EXPERIENCIA Nº 1 REGRESIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES Y MODELOS FÍSICOS

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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA LABORATORIO FIS 110 EXPERIENCIA Nº 1 REGRESIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES Y MODELOS FÍSICOS OBJETIVO GENERAL Después de realizar esta experiencia, usted debería ser capaz de describir la relación entre dos variables físicas. Para lograr este objetivo, representará los datos experimentales en un gráfico y a partir de este encontrará una ecuación empírica entre dichas variables. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Realizar un experimento, construir una tabla con los valores obtenidos y representar los datos en un gráfico. 2. Estimar a partir del gráfico, si la función que relaciona las dos variables es o no lineal. Si se estima que la relación entre las dos variables es lineal: 1. Dibujar aproximadamente la recta que mejor representa al conjunto de datos experimentales y calcular aproximadamente a partir del gráfico la pendiente y el intercepto de la recta que mejor representa al conjunto de datos experimentales (ver Apéndice A). 2. Calcular, usando el método de los mínimos cuadrados, la pendiente y el intercepto de la recta que mejor representa al conjunto de datos experimentales, así como también el error de la pendiente, el error del intercepto y el coeficiente de correlación lineal (ver Apéndice B). 3. Escribir la ecuación de la recta que mejor representa al conjunto de datos experimentales y graficarla en el mismo gráfico de los datos experimentales. 4. Realizar los cálculos del punto 2 y la construcción del gráfico de los puntos 1 y 3, usando el programa MicrocalTM OriginTM. 5. Interpretar el coeficiente de correlación lineal y estimar qué tan buena es la hipótesis de linealidad. Si se estima que la relación entre las dos variables es no lineal: 1. Construir un gráfico de los logaritmos de las dos variables. 2. Identificar a partir del gráfico si la relación es de potencias, por ejemplo, del tipo del tipo y = A x n. 3. Si la relación es del tipo y = A x n, calcular los parámetros A y n que mejor representan al conjunto de datos experimentales, aplicando el mismo análisis del caso lineal a las variables log(y) y log(x)

2 INFORME PREVIO El informe previo es individual y debe entregarse puntualmente un día hábil antes de la sesión de laboratorio, es importante que sea breve, claro, ordenado y preciso al momento de redactarlo. Además, debe seguir la siguiente estructura: Portada: La cual debe contener el nombre y número de la experiencia, el nombre de los miembros del grupo, nombre del ayudante titular y la fecha de entrega Introducción: 1. En sus propias palabras y no más de 10 líneas: Cuáles son los objetivos de esta experiencia? Escriba objetivos específicos y concretos, y en términos de lo que usted debe lograr. No escriba objetivos generales ( aprender física ), ni objetivos impersonales ( presentar las leyes de la física ). 2. En sus propias palabras y no más de 10 líneas: Dé una breve descripción de la experiencia enfocándose en el procedimiento experimental y el análisis de datos. Desarrollo: en este se debe realizar una composición literaria respondiendo todas las preguntas que se plantearan a continuación (Antes de responder estas preguntas, lea esta guía completa). 3. Suponga que se ha realizado una experiencia para investigar la deformación de un resorte en función de la carga colgada de su extremo. Los resultados se dan en la tabla siguiente: PESO [N] 12,0 24,0 36,0 48,0 60,0 72,0 84,0 96,0 108,0 120,0 DEFORMACIÓN [cm] 1,5 2,5 3,4 4,9 5,8 7,4 8,2 9,8 10,7 12,2 a) Construya manualmente en papel milimetrado, un gráfico con los puntos que representan a los valores experimentales de la deformación del resorte d en función del peso colgado p. (El grafico debe incluir ejes, unidades, título y nombre de ambos alumnos) b) A partir del gráfico, decida si es razonable suponer que la relación es lineal (Para esto utilice el apéndice A. Regresión lineal por el método gráfico). Si la respuesta es afirmativa siga al punto c). Si la respuesta es negativa vaya al punto f). c) Construya manualmente la recta que mejor representa al conjunto de datos experimentales. A partir del gráfico obtenga la pendiente y el intercepto de esta recta (Apéndice A). d) Suponiendo que usted ingreso los datos en el programa Origin obteniendo un r = 0,98, use el criterio dado en el Apéndice B.3 para decidir qué tan buena es la hipótesis de que la función es lineal. e) Suponga que las variables d y p están relacionadas por d = k p n, donde k y n son constantes. Demuestre que, en ese caso, las variables (log d) y (log p) están relacionadas por: log d = a log p + b, en donde a = n y b cumple con k = 1 0 b. f) Si usted estima que la relación no es lineal que esperaría del valor numérico de r? (coeficiente de correlación lineal, utilice apéndice B.3), construya una tabla de los logaritmos de los valores obtenidos. Haga un gráfico de log d en función de log p. A partir del gráfico, estime si esta relación es lineal. Si la respuesta es afirmativa, vuelva al punto c) con estas nuevas variables. 4. En la tabla siguiente se dan los datos de las órbitas de algunos de los satélites naturales de Saturno. Los datos son las distancias medias a Saturno (d), y los períodos de revolución en torno a Saturno (p). 2

3 Distancia media a Saturno [Mm] Período de revolución [día] ATLAS PROMETEO EPIMETEO MIMAS TETIS DIONE REA HIPERIÓN JAPETO Represente gráficamente en papel milimetrado los períodos de los satélites en función de sus distancias medias a Saturno. Es razonable la hipótesis de que la relación es lineal? Si su respuesta es positiva: use el análisis gráfico descrito en el Apéndice A, para calcular la pendiente y el intercepto. Si su respuesta es negativa: haga un análisis gráfico, usando como variables log(p) y log(d), para averiguar si la relación es del tipo p = a d n. Use su gráfico para determinar el valor del coeficiente a y del exponente. Compare sus resultados con la predicción teórica de la Ley de Kepler. BREVE DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA PÉNDULO SIMPLE El sistema a estudiar es un péndulo simple, es decir, un cuerpo que oscila libremente en presencia de la gravedad. Usted deberá describir cómo varía el período de las oscilaciones en función del largo (Figura 2). Largo fijo Masa fija Observaciones. Figura 1 Figura 2 Debe estudiar el efecto de una sola variable a la vez, manteniendo la otra constante. El procedimiento de buscar una ecuación que represente la relación entre dos variables, a partir de un conjunto de datos experimentales, es llamado comúnmente regresión de datos experimentales. La ecuación encontrada es un modelo matemático de un fenómeno físico o simplemente un modelo físico. Si la ecuación es de primer grado, se habla de una regresión lineal. Consulte el Apéndice A para un método aproximado (gráfico) y el Apéndice B para un método analítico que usted usará para hacer regresiones lineales. 3

4 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL I. PERÍODO EN FUNCIÓN DE LA MASA. (LARGO Y ÁNGULO INICIAL CONSTANTES) 1. Haga oscilar el recipiente con las tuercas, desde una posición inicial de 10 con la vertical. Cuide que el movimiento de oscilación sea en un plano y no "cónico". 2. Mida el intervalo de tiempo que demora el recipiente en dar diez oscilaciones completas. Fíjese bien que: (a) una oscilación completa es el viaje de ida y vuelta a la posición inicial, y (b) si comienza a medir el tiempo, por ejemplo, cuando el recipiente está en uno de los extremos, debe esperar una oscilación completa para empezar a contar las oscilaciones. 3. Repita la medición con diferentes números de tuercas (7 mediciones), manteniendo el mismo largo de la cuerda y el mismo ángulo inicial. II.PERÍODO EN FUNCIÓN DEL LARGO DE LA CUERDA. (MASAY ÁNGULO INICIAL CONSTANTES) 1. Haga oscilar el péndulo, desde una posición inicial de 10 con la vertical. Cuide que el movimiento de oscilación sea en un plano y no "cónico". 2. Mida el intervalo de tiempo que demora el recipiente en dar diez oscilaciones completas para un largo dado. Fíjese bien que: (a) una oscilación completa es el viaje de ida y vuelta a la posición inicial, y (b) si comienza a medir el tiempo, por ejemplo, cuando la esfera está en uno de los extremos, debe esperar una oscilación completa para empezar a contar las oscilaciones. 3. Repita la medición con diferentes valores del largo de la cuerda. Asegúrese de usar a los menos siete valores de largo. Asegúrese de incluir algún valor pequeño y uno bastante grande (2.8 [m]). ANÁLISIS DE LOS DATOS I. PERÍODO EN FUNCIÓN DE LA MASA. (LARGO Y ÁNGULO INICIAL CONSTANTES) Calcule cada período T, dividiendo por 10 el intervalo de tiempo correspondiente a diez oscilaciones. Haga un gráfico a mano en papel milimetrado del período en función del número de tuercas. Qué puede concluir, a partir de su gráfico, acerca de la relación entre el período y la masa? II. PERÍODO EN FUNCIÓN DEL LARGO DE LA CUERDA. (MASA Y ÁNGULO INICIAL CONSTANTES) 1. Mediante el programa Origin grafique los puntos experimentales, usando como variable independiente la distancia entre el punto de suspensión y el centro de la esfera (Largo), y como variable dependiente el período de las oscilaciones (Grafique el periodo de 1 oscilación, el cual corresponde a: T = T ). No trace ninguna recta todavía. 2. A partir del gráfico estime si es razonable suponer que la relación es lineal. Si la respuesta es afirmativa siga en el punto 3. Si es negativa pase al punto (Utilice el apéndice de Origin) Si usted estima que la relación es lineal, use las herramientas de Origin para hacer una regresión por el método de mínimos cuadrados. Calcule la pendiente, el intercepto, sus respectivos errores, y el coeficiente de correlación. Informe los resultados en la forma estándar. Represente la recta obtenida en el mismo gráfico de los puntos experimentales. 4

5 4. Use el valor obtenido para el coeficiente de correlación lineal, qué tan buena es la hipótesis de que la relación es lineal? Encuentre la relación funcional entre las variables. 5. Si usted estima que la relación no es lineal, construya una tabla de los logaritmos de los valores obtenidos. Haga un gráfico de log T en función de log l. A partir del gráfico, estime si esta relación es lineal. Si la respuesta es afirmativa, vuelva al punto 3 con estas nuevas variables. INFORME FINAL El Informe Final de la Experiencia se escribirá en colaboración entre los dos miembros del grupo y debe entregarse puntualmente dentro de los plazos establecidos. Para escribir el Informe siga las instrucciones de su ayudante. Para desarrollar su informe debe seguir la siguiente estructura: 1. Titulo. 2. Resumen: No más de 10 líneas. Escriba en este resumen solo los puntos más importantes: qué se hizo (Breve descripción del método experimental), cuáles fueron los resultados y conclusiones más importantes. 3. Mediciones: Informe de las mediciones, incluyendo tablas y/o gráficos si fuera necesario. 4. Cálculos realizados para el análisis y resultados obtenidos, al informar cantidades medidas o calculadas utilice el formato estándar valor ± error [unidad] 5. Conclusiones generales: evite construir una composición literaria acerca del tema. La mejor forma de concluir es respondiendo las preguntas implícitas en los objetivos de la experiencia. 5

6 APÉNDICES A. REGRESIÓN LINEAL POR EL MÉTODO GRÁFICO Suponga que en un experimento se han medido N pares de valores de las variables y (dependiente) y x (independiente). Si al representar estos datos experimentales en un gráfico, se observa que los puntos están más o menos a lo largo de una recta, se puede hacer la hipótesis de que la relación entre las variables es lineal, y puede representarse por la ecuación: y = a x + b, donde a y b son constantes que se desea determinar a partir de los datos. Los errores aleatorios presentes en toda medición pueden hacer que los puntos en el gráfico no estén perfectamente alineados. A pesar de esto, lo importante es detectar si el conjunto de datos tiene una tendencia a estar en una recta. Considere, por ejemplo, los dos gráficos siguientes: Es razonable suponer que el Gráfico 1 representa una relación lineal, porque la tendencia del conjunto de datos es la de estar en una recta. Las desviaciones de algunos puntos individuales con respecto a esta tendencia son aleatorias (al azar). No podemos decir lo mismo del Gráfico 2: si intentamos trazar una recta que represente al conjunto de puntos, observaremos que las desviaciones de los puntos con respecto a esa recta son sistemáticas: los puntos de los extremos quedarán por debajo de la recta, mientras que los del centro quedarán por encima de la recta. La hipótesis de que la relación es lineal no es buena para este caso. Una mejor hipótesis sería que los puntos del gráfico 2 están a lo largo de algún tipo de curva. En aquellos casos en que la relación es lineal (como los del Gráfico 1), se puede dibujar aproximadamente la recta que mejor representa al conjunto de puntos experimentales usando una regla transparente, y colocándola sobre el gráfico de modo que un número aproximadamente igual de puntos quede por sobre y por debajo del borde de la regla. No es necesario que la recta pase por algunos de los puntos experimentales, lo importante es que la recta represente la tendencia del conjunto de puntos. Una vez dibujada la recta es fácil obtener las constantes a y b, ya que corresponden, respectivamente, a la pendiente y al intercepto de la recta dibujada. La pendiente se determina eligiendo cualquier par de puntos de la recta dibujada (no un par de puntos experimentales), y calculando la razón Δ y/ Δ x. El intercepto es el valor de y cuando x = 0, es decir, donde la recta dibujada corta el eje y. Este método gráfico tiene la ventaja de ser simple y rápido de aplicar. Algunas desventajas de este método son las siguientes: a) dos personas podrían obtener valores diferentes para a y b, a partir de los mismos datos. 6

7 b) no es posible decir cuantitativamente qué tan buena es la hipótesis de que la función es lineal. c) no es posible estimar el error las constantes a y b. Por estas razones es necesario usar algún método más riguroso, que permita evitar estas desventajas. B. REGRESIÓN LINEAL POR EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS B.1 DE QUÉ SE TRATA Suponga que se han medido N pares de valores (x i, y i ), y que se formula la hipótesis de que la función y = f(x) es lineal, es decir, de la forma: y = a x + b donde a y b son valores que se desean determinar. Necesitamos un método que permita: 1. Indicar qué tan buena es la hipótesis de que la función y = f(x) es lineal. 2. Calcular los valores de las constantes a y b que mejor representan al conjunto de datos experimentales (x i, y i ). 3. Calcular el error de las constantes a y b obtenidas. Se define el error del punto i-ésimo, ε i como la diferencia entre el valor medido y i y el valor teórico dado por la ecuación de la recta y i,teórico = a x i + b: ε i = y i y i,teórico = y i (a x i + b) El método de los mínimos cuadrados, consiste en elegir los valores de a y b tales que la suma de los cuadrados de los errores: S = Suma de los (ε i ) 2 sea mínima. A partir de esta condición es posible encontrar el algoritmo descrito en la sección B.2, que permite calcular los valores más probables de a y b, los respectivos errores σ a y σ b, y una constante llamada coeficiente de regresión lineal r, que indica qué tan buena es la hipótesis de que la relación entre las variables es lineal. Las fórmulas de la sección siguiente se deducen considerando S como una función de a y b (consideradas a su vez como variables), derivando S con respecto a a y a b, y finalmente igualando estas derivadas a cero 7

8 B.2 El algoritmo B.3 SIGNIFICADO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL El coeficiente de correlación puede tomar valores entre 0 y 1 (para rectas de pendiente positiva). El valor r = 0 significa que las variables no están relacionadas entre sí, y por lo tanto, cualquier tendencia a estar en una recta es puramente por azar. Un valor r = 1, significaría que los puntos están todos exactamente sobre una recta, y por lo tanto hay 100% de certeza de que la función es lineal. En un experimento nunca obtendremos r = 0, porque siempre puede haber algún grado de correlación, simplemente por casualidad. Tampoco obtendremos r = 1 en un experimento porque, aunque la relación sea lineal, siempre habrá errores aleatorios en las mediciones. Dado un valor de r, la pregunta que debemos contestar es: qué probabilidad existe de obtener este valor de r, por pura casualidad? Esto puede contestarse con ayuda de la tabla siguiente, (adaptada de Young, H. Statistical 8

9 Treatment of Experimental Data, McGraw-Hill, 1962), que da la probabilidad de obtener un valor de r por puro azar, en un experimento con N pares de valores : N PROBABILIDAD 10% 5% 1% 0,1% 5 0,805 0,878 0,959 0, ,549 0,632 0,765 0, ,441 0,514 0,641 0, ,378 0,444 0,561 0,679 Por ejemplo, si hacemos un experimento con 10 pares de valores, existe un 10% de probabilidades de obtener un coeficiente de correlación mayor que 0,549 por puro azar. Si el coeficiente obtenido en el experimento fuera sólo 0,5 existiría más de un 10% de probabilidades de que la relación lineal fuera un producto del azar. La hipótesis no sería muy confiable. Por otra parte, existe sólo 0,1% de probabilidades de obtener r = 0, por azar. Si el coeficiente obtenido en el experimento fuera 0,9 la hipótesis sería muy confiable. En este caso podríamos decir que la hipótesis de que la relación es lineal es confiable en más de un 99,9%, ya que la probabilidad de que los puntos es- tuvieran por casualidad a lo largo de una recta sería menor que 0,1%. 9