MA37A Sesión #3 Minimización en un intervalo

Transcripción

1 MA37A Sesión #3 Minimización en un intervalo 5 de Septiembre del 2007

2 Esquema Descripción del problema Método de la Sección Áurea

3 Sea θ : [a, b] R función estrictamente cuasiconvexa, i.e. para x, y [a, b], x y, λ (0, 1): θ(λx + (1 λ)y) < max{θ(x), θ(y)} El problema es: min θ(x) x [a,b]

4 Función Cuasiconvexa SI NO

5 Teorema Principal Esquema Teorema Sea θ : [a, b] R función estrictamente cuasiconvexa. Sean λ, µ [a, b], tales que λ < µ: Si θ(λ) > θ(µ), entonces θ(z) θ(µ), z [a, λ). Si θ(λ) θ(µ), entonces θ(z) θ(λ), z (µ, b].

6 Es decir... Esquema a k λ k µ k b k θ(λ k ) θ(µ k ): a k+1 b k+1 θ(λ k ) < θ(µ k ): a k+1 b k+1

7 Idea Principal Esquema La idea de los métodos descritos es achicar el intervalo donde vive el mínimo en cada iteración: {x }... [a k, b k ]... [a 2, b 2 ] [a 1, b 1 ] = [a, b]

8 1: Escoger constante ɛ > 0, tolerancia l > 0, k 1, Intervalo inicial [a, b] = [a 1, b 1 ]. 2: repeat 3: if b k a k < l then 4: PARAR. Retornar b k+a k 2 5: else 6: Definir λ k = a k+b k 2 ɛ, µ k = a k+b k 2 + ɛ 7: if θ(λ k ) < θ(µ k ) then 8: a k+1 = a k, b k+1 = µ k 9: else 10: a k+1 = λ k, b k+1 = b k 11: end if 12: end if 13: until Se cumpla criterio de parada

9 Se impone que cada nuevo intervalo [a k, b k ] sea una proporción del intervalo en la iteración anterior: [a k+1, b k+1 ] = α[a k, b k ] con α (0, 1). Escogiendo α = , se tiene: λ k = a k + (1 α)(b k a k ) µ k = a k + α(b k a k )

10 1: Escoger tolerancia l > 0, k 1, Intervalo inicial [a, b] = [a 1, b 1]. 2: λ 1 = a 1 + (1 α)(b 1 a 1), µ 1 = a 1 + α(b 1 a 1), α = : repeat 4: if b k a k < l then 5: PARAR. Retornar b k +a k 2 6: else 7: if θ(λ k ) > θ(µ k ) then 8: a k+1 = λ k, b k+1 = b k 9: λ k+1 = µ k, µ k+1 = a k+1 + α(b k+1 a k+1 ) 10: else 11: a k+1 = a k, b k+1 = µ k 12: λ k+1 = a k+1 + (1 α)(b k+1 a k+1 ), µ k+1 = λ k 13: end if 14: end if 15: until Se cumpla criterio de parada

11 La secuencia de Fibonacci se denota F 0 = 1, F 1 = 1, F 2 = 2, F 3 = 3, F 4 = 5, F 5 = 8,... F k+2 = F k+1 + F k

12 Aplicación curiosa de Secuencia de Fibonacci: Trading Análisis Cuantitativo de Mercados: Trading Números de Fibonacci pueden predecir el momento en que el precio de un instrumento va a bajar/subir (resistencia/soporte)

13 Trading: Niveles de Resistencia

14 Trading: Niveles de Soporte

15 1: Escoger constante ɛ > 0, tolerancia l > 0, k 1, Intervalo inicial [a, b] = [a 1, b 1], número de iteraciones n (F n > (b 1 a 1)/l). 2: λ 1 = a 1 + (F n 1/F n)(b 1 a 1), µ 1 = a 1 + (F n 1/F n)(b 1 a 1), α = : for k = 1, 2,..., n 2 do 4: if θ(λ k ) > θ(µ k ) then 5: a k+1 = λ k, b k+1 = b k 6: λ k+1 = µ k, µ k+1 = a k+1 + (F n k 1 /F n k )(b k+1 a k+1 ) 7: else 8: a k+1 = a k, b k+1 = µ k 9: λ k+1 = a k+1 + (F n k 2 /F n k )(b k+1 a k+1 ), µ k+1 = λ k 10: end if 11: end for 12: λ n = λ n 1, µ n = λ n 1 + ɛ. 13: if θ(λ n) > θ(µ n) then 14: a n = λ n, b n = b n 1. 15: else 16: a n = a n 1, b n = λ n 17: end if 18: Retornar an+bn 2

16 Ir a Octave...

17 FIN