Algunos resultados acerca de B-matrices.
|
|
- Eugenio Calderón Navarro
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Algunos resultados acerca de B-matrices. Manuel F. Abad 1, María T. Gassó 1, Juan R. Torregrosa. 1 1 Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia Valencia. s: maabrod@mat.upv.es, mgasso@mat.upv.es, jrtorre@mat.upv.es. Palabras clave: B-matriz, P -matriz, suma sub-directa, Hadamard, completación matriz parcial. Resumen En este trabajo presentamos algunos resultados en relación con las B-matrices, introducidas por J.M. Peña en [3], tales como nuevas propiedades, la suma sub-directa o la heredabilidad de este concepto con respecto al producto Hadamard. Generalizamos la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una DB-matriz es una matriz real de tamaño n n que satisface las mismas condiciones que una B-matriz para las filas, pero además también las satisface simultáneamente para las columnas. Presentamos caracterizaciones de este tipo de matrices, sus relaciones con otras clases conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias. Finalmente abordamos el problema de completación de B-matrices parciales. 1. Definiciones. En primer lugar, presentaremos las definiciones de algunos términos que utilizaremos a lo largo del trabajo. Definición 1.1 Una matriz real A = (a ij ), de tamaño n n, se dice que es diagonal dominante por filas (RDD) si a ii k i a ik i = 1,..., n. (1) Definición 1.2 Una matriz real A = (a ij ), de tamaño n n, se dice que es diagonal dominante por columnas (CDD) si a jj k j a kj j = 1,..., n. (2) 1
2 Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. Si en las dos definiciones previas las desigualdades son estrictas, hablaremos de matriz estrictamente diagonal dominante por filas (SRDD) y matriz estrictamente diagonal dominante por columnas (SCDD), respectivamente. Definición 1.3 El producto Hadamard (o producto componente a componente) de dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) de tamaño n n es A B = (a ij b ij ). 2. Algunos nuevos resultados sobre B-matrices. Definición 2.1 Una n n matriz real A = (a ij ) se dice que es una B-matriz si para todo i = 1, 2,..., n ( ) 1 a ik > 0 y a ik > a ij, j i. (3) n Estas matrices fueron introducidas por J.M. Peña en [3] donde, además de describir algunas de sus propiedades, presenta aplicaciones de las mismas en la localización de valores propios reales. Un ejemplo de B-matriz podría ser el siguiente. Ejemplo Es sencillo comprobar que el ejemplo anterior cumple las condiciones (3) Propiedades de las B-matrices A continuación presentamos una serie de propiedades de la clase de B-matrices. Algunas de ellas fueron ya obtenidas en [3], y otras son aportaciones nuestras a este trabajo. Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) B-matrices de tamaño n n, y sea α un número real positivo, entonces se cumple: 1. A es no singular con determinante positivo. 2. A es una P -matriz. 3. Los elementos de la diagonal de A cumplen a ii > máx{0, a ij j i}. (4) 4. La media de cada fila de A tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la fila y como límite superior el elemento de la fila perteneciente a la diagonal. 5. A + B es una B-matriz. 6. αa es una B-matriz. 2
3 Algunos resultados acerca de B-matrices. 7. El producto de B-matrices no es B-matriz, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.2 Sean las B-matrices ,1 5 0 y B = 0, el producto de ambas es AB = 29 50,5 74,5 10,1 15,05 10,05 20,1 45,05 80,05 que claramente no es B-matriz. 8. La matriz transpuesta de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.3 La transpuesta de la matriz es A T = que claramente no es B-matriz La inversa de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.4 La inversa de la B-matriz no es B-matriz. 10. Todas las submatrices principales de A son B-matrices. 11. Si A es simétrica, entonces es definida positiva. 12. Sea A una Z-matriz, entonces son equivalentes: (i) A es B-matriz. (ii) La suma de cada fila de A es positiva. (iii) A es SRDD con entradas de la diagonal positivas. De esta propiedad se deduce que A es B-matriz y Z-matriz simultáneamente si y sólo si A es M-matriz. 3
4 Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. 13. Sea A una Z-matriz. Como hemos visto en el punto anterior, si además es B-matriz implica que es M-matriz. Pero si A es M-matriz no tiene por qué ser B-matriz, como podemos ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.5 La matriz es M-matriz, pero no es B-matriz. 1 0,5 0,2 0,5 1 0,5 0,5 0, Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DA es B-matriz. 15. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DAD 1 no es necesariamente B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.6 Sea la B-matriz y sea la matriz diagonal positiva D = Es sencillo comprobar que DAD 1 no es una B-matriz. 16. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una B-matriz Suma sub-directa de B-matrices La suma sub-directa de matrices fue introducida por Johnson y Fallat en [1], recordemos en primer lugar el concepto: Sean A, B matrices cuadradas de tamaño n 1 y n 2, respectivamente, y sea k un entero tal que 1 k mín{n 1, n 2 }. Supongamos que A y B están particionadas de la siguiente manera ( ) ( ) A11 A A = 12 B11 B, B = 12, A 21 A 22 B 21 B 22 donde A 22 y B 11 son matrices cuadradas de tamaño k k. Entonces, la suma sub-directa de orden k de A y B, expresada por C=A k B, es la matriz de tamaño n 1 + n 2 k: A 11 A 12 0 C = A 21 A 22 + B 11 B 12 0 B 21 B 22 Presentamos nuestro resultado principal acerca de la suma sub-directa de B-matrices. Teorema 2.1 Sean A y B B-matrices de tamaño n 1 y n 2 respectivamente, particionadas del modo mencionado anteriormente, y sea C = A k B, con 1 k mín{n 1, n 2 }, la suma sub-directa de orden k de A y B. Entonces C es una B-matriz. 4
5 Algunos resultados acerca de B-matrices Producto Hadamard de B-Matrices. En esta sección presentamos algunos resultados sobre el producto Hadamard de B- matrices. Teorema 2.2 Sean A y B B-matrices de tamaño n n. Entonces el producto Hadamard A B es una B-matriz. Teorema 2.3 Sea A una B-matriz de tamaño n n. Entonces el producto Hadamard A A 1 es una B-matriz. En general, el producto Hadamard de una B-matriz por la inversa de otra B-matriz distinta no es una B-matriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.7 Sean las B-matrices B = Es sencillo comprobar que el producto Hadamard A B 1 no es una B-matriz. 3. DB-matrices. Generalizamos la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una DB-matriz es una matriz real de tamaño n n que satisface las condiciones (3) no sólo para las filas sino también para las columnas. Presentamos caracterizaciones de este tipo de matrices, sus relaciones con otras clases conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias Caracterización de las DB-matrices Definición 3.1 Una n n matriz real A = (a ij ) se dice que es una DB-matriz si para todo i = 1, 2,..., n ( ) 1 a ik > 0 y a ik > a ij, j i. (5) n y, simultáneamente, para todo j = 1, 2,..., n ( ) 1 a kj > 0 y a kj > a ij, j i. (6) n Un ejemplo de esta clase de matrices sería el siguiente: Ejemplo ,5 0,4 0,3 2 0,1 0,2 0,2 1 Es sencillo comprobar que la matriz A satisface las condiciones (5) y (6). 5
6 Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. Obviamente, toda DB-matriz es B-matriz, pero el recíproco no es cierto, como se puede comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.2 La matriz es una B-matriz pero no una DB-matriz Propiedades de las DB-matrices Enumeramos a continuación algunas propiedades hereditarias de las DB-matrices. Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) DB-matrices de tamaño n n, y sea α un número real positivo, entonces se cumple: 1. A + B es DB-matriz. 2. αa es DB-matriz. 3. El producto de DB-matrices no es DB-matriz. Ejemplo 3.3 La matriz resultante de multiplicar por sí misma la matriz del ejemplo 3.1 no es DB-matriz. 4. A T es DB-matriz. 5. La inversa de A es DB-matriz. Además, si todas las entradas de A son positivas, la inversa de A es M-matriz. 6. A es B-matriz y, en consecuencia, P -matriz. 7. A es no singular y su determinante es positivo. 8. Las submatrices principales de A son DB-matrices. 9. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DA es una DBmatriz. 10. Sea D = diag(d 1,..., d n ), d i > 0 para i = 1,..., n., entonces DAD 1 no es necesariamente una DB-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.4 Sea la DB-matriz del ejemplo 3.2, y sea la matriz diagonal positiva 0,1 0 0 D = Es sencillo comprobar que DAD 1 no es una DB-matriz. 11. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una DB-matriz. 6
7 Algunos resultados acerca de B-matrices. 12. Se cumple lo siguiente para los elementos de la diagonal de una DB-matriz: a ii > máx{0, a ij j i} a jj > máx{0, a ij j i} (7) 13. Cada media de cada fila tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la fila y como límite superior el elemento de la fila perteneciente a la diagonal. Cada media de cada columna tiene como límite inferior cualquier elemento de fuera de la diagonal de la columna y como límite superior el elemento de la columna perteneciente a la diagonal. Además de las propiedades anteriores, se obtienen las que presentamos a continuación. Proposición 3.1 Sea A una DB-matriz simétrica. Entonces A es definida positiva. Proposición 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces, son equivalentes: (i) A es una DB-matriz. (ii) La suma de las filas de A y la suma de las columnas de A es positiva. (iii) A es SRDD y SCDD con entradas positivas en la diagonal. Corolario 3.1 Sea A una DB-matriz. Entonces A es Z-matriz si y sólo si es M-matriz. Corolario 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces A es DB-matriz si y sólo si A es B-matriz. Teorema 3.1 Sean A y B DB-matrices de tamaño n 1 y n 2 respectivamente, particionadas como en el teorema 2.1, y sea C = A k B, con 1 k mín{n 1, n 2 }, la suma sub-directa de orden k de A y B. Entonces C es una DB-matriz. 4. Completacíón de B-matrices parciales. En esta última sección abordamos el problema de completación de B-matrices parciales. Una matriz parcial es una matriz en la cual algunas de sus entradas son especificadas y otras no. Cuando se le asignan valores a las entradas no especificadas, la matriz resultante recibe el nombre de completación de la matriz parcial. En un problema de completación nos planteamos bajo qué condiciones podemos obtener una completación de una matriz parcial con algunas propiedades preestablecidas. Una matriz parcial decimos que es una B-matriz parcial si cualquier submatriz completamente especificada es una B-matriz. Estudiamos en este trabajo bajo qué condiciones una B-matriz parcial admite una completación B-matriz. Partiendo de la heredabilidad del concepto de B-matriz por diagonales positivas podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que los elementos de la diagonal de las B-matrices parciales están especificados y son unos. Estudiamos, en primer lugar, el caso no posicionalmente simétrico, esto es, aquél en el que las incógnitas aparecen en posiciones no simétricas de la matriz parcial. Comenzamos con B-matrices parciales 3 3 donde sólo existe un elemento no especificado. Sea la B-matriz parcial 7
8 Manuel F. Abad, María T. Gassó, Juan R. Torregrosa. 1 a 12 x a 21 1 a 23 a 31 a 32 1 Esta matriz admite completación B-matriz siempre que 1 a 12 < x < 1 + a 12, a 12 ] 1, 1[. 2 Para órdenes mayores de la B-matriz parcial, en general no existe completación B- matriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.1 La B-matriz parcial de tamaño 4 4 A = 1 a 12 x a 14 a 21 1 a 23 a 24 a 31 a 32 1 a 34 a 41 y a 43 1 no admite completación B-matriz para ninguna combinación de valores de x e y. En cuanto al caso posicionalmente simétrico (incógnitas en posiciones simétricas de la matriz parcial), en general la respuesta al problema es negativa, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.2 La B-matriz parcial A = no admite completación B-matriz. 1 0,8 x 0,7 0,2 1 0,4 y z 0,1 1 0,2 0,1 t 0,3 1 Sin embargo, podemos demostrar el siguiente resultado. Teorema 4.1 Sea A una B-matriz parcial, posicionalmente simétrica, de tamaño 3 3 con diagonal especificada. Entonces A admite completación B-matriz. Estamos trabajando para establecer condiciones bajo las cuales una B-matriz parcial, posicionalmente simétrica, de tamaño n n, n > 4, admite una completación B-matriz. Referencias [1] S. Fallat, C. Johnson, Sub-direct sums and positivity classes of matrices. Linear Algebra and its Applications, 288 (1999), [2] C. Johnson. A Hadamard Product involving M-matrices. Linear and Multilinear Álgebra 1977, Vol.4, pp [3] J. M. Peña, A class of P-Matrices with applications to the localization of the eigenvalues of a real matrix, Siam J. Matrix Anal. Appl. Vol. 22, No. 4, pp ,
Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesMAT web:
Clase No. 7: MAT 251 Matrices definidas positivas Matrices simétricas Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesMatrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesDefinición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.
UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesTema 4: Matrices y Determinantes. Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes. Álgebra Lineal. Curso
Tema 4: Matrices y Determinantes Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes Álgebra Lineal Curso 2004-2005 Prof. Manu Vega Índice 1. Determinantes 3 2. Regla de Sarrus 3 3. Propiedades de los determinantes
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República
ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto
Más detallesTraza de una Matriz Cuadrada
Traza de una Matriz Cuadrada Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008 Índice 7.1. Definiciones y propiedades básicas.................................. 1 7.2. La traza de un producto........................................
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesMatrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1
Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesUna matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..
Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesCapítulo 1: Diagonalización de matrices
Capítulo : Diagonalización de matrices Matrices y determinantes Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a a a m a A a a m a n a n a nm La matriz es de orden n m si consta de n
Más detallesTema I. Matrices y determinantes
Tema I. Matrices y determinantes 2007 Carmen Moreno Valencia 1. Matrices sobre un cuerpo 2. Operaciones con matrices 3. Determinante de una matriz cuadrada 4. Menor complementario y adjunto 5. Cálculo
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesTema 11.- Autovalores y Autovectores.
Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica
Más detallesProducto de matrices triangulares superiores
Producto de matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior Deducir una fórmula para las entradas
Más detallesMatemá'cas generales
Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detalles!MATRICES INVERTIBLES
Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar
Más detallesDeterminantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Más detallesMétodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Problemas para examen Si en algún problema se pide calcular el número de flops (operaciones aritméticas con punto flotante), entonces en el
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detallesUNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
III 1 / 8 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 5 y 7 de mayo de 2009. Temas : Matriz transpuesta. Matriz simétrica. Determinantes; propiedades de los determinantes. Matriz adjunta de
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesAlgebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa.
Algebra Lineal XIX: Rango de una Matriz y Matriz Inversa José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email:
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesTema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesDeterminante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Más detallesResumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente
Más detallesAlgebra Lineal XXI: Existencia de la Función Determinante, Expansión de Cofactores.
Algebra Lineal XXI: Existencia de la Función Determinante, Expansión de Cofactores. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesTEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesEjercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas
Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas En los ejercicios 1, 2, 8 y 9 se utilizará que si G = {g 1,...,g n } es un conjunto finito y * una operación interna definida en G, podemos utilizar
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesTema 2.- Formas Cuadráticas.
Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas
Más detallesAlgunos resultados sobre B-matrices y matrices con inversa positiva.
Algunos resultados sobre B-matrices y matrices con inversa positiva. Memoria que presenta para optar al título de Doctor en Matemáticas Manuel Francisco Abad Rodríguez Dirigida por los doctores Juan Ramón
Más detalles4.1. Determinante de una matriz cuadrada de orden 2. , entonces el determinante de A es a 21 a 22 a 11 a 12 = a 11a 22 a 12 a 21
Capítulo 4 Determinante Los determinantes se calculan para matrices cuadradas. Se usan para saber cuando una matriz tiene inversa, en el cálculo de autovalores y también para resolver sistemas de ecuaciones
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden
Más detalles1. dejar a una lado de la igualdad la expresión que contenga una raíz.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones reales: Solución x 1 + x = 0 ; 3 x = 3 ; ln(x 1) + 4 = ln 3 Ecuaciones con raíces: No todas las ecuaciones de este tipo son sencillas de resolver, pero podemos intentar
Más detallesMatriz inversa generalizada y descomposición del valor singular
Matriz inversa generalizada y descomposición del valor singular Divulgación Fernando Velasco Luna y Jesús Hernández Suárez Laboratorio de Investigación y Asesoría Estadística, Facultad de Estadística e
Más detallesResumen de Teoría de Matrices
Resumen de Teoría de Matrices Rubén Alexis Sáez Morcillo Ana Isabel Martínez Domínguez 1 de Octubre de 2004 1. Matrices. Generalidades. Definición 1.1. Se llama matriz de orden m n sobre un cuerpo K a
Más detallesAutovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas
Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas Autovalores y autovectores.propiedades Sea V un espacio vectorial sobre K y f End(V ). Fijada una base de V, existirá una matriz cuadrada A,
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detallesAlgebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer.
Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesMétodo de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas. (Parte II)
Método de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas (Parte II) Métodos numéricos para sistemas lineales Solución numérica de EDPs requiere resolver sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos
Cálculo Coordinación de Matemática I MAT021 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo Contenidos Clase 1: La Ecuación Cuadrática. Inecuaciones de grado 2, con y sin valor absoluto. Clase
Más detalles3. Método de cálculo.
Método de cálculo 7. Método de cálculo. Como método de cálculo vamos a seguir el método de los desplazamientos, en el que las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura. Y para estudiar
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMatrices y Determinantes
Tema 2 Matrices y Determinantes 21 Introducción Presentaremos en este tema las matrices y los determinantes, centrándonos en particualar en el caso de matrices constituidas por números reales 22 Matrices
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A.
ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; A = A. 2. La inversa de A 1 es A; A 1 1 = A. 3. AB = B A. 4. Las matrices A A y AA son simétricas. 5. AB 1 = B 1 A 1, si A y B son no singulares. 6. Los escalares
Más detallesCurso: Álgebra. 1.- Determine el valor de la determinante
1.- Determine el valor de la determinante 5.- Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) Sea P una matriz no singular entonces A) B) C) D) 2.-Determine el valor de verdad de las siguientes
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detalles2 = 1 0,5 + = 0,5 c) 3 + = = 2
Trabajo Práctico N : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando cuando sea posible: i) Método matricial. ii) Regla de Cramer. Interprete
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas
Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detallesMatrices y sistemas lineales
15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números
Más detalles2 - Matrices y Determinantes
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1
Más detallesUniversidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias. Física Computacional CC063. Algebra Lineal. Prof: J. Solano 2012-I
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Física Computacional CC063 Algebra Lineal Prof: J. Solano 2012-I Introduccion Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion
Más detallesMATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que
Más detallesTema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Más detalles