Radiación: Solución a la tarea 2

Transcripción

1 Radiación: Solución a la tarea 2 1. Atmósferas isotérmica, adiabática y estandar La atmósfera terrestre se modela con las ecuaciones de equilibrio hidrostático, gas ideal y conservacin de energía, para un gas ideal compuesto de 75 % de nitrógeno molecular, N 2, y 25 % de oxígeno molecular, O 2. La ecuación de estado es P = ρkt/µm h, con P presión, ρ densidad de masa, k la constante de Boltzmann, T temperatura, µ masa molecular media, y m h la unidad de masa atómica. El gas está en equilibrio hidrostático con la gravedad, dp dz = ρg. Al nivel del mar se tiene una presión P 0 = 1 atm y temperatura T 0 = 20 C. a) Mostrar que una atmósfera isotérmica con T = T 0 tiene un perfil exponencial de presión y densidad, P (z) = P 0 e z/h. Encontrar la expresión para H y su valor. La combinación de 75 % de N 2, de peso molecular 2 14, y 25 % de O 2, de peso molecular 2 16, tiene un peso molecular µ = 29. Al reemplazar la ecuación de estado en la de equilibrio hidrostático, 1 dρ ρ dz + 1 T dt dz = µm hg kt. (1) En el caso de la atmósfera isotérmica dt/dz = 0, de temperatura T 0, tenemos 1 dρ ρ dz = µm hg ρ(z) = ρ 0 e z/h 0 P (z) = P 0 e z/h 0, kt 0 con H 0 = kt 0 /µm h g cm, o 8570m, para los datos especificados y los valores de las constantes m h, g, k. b) Mostrar que una atmósfera adiabática tiene un gradiente constante de temperatura; determinarlo, expresándolo en grados centígrados por kilómetro. La ecuación de conservación de energía, en el caso adiabático, es du = T ds P dv = P dv. Un gas de moléculas diatómicas 1

2 tiene una energía interna dada por U = (5/2)NkT, siendo N el número total de partículas. De donde es decir 5 2 d(nkt ) + P dv = Nk dt + NkT dv V = 0, 5 dt 2 T = dv V = dn n = dρ ρ, siendo n la densidad numérica, n = N/V = ρ/µm h, donde tomamos en cuenta que n y V son variables con z. Reemplazando en la ec. (1), tenemos ( ) 7 1 dt = µm hg 2 T dz kt con los datos obtenemos dt dz = 2 µm h g 7 k = constante ; dt/dz = K/cm = 9.77 C/km. Notamos que usando la expresión general γ = C p /C v obtenemos ( ) dt γ 1 dz = µmh g. γ k c) Un modelo más preciso es el de la atmósfera estandar, dado por un gradiente constante de temperatura, dt/dz = 6.5 K/km. Encontrar la expresión para los perfiles de temperatura T (z), presión, P (z), y densidad, ρ(z). A qué altura falla este modelo? Si T (z) = T 0 θz, con dt/dz = θ constante, tenemos T (z) = 0 en z = T 0 /θ cm = 45.1 km, para T 0 = 20 C y el gradiente del modelo estándar. El modelo es inaplicable para valores mayores de z. d) Comparar los perfiles de presión y densidad isotérmico, adiabático y estándar, graficándolos hasta la altura máxima permitida en el inciso (c). Qué tanto concuerdan los modelos? 2

3 El modelo adiabático falla a 30 km y el estándar a 45 km. Muestro gráficas hasta 20 km. Para expresar las funciones soluciones, podemos escribir θ = 1 mg η k, con η = γ/(γ 1) = 1 + m/2 = 3.5, para atmósfera adiabática de partículas con m grados de libertad; η 4.5 para caso estándar ( γ 1.29); η caso isotérmico ( γ 1). Usando este coeficiente, la solución general para una atmósfera de gradiente dt/dz constante queda como T (z) = T 0 (1 z/ηh 0 ), ρ(z) = ρ 0 (1 z/ηh 0 ) η 1, P (z) = P 0 (1 z/ηh 0 ) η, con T 0 = K, P 0 = 1 atm = g cm 1 s 2, ρ 0 = P 0 µm h /kt g cm 3 ; la solución tiene límite formal T (z) = T 0, ρ(z) = ρ 0 e z/h 0, P (z) = P 0 e z/h 0, para η. Las gráficas y código aparecen al final, en las figuras 2 y Movimiento superlumínico Al poco tiempo del descubrimiento de los cuasares se hicieron observaciones que indicaban movimientos más rápidos que la luz, prohibido por las leyes de la física. Este es un efecto aparente: supóngase una masa luminosa con una velocidad v con ángulo θ con respecto a la línea de visión, como se ilustra en la figura 1. Figura 1: Emisión de una masa luminosa con un ángulo θ con respecto a la línea de visión. 3

4 a) Mostrar que la velocidad transversa aparente de la masa luminosa inferida por el observador, es v app = v sin θ 1 (v/c) cos θ. Consideramos un primer fotón emitido en x 1 = d, y 1 = 0, que llega al observador en t 1 = x 1 /c; un segundo fotón es emitido en un tiempo posterior t, desde x 2 = d v cos θt, y 2 = v sin θt, llegando al observador en t 2 = t + x 2 /c, de manera que la velocidad aparente según el observador será v app = y t = y 2 y 1 t + x 2 /c x 1 /c = = v sin θ 1 (v/c) cos θ. v sin θt t + (d v cos θt d)/c, b) Mostrar que v app puede ser mayor que c. Encontrar el ángulo para v app máxima y mostrar que el máximo es v app = γv. v app > c (v/c) sin θ > 1 (v/c) cos θ (v/c) > (sin θ + cos θ) 1, que puede cumplirse para sin θ + cos θ > 1, que a su vez se cumple para 0 < θ < π/2. El ángulo para el cual v app es máxima se determina derivando con θ, dv app dθ = = = v cos θ v sin θ(v/c) sin θ 1 (v/c) cos θ (1 (v/c) cos θ) 2 v cos θ(1 (v/c) cos θ) v sin θ(v/c) sin θ (1 (v/c) cos θ) 2 v cos θ v 2 /c (1 (v/c) cos θ) 2 = 0, es decir cos θ = v/c. Substituyendo en v app, v max app = v 1 v 2 /c 2 1 (v/c) 2 = v 1 v 2 /c 2 = γv. 4

5 3. Colisión relativista Considerese la colisión de dos partículas relativistas, a y b, cuyos cuadrivectores de energía momento son 1 ) ) con p α 0 = pα a0 + pα b0. p α a0 = ( Ea0 p a0, p α b0 = ( Eb0 a) Mostrar que la transformación de Lorentz que nos lleva al marco de referencia de momento nulo está dada por β = p 0 /E 0. p b0 Solución La transformación de Lorentz del momento es, p 0 = γ βe 0 /c + p 0 + (γ 1)( ˆβ p 0 ) ˆβ, que suponiendo ˆβ = ˆp 0, queda como p 0 = γ( p 0 βe 0 /c), siendo el momento p 0 nulo si β = p 0 c/e 0., b) Aplicando esta expresión al efecto Compton, en el cual un fotón de cuadri-momento k 0 interactúa con un electrón con p 0, ) ) k 0 = ( ω0 ω 0ˆk0, p 0 = ( γ0 γ 0 β0 mostrar que la transformación al centro de momento tiene β = ω 0ˆk 0 + γ 0 β0 ω 0 + γ 0, y de ahí mostrar que ésta siempre existe. Solución E 0 = ω 0 + γ 0, p 0 = ω 0ˆk0 + γ 0 β0, de donde β = p 0 /E 0 = ω 0ˆk 0 + γ 0 β0 ω 0 + γ 0. Siendo ˆk 0 unitario y β 0 < 1, se asegura β < 1., 1 Unidades con h = c = m e = 1. 5

6 c) Mostrar que en el centro de momento se cumple γ 0 = 1 + ω 2 0. Solución En el centro de momento p 0 = ω 0ˆk 0 + γ 0β 0 = 0, de donde ω 0ˆk 0 = γ 0 β 0 ω 2 0 = γ 2 0 β 2 0 = γ γ 0 = 1 + ω 0 2. d) mostrar que en el centro de momento se cumple γ 1 = γ 0, ω 1 = ω 0. Siendo así, explicar en qué consiste la interacción vista en el centro de momento. Siendo el marco de momento tenemos también γ 1 1 = + ω 1 2. Por lo que la conservación de energía queda como ω ω ω 1 2 que se cumple solamente si ω 0 = ω 1, y por tanto γ 0 = γ 1. Notamos que no se requiere ˆk 0 = ˆk 1, por lo que el electrón y fotón pueden modificar la dirección de sus vectores de momento. En el centro de momento la interacción consiste en la rotación conjunta de los vectores ˆk y β. # perfiles atmosfericos - radiacion 2016, tarea 2 # grafica perfiles isotermico, adiabatico y estandar - altura z en km import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from matplotlib import rc rc( font,family= serif ) rc( text,usetex=true) z=np.linspace(0.0,25.0,1000) t0=293.15; h0=8.570; p0 = ; rho_0 = 1.206e-3 #modelo isotermico 6

7 t_iso = np.linspace(t0,t0,1000) rho_iso = rho_0 * np.exp(-z/h0) p_iso = p0 * np.exp(-z/h0) #modelo adiabatico eta=3.5 f = (1.0-z/(eta*h0)) t_ad = t0 * f rho_ad = rho_0 * f**(eta-1.0) p_ad = p0 * f**eta #modelo estandar eta=4.5 f = (1.0-z/(eta*h0)) t_st = t0 * f rho_st = rho_0 * f**(eta-1.0) p_st = p0 * f**eta plt.ion() plt.axis([0.0,20.0,-200.0,30.0],fontsize=16) plt.grid() plt.xlabel("z (km)",fontsize=16) plt.ylabel("t(c)",fontsize=16) plt.plot(z,t_iso ); plt.plot(z,t_ad ); plt.plot(z,t_st ) plt.figure() plt.axis([0.0,20.0,0.0,1050.0],fontsize=16) plt.grid() plt.xlabel("z (km)",fontsize=16) plt.ylabel("p(mbar)",fontsize=16) plt.plot(z,p_iso); plt.plot(z,p_ad); plt.plot(z,p_st) plt.figure() plt.axis([0.0,20.0,0.0,1.5e-3],fontsize=16) plt.grid() plt.xlabel("z (km)",fontsize=16) plt.ylabel(r"$\rho$(g cm$^{-3}$)",fontsize=16) plt.plot(z,rho_iso); plt.plot(z,rho_ad); plt.plot(z,rho_st) 7

8 Figura 2: Perfiles de presión y densidad. Azul corresponde a modelo isotérmico, verde adiabático y rojo estándar. 8

9 Figura 3: Perfiles de temperatura. Azul corresponde a modelo isotérmico, verde adiabático y rojo estándar. 9