TEMA 1. MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

Transcripción

1 TEMA. MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE. Introducció Quan un cos realitza un ovient que es repeteix de fora idèntica en successius intervals iguals de teps,, die que realitza un ovient periòdic. Dels ovients estudiats l any passat un exeple d aquest seria el ovient circular unifore.. En aquests tipus de ovients defini el període T, teps que inverteix la partícula en fer un cicle del ovient.. Un cas interessant a estudiar aquests any és el ovient harònic siple (.h.s(.h.s..... Definició del.h.s Die que una partícula realitza un ovient harònic siple quan en desplaçar ar-se en línia recta ab un ovient de va i ve al voltant d un punt fix, O,, la partícula pateix una acceleració proporcional a la posició d aquesta. && x =cnt x

2 3. Definicions prèvies vies. -( Període del.h.s: Teps que triga la partícula en realitzar tot el cicle coplert. T = π / ω (s expressa en segons. -( Freqüè üència del.h.s. Nobre de vibracions que realitza la partícula que descriu el ovient harònic siple f = / T. És l invers del període ode.. (S expressa( en Hz. -(3 Pulsació o freqüè üència angular. És la velocitat angular constant que tét la partícula iaginària i que ens ajudarà a definir el.h.s. (s expressa en rad / s. - (4 Elongació del.h.s. Posició de la partícula vibrant respecte el centre de la vibració. - (5 Aplitud de.h.s. Valor extre que pot prendre l elongació. - (6 Fase. Es l angle que fora l eix horitzontal ab el òbil iaginari que realitza el.c.u. - (7 Fase inicial. Es l angle que fora l eix horitzontal ab el òbil iaginari que realitza el.c.u.,., en l instant inicial de teps.. ( t = s. - (4 Elongació del.h.s x(t. - (5 Aplitud de.h.s. A - (6 Fase ϕ. - (7 Fase inicial ϕ. Aniació del.h.s. ϕ ϕ -A +A x(t

3 4. Equacions del ovient Equació de la posició: Partire de l equació del MCU de la partícula iaginària ria. ϕ = ϕ + ωt En ser l elongació la projecció sobre l horitzontal del radi A en funció de la fase, ens quedarà: x(t = A cosϕ x(t = A cos ( ω t + ϕ ϕ ϕ -A x(t +A Equació de la velocitat de vibració: Derive la posició respecte el teps x& (t = dx(t dt = Aω sin ( ω t + ϕ 4. Equacions del ovient A partir la identitat trigonoètrica trica fonaental es pot deduir una altre equació de la velocitat de vibració que pot ser força útil alhora de fer problees. sin α = ± x(t & = Aω sin x(t & = ω cos A α ( ω t + ϕ x(t & = A cos ( ω t + ϕ 44 Equació de l acceleració del M.H.S. Derive la velocitat respecte el teps. 443 x(t dx(t & && x(t = = Aω cos dt && x(t = ω A cos Aω ( ω t + ϕ cos x(t & = ω ( ωt + ϕ ( ω t + ϕ && x(t = ω x(t x(t A x Aniació del.h.s. + vectors 3

4 x(t = A cos( ωt + ϕ x(t & = ω A sin( ωt + ϕ && x(t = ω 5. Caractrístiques del M.H.S. A cos( ωt + ϕ = ω = ω A x x x(t = -A x(t = x(t = +A v(t = v(t = ±ω A a(t = +ω A+ v(t = a(t = a(t = -ω A 6. EXEMPLES DE M.H.S. 4

5 7. LA LLEI DE HOOKE Ara el que prtene és esbrinar co és la força que causa el M.H.S. Supose que una partícula de assa està sotesa a un.h.s.. Per causa d una única força F. F r x(t x = -A x = x = +A r r a(t = ω x r r r F = a F = r ( ω x Reordenant els teres, ens queda: r F = r r r ( ω x F = K x Observeu que la força a F és s sepre contraria que el sentit del vector elongació. Si el ovient està causat per una olla elàstica ideal, el tere de dins del parèntesi es substitueix per K (constant elàstica de la olla. K = ω Unitats ω = : [K] = N K 8. PERÍODE DEL M.H.S. Si una assa oscil la la per l accil acció d una olla, pode calcular el teps que la assa repeteix el ovient a partir de la assa i de la constant elàstica de la olla K. K ω = π T = ω T = π K T = π K. El període d oscild oscil lació noés s depèn n de la assa i de la constant K. L aplitud L no afecta al valor del període.. La fórula f del període noés és s vàlida v per asses soteses a forces conservatives. L accil acció de la fricció farà que la fórula f anterior no tingui sentit. 5

6 8. ENERGIA POTENCIAL ELÀSTICA F r x(t x = -A x = x = +A La força a de Hooke,, responsable del hs, és s una força a conservativa. De prier sabeu que les forces conservatives tenen associada una funció escalar anoenada energia potencial i que ve definida per: U = Wr Fc Recordeu que en el cas de les forces que depenen de la posició el càlcul c del treball es feia a través s de la gràfica F-x.. En el cas de la llei de Hooke la força a F és s lineal. r r F = K x x=-a x=+a 8. ENERGIA POTENCIAL ELÀSTICA A FMAX F= =-K x > A X > x=+a x=-a x < F= =-K x < FMIN U e = W r Fc U e U Wr = A + A = K x K x F A = F ( x = ( K x ( x = A = F x = ( K x (x = e = W F U e K x K x U e = K x K x U e = K x 6

7 8. ENERGIA MECÀNICA DEL M.H.S. A r de batxillerat vareu veure que l energia l ecànica d una d partícula és s la sua de l energia cinètica i de les energies potencials. E = EC + Ug + Ue = v + g h + K r En el cas que l oscill oscil lació harònica fos horitzontal,, l altura l es pot considerar zero i la r passarà a ser x. E = EC + Ue = v + K x Si substituï la velocitat per la seva expressió i reordene, ens quedarà: v = ω A x E = EC + Ue = v = ω + K x ( A x + K x = Poso l elongacil elongació co r perquè si poses x donaria a entendre que sepre l elongacil elongació ha de ser perpendicular a h i això no tét perquè ser així. ( ω A x + K x 8. ENERGIA MECÀNICA DEL M.H.S. K està relacionada ab ω i. K = ω E = ω ( A x + K x = K ( A x + K x En aquest cas l energia l ecànica valdrà: E = K A Nota: Noés quan la assa oscil la sense fricció en el pla horitzontal. 7

8 9. EXEMPLES DE M.H.S. Una olla de constant K = N - té lligada a l extre l una assa de,5kg. La assa està recolzada sobre una superfície plana sense fricció.. Separe la assa5c del punt d equilibri d i deixe oscil lar lar el sistea lliureent. Trobeu: a La força a que actua sobre la assa just en el oent que deixe la assa. b L energia potencial elàstica que tét la assa. c L energia ecànica d la assa en aquest punt i en qualsevol punt de la trajectòria. d La velocitat de vibració de la assa a c del punt d equilibri. d e La freqüè üència i el període de les oscil lacions. lacions. f El teps que triga la assa en passar pel punt d equilibri. d PER FER A CASA g Trobeu l energia l ecànica de la assa anterior si la fe oscil lar lar en el pla vertical.. GRÀFIQUES DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE HORITZONTAL Veie co són s n les gràfiques x-t, v-t i a-t del.h.s. x ( v (/s t (s t (s A = ; ω =,3rad s ; ϕ x (t = A cos( ωt + ϕ π x(t = cos,3t + 4 v (t = ωa sin( ωt + ϕ π v(t =,3 sin,3 t + 4 π v(t =,6 sin,3 t + 4 π = rad 4 /s a (/s t (s a(t = ω A cos( ωt + ϕ π a(t =,3 cos,3 t + 4 π a(t =,8 cos,3 t + 4 /s 8

9 . GRÀFIQUES DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE HORITZONTAL Ara veure co son les gràfiques v-x, a-x del.h.s.,6 v (/s A = ; ω =,3rad s ; ϕ π = rad 4,3 v = ω A x v =,3 x x( -,3 -,6 a (/s x( a = ω x a =,3 x. GRÀFIQUES DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE HORITZONTAL Ara veure co son les gràfiques U-x, Ec-x del.h.s. A = ; ω =,3rad s ; =,5kg U(J Ec(J ( ω Ue = Kx = x Ue = (,5,3 x U =,5 x e J x( Ec = v = ω Ec =,5,3 x( E =,5 c ( A x ( x ( x J 9

10 . EL PÈNDOL P OSCIL LANT LANT Considere un pèndol de longitud L I assa tal co ostra la figura. Si l'aparte de la vertical un angle θ observare que coença a pendular lliureent. Si es copleix que θ el ovient que descriu la assa és un ovient harònic siple. Per deostrar això, partire de la a llei de Newton per al pèndol. P r x P r T r P r y r r r r r F = a T + P = a x: Px = at g sinθ = at (* y: T Py = ac Si teni en copte que : a = α L a t Si θ sinθ θ (* a t t = && θ L I que per angles olt petits Ens quedarà que = g sinθ (* && θ L = g θ. EL PÈNDOL P OSCIL LANT LANT Copare l equació final ab la del.h.s. Equació del pèndol && g θ L = g θ & θ = θ L Equació del hs && x = ω x ω = g L ω = g L La coparació ens peret deterinar la fórula f del període d oscil lqació del pèndol. π T = T = π ω L g - El període d ocilació del pèndol depèn de L i g. -No depèn de. -No depèn de θ.

11 EXEMPLE a Deterineu la longitud d un d pèndol p que ens pereti coptar el pas del teps en cada oscil laci lació.. ( s per oscil laci lació b Quin seria el període del pèndol p si uns astronautes se l eportessin l a la lluna? c Quant s hauria s d'escurçar el cordill per tal que el període coincidís s ab el de la Terra? g L =,6 s -, g T = 9,8 s - ACTIVITATS -Pag 3. -Pag 4. -FULL. MHS -Pg4. -Pg4 -Pg59 -Pg6 LLIBRE DE TEXT MOODLE LLIBRE DE TEXT 7, 8, 9,,, 3 ACTIVITATS P, P, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 P9. Falten dues dades: K = N/, =, kg 9,,, 3, 4 5 ACTIVITATS