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1 Apuntes Tema 9: Herramientas Básicas de Resolución de Circuitos Índice 9 Herramientas Básicas de Resolución de Circuitos Introducción Resumen Preguntas de Autoevaluación Resolución de General de Circuitos Leyes de Kirchhoff Definiciones: malla, rama, y nodo Ley de corrientes de Kirchhoff Ley de tensiones de Kirchhoff Resolución de Circuitos... 7 Resolución de un circuito por la aplicación de las Leyes de Kirchoff Preguntas de autoevaluación Ejercicios Resueltos Propuestos Redes de tres terminales Introducción Equivalencia Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios Resueltos Propuestos Principio de superposición Introducción Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios Resueltos Propuestos Teorema de Thevenin y Norton Introducción Teorema de Thevenin Ejemplo demostrativo de por qué conviene usar el teorema de Thevenin Teorema de Norton Resumen Preguntas de autoevaluación Ejercicios Resueltos Propuestos Teorema de Máxima Transferencia de Potencia Circuitos Resistivos Puros Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 1 / 69

2 9.6.2 Circuitos reactivos Prueba Resumen Preguntas de Autoevaluación Ejercicios Resueltos Propuestos Bibliografía Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 2 / 69

3 9 Herramientas Básicas de Resolución de Circuitos. 9.1 Introducción La resolución de las diferentes circuitos que se presentan en redes eléctricas y electrónicas pueden solucionarse utilizando determinadas herramientas matemáticas. Estas herramientas se suman a las ya conocidas por el lector tales como la ley de Ohm y las reglas de Kirchoff. Además a ellas se les puede agregar la resolución por mallas aplicando determinantes y otras. También se debe recordar, para los componentes lineales, su configuración en serie y paralelo. Para que el lector pueda utilizar las nuevas técnicas y métodos de resolución, se tratará aquí de analizar las más comunes y que tienen aplicación en prácticamente todos los problemas que se puedan presentar en los diferentes circuitos o mallas.. Por ello, para comenzar, se impartirán primero los conocimientos de: Transformación de redes triángulo en estrella para la simplificación de por ejemplo, circuitos tipo puentes; posteriormente se verán: un método alternativo a la resolución por mallas y que se denomina: Principio de superposición; y luego otras herramientas tales como: el Teorema de Thévenin, de Norton y el de Máxima transferencia de Potencia Resumen La resolución de circuitos exige el conocimiento de herramientas matemáticas. El lector ya conoce la ley de Ohm, las reglas de Kirchoff y resolución por mallas. Para lograr resolver algunos más complejos se proponen otras herramientas matemáticas tales como: transformación de redes estrella en triángulo y viceversa, principio de superposición, teoremas de Thévenin, Norton, teorema de máxima transferencia de potencia y nociones de cuadripolos. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 3 / 69

4 9.1.2 Preguntas de Autoevaluación 1) Qué ley relaciona la tensión y la corriente en un material conductor? 2) Qué tipos de materiales conoce en función de la corriente que circula por ellos? 3) Cuál es la resistencia equivalente entre dos resistencias colocadas en serie? y en paralelo? 4) Cuánto vale la resistencia equivalente entre una resistencia de cualquier valor y un cortocircuito? 5) Cuánto vale la resistencia interna de una fuente de tensión? y la de una fuente de corriente? 6) Qué significa cargar a un circuito? 9.2 Resolución de General de Circuitos Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica e ingeniería electrónica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico Definiciones: malla, rama, y nodo Llamaremos Nodo o nudo: a todo punto de un circuito al que concurran tres o más conductores. Rama: Una rama es el tramo de un circuito entre dos nodos. Malla: Una malla es todo camino cerrado que se puede recorrer en un circuito. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 4 / 69

5 Aclaremos estos conceptos con un ejemplo mostradoo en la Figura 9.1. En el circuito hay: Dos nodos: A y B Tres ramas: R1-E1-R2, E3-R4, y E2-R3-E4-R5 Tres mallas I, II y III. Figura 9.1. Ejemplo de red eléctrica Ley de corrientes de Kirchhoff Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que (Figura 9.2): En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero La ley se basaa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en Couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 5 / 69

6 Figura 9.2. La corriente que entra a un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i 1 + i 4 = i 2 + i Ley de tensiones de Kirchhoff Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK paraa referirse a esta ley (Figura 9.3). En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensiónn es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero n k = 1 V k = V + V + V = V n Figura 9.3. Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v 4 = v 1 +v 2 +v 3. No se tiene en cuenta a v 5 porque no forma parte de la malla que estamos analizando. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 6 / 69

7 Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial. Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminará en el terminal negativo, en vez del positivo. Esto significa que toda la energía dada por la diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor. Teóricamente, y, dado que las tensiones tienen un signo, esto se traduce con un signo positivo al recorrer un circuito desde un mayor potencial a otro menor, y al revés: con un signo negativo al recorrer un circuito desde un menor potencial a otro mayor. En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de los componentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc. ). Es una ley que está relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos estén presentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo Resolución de Circuitos Un circuito genérico está integrado por un número de ramas, que forman mallas y nodos. Resolver un circuito significa hallar todos los valores de las corrientes, de rama y su sentido de circulación, eventualmente podrán calcularse las tensiones. Para ello debemos componer un sistema de tantas ecuaciones independientes como corrientes de rama incógnitas tengamos y como circula una sola corriente por cada rama será Número de Ecuaciones = Números de Ramas Para asegurarnos de que las ecuaciones son independientes debemos elegir Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 7 / 69

8 Número de Ecuaciones de Nodos = Número de Nodos 1 En efecto, como no hay acumulación, ni drenaje de corriente en ningún punto del circuito, la suma de todas las corrientes es nula, por lo tanto la última ecuación es suficiente. Debemos completar el sistema con ecuaciones de malla. Al escribir estas ecuaciones para la Segunda Ley de Kirchoff, es importante que se cubran todas las ramas de la red. En muchos casos se eligen las mallas sucesivamente de forma tal, que cada nueva malla incluya a menos una rama que no haya sido considerada anteriormente. En el caso que en el circuito, haya fuentes de corriente, se eliminan tantas incógnitas como fuentes haya, lo que implica que se deben descartar las ecuaciones correspondientes a mallas que incluyen dichas fuentes. Resolución de un circuito por la aplicación de las Leyes de Kirchoff. Este método se basa en la formulación del sistema de ecuaciones por aplicación directa de las Leyes de Kirchoff. Se expondrán a continuación una serie de reglas para escribir las ecuaciones de nodos y de mallas, reglas que tienen sólo validez para las convenciones de signos en uso, y que pueden variar si éstas cambian. Sea un circuito como el de la Figura 9.4. Este circuito posee tres nodos A, B, y C y cinco ramas: (R7E1R1), (R6), (R8E2R2), (R5) y (E3R3R4). Habrá, por lo tanto, cinco corrientes incógnitas (una por cada rama). Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 8 / 69

9 Figura 9.4. Ejemplo para resolución por el método general. Debemos escribir dos ecuaciones de nodo y tres de malla. Así asignamos sentidos arbitrarios a todas las corrientes y elegimos tres caminos de circulación, con indicación del sentido, también arbitrario (Figura 9.5). Figura 9.5. Mayas y nodos elegidos en el ejemplo. Nótese que cada una de las mallas elegidas tienen una rama no común con las otras dos. Para escribir las ecuaciones de nodos, colocamos en el primer miembro las corrientes entrantes y en el segundo a las salientes. Así para el nodo A se tiene: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 9 / 69

10 I4 = I1 + I2 (1) Para el nodo B: I1 = I3 + I4 + I5 (2) Y para el nodo C I3 + I4 + I5 = 0 (3) En la Figura 9.6 se detalla la obtención de las ecuaciones. Nodo A Nodo B Nodo C Figura 9.6. Nodos en ejemplo de resolución del circuito. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 10 / 69

11 Debemos elegir dos de las tres ecuaciones. Obviamente, se tomarán las más sencillas, en este caso la de los nodos A y C. Para escribir las ecuaciones de malla pondremos en el primer miembro a las fuerzas electromotrices y en el segundo a las caídas de tensión. Una fuerza electromotriz es positiva cuando al circular en el sentido elegido por dentro del generador, el potencial sube (circulación de negativo a positivo). Una caída de tensión es positiva cuando el sentido de circulación coincide con el de la corriente Con este criterio podemos escribir, para la malla I: (4) Para la malla II: (5) Y para la malla III: (6) Todavía podríamos obtener más ecuaciones de mallas, pero que no serían independientes. En definitiva el sistema estará compuesto por las ecuaciones (1), (3), (4), (5) y (6), que se resolverá por alguno de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Preguntas de autoevaluación 7) A qué se denomina NODO en un circuito eléctrico? 8) A qué se denomina RAMA en un circuito eléctrico? 9) A qué se denomina MALLA en un circuito eléctrico? Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 11 / 69

12 10) Qué leyes se usan para realizar los cálculos de corriente y tensión en un circuito eléctrico? 11) Diga cuántas mallas reconoce en el siguiente circuito Ejercicios Resueltos 1) Aplicar el método de ramas para resolver el problema que a continuación se dibuja. 10 V 10 Ω 4Ω 8 V Resolución: , ,5 0,5 1 0,5 ; 2 0,5 ; 3 1 2) Aplicar el método de ramas para resolver el problema que a continuación se dibuja. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 12 / 69

13 E 1 =20 V E 2 =10 V E 3 =30 V R 1 =10Ω R 2 =20Ω R 3 =50Ω R 4 = 5Ω R 5 = 5Ω R 6 =10Ω R 7 =20Ω R 8 =50Ω Resolución: ,3 ; 2 30,45 ; 3 497, ,3 30,45 461, ,46 30,45 467, Propuestos 3) Determinar i 0 e i g en el circuito de la figura: a) Resolviendo por el método de voltajes de nodo. b) Resolviendo por el método de corriente de malla. c) Resolver el circuito resultante si eliminásemos la resistencia de 2Ω. 4) Calcular las corrientes de malla (i 1, i 2 ) del circuito: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 13 / 69

14 5) Calcular V A, V B si V C = 0V 6) Considere el circuito de la figura cuando V1 = V2 = 2 V, R1 = 1KΩ, R2 = 2 KΩ. Halla el valor de la corriente que recorre la resistencia R Redes de tres terminales Introducción Las redes o mallas de tres terminales son aquellas en las cuales los componentes están conectados de tal forma que poseen tres terminales de conexión al resto del circuito o malla. En la Figura 9.7 se muestran estas mallas, que también se pueden considerar de cuatro terminales (cuadripolos). Estas configuraciones son del tipo estrella y triángulo, o también llamadas redes T y Pi (π) respectivamente Z 1 Z Z B Z B Z 3 Z 1 Z 2 Z A Z C Z A Z C Z Red T o estrella Red triángulo (Pi o ) Figura 9.7: Redes T (Estrella) y Pi (Triángulo). Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 14 / 69

15 Como se puede observar en la Figura 9.7, ambas redes tienen un punto en común (terminales 2 y 3 ) y por ello se pueden analizar como redes de tres terminales. Estas mallas son muy comunes en las redes tipo puente y su resolución por medio de las herramientas matemáticas conocidas es posible pero se complica mucho. En la Figura 9.8 (a) se ha presentado una malla puente. En la misma, si se desea encontrar el valor de la corriente circulante en la resistencia R 5 con las herramientas que ya se conocen, se puede lograr, pero después de muchas operaciones. Existe una forma simplificada de resolver estas mallas, para lo cual primero se debe determinar el formato de las mismas. En la Figura 9.8 (a) se observa que existen dos mallas a saber: la (I) y la (II). Si se analiza la (II), ella es una red triángulo; de la misma forma, la (I) también lo es. En la red (b) de la misma figura, aparece nuevamente esta configuración como (III). E a b I 1 I 2 R 1 (I) R 2 I 5 R 5 c R 1 R 2 (III) E 1 R E 2 5 R 3 R 4 (II) R 3 I 4 d (a) I 3 E 3 (b) R 4 Figura 9.8: Malla tipo puente Equivalencia Estas mallas que responden a una red triángulo o PI, pueden ser conformadas en una malla estrella o viceversa. Si se logra esta transformación, la resolución se torna muy simplificada. La condición de este cambio es que la malla equivalente se comporte de igual forma que la original. Cabe acotar que solamente se realizará la transformación de la malla triángulo a estrella con su justificación matemática. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 15 / 69

16 Por otro lado, y dado que la inversa no tiene aplicación práctica, solamente se propondrán las equivalencias sin demostración. Así entonces se expone a continuación el cambio de una malla triángulo en estrella. Para ello se propone la Figura 9.9, en la cual se muestran las dos mallas separadas y la superposición de las mismas para su análisis. Es importante la nomenclatura y letras utilizadas en ambos casos, de tal manera que mediante una simple regla nemotécnica, se pueda hacer la transformación. I AB 1 Z B 2 Z A Z C I BC I Z 1 Z 2 Z 3 I 2 I AB =I 1 I BC =I 2 1 Z B 2 Z 2 Z 1 Z A Z C Z 3 3 I AC 3 I 3 3 I AC =I 3 Figura 9.9: Conversión entre mallas triangulo y estrella. La equivalencia debe cumplir que: quitando la malla triángulo y colocando en su lugar la estrella en la red considerada, la corriente en cada nodo debe ser la misma. Para ello, observando la Figura 9.9, la condición es que las corrientes: I 1 = I AB ; I 2 =I BC y I 3 =I AC La resolución se puede realizar por dos caminos: el primero, analizando las corrientes y el segundo es teniendo en cuenta los nodos. Entre ellos en cualquiera de las dos redes se deben ver las mismas resistencias o impedancias. Este mecánica es la que se aplicará en esta ocasión. Para ello, observando la Figura 9.9, se propone que entre los nodos 1-2; 2-3 y 3-1, se pueda determinar la equivalencia de las impedancias que concurren a dichos nodos. Así entonces se tienen las siguientes expresiones, las que además se ordenan: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 16 / 69

17 Para los nodos 1-2: Z ( Z + Z) ZZ + ZZ ZZ + ZZ Z1+ Z2 = ZB //( ZA + ZC) = = = ZB+ ZA+ ZC ZA+ ZB+ ZC ΔZ B A C B A B C A B B C (7) Para los nodos 2-3: Z ( Z + Z) ZZ + ZZ ZZ + ZZ Z2 + Z3 = ZC // ( ZA + ZB) = = = ZC+ ZA+ ZB ZA+ ZB+ ZC ΔZ C A B C A C B A C B C (8) Para los nodos 3-1: Z ( Z + Z) ZZ + ZZ ZZ + ZZ Z1+ Z3 = ZA //( ZB + ZC) = = = ZB+ ZA+ ZC ZA+ ZB+ ZC ΔZ A B C A B A C A B A C (9) Manipulando matemáticamente, ahora se resta (8)de (7)queda Z Z + Z Z Z Z + Z Z Z Z - Z Z ( Z2 + Z3) - ( Z1 + Z2) = - = Z3- Z1 = ΔZ ΔZ ΔZ A C B C A B B C A C A B (10) y ahora restando (9) de (8)queda Z Z + Z Z Z Z -Z Z Z Z -Z Z ( Z1+ Z3)-( Z1+ Z2) = - ( ) = Z3- Z2 = ΔZ ΔZ Δ Z A B A C A B B C A C B C (11) y restando de (10): ZZ-ZZ ZZ-ZZ ZZ-ZZ Z2-Z3-(Z1-Z 3) = - = -Z 2+Z 1= ΔZ ΔZ ΔZ A C B C A C A B B C A B y despejado Z 1 en esta expresión e igualando resulta: ZZ ZZ ZZ ZZ 2ZZ Z= 1 +Z2 = -Z2 = SumZ ΔZ ΔZ B C- A B A B - B C B C luego 2ZBZC 2Z 2= ΔZ y realizandooperaciones similares, se obtienen Z 1 y Z 3 Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 17 / 69

18 ZZ A B ZZ B C ZZ A C Z 1 = Z 2 = Z 3 = ΔZ, ΔZ, ΔZ Así entonces, se deduce: cada impedancia de la red triángulo se obtiene multiplicando entre si las dos impedancias que confluyen al punto común de ambas redes, dividido por la suma de las impedancias del triángulo. En cuanto a la transformación inversa, de poca utilidad práctica, la misma es la siguiente: Z A = ZZ +ZZ +ZZ Z ZZ +ZZ +ZZ Z B = Z ZZ +ZZ +ZZ Z C = Z Y se puede aplicar la siguiente regla: Cada impedancia de la red triángulo será igual a la suma del producto de cada dos impedancias de la red estrella que confluyen a cada nodo de la red, dividida por la impedancia de la misma opuesta a la considerada. Con los conceptos vertidos se podrá ahora aplicar a un caso concreto tal como en un circuito puente con los valores que se consignan, Figura E a I 4 b I 1 I 2 R 1 (I) R 2 I 5 R 5 R 4 (II) R 3 d I 3 E=11,28V R 1 =10Ω c R 2 =20Ω R 3 =50Ω R 4 = 5Ω R 5 = 5Ω Figura 9.10: Circuito puente. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 18 / 69

19 E b I 2 I 1 a R A =0,41Ω I A R 1 =10Ω R 2 =20Ω I C R C =4.16Ω c R B =4,16Ω d Figura 9.11: Circuito puente con una rama cambiada de triangulo a estrella. I B En el circuito a resolver, un puente que no está en equilibrio, se necesita conocer la corriente que circula por la rama R 5. La resolución, como se dijo anteriormente por Ohm y Kirchoff, es un poco complicada, pero si se hace una transformación de una de las mallas consideradas, su resolución es muy sencilla. Los valores de los componentes son los que se indican al lado del circuito. Se elige la malla (II) para realizar la conversión de triángulo en estrella, Figura También se podría elegir la malla (I). La nueva red se dibuja nuevamente con los valores obtenidos aplicando la transformación: R 5 R 4 /R 3 +R 4 +R 5 = 0,1Ω; R B =R 5 R 3 /R 3 +R 4 +R 5 =4,16Ω Se debe tener en cuenta, observando la Figura 9.9 que las corrientes deben cumplir: I 1 =I A e I 2 =I B. Para la determinación de la corriente total, se colocan en serie R 1 con R A y R 2 con R B y después ambas equivalentes en paralelo. Luego se suma a R C. R E1 = 10+0,41 = 10,41Ω; R E2 = 20+4,16 = 24,16Ω luego: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 19 / 69

20 10,41//24,16= 7,27Ω; y finalmente se le suma a este último resultado R C : 7,27+4,16=11,43Ω. Ahora se puede determinar la corriente total: I T = 11,43V/11,43Ω = 1A. Con esta corriente se determina la caída de tensión en R C = 4,16Ω1A= 4,16V. Se redibuja el circuito transformado para su mejor comprensión. En primer lugar se determina I 1 =(V bd -V ed )/10,41Ω=(11,43-4,16)/10,41= 0,6983A y por otro lado: I 2 =7,27V/24,16=0,3009A. Luego se encuentran las caídas en R 1 y en R 2. V R1 =10.0,6983=6,98V y V R2 =20.0,3009=6,018V. Ahora se vuelve a la red original y se determina la caída Vac=6,98-6,018V 1V. Con esta tensión se calcula la corriente en R3 que es de 5Ω. Luego 1V/5Ω=0,2A. La misma circula de aac. Ahora refiriéndose nuevamente al circuito original, de la Figura 9.10, se podrá comprobar, Figura Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 20 / 69

21 b 1A 11,43V 10Ω=R 1 R 2 =20Ω I 1 =0,6983A a c I 2 =0,3009A 0,41Ω=R A R B =4,16Ω e I C =1A R C =4.16Ω d Figura 9.12: Valores de tenciones, resistencias y corrientes del circuito puente trasformado. En el circuito se colocan ahora las corrientes encontradas después de la transformación, que circulan por R 1 y R 2. Además se conoce la corriente que circula desde aac y que es de 0,0231 A. Asimismo, como en el nodo d debe salir la corriente total: I T =1A, la suma de las corrientes por R 4 y por R 3 debe ser de dicho valor. Por lo tanto, razonando en el circuito y aplicando Kichoff, se encuentra: al nodo a llega I 1 y se desprenden por un lado la I 5 y por otro lado la I 4. Esta última se obtiene así: I 1 -I 5 = I 4 =0,6983-0,2= 0,4983 A; y por R 3 circulará I 3 = I 5 +I 2 = 0,2+0,3009= 0,5009. Finalmente, se debe comprobar que la suma de I 4 +I 3 debe ser: I T =1A= 0,4983+0,5009 Esto último demuestra que el problema está bien resuelto. No obstante ello, se comprobará aplicando la expresióndirecta para resolverlo. La corriente circulante entonces por R 5 será igual a: R. R - R. R [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) I = E R 4 R 5 R 2+ R 3 + R 3 R 1+ R 2 + R 1 R 5 R 2+ R 3 + R 2 R 3+ R 4 reemplazando se obtiene Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 21 / 69

22 I 5 = 0,2A. I T =1A I 1 =0,6983A b I 2 =0,3009A E=11,43V a R 1 R 2 I 5 =0,2A R 5 c I 4 =0,4983 I T =1A R 4 R 3 d I 3 =0,5009A Figura 9.13: Valores de corriente en el puente. Esta última expresión se obtiene de aplicar mallas al circuito puente, lo que aquí no se ha desarrollado, puesto que es muy tedioso. Esta expresión se ha obtenido de un texto sobre redes. Se comprueba, mediante ella, que haciendo la transformación triángulo a estrella, se puede obtener el resultado por un camino mucho más sencillo Resumen La técnica de conversión de redes Pi a estrella, se utiliza en el caso de redes en puente, en los cuales se hace muy tediosa su resolución. Para ello entonces, una malla con cuatro terminales (en realidad tres) que tenga forma de la letra PI o triángulo se puede transformar en una red estrella. Ello permite que intercambiándolas, el circuito se comporte exactamente igual. El procedimiento se recuerda con una regla nemotécnica: cada una de las impedancias de la red estrella será igual al producto de las impedancias que inciden en el mismo vértice del triángulo, dividido por la suma de las tres ramas del mismo. Así se conocen las nuevas impedancias que permiten su intercambio y hace más fácil la resolución de los problemas en los cuales intervienen estas configuraciones. También se pude realizar la inversa, para lo cual se expone la forma de realizarla Preguntas de autoevaluación Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 22 / 69

23 12) Para qué sirve transformar un circuito triángulo en estrella? 13) Las corrientes son las mismas en un circuito triángulos y uno estrella? 14) Las tensiones son las mismas en un circuito triángulos y uno estrella? Ejercicios Resueltos 7) En el siguiente circuito, hallar los voltajes y las corrientes para cada una de las ramas, empleando transformaciones Pi - Estrella y asociación de resistencias series, paralelo y mixtas. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 23 / 69

24 Resolución: Realizando transformación triangulo estrella entre las resistencia de 18KΩ, 5,6kΩ y 2,8kΩ Obtendremos el valor de las resistencias equivalentes RA, RB y RC respectivamente: 18. 5,6 3, ,6 2, ,8 1, ,6 2,8 2,8. 5, ,6 2,8 8, ,06 8,02 4,72 374,06 4,72 1,76 1 1,76 44,22 39, ,06 44,22 329,83 2 5,38 329,83 5,38 1,77 2 3,48 329,83 3,48 1,14 3 1,14 90,52 12, ,83 90,52 239, Propuestos 8) Encontrar el equivalente triángulo del siguiente circuito. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 24 / 69

25 9) Encontrar el equivalente estrella del siguiente circuito 10) Obtener la resistencia equivalente entre los nodos A y B (R AB ) 11) Dada la siguiente malla de resistencias todas iguales de valor R. 1) Cual es el valor de la Resistencia equivalente obtenida entre los nodos A y B? 2) Cual es el valor de la resistencia equivalente entre los nodos A y D? Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 25 / 69

26 9.4 Principio de superposición Introducción Este principio dice: "Todo circuito compuesto por componentes lineales y fuentes de tensión y corriente, se puede resolver determinando las corrientes, en tantas mallas o circuitos como fuentes de tensión o corriente posean, de tal manera que cada una de ellas disponga de solamente una sola fuente de corriente o de tensión con el resto desactivadas. Una vez obtenidas las corrientes de cada malla, posteriormente se superpondrán los circuitos determinados con los sentidos de las corrientes obtenidos, sumándose algebraicamente para cada caso, obteniéndose de esta manera las corrientes definitivas con su sentido". El proceso es similar al efecto que se produce cuando en un punto de una masa se aplican varias fuerzas concurrentes, representadas como vectores, obteniéndose entonces el desplazamiento total mediante una fuerza resultante. Para graficarlo, se expone un ejemplo en la Figura Es una masa con el punto de aplicación P, al cual concurren las fuerzas F 1, F 2, F 3 y F 4. Si se aplica, primero la fuerza F 1, se obtiene un determinado desplazamiento, y posteriormente aplicando las otras se irá obteniendo cada desplazamiento hasta obtener el total con la nueva posición de la masa en líneas de puntos. En este ejemplo, una vez aplicada cada fuerza, si después se superpone el efecto de cada una se obtendrá el efecto total con su resultante. Es Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 26 / 69

27 exactamente lo que se hace con un circuito tal como el ejemplo que se observa en la próxima Figura F2 F1 F3 P M R F4 Figura 9.14: Suma vectorial de fuerzas en una masa. I I R I 1 R 1 I L E R L R I`= 0 I`1 R 1 I`L E R L ++ I R I" I" 1 R I" 1 L R L V E R 2 R 2 (a) (b) (c) R 2 Figura 9.15: Resolución de un circuito por superposición. En la Figura 9.15 (a) se observa al circuito a resolver, consistente en encontrar las corrientes en cada rama y su sentido. En él se han dibujado las corrientes y sentidos estimados. En la Figura 9.15 (b) se ha esquematizado el primer circuito en el cual se ha desactivado la fuente de corriente (se ha reemplazado por un abierto) y se ha dejado la fuente de tensión E. En esas condiciones la corriente I = 0 I 1 = I L = E/(R 1 +R L ) Posteriormente se desactiva la fuente de tensión (se reemplaza por un cortocircuito), Figura 9.15 (c) y se determinan las corrientes I" = I; I" 1 ; I" L, por Kirchoff: I = I" 1 + I" L. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 27 / 69

28 Estas dos últimas se calculan de la siguiente forma: Primero se realiza el paralelo de R 1 con R L = R E y posteriormente se suman R + R E + R 2 = R De ello se calcula V = R I; y finalmente se obtiene V E = V - (V R + V 2 ) Con el valor de V E se determinan I" 1 y I" L. Por último se realiza la sumatoria de las corrientes calculadas en cada rama, obteniéndose entonces los valores de I 1 y I L. I 1 = I 1- I 1; I L = I L + I" L Por otro lado, I = I + I" = 0 + I" Note que en esta última expresión el valor de la corriente de la fuente de corriente constante es ella misma y no necesita determinación. En el caso de la corriente I 1, el sentido final es el correspondiente a la mayor de las dos. Como se ha visto, la determinación de las corrientes se ha obtenido por la superposición en este caso, de las dos mallas formadas, debido a que la red solo posee dos fuentes. De la misma forma se pueden determinar las corrientes en cualquier red que posea elementos lineales y fuentes de corriente y tensión, generándose tantas mallas como fuentes posea la red. En aquellos circuitos en los cuales las fuentes de tensión no sean ideales, se reemplazan directamente por su resistencia o impedancia interna. Esto último está expresando que este principio es general. También, en algunos circuitos en los cuales sea posible, se podrá reemplazar las fuentes de corriente por las de tensión o viceversa para Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 28 / 69

29 simplificar la resolución del mismo. En estos casos, el lector debe recordar la equivalencia entre fuentes de tensión constante y corriente constante. Por ello, a titulo recordatorio se esquematiza dicha equivalencia en la Figura También debe tener en cuenta al realizar la equivalencia, la correcta polarización tanto de la fuente de corriente como la de la fuente de tensión. I I I p R p I L R L E R S I L R L I = E/R P, R P = R S E = IR P, R S = R P Figura 9.16: Equivalencia entre fuentes de tensión y corriente. La equivalencia entre ambas fuentes siempre es posible si en el circuito considerado en el cual se desea realizar el cambio se disponga de la resistencia en paralelo con la fuente de corriente constante o la resistencia en serie con la fuente de tensión constante. Para que estos conceptos queden bien arraigados, a continuación se desarrolla un ejemplo en el cual se aplica el reemplazo, Figura I=1A I I P 10V R P R P =10Ω I 1 R 1 R 1 =10Ω Resolviendo por Superposición: I 1 = 1A E=R1.I1=10V 10V R S =R P =10Ω R S R=R P P I 1 =20V/20Ω=1A I 1 R 1 R 1 =10Ω Figura 9.17: Ejemplo de resolución por superposición y la equivalencia entre fuente de tensión y corriente. En el ejemplo propuesto, circuito de la izquierda, se han determinado las corrientes aplicando superposición, encontrándose en la resistencia R 1 una corriente de 1A; y en elcircuito de la derecha, en el cual se ha reemplazado la fuente de corriente por una de tensión, se ha encontrado para este circuito que la corriente en la resistencia R 1 es igual a la del otro circuito, Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 29 / 69

30 con lo que queda demostrado que el reemplazo de la fuente de corriente por la de tensión da como resultado que la equivalencia se cumple (circuitos entre líneas de puntos) Resumen Un método para resolver mallas en general es el TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN. El mismo dice que se puede descomponerse una red en tantas fuentes de corriente y de tensión como posea, resolviendo para cada caso las correspondientes corrientes de la red, las que tendrán un determinado sentido. Para esta operación, las fuentes inoperantes se reemplazan por un abierto (fuentes de corriente constante) y por un corctocircuito o su resistencia interna equivalente (fuentes de tensión). Posteriormente se superponen las mallas obtenidas y de allí se obtiene el resultado final Preguntas de autoevaluación 15) Qué dice el principio superposición en redes eléctricas? 16) Cuándo se aplica el método de superposición? Ejercicios Resueltos 12) Aplicar el Principio de Superposición para resolver el problema que a continuación se dibuja. Verifique primero si el puente está en equilibrio. 10V I 5V a I 1 b I 2 I 4 R 1 R 2 I L R L R 4 R 3 d I 3 c R 1 = 20Ω; I =? R 2 = 50Ω: I 1 =? R 3 = 20Ω; I 2 =? R 4 =100Ω: I 4 =? R L =100Ω; I L =? Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 30 / 69

31 Resolución: Trabajando con la fuente de 10V el circuito queda: ; ; 3 172,72 Trabajando con la fuente de 5 V el circuito queda: ,1 ; 2 9,10 ; 3 22, ,10 189, , ,10 49, ,10 140, ,72 22, , , , Propuestos 13) Resolver el siguiente circuito por superposición. Donde R 1 = 10Ω, R 2 = 30Ω, R 3 = 50Ω, R 4 = 5, R i1 = 200Ω, R i2 = 2Ω, I = 5A y E = 10V. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 31 / 69

32 14) Determine las corrientes de cada rama del siguiente circuito, por el método de superposición y por el método de las mallas, por el teorema de superposición. 15) Encuentre el valor de las corrientes por todas las ramas del circuito aplicando el Teorema de Superposición. 30 Ω 20 Ω 50 V 40 Ω 10 Ω 60 Ω 20 V 10 Ω 10 Ω 9.5 Teorema de Thevenin y Norton Introducción Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 32 / 69

33 Los teoremas de Thevenin y Norton permiten hacer la simplificación de circuitos complejos Teorema de Thevenin Cuando se tiene un circuito oculto o difícil de analizar y que está compuesto por fuentes de tensión y corriente, y por componentes lineales (resistencias, condensadores e inductancias) Figura 9.18 (a), se puede analizar el mismo construyendo un equivalente compuesto por una única fuente de tensión y una única resistencia en serie, Figura 9.18 (b). Esto es posible si este reemplazo se realiza entre dos puntos de una rama accesible del circuito. En dicha rama, en condiciones normales del circuito se produce una determinada caída de tensión o circula una determinada corriente. Al reemplazar a la red por el equivalente, por la misma rama deberá circular la misma corriente y por supuesto se debe producir la misma caída de tensión. Red o malla compuesta de elementos lineales y fuentes de tensión o corriente I Z S o R S Z L o F R L Rama a la que se tiene acceso I Z L o R L Red o malla a reemplazar (a) Circuito equivalente a la malla (b) Figura 9.18: Equivalencia entre un circuito complejo y uno compuesto por una fuente de tensión y una resistencia. De acuerdo a lo expresado en los párrafos anteriores, se puede entonces ensayar una definición del teorema de Thévenin tal como la que se expresa a continuación: En toda red compuesta por componentes lineales y fuentes de tensión y corriente, se puede reemplazar el efecto eléctrico que produce la red en una rama de la misma, por una única fuente de tensión en serie con una resistencia (impedancia). La tensión de Thévenin se mide en dicha rama quitando el componente lineal y Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 33 / 69

34 midiendo la caída de potencial con un voltímetro; y la resistencia (impedancia) equivalente se mide en la misma rama, quitando el componentes lineal y desactivando las fuentes. Las de tensión se reemplazan por un cortocircuito (resistencia o impedancia cero) o por su resistencia (impedancia) interna si posee y las de corriente por una resistencia (impedancia) infinita (abierto). Se debe tener en cuenta que si el circuito es de c.a se debe respetar la frecuencia. Es importante destacar que la potencia consumida por la malla original no tiene por qué ser igual a la consumida por la equivalente. En el interior de la malla puede existir un número importante de componentes lineales y fuentes que producen consumos determinados en su funcionamiento interno. Al encontrar el equivalente para una rama, compuesto por solo una fuente con una impedancia en serie, su consumo es el requerido solamente por la resistencia o impedancia de carga. Se debe tener en cuenta que la aplicación de este teorema permite la simplificación de un circuito muy complejo solamente realizando mediciones tanto de tensión como de resistencia o impedancia. En otras palabras es un método práctico y solamente hay que tener cuidado en la buena elección tanto del voltímetro como del óhmetro o puente para medir impedancias. Mediante algunos ejemplos de aplicación se fijarán los conceptos impartidos. En el próximo circuito, Figura 9.19 se desea aplicar el teorema en la rama ac denominada R L. Los valores de las resistencias del circuito son las siguientes: R 1 =10Ω; R 2 =20Ω; R 3 =50Ω; R 4 =20Ω; R L = 50Ω La medición de la tensión de Thevenin se realiza entre los bornes ac sin la resistencia R L. Para ello, primero se debe determinar la caída entre dichos bornes sin R L para lo cual se deben calcular las corrientes I 1, I 2, I 3 y I 4. Dado que al estar abierto ac, la corriente I 1 será igual a I 4 y la I 2 = I 3. Por ello entonces, R 1 se suma a R 4 y R 2 a R 3 y entre los equivalentes Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 34 / 69

35 encontrados se realiza el paralelo. La resultante, por ohm, se multiplica por la I de la fuente y se obtiene la caída entre los bornes b y d. b 1A a I 1 I 2 R 1 R 2 R L c I 4 R 4 R 3 d I 3 Figura 9.19: Circuito para obtener el equivalente Thevenin. Con dicha tensión se calculan I 1 = I 4 e I 2 = I 3. Posteriormente se encuentran las caídas entre da y dc y de ellas se extrae la tensión entre ac que es la de Thevenin. A continuación se realizan las operaciones matemáticas necesarias y en la Figura 9.20 se ha redibujado el circuito de la forma en que se resuelve para encontrar la tensión de Theveninde la Figura R 1 + R 4 = 10Ω + 20Ω = R E1 = 30Ω ; R 2 + R 3 = 20Ω + 50Ω = R E2 =70Ω R E1 paralelo R E2 = = 21Ω ; luego la caída de tensión seá: 21Ω.1A= 21V La corriente I 1 = 21V/30Ω = 0,7A ; y la corriente I 2 = 21V/70V = 0,3A ; con estos valores de corriente se determinan las caídas V4 = I 1.R 4 = 14V y V 3 = I 2.R 3 = 15V. De la diferencia entre ambas caídas se encuentra la tensión de Thévenin. 15V-14V= 1V= V Th Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 35 / 69

36 b I 1 I 2 R 1 R 2 1A a VTh + c V4=14V I 1 VTh =1V R 4 R 3 d I2 V3=15V Figura 9.20: Circuito para encontrar la encontrar la tensión de Thévenin. b R 1 R 2 Rg = a Ω c R 4 R 3 d Figura 9.21: Circuito para encontrar la encontrar la resistencia de Thévenin. Para determinar la resistencia de Thévenin (R Th ), hay que observar el circuito de la Figura 9.21, en la cual se ha desactivado la fuente de corriente (se ha reemplazado por un abierto o resistencia infinita) y se mide la resistencia entre los bornes ac(quitada la resistencia R L ). El lector debe notar que R 1 queda en serie con R 4 y R 2 también queda en serie con R 3, tal como se aprecia en la Figura 9.22 (a). Ambas resistencias equivalentes finalmente quedan entre si en paralelo, Figura 9.22 (b) y la resultante es la resistencia de Thévenin, Figura 9.22 (c). R 1 =10Ω b R 2 =20Ω R A =30Ω R Th =21Ω a c a c a c R 4 =20Ω d R 3 =50Ω R B =70Ω Ω (a) (b) (c) Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 36 / 69

37 Figura 9.22: Equivalencia para encontrar la resistencia de Thevenin. En la Figura 9.23 se representa a la derecha del circuito, su equivalente de Thévenin, compuesto por una fuente de tensión y una resistencia en serie, Figura 9.23 (a), y además se puede ver en la Figura 9.23 (b) que se ha transformado la fuente de tensión en una de corriente. En ambos casos la corriente circulante por R L e igual a 0,014 y va de c aa. 1A a I 4 b I 1 I 2 R 1 R 2 (I) R L I L R 4 R 3 d I 3 c Equivalente de Thévenin V Th =1V R Th =21Ω a c R L =50Ω I L =0,014A (a) Equivalente confuente de corriente I= 0,0476A I P =0,336A R P =21Ω a c R L =50Ω I L = 0,014A (b) Figura 9.23: Circuitos equivalente Thevenin. Finalmente, para corroborar la equivalencia se encontrará ahora la corriente y su sentido por la rama R L del circuito original. Para ello, primer paso, la configuración triángulo (I), Figura 9.24 (a) se transformará en una red estrella, Figura 9.24 (b). 1A b 1A 10Ω (I) 20Ω a R L =50Ω R L c 1A 1A b 2,5Ω I 1 I 2 a 6,25Ω 12,5Ω c I 4 20Ω (a) I L d 50Ω I 3 I 1 20Ω d (b) 50Ω I 2 Figura 9.24: Corroboración de los resultados por la conversión de triángulo a estrella. Obtenidas las resistencias equivalentes, se obtiene el circuito de la Figura 9.25 (b). En él se puede observar que en la rama de la izquierda, la Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 37 / 69

38 resistencia de 6,25Ω va en serie con la de 20Ω, igual a 26,25Ω y en la rama de la derecha, la resistencia de 12,5Ω va en serie con la de 50Ω igual a 62,5Ω y ambas equivalentes están en paralelo entre si, por lo que resulta 26,25x62,5 1640,625 = = 18,486Ω 26, ,5 88,75 y esta última se encuentra en serie con la de 2,5Ω, resultando finalmente el valor de 20,986Ω. Este valor multiplicado por la corriente de la fuente, da una caída de potencial entre b y d de 20,986 V. Con la ayuda de la Figura 9.25, se encontrarán las corrientes I 1 e I 2, para lo cual será necesario, restar de la caída total, el potencial de debp, quedando entonces, la caída de 18,486V. Con ese potencial, en la Figura 9.25 (b) se podrán determinar las corrientes I 1 e I 2 y posteriormente las caídas entre pa y pc y entre ad y cd. Las corrientes: I 1 = 18,864 V/26,25 Ω = 0,701 A; I 2 = 18,411/62,5 Ω = 0,295 A 1A p b 18,486Ω 2,5Ω d (a) 2,5V 18,486V 1A 6,25Ω p b 2,5Ω 4,40V 3,697V I 1 =0,704A a c 14,08V I 2 =0,295A d 14,788V (b) 20Ω 12,5Ω 50Ω 2,5V Figura 9.25: Corriente y tenciones del ejemplo. Por lo tanto, las caídas serán para cada caso: Vpa= 6,25Ωx0,701 A = 4,383 V; Vad = 20Ωx0,701 A = 14,027 V; Vpc = 12,5Ωx0,294 A = 3,687 V y Vcd = 50Ωx0,295=14,75 V. Ahora tomando como referencia el punto d que es el de menor potencial, se determinará la diferencia de potencial entre Vad y Vcdpara encontrar la Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 38 / 69

39 corriente que circula por la R L ; resultando: Vac = 14,027 V - 14,75 V = - 0,708 V, teniendo el terminal c mayor potencial que el a. Por lo tanto, dividiendo la tensión encontrada por la resistencia R L cuyo valor es de 50Ωse encuentra la corriente I L = 0,708/50Ω = 0,01416 A y su sentido es del terminal c al a, corroborando entonces que el equivalente de Thévenin encontrado entre dichos terminales, Figura 9.26 (b) produce la misma corriente que el circuito original, Figura 9.26 (a), línea de puntos. 1A 1A I 1 =0,687A b a R L =50Ω R L I 4 =0,701A 10Ω d (a) 20Ω I L = 0,014A 20Ω 50Ω I 2 =0,308A c I 3 =0,294A Equivalente de Thévenin que remplaza al circuito que está en el interior de la línea de puntos R Th =21Ω V Th =1V a c R L =50Ω I L =0,014 A (b) Figura 9.26: Circuito equivalente Thevenin. Con este ejemplo se ha podido corroborar la equivalencia. Lo que si debe quedar en claro, y se repite aquí lo expresado en párrafos anteriores, es que el consumo interno del circuito original, Figura 9.26 (a) no tiene porqué ser el mismo que su equivalente, Figura 9.26 (b). Asimismo el sentido de circulación de la I L, determina el sentido de la V de Thévenin. Ejemplo demostrativo de por qué conviene usar el teorema de Thevenin Suponemos que tenemos el circuito de la Figura 9.27 se necesita calcular a. Calcular la I L cuando R L = 1,5 kω. b. Calcular la I L cuando R L = 3 kω. c. Calcular la I L cuando R L = 4,5 kω.. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 39 / 69

40 Figura Ejemplo de utilización de Thevenin. Primero utilizamos la Ley de Kirchhoff de tensiones para problema. Analizando las mayas indicadas en la Figura resolver este Paraa cada valor de la resistencia de carga R L se sistema de ecuaciones y calcular el valor de I L tiene que plantear un a) Para R L = 1,5 kω. b)para R L = 3 kω. c) Para R L = 4,5 kω. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 40 / 69

41 Figura Mallas en el ejemplo de utilización de Thevenin. Si ahora resolvemos el problema por Thevenin. 1) Se quita la carga R L. para obtener la tensión de Thevenin (Figura 9.29) Figura Circuito paraa obtener la tensión del equivalente Thevenin. 2) Se hacen las mallas y se calculamos V Th 3) Cortocircuitar las fuentes de tensión y abrir las fuentes de calcula la R Th. (Figura 9.30) corriente y se Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 41 / 69

42 Figura Circuito sin fuentes para obtener la resistencia el equivalente Thevenin. 4) Se une la carga al circuito equivalente conseguidoo (Figura 9.31). Figura Circuito equivalente Thevenin. Ahora aplicando Thevenin es mucho más tenía. fácil resolver el problema que se a) Para R L = 1,5 kω. N b) Para R L = 3 kω. c) Para R L = 4,5 kω. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 42 / 69

43 Paraa encontrar los valores de tensión y corriente para cualquier carga solo hay que hacer una división simple y no estar calculando un sistema de ecuaciones paraa cada caso Teorema de Norton De la misma forma que se puedee reemplazar una red o malla en una rama, por una fuente de tensión con una resistencia en serie, se puede también realizar su equivalente con una fuente de corrientee con una resistencia en paralelo. Intuitivamente esta última aseveración puedee encontrarse en la equivalencia entre fuente de tensión constante y fuentee de corriente constante. Por ello entonces, similarmente comoo en Thévenin, cuando se tiene un circuito ocultoo o difícil de analizar y que está compuesto por fuentes de tensión y corriente, y por componentes lineales (resistencias, condensadores e inductancias) Figura 9.32 (a), se puede analizar el mismo construyendo un equivalente compuesto por una única fuente de corriente y una única resistencia o impedancia en paralelo, Figura 9.32 (b). Esto es posible si estee reemplazo se realiza entre dos puntos de una rama accesible del circuito o red. En dicha rama, en condiciones normales del circuito se produce una determinada caída de tensión o circula una determinada corriente. Al reemplazar a la red por el equivalente, por la misma rama deberá circular la misma corriente con el mismo sentido, y por supuesto se debe producir la misma caída de tensión. De acuerdo a lo expresado en los párrafos anteriores, se puede entonces ensayar, tal como se hizo para el teorema de Thévenin una definiciónn del teorema de Norton. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 43 / 69

44 Red o malla compuesta de elementos lineales y fuentes de tensión o corriente I L I Z L Rama a la que se o F I P tieneacceso R L RP o ZP I L Z L o R L Red o malla a reemplazar (a) Circuito equivalente a la malla (b) Figura 9.32: Circuito equivalente Norton. En toda red compuesta por componentes lineales y fuentes de tensión y corriente, se puede reemplazar el efecto eléctrico que produce la red en una rama de la misma, por una única fuente de corriente en paralelo con una resistencia (impedancia). La corriente de Norton se mide en dicha rama quitando el componente lineal y colocando un amperímetro; y la resistencia (impedancia) equivalente se mide en la misma rama, desactivando las fuentes. Las de tensión se reemplazan por un cortocircuito (resistencia o impedancia cero) o por su resistencia (impedancia) interna si posee y las de corriente por una resistencia (impedancia) infinita (abierto). Al igual que en el caso anterior, se debe destacar que la potencia consumida por la malla original no tiene por qué ser igual a la consumida por la equivalente. En el interior de la malla puede existir un número importante de componentes lineales y fuentes que producen consumos determinados en su funcionamiento. Al encontrar el equivalente para una rama, compuesto por solo una fuente de corriente con una impedancia en paralelo, su consumo es el requerido solamente por la resistencia o impedancia de carga. Esta transformación permite simplificar el circuito o malla, que puede ser muy complejo realizando mediciones tanto de corriente como de resistencia o impedancia. En otras palabras es un método práctico y solamente hay que tener cuidado en la buena elección tanto del amperímetro como del óhmetro o puente para medir impedancias. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 44 / 69

45 Para demostrar este teorema se lo aplicará al mismo ejemplo utilizado para el teorema de Thevenin. Este es el circuito que se expone en la Figura 9.33 (a). Se resolverá analíticamente el circuito para encontrar los valores de la corriente de Norton y la resistencia R P. La rama es la ac en la cual se aplicará el equivalente de Norton. Para que se pueda observar en forma más simplificada el circuito, se ha redibujado el mismo en la Figura 9.33 (b). Los valores de resistencias son: R 1 =10 Ω; R 2 =20 Ω; R 3 =50 Ω; R 4 =20 Ω; R L = 50 Ω. 1A I a I 4 b I 1 I 2 R 1 R 2 R 4 R 3 (a) I N R L d I 3 c 1A a R 1 =10Ω R 4 =20Ω I 1 I 4 (b) b I N I N I 2 I 3 d R 2 =20Ω R 3 =50Ω c 1A 1A b 6,66Ω ac 14,28Ω d (c) 6,66V 14,28V Figura 9.33: Circuito equivalente del puente. En la ilustración de la Figura 9.33 (b) se puede ver, que al colocar el amperímetro, se ha efectuado un cortocircuito entre los puntos ac (recuerde el lector que un amperímetro ideal es aquel en el cual su resistencia interna es cero). Por ello entonces, para encontrar la corriente I N se procede a resolverlo de la siguiente forma: las resistencias R 1 y R 2 están en paralelo, como así también la R 4 con R 3 : R1 R2 10Ω 20Ω R eq1= = = 6,66 Ω R1+ R2 10Ω + 20Ω R3 R4 20Ω 50Ω R eq2 = = = 14,28Ω R3+ R4 20Ω+ 50Ω Con los valores obtenidos se construye el circuito de la Figura 9.33 (c), se obtienen las caídas de potencial en Re 1 y Re 2 que allí se han especificado. Con esas caídas, y volviendo ahora al diagrama de la Figura 9.26 redibujado Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 45 / 69

46 en la Figura 9.33 (a), se podrán determinar las corrientes I 1, I 2, I 3 e I 4 aplicando Ohm: I 1 = 6,66/10= 0,666A; I 2 =6,66/20= 0,333A; I 3 =14,28/50=0,285A; I 4 =14,28/20=0,714A Posteriormente se obtiene la corriente de Norton haciendo la diferencia entre I 1 e I 4 o entre I 2 e I 3. En ambos casos se encuentra la corriente de Norton I N =0,0476 A, Figura 9.34 (b). El sentido de la fuente de corriente es de aac, puesto que a tiene mayor potencial que c. Si se conecta ahora la resistencia R L se observa que la corriente que circula por ella es igual a la obtenida en el circuito original y en el equivalente de Thévenin (Figura 9.26). Con ello queda demostrado mediante el ejemplo, el equivalente de Norton. 1A 1A I1= 0,666A I4= 0,714A a R 1 =10Ω R 4 =20Ω b I N I N =0,0476A d R 2 =20Ω R 3 =50Ω I2= 0,333A c I3=0,285A Equivalente con fuente de corriente I N = 0,0476A I P =0,047A R P =21Ω a c (b) Equivalente con fuente de corriente I N = 0,0476A I P =0,033A R P =21Ω a c R L =50Ω I L = 0,014A (c) Figura 9.34: Circuito equivalente Norton Resumen Otras herramientas muy útiles son el teorema de Thévenin y el de Norton. El primero permite, teniendo acceso a una rama, reemplazar todo el circuito por una única fuente de tensión, medida a circuito abierto sobre la rama (sin la impedancia de ella), con una impedancia en serie, medida desactivando todas las fuentes. El de Norton, admite realizar el reemplazo por una única fuente de corriente, la que se mide en la Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 46 / 69

47 rama, con una impedancia en paralelo, medida en forma similar para Thévenin Preguntas de autoevaluación 17) Qué dice el enunciado del teorema de Thevenin? 18) Qué dice el enunciado del teorema de Norton? 19) Cuál es la equivalencia entre los sistemas asociados por el teorema de Thevenin y Norton? 20) La resistencia de Thevenin es distinta a la de Norton? 21) La potencia disipada en el circuito es igual a la disipada en el circuito equivalente asociados por el teorema de Thevenin y Norton? 22) En donde las potencias son iguales en los circuitos asociados por el teorema de Thevenin y Norton? Ejercicios Resueltos 16) En el circuito que se dibuja a continuación aplique Norton en la rama ab: 20Ω 10Ω 10Ω a 10 V 20Ω 10Ω 10Ω b Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 47 / 69

48 Resolución: Equivalente de Norton 17) Calcular el equivalente de Theveninn del siguiente circuito. Obtener el equivalente Norton a partir del Thevenin. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 48 / 69

49 Resolución: La resistencia de Thevenin será: 4,5 El equivalente quedara: 4, ,53 4, ,2 12 1,33 9 1, , ) Calcular el equivalente de Norton del siguiente circuito. Obtener el equivalente Thevenin a partir del Norton. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 49 / 69

50 Resolución: Aplico superposición: a) Fuente de corriente: b) Fuente de tensión: Los equivalentes quedaran: 19) En el circuito tipo puente siguiente, se solicita que se encuentre el equivalente de Norton y su resistencia Rp. El equivalente se aplicará a la rama ac. Además se deberá comprobar si en la resistencia RLcircula la misma corriente. 13V I R1 R2 a b RL R4 R3 d c Respuestas: R1 = 10 Ω IN = 00,055 A R2 = 50 Ω RN = 38,546 Ω R3 = 80 ΩIRL = 0,04 A R4 = 35 Ω RL = 10Ω Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 50 / 69

51 Resolución: 1, 3, Calculo de RN: RN=38,55Ω 32, ,82 32,67 397,82.8,33 3,31 397,82. 24,34 9,68, 331, 2 66,2,, 276,57, ,57 54,43 Verificación: 38, ,94 38, ,43. 7,94 432,17 432,17 43,21 10 En el circuito original: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 51 / 69

52 ; 2 73,24 ; 3 116,75 ; ,24 116,75 43,51 20) En la figura, el cuadrado representa una combinación cualquiera de fuentes de tensión e corriente y resistencias. Se conocen los siguientes datos: Si la resistencia R es de 0,5 Ω la intensidad i es de 5A Si la resistencia R es de 2,5 Ω la intensidad i es de 3A Se pide calcular el valor de la intensidad i si la resistencia R es de 5Ω Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 52 / 69

53 Resolución: Se sustituye el conjunto de fuentes y resistencias más las resistencias de 3Ω y 5Ω por suequivalente Thévenin: Sobre el equivalente Thévenin se cumplirá: Vth i = R + R Con lo cual se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: Vth 5A = R th + 0,5Ω Vth 3A = R th + 2,5Ω Resolviendo: th V = 15 V; R = 2,5Ω Conocidos VTH y RTH se puede obtener el valor pedido: th Vth 15V i = 2A R + R = 2,5Ω+ 5Ω = th th Propuestos 21) Aplique el teorema de Thévenin en la rama ab del circuito de la figura: 10Ω 10Ω 10Ω a 1A 20Ω 10Ω 10Ω b 22) Aplique el teorema de Thévenin en la rama ab del siguiente circuito. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 53 / 69

54 10V 5V 20Ω 5V 10Ω 1A 10Ω 20V 5Ω 10V a 100Ω 1 KΩ 5Ω b 23) Calcular el equivalente de Norton del siguiente circuito. Obtener el equivalente Thevenin. Verificar los resultados obtenidos aplicando equivalencias. 24) Calcular el equivalente de Theveninn del siguiente circuito. Obtener el equivalente Norton. Verificar los resultados obtenidos aplicando equivalencias. 25) Calcular el equivalente de Norton del siguiente circuito. Obtener el equivalente Thevenin a partir del Norton. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 54 / 69

55 26) Calcular el equivalente de Thevenin del siguiente circuito. Obtener el equivalente Norton a partir del Thevenin. 27) Determinar el equivalente de Thévenin en la rama ac en el circuito puente de la figura y comprobar la corriente por RL. 1 A R1 R4 RL R2 R3 R1 = 55 Ω Respuestas: R2 = 30 ΩVTH = V R3 = 40 ΩRTH = Ω R4 = 10 ΩIRL = 0,339 A RL = 10 Ω 28) Sobre el circuito de la figura obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales A y B. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 55 / 69

56 29) Dado el circuito de la figura 1) Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b 2) Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales c y d 30) Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura entre los terminales A y B 9.6 Teorema de Máxima Transferencia de Potencia Circuitos Resistivos Puros En aquellas aplicaciones electrónicas en las cuales es necesario extraer la máxima potencia que puede entregar un generador a la carga, pudiendo el mismo ser un amplificador de audio, un equipo eco doppler, o un transmisor de radiofrecuencias, etc, se hace particularmente necesario tener en cuenta la resistencia o impedancia interna de quien provee la potencia, amplificador, eco doppler o transmisor de radiofrecuencia, para Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 56 / 69

57 alimentar a la carga. Esta última también debe tener ciertas condiciones respecto a la salida del generador. Por otro lado también estas condiciones tienen que ver con la calidad de las señales que se transfieren a la carga o a otros circuitos para que no se produzcan deformaciones u otros efectos tales como destrucción de la carga o del amplificador. Por ello, mediante la aplicación y demostración del Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia se encontrarán las condiciones necesarias para que se produzca la misma en forma lineal. Primero se demostrará para corriente continua y luego se generalizará para c.a. Demás está decir que la mayor cantidad de aplicaciones es para corriente alterna. Esto se entiende cuando se acoplan, por ejemplo un transmisor de radiofrecuencia a una antena; cuando se trata de acoplar a un circuito otro que recibe la energía del primero, etc. El enunciado del teorema dice: Cuando se posee un generador que alimenta a una carga a través de un valor fijo de resistencia, R S (que puede incluir resistencia interna del generador), la carga recibirá la máxima potencia, si la misma es igual a la R S. Se demostrará, mediante un circuito compuesto por un generador de c.c con su resistencia interna y una carga resistiva (Figura 9.35). Aplicando Kirchoff: E = V S + V L ; (12) y por otra parte, la potencia en la R L es igual a P L =R L I 2. Lo que se desea averiguar es la condición necesaria para que la potencia en R L (carga) sea máxima. Para ello será necesario variar dicha resistencia hasta encontrar que la disipación en ella sea la máxima. Por este motivo se ha colocado una carga variable representada por R L. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 57 / 69

58 Generador con su resistencia interna. E V S R S I L R L V L Figura 9.35: Circuito para demostrar la máxima transferencia de potencia. De la expresión (12) se puede obtener la corriente de la siguiente forma E = R S I + R L I = I(R S + R L ), y de esta expresión se obtiene: I = E R + R s L (13) La potencia disipada por R L será: P L = R L I 2 y reemplazando I encontrada en (13) se determina: 2 2 E ERL PL R = L = R s + R L Rs + RL ( ) 2 (14) Para encontrar la máxima potencia en R L, se deberá diferenciar la expresión (14) en función de R L e igualar la derivada a cero: 2 ERL d ( ) L Rs + RL E 2E RL 2 3 L L ( s + L) ( s + L) dp = = = 0 dr dr R R R R 2 2 2ERL E = 3 2 ( R + R ) ( R + R ) s L s L ; para que se cumpla debe ser: ( ) 2R L = R s + R L Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 58 / 69

59 , por loque finalmente queda: R s = R L Con ello se puede observar que la máxima potencia hacia la carga se obtiene cuando la resistencia serie es igual a la R L. Tal carga recibe la mitad de la potencia de salida de la fuente, fluyendo la otra mitad a la resistencia R S, que en la mayoría de los casos es la interna del generador Rg. Esta condición se manifiesta en la Figura E E/2=Vg Rg I L R L E/2=V L Figura 9.36: Caída de tensión para máxima transferencia de potencia. Para ejemplificar esta última posibilidad, se propondrá el siguiente problema con una equivalencia hidráulica: se desea conectar un tubo que conduce un líquido con otro de sección diferente, Figura Este caso es la conexión de un generador a una carga con distintas impedancias. Secciónmayor Sección menor Secciónmayor Sección menor (a) Turbulencia (b) Figura 9.37: Tubería con cambio de sección. Se puede observar en la Figura 9.37 (a), que la unión en forma directa del tubo de mayor sección con el de menor o viceversa, produce turbulencias modificando el ingreso del líquido al tubo de sección menor, lo que se traduce como una pérdida de carga (pérdida de potencia). Para que este fenómeno no tenga lugar, la conexión entre los tubos se realiza en forma tal que la sección vaya disminuyendo gradualmente, haciendo la transferencia de potencia, adecuada. En la Figura 9.38 se muestra la potencia transferida en función de la adaptación. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 59 / 69

60 Figura 9.38: Potencia transferida en función de la adaptación. Solo se tiene en cuenta la parte resistiva. Se supone que las reactancias están compensadas Circuitos reactivos El teorema se aplica también cuando la fuente y/o de la carga no son totalmente resistiva. Esto invoca un refinamiento del teorema de potencia máxima, que dice que ninguno de los componentes reactivos de la fuente y de la carga deben ser de igual magnitud pero de fase opuesta. Esto significa que la fuente y las impedancias de carga deben ser complejos conjugados el uno del otro. En el caso de circuitos puramente resistivos, los dos conceptos son idénticos. Sin embargo, las fuentes y cargas físicamente realizables por lo general no son totalmente resistiva, que tiene algunos componentes inductivos o capacitivos, y aplicaciones tan prácticas de este teorema, bajo el nombre de adaptación de impedancia complejo conjugado, no, de hecho, existe. Si la fuente es totalmente inductiva, a continuación, una carga totalmente capacitiva, en ausencia de pérdidas resistivas, recibiría el 100% de la energía de la fuente, pero enviarlo de vuelta después de un cuarto de ciclo. El circuito resultante es otra cosa que un circuito resonante LC en el que la energía continúa a oscilar hacia adelante y atrás. Esto se conoce como la Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 60 / 69

61 potencia reactiva. Corrección de factor de potencia, es esencialmente la misma idea que la impedancia compleja conjugada a juego a pesar de que se hace por razones totalmente diferentes. Para una fuente reactiva fija, el teorema de máxima potencia maximiza la potencia real suministrada a la carga por el conjugado complejo de juego de la carga a la fuente Prueba La corriente en el circuito es: I = E ( Rg + RL) + j( Xg + XL) y su módulo: I = E ( Rg + RL) + ( Xg + XL) 2 2 La potencia suministrada por la fuente a la carga: 2 PL I RL I = = = 2 ERL 2 2 ( Rg + RL) + ( Xg + XL) si en esta ecuación se mantiene R L constante, el valor de P es máximo cuando X g = X L, con lo que se convierte en: P L = 2 ERL ( R + R ) s L 2 Si, ahora, consideramos R L variable, nos encontramos en la situación particular correspondiente al caso resistivo puro, en el que teníamos máxima potencia cuando R g = R L, por lo que podemos decir que, en este caso, la máxima potencia transferida se produce cuando: R g = RL y X g = X L Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 61 / 69

62 por lo que: Z L * = Z Z L = Z g * g es decir, que la impedancia de carga Z L sea igual al complejo conjugado de la impedancia interna de la fuente Resumen El teorema de la máxima transferencia de potencia permite encontrar, para un circuito electrónico, la potencia máxima en la carga, en función de la resistencia interna de la fuente o generador. Así se obtiene que la transferencia es máxima cuando la resistencia interna de la fuente es igual a la de la carga. Para lograr este objetivo entonces, en los distintos circuitos en los cuales se transmite potencia, será necesario realizar lo que se denomina: adaptación de impedancias Preguntas de Autoevaluación 23) Si la resistencia del generador es distinta a la de carga. hay máxima transferencia de potencia entra generador y carga? 24) En caso de no poseer una resistencia fija de igual valor a la del generador. Cómo lo soluciona? 25) Qué condición se tiene que cumplir para que haya máxima transferencia de potencia entre un generador y una carga para un circuito resistivo puro? Demuéstrela. 26) Qué condición se tiene que cumplir para que haya máxima transferencia de potencia entre un generador y una carga para un circuito reactivo? Demuéstrela Ejercicios Resueltos 31) Precisar el valor de la resistencia de carga RL para el circuito que se muestran, a fin de obtener la máxima transferencia de potencia. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 62 / 69

63 Resistencias Teóricas R1=1.5k R2=2k R3=3.3k R4=3k R5=4.7k Ri=1k Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 63 / 69

64 Primero se retira RL del terminal a b y hallamos la corriente I para poder obtener el Entonces por la ley de kirchhoff: por lo tanto 6.97 V Para calcular retiramos la resistencia y reemplazamos por corto circuitos las fuentes de tensión del circuito; luego será igual a la resistencia equivalente vista desde los terminales a y b. Según el circuito al retirar se puede observar que: (R1, R2, R3) están en paralelo con luego tenemos: Entonces el será igual a: =8.572k Luego tenemos el circuito equivalente Thevenin entre a y b: Y al colocar la carga RL entre a y b, el circuito será así: Se tiene por la Ley de Ohm : Sabemos que: Según el Teorema de Máxima Transferencia de Potencia se da cuando por lo tanto Por lo tanto: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 64 / 69

65 32) Precisar el valor de la resistencia de carga RL para el circuito que se muestran, a fin de obtener la máxima transferencia de potencia. Primero se retira RL del terminal a b y calculamos el Luego por la ley de kirchhoff tenemos: En la malla 1: En la malla 2: Entonces de las dos ecuaciones que se obtienen de las dos mallas se obtiene que: Entonces el será igual a: 1.862V Luego para hallar el lo hacemos análogamente al primer circuito: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 65 / 69

66 Se observa que: Riesta en serie con R1 1+2=3k 3kesta en paralelo con R2 3x3.3)/6.3=1.57k 1.57kesta en serie con R =4.57k 4.57kesta en paralelo con (R4+R"i) 4.57x6.2)/10.77=2.63k Entonces el será igual a: 2.63k Entonces el circuito equivalente thevenin será: Y al colocar la carga RL entre a y b, el circuito será así: Se tiene por la Ley de Ohm : Sabemos que: Según el Teorema de Máxima Transferencia de Potencia se da cuando por lo tanto Por lo tanto: 33) Precisar el valor de la resistencia de carga RL para el circuito que se muestran, a fin de obtener la máxima transferencia de potencia. Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 66 / 69

67 Primero se retira RL del terminal a b y calculamos el Se tiene que: Luego para hallar el lo hacemos análogamente los circuitos anteriores: R1esta en paralelo con R2 1.5x3)/4.5=1k 1kesta en serie con R3 1+2=3k Entonces el será igual a: 3k Entonces el circuito equivalente thevenin será: Y al colocar la carga RL entre a y b, el circuito será así: Se tiene por la Ley de Ohm : Sabemos que: Según el Teorema de Máxima Transferencia de Potencia se da cuando por lo tanto Por lo tanto: Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 67 / 69

68 Propuestos 34) Calcule el valor de Rg que posee un generador cuando se le extrae la máxima potencia. El generador es de 60V y en el momento de la máxima potencia se le extraen 100 ma. Determine además el valor de R L y las caídas, tanto en el generador como en la carga. 35) Calcular Rc para obtener la máxima transferencia de potencia por parte de la fuente de corriente hacia la carga (Sugerencia: obtener primero equivalente Thévenin). 36) Cuánto debe valer la impedancia Z para obtener la máxima transferencia de potencia media desde el siguiente circuito? Con qué elementos implementarías la impedancia Z? Cuánto vale la potencia transferida a la carga Z? 9.7 Bibliografía [1] Knowlton, A. E.; Manual Estándar del Ingeniero Electricista ; Editorial LABOR; Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 68 / 69

69 [2] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; Circuitos Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales3ra Ed. Tomo 1 ; Editorial Alfaomega;2009. [3] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; Circuitos Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales3ra Ed. Tomo 2 ; Editorial Alfaomega;2011. [4] Terman, Frederick E.; Ingeniería en Radio ; Editorial ARBÓ;1952. [5] PACKMAN, Emilio; Mediciones Eléctricas ; Editorial ARBO;1972. [6] CASTEJÓN, Agustín y SANTAMARIA, Germán; Tecnología Eléctrica - Editorial Mc GRAW HILL;1993. [7] SANJURJO NAVARRO, Rafael; Maquinas Eléctricas ; Editorial Mc GRAW HILL;1989. [8] POLIMENI, Héctor G.; Documentos de Cátedra ; Tema 9 Teoría de Circuitos Pag. 69 / 69