SINTONIZACION DE UN CONTROLADOR PID PARA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SEGUNDO ORDEN USANDO ALGORITMOS GENETICOS BASADO EN TOOLBOX DE MATLAB.

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1 1 SINTONIZACION DE UN CONTROLADOR PID PARA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SEGUNDO ORDEN USANDO ALGORITMOS GENETICOS BASADO EN TOOLBOX DE MATLAB. Fredy Alexander Guasmayan Guasmayan Cedula: Universidad Mariana, Facultad de Ingeniería Programa de: Ingeniería de sistemas San Juan de Pasto, Nariño, Colombia Octubre Grupo GISMAR categoría D Colciencias. Investigación finalizada Resumen Se plantea una estrategia Metaheurística para sintonizar un PID usando algoritmos genéticos que estabilicen de forma adecuada un sistema dinámico de orden dos representado como una función de transferencia de segundo orden en el que se elimine el error en estado estacionario y se mida el tiempo de estabilización del sistema por medio de la selección de las constantes de forma aleatoria. Palabras clave: Metaheurística, Algoritmo genético, sistema dinámico, error, estado estacionario, tiempo de estabilización modelar dichos comportamientos. Así por ejemplo un motor de corriente directa estaría dado por el 1. Introducción siguiente modelo: Los procesos industriales generalmente están descritos por medio de características propias de cada sistema como viscosidades, resistencias eléctricas o resistencias dadas por válvulas que restringen el paso de un fluido, sistemas de suspensión mecánica, fuerzas, resortes, amortiguadores, flujos térmicos entre muchas otras variables que indican su comportamiento; además de estas características muchos de los procesos están influenciados por el tiempo, cuando esto ocurre se deben describir usando funciones matemáticas dependientes del tiempo, por medio de ecuaciones diferenciales para Figura 1. Motor de corriente directa La figura muestra un circuito eléctrico y un sistema mecánico dado por las siguientes ecuaciones:

2 2 Las ecuaciones representan al motor de corriente directa por medio de la dinámica del sistema eléctrico y mecánico y las características como resistencia de la armadura, inductancia, voltaje de entrada, constantes propias del motor, inercia, torque, fricción, entre otras. Figura 4. Sistema en lazo cerrado 2. Controlador PID: Para una etapa posterior al modelamiento y representación del sistema se realiza un análisis de la función de transferencia y su comportamiento en el tiempo para identificar la estabilidad o no del sistema, la velocidad de respuesta, oscilaciones y sobreimpulsos. Como en el caso anterior damos valores numéricos a las constantes y realizamos una simulación en Matlab se puede observar que el sistema genera inestabilidad puesto que la variable de salida no genera un seguimiento al valor de referencia o parámetro deseado como se indica en la figura Figura2. Modelo en lazo abierto Figura 5. Respuesta del sistema en lazo cerrado Cuando ocurren estas situaciones es necesario adicionar al sistema elementos que le permitan responder de forma estable a los cuales se les denomina controladores. En el caso del controlador PID se busca estabilizar el sistema por medio de una acción proporcional (P), para que siga la referencia. La acción integral le permite garantizar el seguimiento del valor de referencia sin que se generen errores en estado estable, es decir cuando el sistema alcanza su estabilidad en el tiempo. Finalmente la acción derivativa actúa como rata de cambio del error o la diferencia entre el valor deseado y el medido, de forma que si el error crece se genera un control rápido sobre el sistema y si el error no crece la acción de control es débil. Figura 3. Respuesta del sistema en lazo abierto. Una estrategia para lograr la estabilidad del sistema es la de realizar un circuito en lazo cerrado donde continuamente se compara la salida con el valor de referencia buscando que su diferencia en el tiempo sea cero. Si esto ocurre el sistema es estable, sin embargo puede no serlo como se muestra a continuación. Figura 6. Diagrama de control PID En la gráfica anterior se muestra el sistema realimentado junto con el controlador PID; como la suma de las acciones integral proporcional y derivativa. Las constantes que aparecen en el sistema como son: Kp, KI, Kd se calculan a través de diferentes métodos como algebraicos, lugar

3 3 geométrico de raíces en el plano de Laplace, coeficientes de Lyapunov, diagramas de Bode, métodos por adelanto y atraso de fase, entre otros. Para el ejemplo del motor podemos usar un método algebraico para el cual tenemos la siguiente respuesta controlada. La respuesta del controlador usando un método algebraico genera la siguiente respuesta: Figura 7. Lazo de control realimentado con controlador Figura 8. Respuesta del sistema con controlador PID. 4. Algoritmo genético. Los métodos exactos permiten calcular de manera eficiente la respuesta del sistema controlado, sin embargo cuando las características del sistema no permiten encontrar las constantes del controlador de forma exacta como es el caso de sistemas no lineales o con alto grado de perturbación externa, en estos casos se utiliza la aproximación por métodos numéricos o liberalización del sistema o estrategias diferentes como la Lógica Difusa, los Algoritmos Genéticos o Redes Neuronales. Para el sistema propuesto se realiza una sintonización o búsqueda de las constantes del control PID por medio de algoritmos genéticos de la siguiente manera: Teniendo en cuenta que un algoritmo genético hace una aproximación algorítmica del comportamiento de las especies en la naturaleza se tiene inicialmente la generación de una población que contiene valores binarios en un vector de 20 bits de los cuales 10 hacen parte de la constante proporcional ya que por experiencia se conoce que este valor debe ser mayor al de las otras constantes, así tendríamos 5 bits para la acción integral y 5 bits para la acción derivativa. Figura 9. Representación del individuo como vector binario. Dicha población inicial se genera de forma aleatoria, en una siguiente etapa se genera un cruce entre 2 individuos de la población los cuales generan 2 nuevos vectores llamados hijos que contienen características de sus padres, luego se genera una competencia entre los individuos para encontrar el que produzca el mejor resultado en la función objetivo, enfocada en minimizar el error. Posteriormente se genera una mutación o cambio en uno de los bits escogido aleatoriamente en el individuo elegido. Si este presenta mejores resultados se introduce a la población y se realiza nueva selección de padres para continuar con el ciclo hasta alcanzar el criterio de parada. Para corregir la estabilidad del sistema en un periodo más corto se debe penalizar o restringir el algoritmo genético, lo cual se realiza seleccionando vectores hijos que cumplan con estabilizar el sistema en un tiempo definido, esto se realizó usando el toolbox de matlab para algoritmos genéticos con una función objetivo propuesta así: Figura 10. Uso del toolbox de matlab. Usando el toolbox se requiere programar la función objetivo como la minimización del error como se indica en el siguiente código.

4 4 Figura 13. Respuesta ante escalón del controlador PID con algoritmo genético. Figura 11. Función objetivo. En esta función queremos obtener un controlador con un 5 % máximo de sobreimpulso y una estabilidad final a los 3 segundos. Usando este código se obtienen los siguientes resultados: La grafica anterior indica una respuesta del controlador PID usando las constantes calculadas con el algoritmo genético, mostrando la estabilidad con un sobreimpulso semejante al que presenta el PID calculado algebraicamente. Figura 12. Respuesta del controlador PID con algoritmo genético usando penalizaciones. En la figura se indica el control PID con las constantes arrojadas por el algoritmo genético y como estas controlan el sistema eliminando el error en estado estacionario, con muy poco sobreimpulso pero en un tiempo alto. 5. RESULTADOS. El algoritmo se corrió con 10 individuos y 800 generaciones obteniendo las constantes del controlador que en efecto eliminan el error pero que generan oscilaciones y sobreimpulsos altos, con un periodo de estabilización lento comparado con los controladores exactos. Figura 14. Respuesta ante escalón del controlador PID con algoritmo genético. En la figura anterior se indica otra respuesta para una corrida del algoritmo distinta que anuqué el tiempo de estabilización del sistema es mayor, el objetivo de estabilizar el sistema se cumple, además de eliminar completamente el error en estado estacionario que se observa cuando la señal alcanza el valor de referencia que en este caso es un 1 dado por el escalón unitario. 6. CONCLUSIONES Un algoritmo genético en la búsqueda de las constantes para la sintonización de un PID encuentra soluciones buenas pero de baja calidad comparada con los métodos exactos. El algoritmo genético es un buen método en el caso de que los sistemas tengan alta

5 5 complejidad en la búsqueda de controladores de manera exacta. El proceso de mutación en el algoritmo genético permite encontrar mejores soluciones rápidamente. A mayor restricción del modelo el algoritmo presenta mayor dificultad en la consecución de buenas soluciones o requiere mayor número de iteraciones. 7. RECOMENDACIONES Se puede probar el algoritmo genético para encontrar otro tipo de controladores de sistemas dinámicos que usen múltiples entradas y múltiples salidas como es el control por realimentación de estados o el control por observador de estados. Se podría desarrollar una técnica hibrida entre algoritmos genéticos y lógica difusa en el control de procesos industriales. Es conveniente analizar si los algoritmos genéticos son una buena herramienta en el control adaptativo. Las herramientas de Matlab como los toolbox permiten agilizar la codificación de los algoritmos genéticos. 8. REFERENCIAS. Mitsuo Gen, Runwei Cheng, Genetic Algorithms and Engineering Optimization. Ashikaga Japon, Astrom, K., T. Hagglund,.PID Controllers; Theory, Design and Tuning., Instrument Society of America, Research Triangle Park, Goldberg, David E..Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning.Addison-Wesley Pub. Co a_pid.htm imization/