos se validan mediante su comparación con los obtenidos por medio de modelos no estacionarios y bidimensionales mucho más complejos, con un costo de resolución notoriamente más elevado [5]. El modelo propuesto permite obtener una idea concreta de los valores numéricos de la caída de presión y de los esfuerzos de corte dentro de arterias con estenosis en tiempo real, es decir, de manera prácticamente instantánea. III_Materiales y Métodos La descripción matemática del comportamiento del flujo sanguíneo dentro de una arteria con estenosis requiere en primer lugar la representación geométrica del dominio. En este trabajo se considera una forma de estenosis obtenida a partir de la rectificación de una imagen angiográfica [6], asumiendo una sección transversal circular en todo el tramo arterial modelado (Fig. 1). Fig.1: Dominio geométrico considerado. Simplificación realizada a partir de una rectificación de imagen angiográfica.

3 Para el modelo se requieren los siguientes datos: el valor de la viscosidad de la sangre, el porcentaje máximo de obstrucción de área, el radio de la arteria en el tramo sin estenosis y el caudal medio de sangre a lo largo de un pulso cardíaco. Se define el grado de estenosis como el porcentaje de obstrucción del área transversal. Se propone la hipótesis de validez de las condiciones de flujo de Hagen-Poiseuille en cada posición del tubo considerado (arteria), es decir entre dos secciones infinitamente próximas en todas las zonas en que se ha dividido el tramo arterial considerado: a la entrada, en la zona del estrechamiento y en la salida. Esta ecuación describe el flujo unidimensional de un fluido newtoniano incompresible en un tubo recto en estado estacionario (ecuación 1). Äp = - 8.ì.L.Q/(ð.r 4 ) (1) Donde: Äp: caída de presión a lo largo de un conducto de longitud L en [Pa] ì: viscosidad de la sangre en [Pa.seg] L: longitud del tramo arterial considerado en [m] Q: caudal sanguíneo en [m 3 /seg] r: radio de la arteria en [m] Como el área de sección transversal no es constante, sino que varía debido a la presencia de la estenosis, la ecuación 1 será válida asumiendo que en un diferencial de longitud existirá un diferencial de caída de presión. La caída de presión total se obtendrá integrando las infinitas caídas de presión diferenciales. Esto es: dp=-8.ì.dz.q/(ð.r 4 ) (2) Donde: dp: diferencial de caída de presión en [Pa] dz: diferencial de longitud en [m] El dominio geométrico donde se realiza la integración de la ecuación 2 está formado por un tramo arterial normal recto de radio ra (Tramo I), seguido por un tramo de radio decreciente de manera lineal con la coordenada axial (Tramo II) hasta llegar a la zona de máxima estenosis, con radio constante e igual a re (Tramo III). A partir de este punto, comienza la divergencia del canal, (Tramo IV) donde el radio del vaso se incrementa de manera lineal con la coordenada axial hasta llegar al tramo final, donde nuevamente se mantiene constante e igual a ra (Tramo V). Tanto la longitud de cada tramo como el radio arterial normal, el radio en la sección de máximo estrechamiento y las pendientes de los tramos de entrada y salida a la zona de estenosis, son parámetros que se pueden modificar dentro del modelo. Fig. 2: Esquema de la geometría considerada. Tramo I: sección transversal constante de radio=ra. Tramo II: sección de entrada a la zona con estenosis (recta con pendiente). Tramo III: sección transversal constante de radio=re. Tramo IV: sección de salida de la zona con estenosis (recta con pendiente). Tramo V: sección transversal constante de radio=ra. Los esfuerzos cortantes (Í rz ) se obtienen a partir de la derivada de la velocidad respecto de la coordenada axial (z), multiplicada por la viscosidad. Esto es: Í rz =,5.r.dp/dz (3)

4 Donde: En el tramo I y V: r = ra. En el tramo II y IV: r = r(z). En el tramo III: r = re. Para la evaluación de la eficacia del modelo estacionario 1D se contrastaron los resultados obtenidos para el esfuerzo de corte en función de la coordenada axial con otros calculados con el modelo no estacionario bidimensional también desarrollado por el Grupo de Biomecánica Computacional de la F.I.-U.N.E.R [1, 3, 4, 5]. Como parámetro de comparación se definió la diferencia entre los valores máximos de esfuerzo de corte estacionario 1D y no estacionario 2D. En la figura 3 se presenta, a modo de ejemplo, la forma de obtención de este parámetro para un caudal de 3 [ml/min] y un grado de estenosis del 7 %. Luego, la diferencia porcentual de esfuerzo cortante (DP) se calcula haciendo: DP = ((ÄECe ÄECne) / ÄECne) x 1 (4) Modelo no estacionario 1 1 Esfuerzo de corte [Pa] ÄECe Esfuerzo de Corte [Pa] ÄECne -2 Coordenada z [mm] Fig. 3: Parámetros ÄECe (modelo estacionario 1D) y ÄECne (modelo no estacionario 2D) definidos para la comparación de los resultados obtenidos en este trabajo. Para la resolución del modelo se elaboró un algoritmo implementado en un utilitario de cálculo matemático computacional. IV_Resultados En las figuras 4 y 5 se muestran las gráficas obtenidas para la caída de presión a lo largo de la coordenada axial para arterias de 1.5 y.5 [mm] de radio, para un porcentaje de obstrucción de área del 7 % y un caudal sanguíneo medio de 3 [ml/min]. A los fines de probar el algoritmo en situaciones límites, se han obtenido resultados para vasos de.1 [mm] que se encuentran graficados en las figuras 6 y Modelo no estacionario Fig. 4: Caídas de presión en función de la coordenada axial calculadas con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto (azul), para una arteria con ra=1.5 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis.

5 x 14 x 14 Modelo no estacionario Fig. 5: Caídas de presión en función de la coordenada axial calculadas con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto (azul), para una arteria con ra=.5 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis. x 16 x 16 Modelo no estacionario Fig. 6: Caídas de presión en función de la coordenada axial calculadas con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto (azul), para una arteria con ra=.1 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis. Las figuras 7, 8 y 9 presentan los resultados obtenidos para los esfuerzos cortantes sobre el endotelio arterial Modelo no estacionario 1 1 Esfuerzo de corte [Pa] Esfuerzo de Corte [Pa] Coordenada z [mm] Fig. 7: Esfuerzos cortantes sobre el endotelio arterial obtenidos con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto (azul), para una arteria con ra=1.5 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis.

6 25 25 Modelo no estacionario 2 2 Esfuerzo de corte [Pa] Esfuerzo de Corte [Pa] Coordenada z [mm] -5 Fig. 8: Esfuerzos cortantes sobre el endotelio arterial obtenidos con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto (azul), para una arteria con ra=.5 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis. 2.5 x x 14 Modelo no estacionario 2 2 Esfuerzo de corte [Pa] Esfuerzo de Corte [Pa] Coordenada z [mm] Fig. 9: Esfuerzos cortantes sobre el endotelio arterial obtenidos con el modelo no estacionario 2D (rojo) y el modelo estacionario 1D propuesto presentado (azul), para una arteria con ra=.1 [mm], Q= 3 [ml/min] y 7% de estenosis. De manera similar a las gráficas presentadas, se contrastaron resultados para valores de estenosis de 5, 7 y 9 %, con valores de caudales medios de 1, 3 y 5 [ml/min] y para arterias (o vasos) de radio normal de.1,.5 y 1.5 [mm], los cuales no se muestran únicamente por razones de extensión del trabajo. En la figura 1 se grafica la diferencia porcentual (DP) entre los esfuerzos cortantes obtenidos con el modelo estacionario 1D respecto a los obtenidos con el modelo no estacionario 2D, para un caudal de 3 [ml/min], un grado de estenosis del 7 % y arterias de diferentes radios. A su vez, la figura 11 muestra el mismo parámetro para diferentes valores de caudales y grados de estenosis, en una arteria de 1.5 [mm] de radio.

7 5-5 Q=3 [ml/min] e=7 % Diferencia porcentual [%] ,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 1,6 Radio de la arteria [mm] Fig. 1: Diferencia porcentual de esfuerzo cortante calculado con el modelo estacionario 1D respecto al obtenido con el modelo no estacionario 2D, para un caudal de 3 [ml/min] y un grado de estenosis del 7 %, para arterias de diferentes radios. -1 Q1 Q3 Q5 Diferencia porcentual [%] Grado de estenosis [%] Fig. 11: Diferencia porcentual de esfuerzo cortante calculado con el modelo estacionario 1D respecto al obtenido con el modelo no estacionario 2D, para diferentes valores de caudales y grados de estenosis. Resultados correspondientes a una arteria de 1.5 [mm] de radio. V_Discusión En los resultados graficados en las figuras 4 a 9 se observa la capacidad del modelo estacionario 1D para arrojar valores orientativos de caída de presión y esfuerzos cortantes en arterias medianas a pequeñas con estenosis. Sin embargo, la morfología de las curvas obtenidas es mucho menos detallada en el caso del modelo estacionario 1D, con lo cual se evidencian las ventajas del método no estacionario 2D en cuanto a la capacidad de detalle punto a punto en el dominio. Este hecho no sorprende, debido a que se ha resignado esta capacidad de descripción con el objetivo de obtener resultados prácticamente en tiempo real. Se ve que los valores de caída de presión irrecuperable obtenidos con el modelo estacionario 1D se encuentran en el mismo orden de magnitud que aquellos obtenidos con el modelo no estacionario 2D. Similar comportamiento se advierte para los esfuerzos cortantes en el endotelio.

8 Del análisis de la figura 1, para un valor de caudal y de porcentaje de obstrucción de área determinados, la diferencia porcentual entre los resultados arrojados por ambos modelos comienza a aumentar a medida que se incrementa el radio de la arteria. Asimismo, para un dado radio, las diferencias también aumentan con el incremento del caudal y del grado de estenosis. Este hecho se debe a que en los casos citados, la hipótesis asumida en este trabajo pierde validez, ya que el flujo en cada sección deja de ser preponderantemente unidireccional para ser claramente bidimensional. Cabe destacar que, en aquellos casos en los cuales la exactitud de los valores puntuales de esfuerzo cortante es de extrema relevancia, la precisión del modelo podría incrementarse aplicando factores de calibración susceptibles de ser obtenidos a partir de gráficas similares a las figuras 1 y 11. No obstante, ello debe ser convenientemente explorado. A título comparativo, puede decirse que una corrida normal para la obtención de resultados en una PC estándar insume un tiempo de cómputo de aproximadamente 3,5 horas para el modelo no estacionario 2D [5]. En cambio, con el modelo estacionario 1D los resultados se obtienen en pocos segundos, con lo cual su ventaja en tiempo de procesamiento se hace más que evidente. VI_Conclusiones Se presentó un modelo estacionario unidimensional para la simulación matemática del comportamiento del flujo sanguíneo dentro de un tramo de arteria mediana o pequeña con estenosis. Este modelo fue validado utilizando un modelo no estacionario bidimensional, más descriptivo y de mayor costo computacional, también desarrollado dentro del Grupo Biomecánica Computacional de la F.I.-U.N.E.R. [5]. A la luz de los resultados obtenidos se evidencia la potencialidad del modelo propuesto como herramienta cuantitativa de evaluación de variables hemodinámicas. De acuerdo al análisis de diferencia porcentual comparativo con el modelo no estacionario 2D, puede establecerse que la precisión del modelo estacionario 1D aumenta para pequeños valores de caudal, grado de estenosis y radios arteriales. Si bien se ha resignando capacidad de detalle puntual, para lo cual el modelo no estacionario 2D cuenta con ventajas indiscutibles, la verdadera ganancia con la implementación de un modelo unidimensional estacionario aparece en el tiempo de cómputo insumido. Con esto, se estaría brindando al profesional médico una herramienta completamente no invasiva de cuantificación de variables hemodinámicas para el diagnóstico y tratamiento de las patologías cardiovasculares. Este método podría ser utilizado en tiempo real para entender, diagnosticar, tratar e inclusive predecir patologías cardiovasculares mediante valores numéricos concretos de la caída de presión y los esfuerzos cortantes que ocurren dentro de los vasos sanguíneos. Por último, este método de computar caídas de presión y esfuerzos cortantes sería también aplicable a otras geometrías vasculares como por ejemplo: tramos arteriales parcialmente obstruidos y con catéter o zonas con presencia de stents.

9 Referencias [1] Ubal S., Hachuel P., Análisis por elementos finitos del Flujo Pulsátil en estenosis Arteriales, Proyecto final de Facultad de Ingeniería, Bioingeniería, Agosto [2] Levenson J., Pessana F., Gariepy J, Armentano R., Simon A. Gender Differences in Wall Shear-Mediated Brachial Artery Vasoconstriction and Vasodilation. Journal of the American College of Cardiology. Vol. 38, Nº.6, Noviembre de 21. [3] Filipowicz G., Ubal S., Campana D. y Di Paolo J. Simulación del flujo sanguíneo en angioplastía coronaria. Publicado en las memorias del XIII Congreso Argentino de Bioingeniería y II Jornadas de Ingeniería Clínica, realizadas en Tafí del Valle, Tucumán, del 26 al 29 de setiembre de 21. [4] Ubal S., Hachuel P., Di Paolo J., Corvalán C., Algoritmo para la Simulación del Flujo Pulsátil en Anormalidades Arteriales, XII Congreso Argentino de Bioingeniería Primeras Jornadas de Ingeniería Clínica, Junio 1999, págs [5] Daniel J.M., Gigli J.P., Di Paolo J., Análisis Numérico de la Influencia de la Onda de Pulso sobre los Esfuerzos de Corte en Estenosis de Arterias Coronarias, IX Jornadas Internacionales de Ingeniería Clínica y Tecnología Médica, Paraná, Entre Ríos, Argentina, Agosto de 23. [6] Banerjee, R. K., Back, L. H., Back, M. R. and Cho, Y. I., Catheter obstruction effect on pulsatile low rate-pressure drop during coronary angioplasty, J. of Biomech. Eng., Vol. 121, June 1999, págs