Angle 30º -250º 120º -90º -20º 180º 200º 90º 300º 360º -150º

Transcripción

1 Matemàtiques I. Trigonometria Tema. Trigonometria.. Introducció Sabeu el significat de la paraula trigonometria? Anem a analitzar-lo. Tri --> tres Gono --> angle Metria --> mesura Doncs sí, el seu significat és el de la mesura de tres angles, és a dir la mesura de triangles. Els triangles són els polígons més simples que existeixen, tenen la propietat de ser indeformables i de que qualsevol polígon pot ser descompost per ells. En principi començarem estudiant la mesura dels angles i posteriorment ho aplicarem als triangles, encara que en tot moment estarà implícit, el teorema de Tales, la semblança de triangles i la propietat que diu que totes les circumferències són homotètiques.... Definició d angle Un angle és la porció del pla limitada per dues semirectes amb origen en un mateix punt. Les semirectes s anomenen costat inicial i costat final. A l origen comú se l anomena vèrtex de l angle. Un angle pot estar situat en qualsevol part del pla però, a vegades ens serà útil traslladar-lo a un sistema cartesià de coordenades, de manera que el vèrtex de l'angle se situe sobre l'origen de coordenades, i el costat inicial sobre l'eix positiu d'abscisses.... Mesura d angles positius i negatius Els angles positius es mesuren en sentit contrari a les agulles del rellotge, sentit antihorari, i els negatius en el mateix sentit, sentit horari. Exemple: Obriu el fitxer de Geogebra Exemple.ggb i representeu els angles que s indiquen al quadre següent. Escriviu en quin quadrant queda el costat final. Angle 30º -50º 0º -90º -0º 80º 00º 90º 300º 360º -50º Quadrant Els angles positius pinteu-los de blau i els negatius de roig.

2 ..3. Angles superiors a 360º i inferiors a 360º Tal i com hem definit angle, no té sentit parlar d'angles superiors a 360º ni d'angles inferiors a 360º, però no obstant això, resulta útil ampliar el concepte d'angle perquè apareixen moltes situacions en la vida real que així ho aconsellen. Pensem en girs de rodes, engranatges, moviments vibratoris i molts altres fenòmens cíclics o periòdics. El que farem serà associar sempre un angle major de 360º amb un altre de la ª volta llevant-li les voltes senceres. Per exemple: L angle de 390º s associa amb el de 30º perquè 390º 30º + 360º. Amb quin angle associareu 850º? I 3000º? Quin procediment general és el que utilitzareu per a identificar un angle major de 360º o bé menor de 360º amb un de la primera volta?..4. El radiant El que farem a continuació serà trobar una unitat de longitud que també ens servisca per a mesurar angles. Per a fer-ho ens valdrem de les circumferències, i de la propietat que diu que totes les circumferències són homotètiques. Obriu l arxiu de Cabri Radiant.fig i feu el que allí us indica. a) b) c) Per observar com una mesura lineal esdevé una mesura angular obriu l applet Radiant.htm Un radiant és l angle central que forma un arc de circumferència que té per longitud el radi. Si considerem la circumferència de radi, llavors podrem dir que la seua longitud és π radiants, i com angularment la circumferència mesura 360º obtenim la proporció π 360º o equivalentment 80º π Obteniu l equivalència en radiants, o bé en graus Graus 0º 30º 45º 60º 80º 70º π Radiants 5π 3 Obriu l arxiu de Cabri Activitat.fig i representeu l angle que allí es demana. Completeu la següent taula Graus 70º 900º -700º -4000º er Quadrant 8π 9π Radiants 0 π 3 er Quadrant

3 Matemàtiques I. Trigonometria.. Raons trigonomètriques A cada angle li assignarem unes proporcions, basades en la semblança de triangles, que anomenarem raons trigonomètriques d aquest angle. Dibuixeu una perpendicular a r de peu A i que talle a s en B. Mesureu les distàncies OB i OA. OA OB Compareu el resultat amb altres companys, us dóna el mateix? Per a fer-ho més exacte podeu obrir el fitxer en Cabri Exemple.fig Per què el quocient anterior dóna el mateix resultat encara que moguem el punt A? Si considereu el triangle BOA, el que teniu és un triangle rectangle. Evidentment cadascú de vosaltres tindrà un triangle de diferent tamany, però tots ells són i per tant tenen els angles i els costats.... Raons trigonomètriques directes OA Pel fet de tindre els costats proporcionals el quocient tindrà el mateix valor en tots els OB triangles rectangles d angle agut. Eixe valor s anomena cous i es defineix Catet contigu cos Hipotenusa També tenim altres dues raons elementals, el us i la tangent, definides per Catet oposat Hipotenusa tg Catet oposat Catet contigu 3 Demostreu que tg. cos 4 Obriu l arxiu de Cabri Activitat.fig i ompliu la taula següent. Fiqueu fins a quatre xifres decimals. us cous tangent 40º 45º 50º 65º 3

4 ... Raons trigonomètriques inverses Les raons trigonomètriques inverses són la secant, la cosecant i la cotangent. Es defineixen de la següent forma: sec equivalentment sec cos Hipotenusa Catet contigu csc Hipotenusa Catet oposat csc cot Catet contigu Catet oposat cot tg..3. Càlcul exacte d algunes raons trigonomètriques Si l angle agut el tenim en un triangle rectangle amb hipotenusa, llavors el us i el cous d seran Catet oposat Hipotenusa Catet oposat cos Catet contigu Hipotenusa Catet contigu Per a calcular de forma exacta totes les raons trigonomètriques de l angle de 45º, en radiants, dibuixarem un triangle rectangle que continga l angle i que la hipotenusa mida. En este cas els dos catets són iguals, per tant el valor del us i del cous seran iguals. Empreu el teorema de Pitàgores per calcular x. 45º cos45º tg 45º Vegem ara com trobar les raons de l angle de 30º. Dibuixem un triangle rectangle que continga l angle i ens adonem que correspon a mig triangle equilàter de costat. 30º y Calculeu x i y x cos 30º x x y y 30º cos 30º tg 30º 5 Calculeu les raons trigonomètriques exactes de l angle de 60º. 4

5 Matemàtiques I. Trigonometria.3. Raons trigonomètriques de qualsevol angle Fins ara sols hem vist les raons d angles compresos entre 0º i 90º, primer quadrant, per estar inclosos en un triangle rectangle. En aquest apartat intentarem calcular les raons trigonomètriques d un angle de qualsevol quadrant, a partir de les raons trigonomètriques dels angles del primer quadrant que ja coneixem..3.. La circumferència goniomètrica És la circumferència de radi i el centre en l'origen de coordenades. Qualsevol angle el podem representar en aquesta circumferència. Situarem el vèrtex a l origen de coordenades, el costat inicial sobre el semieix d abscisses positives i assenyalarem el punt P intersecció del costat final de l angle amb la circumferència. El punt P tindrà per coordenades (, ) P. x P y Com el radi de la circumferència és llavors P x cos i P y 6 Dibuixeu l angle de 45º, marqueu el punt P, les coordenades ( P x, P y ) i assenyaleu el us i el cous. 7 Feu el mateix amb l angle de 35º, 5º i 35º. Com heu pogut observar els quatre angles tenen el mateix us i cous, però si agafeu la calculadora podreu comprovar que hi ha una xicoteta diferència, de què es tracta? 8 Amb l ajuda de la calculadora completeu la següent taula de signes Angle 45º 35º 5º 35º us cous Angle 0º 65º 55º 70º us cous Quadrant r Quadrant n Quadrant 3r Quadrant 4t us cous tangent cotangent cosecant secant 5

6 .3.. Representació gràfica de les raons trigonomètriques A partir de la circumferència goniomètrica ja hem vist quins segments representen el us i el cous. A continuació vorem els segments que representen la resta de les raons. Angle del primer quadrant Angle del segon quadrant Representeu totes les raons dels angles donats 9 Calculeu les raons trigonomètriques dels angles següents Angle 0º 90º 80º 70º Sinus cous tangent cotangent secant cosecant 6

7 Matemàtiques I. Trigonometria 0 Obriu el Cabri, dibuixeu la circumferència goniomètrica i un angle al primer quadrant. Representeu la tangent i expliqueu perquè no existeix la tangent de 90º. A continuació comproveu que quan s apropeu a 90º llavors la tangent cada cop es fa més gran. Podríem dir que la tangent de 90º és infinit?.3.3. Rang de variació dels valors de les raons trigonomètriques Com el radi de la circumferència goniomètrica és, llavors el us i el cous d un angle del primer quadrant estarà comprés entre 0 i. Tenint en compte els valors del us i cous, escriviu el rang de variació de cadascuna de les raons trigonomètriques al quadrant que s indica. Quadrant us cosecant cous secant tangent cotangent Primer [0, ] [ 0,+ [ Segon [0, -] Tercer Quart Obriu el fitxer de Cabri Activitat 3.fig i dibuixeu dins de la circumferència goniomètrica un angle que tinga per us 0.5 Quantes solucions hi ha? Feu el mateix amb un angle que tinga per cous 0.5 De quin angle es tracta? Determineu usant la calculadora els angles de la primera volta que verifiquen 0.5 tg cos Empleneu el quadre següent amb les raons trigonomètriques exactes dels angles que s indiquen Angles 0º 30º 45º 60º 90º 80º 70º us cous tangent 7

8 .4. Relació entre les raons trigonomètriques d alguns angles El que farem en este apartat serà obtenir les raons trigonomètriques dels angles dels quadrants segon, tercer i quart a partir de les raons dels angles del primer quadrant..4.. Angles del segon quadrant Si β és un angle del segon quadrant sempre podrem trobar un angle del primer quadrant que diste de 90º el mateix que β β 90 º 90º Per exemple: 0º 90º 30º 35º 90º 50º 90º β cos β - cos tg β - tg 4 Expresseu en funció de les raons trigonomètriques d angles aguts les raons dels angles següents. Feu el corresponent dibuix. 0º 35º 50º cos 0º cos 35º cos 50º tg 0º tg 35º tg 50º 8

9 Matemàtiques I. Trigonometria.4.. Angles del tercer quadrant Si β és un angle del tercer quadrant sempre podrem trobar un angle del primer quadrant restant-li a β 80º. β 80 º Per exemple: Si a 40º que és del tercer quadrant, li restem 80º, es transforma en 60º que correspon al primer quadrant. β - cos β - cos tg β tg 5 Expresseu en funció de les raons trigonomètriques d angles aguts les raons dels angles següents. Feu el corresponent dibuix. 5º 40º 0º cos 5º cos 40º cos 0º tg 5º tg 40º tg 0º.4.3. Angles del quart quadrant Si β és un angle del quart quadrant sempre podrem trobar un angle del primer quadrant restant-li a 360º l angle β. 360 º β Per exemple: Si a 360º li restem 330º que és del quart quadrant, es transforma en 30º que correspon al primer quadrant. 9

10 β - cos β cos tg β - tg 6 Expresseu en funció de les raons trigonomètriques d angles aguts les raons dels angles següents. Feu el corresponent dibuix. 330º 35º 300º cos 330º cos 35º cos 300º tg 330º tg 35º tg 300º.4.4. Angles complementaris S anomenen angles complementaris els dos angles aguts d un triangle rectangle. Per tant la suma de dos angles complementaris sempre donarà 90º. Si i β són complementaris, llavors les seues raons compleixen: cosβ cos β tg tg β Ajudant-vos del triangle demostreu la proposició anterior. 0

11 Matemàtiques I. Trigonometria.4.5. Quadre resum de fórmules Angles complementaris Angles suplementaris Angles que difereixen 70º ( 90º ) cos cos ( 90º ) tg ( 90º ) ctg ( 80º ) cos ( 80º ) cos tg ( 80º ) tg ( 70º ) cos cos ( 70º ) tg ( 70º ) ctg Angles oposats ( ) cos ( ) cos tg ( ) tg 7 Representeu gràficament les fórmules anteriors Angles complementaris Angles suplementaris Angles que difereixen 70º Angles oposats

12 Exercicis i problemes 8 Un angle mesura 3 radians. Si dibuixem el seu arc prenent un radi de 5 cm. Quant mesurarà dit arc? 9 Calculeu l angle central i l angle interior d un decàgon regular en graus i en radians. També d un pentàgon. Obriu el fitxer de Cabri Activitat 4.fig per comprovar el resultat. 0 Obriu el fitxer de Cabri Activitat 5.fig i mesureu en graus i radians l arc que hi apareix. Representeu ara un angle de radians, quants graus són? Quina és la longitud de l arc que correspon a un angle de 5º? Obriu el Cabri i dibuixeu un hexàgon regular. Calculeu el valor de l angle interior i de l angle que formen dues diagonals que ixen del mateix vèrtex i arriben a altres dos consecutius. Feu un quadre on figuren el us, el cous i la tangent dels angles: 0, 30, 45, 60, 90, 0, 35, 50, 80, 0, 5, 40, 70, 300, 35 i Qüestions a) Decidiu si els angles 4º, 38º i º tenen el mateix us. b) Quant deuen diferir dos angles per a que les seues tangents coincidisquen? c) Existeix cap angle tal que + cos 4? d) Quina relació existeix entre tg 5º i tg 335º? e) En quin quadrant es troba situat un angle si el us i el cous son negatius? I si són negatius el cous i la tangent? f) Calculeu el signe de us, cous i tangent de 750º, 97º, -90º i 00º. g) Si en un triangle es coneix el us d un angle, queda determinat eixe angle? h) Quines condicions deuen complir el us i el cous d un angle, per a que la tangent siga positiva i major que u? En quins quadrants podem trobar dit angle? 4 Amb l ajuda del següent triangle isòsceles, obteniu el valor exacte del us, el cous i la tangent de 36º.

13 Matemàtiques I. Trigonometria.5. Relació entre les raons trigonomètriques Les raons trigonomètriques d un angle estan relacionades entre sí. Gràcies a estes relacions si coneixem una sola raó podrem calcular la resta. Per exemple les relacions més immediates són tg cos ctg cos sec cos csc cos.5.. Fórmula fonamental de la trigonometria No s espanteu amb la paraula fonamental, que encara que sone molt solemne, la fórmula fonamental de la trigonometria no és més que l aplicació del teorema de Pitàgores al triangle rectangle següent + cos Amb aquesta relació podem calcular totes les raons trigonomètriques coneixent només una. Si coneixem el us llavors aïllem el cous, + cos cos Si coneixem el cous llavors aïllem el us, + cos La resta de raons trigonomètriques les podeu calcular a partir del us i del cous..5.. Fórmules deduïdes Preneu la fórmula fonamental de la trigonometria i dividiu-la entre + cos cos + Ara dividiu-la entre cos + cos cos + 3

14 Resum de fórmules + cos cos cos + ctg + ctg csc tg + cos tg + sec 5 Determineu sense utilitzar la calculadora la resta de les raons trigonomètriques a) º < < 80º cos tg csc sec b) cos º < < 360º tg csc sec c) sec 3 0º < < 90º cos tg csc d) tg 80º < < 70º cos csc sec 6 Si cos c, calculeu en funció de c, la resta de les raons trigonomètriques. tg csc sec Feu el mateix partint ara de tg t. 4

15 Matemàtiques I. Trigonometria 7 Obriu el fitxer de Geogebra Activitat 6.ggb i representeu gràficament les raons trigonomètriques que allí s indiquen 8 Obteniu el us, el cous i la tangent dels angles següents sabent que: 4 a) Q b) cos 3Q c) tg 3 4Q d) 0.6 3Q e) cos 3Q f) tg Q Expresseu en funció d un angle del primer semiquadrant, entre 0º i 45º, les raons trigonomètriques de 30º, 008º, 378º i 665º, 30 Obriu el fitxer de Geogebra Activitat 7.ggb i representeu gràficament les raons trigonomètriques que allí s indiquen. 5

16 .6. Raons trigonomètriques de la suma i de la diferència d angles Si la intuïció us condueix a pensar que el us de la suma de dos angles és la suma dels us, tot seguit comprovarem que és rotundament fals. Agafeu la calculadora i obteniu 70 º 30 º 40 º ( 40º + 30º ) 40º + 70 º 30 Evidentment podeu comprovar com el us de la suma no és la suma dels us..6.. Sinus de la suma de dos angles El que farem a continuació serà expressar el us de la suma de dos angles, a partir de les raons de cadascun dels angles. Començarem dibuixant dos eixos de coordenades, i al primer quadrant els dos angles, i β un a continuació de l altre. Al vostre quadern heu de fer un dibuix semblant a aquest. Una vegada hagueu fet el gràfic al vostre quadern expliqueu per què els angles AOP i DPB anomenats són iguals? A continuació calcularem el us d +β. CD ( + β) CD AB + Per tant hem de treballar per dues bandes, primer per trobar AP i després per trobar PB. AP cos β OP AP cos PB β PD PB ( + β) cos β + β cos 6

17 Matemàtiques I. Trigonometria.6.. Cous de la suma de dos angles Podem construir una demostració semblant a l anterior, però ara partint de què cos OC ( + β) OC OA CA i calculant en este cas OA i CA. És un molt bon exercici intentar fer la demostració. El que farem a continuació és deduir la fórmula del cous de la suma de dos angles, a partir de transformacions, relacions algebraiques i fórmules anteriors, partint de la fórmula del us de la suma. cos ( + β) ( 90º ( + β) ) ( ( 90º ) + ( β) ) ( 90º ) cos( β) + ( β) cos( 90º ) cos cos cosβ β ( + β) cos cos β β.6.3. Tangent de la suma de dos angles A partir de les fórmules anteriors del us i el cous de la suma de dos angles, ara us toca a vosaltres deduir la fórmula de la tangent de la suma de dos angles tg ( + β) cos ( + β) ( + β) Dividiu dalt i baix entre cos cosβ + + tg + tg β tg tg β tg ( + β) tg + tg β tg tg β 7

18 .6.4. Formulari Totes les fórmules que apareixen en la taula següent es poden deduir a partir de les anteriors, el que heu de fer és aprendre-les per a després saber utilitzar-les. Suma Resta + β β Doble cos cos ( + β) cosβ + cos β ( + β) cos cosβ β tg ( + β) tg + tg β tg tg β ( β) cosβ cos β ( β) cos cosβ + β tg ( β) cos tg tg β + tg tg β ( ) cos ( ) cos tg ( ) tg tg Meitat cos tg cos + cos cos + cos 3 Obteniu en funció d les raons trigonomètriques següents a) ( + 90º ) b) ( + 80º ) c) ( + 70º ) d) cos ( + 90º ) e) cos ( + 80º ) f) cos ( + 70º ) 3 a) Escriviu el 60º a partir de les raons trigonomètriques de l angle de 30º. b) Escriviu el cos 80º a partir de les raons trigonomètriques de l angle de 90º. c) Escriviu el 75º a partir de les raons trigonomètriques dels angles de 30º i 45º. d) Escriviu la tg 5º a partir de les tangents dels angles de 30º i 45º. 33 Si cos ( ) 0. 5, calculeu les raons trigonomètriques de l angle. 34 Deduïu el resultat de 5º i cos 5º sabent que 3 cos 30º. 8

19 Matemàtiques I. Trigonometria.6.5. Transformació de sumes en productes, i productes en sumes A continuació teniu unes fórmules que amb un poc de càlcul es poden deduir de les anteriors. Estes fórmules ens mostren com passar de sumes de raons trigonomètriques a productes. + β β cos + cosβ cos cos + β β cos cosβ + β β + β cos + β β β cos Estes fórmules ens mostren com passar de productes de raons trigonomètriques a sumes. ( + β) + ( β) ( )cos( β) cos( + β) + cos( β) cos( )cos( β) ( )( β) cos ( β) - cos( + β) 35 a) Transformeu en suma i cos. b) Transformeu en producte + cos i Calculeu el valor de les següents expressions: a) º cos 3º + cos º 3º b) cos 48º cos8º + 48º 8º 37 a) Si 37º 0. 6 i cos 78º 0. Calculeu 4º i 49º. b) Si 65º 0. 9 i 5º 0. 4 Calculeu cos 40º i cos 50º. c) Calculeu les raons trigonomètriques de 30 + sabent que tg i és un angle agut. tg + β i tg tg β i tg β. d) Si ( ) 4. Calculeu ( ) 38 Calculeu les raons trigonomètriques de º30 i de º30. 9

20 .7. Expressions, identitats i equacions trigonomètriques En aquest apartat el que farem serà utilitzar les fórmules i relacions que hem vist fins ara per a simplificar expressions, comprovar identitats o bé resoldre equacions on apareixen raons trigonomètriques..7.. Expressions i identitats trigonomètriques Són fórmules i igualtats algebraiques que contenen raons trigonomètriques. Per a demostrar una identitat trigonomètrica, o bé simplificar una expressió, no existeixen regles. En general haurem de reduir el membre que ens parega més difícil, mitjançant substitucions per identitats, traure factors comuns o bé qualsevol altre malabarisme algebraic. En les identitats haureu d aconseguir la igualtat als dos membres, mentre que a les expressions sols haureu de reduir un membre. Vegem un parell d exemples. Simplifiqueu l expressió ( + cos ) + ( cos ) + cos + cos + + cos Demostreu la identitat ( + β) ( β) β cos + Desenvolupeu el primer membre i operant algebraicament arribareu al segon. Intenteu-ho. 39 Simplifiqueu les fraccions següents a) cos + cos b) cos 40 Demostreu la identitat tg cos cos.7.. Equacions trigonomètriques S anomenen equacions trigonomètriques aquelles en les que apareixen les raons trigonomètriques d un angle x com a incògnita. Per resoldre aquestes equacions no hi ha un procediment estàndard, però les següents indicacions ens poden ajudar: -. S han d expressar, mitjançant transformacions convenients, totes les raons que intervinguen en una equació, en funció d un mateix angle senzill i d una sola raó. -. Es convenient transformar les sumes i les diferències en productes, aplicant les fórmules conegudes, i arribar d esta forma a una descomposició de factors igualada a zero. Posteriorment estudiarem cada factor per separat. 3-. S ha d evitar suprimir solucions, per exemple simplificant expressions, o bé afegir-ne, per exemple elevant al quadrat l equació. 4-. Les solucions les expressarem indicant primer l angle que satisfà l equació i que pertany a la primera volta, és a dir entre 0º i 360º, seguit de l expressió kπ k Ζ que ens indica que qualsevol volta completa que donem també és solució de l equació. 5-. Estigueu atents que la majoria d equacions trigonomètriques tenen més d una solució en la primera volta. 0

21 Matemàtiques I. Trigonometria Vegem un exemple 3 x + cos x 3 Expressarem l equació en funció de x, tenint en compte que cos x x 3 x + Obtenim una equació de segon grau d incògnita ( x) 3 x + 3 x + 0 Resolem, que tot seguit ordenarem x 3 ± ± Evidentment descartem que x ja que el us està comprés entre i. Amb el cas x obtenim la solució x 70º, és la única? No, ja que també seria vàlida qualsevol altra volta, per exemple 630º, 990º, -90º i molts altres, però tots els podem expressar mitjançant x 70º + k 360º x 70º + kπ k Ζ Amb l ajuda del professorat intenteu resoldre l equació següent Expresseu l equació en funció de l angle x cos x + 5cosx Expressarem l equació en funció de cos x, tenint en compte que x cos x Tindreu una equació de segon grau d incògnita cos x Com a solucions obtindreu cos x, cos x Evidentment cos x és impossible i per tant no té solució, per tant la única solució possible ve de considerar cos x.

22 Si agafeu la calculadora i polseu cos obtindreu l angle 0º, el que heu de fer ara és representar-lo en la circumferència goniomètrica i vore si hi ha altre angle que tinga el mateix cous. Per tant un conjunt de solucions estarà format per Hi ha un altre? x 0º + kπ k Ζ Intenteu resoldre ara la següent equació Tingueu en compte que x x cos x x cos x x x 90º + kπ x 45º + kπ k Ζ 4 Resoleu les següents equacions trigonomètriques: a) x tg x Sol: x 0º, 45º, 35º, 80º, 5º, 35º + kπ k Ζ b) cos ( 30º x) x + Sol: x 30º, 0º + kπ k Ζ c) sec x ( x + cos x) Sol: x 67.5º, 57.5º, 47.5º, 337.5º + kπ k Ζ d) + cosx cos x Sol: x 60º, 300º + kπ k Ζ e) cos x x Sol: x 30º, 50º, 70º + kπ k Ζ f) x ctg x 6 x Sol: x 30º, 50º, 0º, 330º + kπ k Ζ 4 Obriu un programa de càlcul simbòlic com pot ser el Derive o el Wxmàxima i trobeu totes les solucions de les següents equacions trigonomètriques, si no esteu segurs de que la màquina ho resolga bé llavors feu-ho a bolígraf i paper. a) x cos x x b) 3 x + cos x x c) x + cos x x d) x tg x x 43 Demostreu que les següents identitats trigonomètriques són certes tg a) tg sec cos b) tg csc ctg c) cos tg +