Geodesia Satelital. II semestre, Ing. José Francisco Valverde Calderón Sitio web:

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1 Geodesia Satelital II semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Sitio web:

2 Capítulo II Órbitas Normales 2.1 Ecuaciones de movimiento y leyes de Kepler. 2.2 Geometría de la órbita elíptica. 2.3 La órbita en el espacio. 2.4 Predicción de órbitas.

3 Cabecera de un archivo RINEX, Observación

4 Cabecera de un archivo RINEX, Observación

5 Estructura de una archivo RINEX, Nav GPS

6 Estructura de una archivo RINEX, Nav GLONASS

7 Estructura de una archivo de efemérides precisas

8 Técnicas geodésicas que requieren del conocimiento de órbitas precisas: GNSS SLR DORIS Altimetría Satelital Misiones satelitales para estudiar y modelar el campo de gravedad

9 Satellite/Lunar Laser Ranging

10 Órbitas Tipo: Heliocéntrica (alrededor del Sol) Geocéntrica Lunar (órbita de la Luna alrededor de la Tierra) Clasificación para orbitas geocéntricas: LEO (baja) MEO (media) GEO (geoestacionaria) Inclinación Polar (i = 90 ) Ecuatorial (i = 0 ) Otras Sincronización Geosincrónicas Sincrónicas al Sol

11 Órbitas LEO = Low Earth Orbit Órbitas baratas con periodos menores o iguales a 225 minutos. Altura de la órbita menor o igual a 1000 km. Órbitas de inclinación baja (no realmente definidas, pero i por debajo de los 60 ). Algunos con órbitas polares (teledetección). Algunas son sincrónicas al sol (teledetección). MEO = Medium Earth Orbit Órbitas con periodos de varias horas, comúnmente dos periodos por día. Altura de la órbita mayor a las LEO pero menor a las GEO. Órbitas de inclinación baja. Mayor cobertura. Usadas comúnmente para sistemas de navegación global (GPS, GLONASS, GALILEO).

12 Órbitas GEO = Geostatationary Earth Orbit El periodo del satélite es igual que el de la Tierra (T sat = T ear ). El satélite se mueve de forma sincrónica con la Tierra (órbita geosincrónico). Órbitas ecuatoriales (geoestacionaria) La altura de la órbita requerida para cumplir la condición es de km. Órbita usada para telecomunicaciones y meteorología, debido a que ofrecen un campo de visión muy amplio. Amplia resolución temporal. Baja resolución espacial. Por el tipo de órbita, el satélite permanece en un punto fijo. Órbita costosa. Inconveniente con el mantenimiento de los satélites.

13 Órbitas Órbitas sincrónicas al Sol Órbitas generalmente circulares y polares. Estas órbitas sólo son posibles entre 300 y 1500 Km de altura. La órbita se diseña de forma que el satélite pasa siempre sobre el mismo punto a la misma hora local. Posibilita estudios multitemporales. La gran ventaja de esta órbita es la factibilidad económica y tecnológica de poner un sistema de órbita baja y alta resolución espacial. El principal inconveniente de este tipo de orbitas es la baja resolución temporal de las mismas.

14 Ground Track

15 Fundamentos de la mecánica celeste En la mecánica celeste se trata con el movimiento de cuerpos celestes. La forma mas sencilla de estudiar este tema es bajo el denominado Problema de los dos cuerpos : Dado en cualquier tiempo (t 1 ) la posición y velocidad de dos partículas (cuerpos) de masa conocida, moviéndose mutuamente influenciados por sus campos gravitacionales, calcular su posición y velocidad en cualquier otro tiempo (t 2 ). En el caso de un sistema Tierra satélite, la masa del cuerpo pequeño (satélite) es despreciable. Asumiendo que los cuerpos son homogéneos y su campo gravitacional es el generado por una masa puntual, el problema de los dos cuerpos se puede resolver empíricamente con las leyes de Kepler. La solución analítica se deriva de las leyes de la mecánica Newtoniana.

16 Fundamentos de la mecánica celeste Origen de la mecánica clásica en 1687, con la publicación del libro Principia ley de la gravitación universal y las leyes del movimiento. Johannes Kepler, usando las observaciones efectuadas por Tycho Brahe, enunció una terna de leyes Leyes de Kepler. Estas proveen una muy buena aproximación al movimiento real de los planetas dentro del sistema solar la masa de los planetas es despreciable en relación con la masa del Sol. Pero las leyes de Kepler describen el movimiento planetario, pero no lo explican. El movimiento gravitacional no-perturbado se llama Movimiento Kepleriano. Se llama órbita normal a la órbita teórica de un cuerpo celeste o un satélite esta libre de la influencia de las fuerzas perturbantes. También se les llama órbitas keplerianas.

17 Fundamentos de la mecánica celeste Nótese que cuando los cuerpos se acercan, aumenta su velocidad.

18 Vectores unitarios: i Algunos conceptos matemáticos 1,0,0 j 0,1,0 k Un vector arbitrario A se puede describir por tres números (A x, A y, A z ), que corresponde con las longitudes de las proyecciones de los componentes del vector sobre los vectores unitarios: 0,0,1 A A i j A k A i 2 j 3k x A y z El modulo o longitud del vector se puede determinar a partir del teorema de Pitágoras: A A A A A x y z

19 Cosenos directores: se llama coseno director del vector A a los cosenos de los ángulos que forma con cada uno de los ejes coordenados: z cos Algunos conceptos matemáticos A x A cos cos A y A A z A x y

20 Suma (resta) de los componentes de dos vectores: Sean A y B dos vectores, el valor de la suma de sus componentes se calcula de la siguiente forma: A A i j A k x Algunos conceptos matemáticos A y z B B i j B k C C i C j C k A B i A B j A B k Ejemplo: x B y x y z x x y y z z A 3i 5 j 6k B 2i 3 j 1k z A B 5i 2 j 5k A B i 8 j 7k

21 También conocido como producto escalar. Definición: Sea u y v dos vectores u u, u, u Producto Punto, v, v El producto punto de a y b se define como el número ab dado por: v u v u v u v El producto punto es un número real, no un vector. Angulo entre dos vectores: v u v cos u v u v Producto punto Producto de los módulos

22 Producto Cruz También conocido como producto vectorial. Definición: Sea u y v dos vectores u u, u, u v v, v, v el producto cruz de u y v se define como el vector uxv dado por: u v u v u v, u v u v, u v u v Recordando como calcular un determinante de orden 3: a a a b b b b b b c c 2 c c 3 c c b b b a a a c c c

23 Producto Cruz Considerando en la expresión anterior los vectores unitarios i, j, k y los componentes de los vectores u, v se tiene: u u u u u v i j v v v v Por lo se puede expresar el producto cruz de la siguiente forma: u v 1 u v 2 k u v u v i j k 1 1 u 2 v 2 u v 3 3 Producto cruz y producto punto en Matlab

24 Producto Cruz El vector producto a x b es un vector que es ortogonal a los vectores a y b. Geométricamente, se define el producto cruz como el área del paralelogramo definido por a y b. Si dos vectores son paralelos, su producto cruz es 0.

25 Momento angular y su conservación Momento de fuerza o momento dinámico: producto del vector posición por la fuerza aplicada. M r F Cantidad de movimiento (momento lineal o ímpetu): producto de la masa por su velocidad (desde el punto de vista de la mecánica clásica) p mv Momento angular o momento cinético: es el momento de la cantidad de movimiento con respecto al punto considerado. Otra definición: es el producto vectorial del vector posición por el vector momento lineal. L r p p mv L L es perpendicular al plano que contiene los vectores r y v. r mv

26 Momento angular y su conservación Leyes de conservación en la física: Conservación de la energía: la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma. Conservación de la cantidad de movimiento si sobre un sistema de partículas no actúan fuerzas externas, la cantidad del movimiento se conserva. Conservación del momento cinético o momento angular: si el momento de las fuerzas exteriores es cero, el momento angular total se conserva. L r mv

27 Momento angular y su conservación El satélite barre un área igual a A mientras de mueve desde la posición en r(t) hasta la posición r(t+t) r t t r t A rt

28 Momento angular y su conservación r r El área (A) del paralelogramo formado por dos vectores es el producto cruz de los dos vectores rr r A

29 Momento angular y su conservación A 1 2 r r r t t A r t rt

30 Momento angular y su conservación Si se reduce el intervalo de tiempo t r tt A r t rt

31 Momento angular y su conservación A t 1 2 r r t rt r t rt

32 Momento angular y su conservación Haciendo que t tienda a 0, el valor r se convierte en una derivada: dr dt rt

33 Momento angular y su conservación Haciendo que t tienda a 0, el valor r se convierte en una derivada: da dt 1 2 r v kte v rt

34 Resumen A 1 2 r r (1) A 1 r t 2 r t da dt (2) 1 2 r dr dt (3) dr dt v (4) da 1 dt 2 r v (5)

35 Momento angular y su conservación La conservación de la cantidad de movimiento es derivada de las leyes de Newton: fuerza es igual al ritmo de cambio de la cantidad de movimiento. Si no hay fuerzas externas, la cantidad de movimiento es constante. Cuando hay un movimiento angular, se produce un fenómeno extraño, ya que incluso si se está aplicando a un cuerpo una fuerza, algo puede todavía ser 0. algo es igual a 0, pero no es la fuerza, sino que es el momento de la fuerza.

36 Momento angular y su conservación r x F es perpendicular al plano que contiene a r y F r F F r

37 Momento angular y su conservación F r F r

38 Momento angular y su conservación r F 0 F r El producto cruz de dos vectores paralelos es igual a 0

39 Momento angular y su conservación Si F = 0, se conserva la cantidad de movimiento. p = cantidad de movimiento = constante Cuando r x F = 0 alguna otra cosa se conserva. De que es derivada r x F? L r v (6) d L r F (7) dt

40 Momento angular y su conservación d r v d r v r d dt dt dt v (8) d r d v v v r v (9) dt 0 dt d dt r v r d dt v (10)

41 Momento angular y su conservación d dt v a d (11) r v dt (12) r a Multiplicando por la masa m: d dt v a F ma r m r m, (13)

42 Momento angular y su conservación d L r F dt d r mv r F dt

43 Momento angular y su conservación L r mv (15) Se conserva la magnitud L d dt L 0 (16) L kte (17) r F (18) Momento de fuerza L r mv (19) Momento cinético o momento angular

44 Momento angular y su conservación L r mv kte F r v r F 0

45 da dt 1 2 r Momento angular y su conservación v kte L r mv F r v

46 Momento angular y su conservación De acuerdo con la ley de la inercia, un cuerpo con movimiento rectilíneo continuará de esa forma hasta que se le aplique una fuerza. Para que L se mantenga constante, a medida que disminuye el radio, la velocidad se debe incrementar. Esto es un concepto equivalente a la segunda ley de Kepler.

47 Leyes de Kepler Las leyes de Kepler describen el movimiento planetario alrededor del Sol. Consideran el sistema solar como un sistema homogéneo y puntual. Sin embargo, para el movimiento de un satélite alrededor de la Tierra proveen solo una aproximación. Johannes Kepler Diciembre 27, 1571 Noviembre 15, 1630 La primera y segunda ley de Kepler fue publicada en 1609 La tercera ley de Kepler fue publicada en 1619

48 LAS ÓRBITAS DE LOS PLANETAS SON ELIPSES, CON EL SOL EN UNO DE SUS FOCOS Esta ley describe la forma de la órbita l l 2a 1 2 a b x a b a e 2 a 1 e r ae 1 e cos x 1 Ley de Kepler 2 = anomalía verdadera

49 1 Ley de Kepler a = semieje mayor de la elipse b = semieje menor de la elipse e = excentricidad M = Centro de la elipse r = distancia del cuerpo con masa m al Sol = anomalía verdadera A = línea de ápsides p = parámetro del elipsoide = ángulo excéntrico O = Sol (foco) A a b M ae a y O r m x El movimiento orbital está referido a un plano. Este plano se usa para la definición de un sistema coordenado, donde O es el origen. El punto m se puede localizar mediante coordenadas polares: r,, esto cuando la línea A es seleccionado como uno de los ejes.

50 1 Ley de Kepler Con base a las propiedades matemáticas de la elipse, se tiene la ecuación para una curva elíptica: 2 2 p b b p p r ; p ; e 1 ; a ; b 1 ecos a a 1 e 1 e Forma matemática de la 1 Ley de Kepler El producto ae es la excentricidad lineal y da la distancia desde el foco hasta el centro de la elipse. Si e=0, a = b = p Con base al parámetro, llamado ángulo excéntrico, se puede formular las siguientes relaciones: e sin p a cos 2 1 e cos b a cos p sec 2

51 1 Ley de Kepler Perigeo A Apogeo Línea de ápsides Cuando O es el centro de masas del sistema solar, A es el Apocentro y es el Pericentro Cuando O es el centro del Sol, A es el Afelio y es el Perihelio Cuando O es el centro de la Tierra, A es Apogeo y es el Perigeo

52 1 Ley de Kepler

53 1 Ley de Kepler

54 2 Ley de Kepler EL RADIO VECTOR DESDE EL SOL A CUALQUIER PLANETA BARRE ÁREAS IGUALES EN TIEMPO IGUALES r + r p' O r p F Esta es llamada la Ley de la Áreas. Con esta se describe la velocidad de un planeta en su órbita. Mediante esta se puede localizar un planeta como una función en el tiempo por medio de las coordenadas polares (r, ).

55 2 Ley de Kepler p' F De la figura se plantea la siguiente relación: 1 F r 2 2 r + r r p Esta relación es valida para el triangulo infinitesimal Opp. De acuerdo con la segunda ley, el área F barrida por r es proporcional al correspondiente intervalo t: r 2 ct O Donde c es una constante

56 2 Ley de Kepler Es términos de relaciones diferenciales (recordar que es un triangulo diferencial), se tiene la siguiente expresión: r 2 dv dt c Que significa esta expresión? Esta expresión es la formulación matemática de la segunda ley de Kepler (ley de las áreas). Como dato histórico, Kepler la encontró antes que su primera ley De la figura de la geometría de la elipse: 2 2 x r cos y r sin r x y tan y x

57 2 Ley de Kepler

58 3 Ley de Kepler EL CUBO DEL SEMIEJE MAYOR DE LA ÓRBITA ES PROPORCIONAL AL CUADRADO DEL PERIODO DE REVOLUCIÓN Esta ley indica que para los diferentes planetas P i con periodo de revolución U i, permite definir el movimiento medio n: n i Y considerando el semieje mayor de la órbita: a U 2 U 3 C 2 i i i

59 3 Ley de Kepler Donde C es la constante planetaria (valida para el sistema planetario). Combinando la dos relaciones anteriores: Una expresión mas general es la siguiente: a U 3 2 C 2 i i a n 3 2 k 2 2 ( M m 4 ) Esta ley fue determinada por Kepler de forma empírica, porque se aproxima muy bien al movimiento de los grandes planetas. Para lo satélites jovianos, el valor de C 2 es distinto Donde k es la constante de gravitación universal y M, m son las masas de los dos cuerpos considerados. Con esta expresión se pueden conocer las masas de los cuerpos. Como conclusión las leyes de Kepler describe de forma simplista el movimiento de los cuerpos celestes bajo la consideración de que no existen influencias de fuerzas perturbantes.

60 Mecánica Newtoniana aplicada al problema de los dos cuerpos Se recuerda que se asume que las masas de los cuerpos son puntuales y que los cuerpos son de masa homogénea. Por ello, para el estudio de satélites artificiales estas consideraciones son solo aproximaciones. Por ello, la órbita kepleriana se considera como una aproximación de la órbita verdadera. Se usan las leyes de la mecánica de Newton para escribir de otra manera las leyes de Kepler. Las tres leyes del movimiento de Newton son: 1. Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento lineal uniforme mientras no influyan sobre el fuerzas externas. 2. El cambio en la energía de movimiento de un cuerpo (momentun) es proporcional a la fuerza que se aplica y es en la misma dirección en la cual la fuerza actúa. 3. A toda acción se le opone una reacción de igual magnitud y de dirección contraria.

61 Mecánica Newtoniana aplicada al problema de los dos cuerpos La 2 ley se expresa matemáticamente de la siguiente forma: F m r Donde F es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la masa m y r es la aceleración de la masa, en un marco de referencia inercial. Además, Newton formuló la Ley de la Gravitación Universal, que expresa: Cada partícula en el Universo atrae cada otra partícula de materia con una fuerza directamente proporcional a producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos F Mm G r 2 G m Kg s

62 Mecánica Newtoniana aplicada al problema de los dos cuerpos El problema que se presenta ahora es determinar r. Para ello se plantea la siguiente fórmula general: r 2 d r ( M m) G dt 2 r 3 r Asumiendo que la masa del satélite m es despreciable en relación con la masa de la Tierra, por lo que reescribimos la ecuación anterior como: r G M r 3 r Siendo r el vector posición geocéntrico del satélite artificial La ecuación anterior se resuelve al integrar la ecuación diferencial de segundo orden, con seis constantes de integración. Por lo tanto, el movimiento de un cuerpo celeste alrededor de un cuerpo central, gobernado por la gravitación mutua, tiene seis parámetros independientes. Estos seis elementos son los PARAMETROS KEPLERIANOS, los cuales son los parámetros que definen la órbita del cuerpo o del satélite.

63 Mecánica Newtoniana aplicada al problema de los dos cuerpos La fórmula que describe la ecuación básica del movimiento de un satélite fue obtenida bajo las siguientes consideraciones: Solo fuerzas gravitacionales están presentes Las masa del satélite puede ser despreciada La masa del cuerpo central puede ser considerada una masa puntual Como es de esperarse, esto no ocurre en la realidad Aparte de fuerzas gravitacionales, actúan otras fuerzas La masa del cuerpo central (la Tierra para los efectos del curso) no es homogénea ni la Tierra es esférica, por no que no se puede considerar que es una masa puntual Consecuencias: la órbita kepleriana es solo una aproximación a la órbita real. El modelado de las fuerzas que afectan la órbita, se estudia en el capítulo 3

64 Plano orbital en el sistema geocéntrico inercial Plano orbital Tomado de: Ostini, 2013 Perigeo Ecuador Nodo ascendente

65 2.2 Geometría de la órbita elíptica a = semieje mayor de la órbita. e = excentricidad de la órbita. i = inclinación de la órbita. = ascensión recta del nodo ascendente. = argumento del perigeo. = anomalía verdadera: indica la posición instantánea del satélite dentro de la órbita. r(t) = radio de la órbita para la posición considerada. To = Época de paso por el perigeo u(t) = argumento de la latitud

66 i = inclinación de la órbita. = ascensión recta del nodo ascendente. = argumento del perigeo. u(t) = argumento de la latitud = anomalía verdadera: indica la posición instantánea del satélite dentro de la órbita. a = semieje mayor de la órbita. e = excentricidad de la órbita. Nodo: intersección de la Eclíptica con el Ecuador

67 2.2 Geometría de la órbita elíptica y v b satélite apogeo a ae E r geocentro perigeo x

68 2.2 Geometría de la órbita elíptica Argumento de la latitud: ángulo usado para orbitar circulares y cuasi- circulares, en la cuales el apogeo no esta ampliamente definido (u = + ). Anomalías: Debido a que la anomalía verdadera no es constante en el tiempo (consecuencia de la segunda ley de Kepler), este definió dos anomalías mas: M = anomalía media. E = anomalía excéntrica. M t nt t 0 M t E t esin E t 1 e cos t cos E 1 ecos E

69 2.2 Geometría de la órbita elíptica Otros parámetros keplerianos: = + Longitud del perigeo, u = + Argumento de la latitud, l = + + = + = + u = longitud verdadera.

70 2.3 La órbita en el espacio Parámetros que describen la órbita a, e = forma y tamaño de la órbita, i = orientación de la órbita en el espacio, = posición del satélite dentro de la órbita Otra clasificación a, e, i = elementos keplerianos métricos,,,, = elementos keplerianos angulares Por la inclinación de la orbita i = 0 = ecuatorial I < 90 = prograda I = 90 = polar I > 90 retrograda La inclinación de la orbita determina la latitud máxima y mínima que se puede obtener en un ground-track

71 2.3 La órbita en el espacio Ground track de una órbita

72 2.3 La órbita en el espacio sky plot en un marco topocéntrico Órbita en el espacio 3D

73 2.3 La órbita en el espacio p a 1 e 2 r p p 1 ecos 1 ecosu T 2 GM a 3/2 n 2 T 2 3 n a GM v GM r a Las tres anomalías (E, M, son cero cuando el satélite pasa por el perigeo. r a 1 ecos E nt t 0 E esin E tan 2 1 e sin cos E E e

74 2.3 La órbita en el espacio En geodesia satelital la anomalía media M es usualmente dada, debido a que puede ser interpolada linealmente en el tiempo. Para excentricidades pequeñas, se puede usar la iteración: E0 M Ei M esin Ei i

75 2.3 La órbita en el espacio 2 1 v 2 GM r a La velocidad de un satélite depende únicamente de a de la órbita y de la distancia al cuerpo central. Es totalmente independiente de e. 2 v E M 2 GM r El primer término del lado derecho es la energía cinética del satélite con masa unitaria (m=1). El segundo término es la energía potencial La energía mecánica total del movimiento de un satélite es constante, lo cual se espera cuando no hay fuerzas externas presentes. El termino negativo es consecuencia de definir que en el infinito, la energía potencial es cero. La anterior ecuación se conoce como La integral de la energía Es equivalente a la primera

76 2.3 La órbita en el espacio El producto cruz de la ecuación básica del movimiento orbital por r lleva a: r r GM 3 r r r 0 d dt r r 0 d dt GM r r r r r 3 0 r r r r r r h r r r v h es un vector constante, perpendicular al plano que contiene a r y v. La interpretación física es que el momento angular de un satélite con masa unitaria, permanece constante a lo largo de su órbita Con h constante, el movimiento orbital debe ocurrir dentro de un plano fijo al espacio.

77 2.3 La órbita en el espacio h define la dirección del movimiento del satélite h = r v cos = flight-path angle, que indica la dirección del movimiento orbital La órbita de una masa puntual (satélite) en el problema de dos cuerpos debe ser una curva de la familia de las secciones cónicas. El foco de la órbita cónica debe estar localizada en el centro el centro central. La sumatoria de la energía potencial y la energía cinética es una constante. El movimiento orbital se efectúa sobre un plano, el cual es fijo en un espacio inercial El momento angular del satelite con respecto al cuerpo central permanece constante

78 2.3 La órbita en el espacio p 2 h GM h rv En la figura, la bola de cañón es lanzada de forma horizontal (se asume que no hay atmosfera) El incrementar v produce un incremento de h, lo que genera las curvas que se muestran en la figura r p h 2 p 1 ecos r r h GM La fórmula anterior relaciona la distancia del satélite r al ángulo entre su vector posición y una dirección de referencia, la cual define la trayectoria del satélite en el plano orbital.

79 2.3 La órbita en el espacio Para una órbita circular (r=a), la velocidad se puede calcular con la siguiente fórmula: v cir GM a Y el periodo de la órbita es igual a: T cir 2 a v 2 3 a GM Esto indica que el periodo de la órbita depende únicamente del semieje mayor de la órbita. Para una órbita elíptica: Velocidad en el apogeo (min) Velocidad en el perigeo (max) v apo GM a 1 1 e e v per GM a 1 1 e e

80 2.3 La órbita en el espacio El valor medio del apogeo y del perigeo es el semieje mayor, el cual se puede calcular con base a la siguiente fórmula: 2 1 p h a r r 2 1 e GM 1 e min max 2 2 Esta fórmula es válida para una órbita con un apogeo finito. Ecin 1 2 GmM mv Epot 2 r Simplificando la anterior expresión: E mec 1 2 GmM a 1 GmM Emec mv 2 r 2 La energía total depende únicamente de la magnitud del semieje mayor de la órbita y es independiente de la excentricidad de la órbita.

81 r min p 1 e 2.3 La órbita en el espacio En la órbita hay un radio mínimo y máximo, que se calcula como: Radio mínimo: Radio máximo: r max p, para 0 e 1 1 e, para 1 e

82 2.4 Predicción de órbitas Se distinguen dos problemas El problema de valor inicial, asociado al nombre de Laplace El problema de valores limites, asociado con Gauss En el problema inicial, los elementos orbitales son determinados del vector posición y el vector velocidad r, v en una época dada r, v a, e, i,,, M Basado en el conocimiento de los elementos Keplerianos, el vector posición y velocidad puede ser determinado para épocas arbitrarias. Es procesos he llamado calculo de efemérides. a, e, i,,, M r, v En un primer cálculo, r, v son expresados en el sistema del plano orbital. Luego se transforman en un sistema geocéntrico ecuatorial.

83 2.4 Predicción de órbitas Es el sistema utilizado para definir las coordenadas de un satélite que gira alrededor de la Tierra. Este sistema se da en un plano, luego se transforma del sistema orbital al sistema terrestre, el cual es un sistema tridimensional.

84 x a cos E e r cos r y a 1 e 2 sin E r sin z 0 0 x sin E sin na 2 na r y 1 e cos E e cos 1 ecos E 2 1 e z 0 0