Geodesia Física y Geofísica

Transcripción

1 Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2016 Ing. José Francisco Valverde Calderón jose.valverde.calderon@una.cr Sitio web:

2 Introducción La superficie del mar es una superficie menos compleja que la superficie topográfica; presenta una orografía suave, sin rupturas, por lo que cuando esta en reposo, es una superficie equipotencial. El campo gravitatorio terrestre establece el nivel de los mares (esta tiende a estar en una posición de equilibrio). Se considera este superficie como óptima para un sistema de alturas

3 Introducción Lo anteriormente indicado es una situación ideal; los mares se ven afectados por: Mareas (atracción de la Luna y el Sol) Corrientes oceánicas Diversas densidades del mar niveles de sal que contienen La topografía del suelo marino Viento Para hablar de la forma de la Tierra: Hay que encontrar una superficie que sea física (generada por el CGT) O puede ser aproximada mediante una figura geométrica Es una tarea de la geodesia encontrar ambas superficies.

4 Diferencias entre el geoide y el elipsoide*

5 Importancia del campo gravitatorio terrestre Proporciona la vertical del lugar Determinar órbitas satelitales Efectuar nivelación con métodos satelitales Análisis de la distribución de masas a lo interno de la Tierra. Necesario para que otras geociencias cumplan sus tareas, donde se destaca la Geofísica.

6 El operador nabla ( ) es un operador diferencial Puede aplicarse de diferentes formas a escalares y a vectores Está definido matemáticamente como: Gradiente: Considerando una función V(x, y, z) definida y derivable en todo punto como un campo escalar, el gradiente de V define la derivada direccional de ese campo. i j k x y z El significado físico de gradiente está asociado a la máxima tasa de cambio espacial del escalar y proporciona a la vez la dirección de esa variación máxima V V V V grad V i j k x y z

7 Divergencia: Sea V(x,y,z) un campo vectorial (CV) definido y derivable en todo punto, se define la divergencia de V como: La divergencia representa la diferencia entre el flujo que entra y el que sale de un CV sobre la superficie que rodea un volumen. V x, y, z Vxi Vy j Vzk V V x y V V div V x y z i j k Rotacional: Si V(x,y,z) es un CV definido y derivable en todo punto, el rotacional de este campo está V dado por: x y z rot V V V V V V y z x z x y z y z x y x V V i j k V V V x y z z

8 Operador de Laplace o Laplaciano El operador de Laplace o Laplaciano ( 2 ) se define como la divergencia del gradiente de un potencial V, es decir: 2 V V Cuando se expresa en coordenadas cartesianas. Cuando el Laplaciano de un campo escalar o potencial es cero, se dice que satisface la ecuación de Laplace. 2 V div grad V V V x y z V 2 2 2

9 Concepto de campo Ejemplo: El Sol ejerce una fuerza de atracción sobre los planetas Ésta es una fuerza a distancia, no hay contacto Para explicar estas fuerzas a distancia se admite que el Sol perturba el espacio que lo rodea; esto produce una deformación Un planeta gira alrededor del Sol, debido a que el Sol tira de él (concepto de acción a distancia ) La interpretación física es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación Esta perturbación del espacio es lo que se denomina CAMPO Un campo es una función que determina en cada punto del espacio el valor de una magnitud física. Si la magnitud es un escalar, es un campo escalar Si la magnitud es un vector, es un campo vectorial

10 A los campos escalares se les asocia superficies equipotenciales A los campos vectoriales se les asocia líneas de campo o de fuerza

11 Otra definición: En una región cerrada S, existe un campo, creado por una magnitud física, si es posible asignar en cualquier momento, el valor de dicha magnitud física para todos los puntos de S.

12 Campo uniforme Uniforme: los vectores fuerza tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido en todos los puntos Ejemplo: campo eléctrico que existe entre las placa de un condensador plano es un ejemplo de un campo uniforme

13 En los campos centrales las direcciones de todos los vectores de fuerza convergen en un mismo punto, llamado centro de campo El modulo del vector depende únicamente de la distancia del punto considerado al centro del campo Ejemplo: el campo gravitatorio terrestre Campo central

14 Campos conservativos Un campo de fuerzas es conservativo, si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula desde un punto A a otro punto B depende solo de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido. El campo gravitatorio es conservativo. La energía potencial gravitatoria de la masa m cuando se encuentra a una distancia r de la masa M viene dada por la expresión: Mm Ep G r

15 La energía potencial gravitatoria será negativa, ya que su máximo valor lo alcanza cuando la masa m está infinitamente alejada de M, y en ese punto se le asigna un valor cero. Campo gravitatorio: perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener MASA. El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales (radiales) y conservativo. El campo gravitatorio se describe mediante dos magnitudes: Una vectorial: Intensidad de campo gravitatorio en un punto del campo (aceleración de la gravedad, g) Una escalar: Potencial gravitatorio en un punto del campo, V

16 Teoría del potencial Geoide: Superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, idealizado como los mares en reposo, proyectados bajo las masas continentales. Potencial (W): Cantidad de trabajo necesario en un punto P para traer una partícula de masa unitaria hacia P desde el infinito. Superficies equipotenciales, vector de gravedad

17 Superficie equipotencial: superficie en donde el potencial de gravedad es el mismo. El vector de gravedad es perpendicular en cada punto El geoide es una superficie equipotencial, donde W es constante A las superficies equipotenciales también se les llama superficies de nivel La líneas que cortan de forma normal a las superficies de nivel se llaman Líneas de plomada La magnitud del vector de gravedad depende de la densidad del terreno.

18 1. Son continuas, sin rupturas y forman superficies cerradas alrededor de la Tierra. 2. Su distribución esta dada por la distribución de masas de la Tierra. 3. Las S.N no son paralelas. 4. Su radio de curvatura no varia bruscamente y sus variaciones se asocian con cambios de densidad. 5. No se cortan entre si. Propiedades de las S.N 6. El vector de gravedad es perpendicular a estas. 7. El valor de la gravedad NO es constante. 8. En cada punto, el vector de gravedad y la superficie de nivel son tangentes 9. En general, las líneas de plomada no son rectas, al no ser paralelas las superficies de nivel.

19 Propiedades de las S.N Los sistemas de medición utilizados para la determinación de alturas (y en general coordenadas) se orientan según campo de gravedad terrestre. El plano horizontal del instrumento coincide con la línea tangente a la superficie equipotencial que pasa por el punto de observación. El eje vertical del instrumento coincide con la línea de la plomada Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica

20 Propiedades de las S.N La falta de paralelismo de la S.N producen que la altura de un punto dependa del camino que se recorra (HB dn) Tomado de Sanchez, L. 2011: Notas de la III Escuela SIRGAS, Heredia, Costa Rica

21 Galileo Galilei fue quien demostró la relación entre la aceleración de la gravedad y la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre, mediante la fórmula: s = distancia g = aceleración de la gravedad t = tiempo

22 F km m 1 2 l 2 l F = fuerza de atracción m = masas de los cuerpos l = distancia entre las masas k = constante de gravitación universal Newton enuncia la ley de gravitación universal. Esta relaciona la masa y la fuerza gravitacional k x m kgs 2

23 Función potencial Función potencial gravitatoria: V km r A partir de la anterior ecuación, se puede calcular el potencial generado por una masa puntual sobre una determinada masa. Si se tiene un sistema con n- masas atrayentes

24 Cuando se tiene un número infinito de masas atrayentes con densidad homogénea, en una región cerrada, cada una con masas infinitesimalmente pequeñas, se tiene: m v v m = densidad m = masa v = volumen del cuerpo

25 Considerando una porción diferencial del cuerpo: dm dv dv dm Por lo que se calcula el potencial debido a una distribución infinita de masas como: V k Volumen dv r Considerando la densidad constante: V k Volumen dv r

26 Potencial debido de una masa puntual: V km r Potencial debido a una distribución de masas puntuales: Potencial debido a un número infinito de masas puntuales: V k Volumen dv r

27 Propiedades de la función potencial 1. El valor de V cuando r tiende al infinito es cero. limv 0 r 2. El potencial V y las primeras derivadas son continuas en todo el espacio. V V V,, existen x y z 3. En cada punto exterior a las masas atrayentes, el potencial satisface la ecuación de Laplace. V V V x y z V

28 Ecuación de Laplace La ecuación de Laplace es una ecuación de derivadas parciales Para una función u en R 2, se escribe como: u x u y Para una función u en R 3, se escribe: u u u x y z Las soluciones a la ecuación de Laplace se llaman Funciones armónicas, y tienen la característica de que las primeras y segundas derivadas son continuas.

29 Ecuación de Poisson El potencial V es continuo para todo el espacio y es igual a 0 en el infinito Las primeras derivadas de V, también son continuas en todo el espacio (propiedad 2 de la función potencial) No ocurre lo mismo con las segundas derivadas, ya que en el interior de las masas atrayentes se presentan discontinuidades. La discontinuidad de Mohorovicic, es una zona de transición entre la corteza y el manto terrestre.

30 Por este motivo, dentro de las masas atrayentes, el potencial V satisface la Ecuación de Poisson 2 Ecuación de Poisson V 4k Ecuación de Poisson Por lo tanto, el potencial gravitacional es una función armónica en el espacio exterior, ósea fuera de las masas atrayentes.

31 Coordenadas esféricas El sistema de coordenadas esféricas se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante distancia y dos ángulos. Un punto P queda determinado por tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud y el azimut. En algunos casos, se puede encontrar que en vez de la colatitud, se utiliza la latitud o en vez del azimut, la longitud. Coordenadas esféricas r = Radio = Colatitud = Azimut

32 Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas u u u x y z Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas Ecuación de Laplace en coordenadas Esféricas

33 Solución a la ecuación de Laplace La ecuación de Laplace, en coordenadas esféricas Potencial gravitacional en coordenadas esféricas: n es un número entero, mayor o igual a 0. m es un número entero y su rango es 0 m n. P nm son las funciones asociadas de Legendre, de grado n y orden m. Donde a nm, b nm son constantes. Si se desea formular una serie para el potencial en el interior de la esfera, se sustituye el termino 1/r n+1, por el termino r n.

34 Polinomios de Legendre Calculo de la función de Legendre m nm 1 2 d 2 ( ) (1 ) 2 n Pnm t t ( t 1) ; (0 m n) n nm 2 n! dt Existe un caso especial, cuando m=0, la función de Legendre se llama Polinomio de Legendre Pn,0( t) Pn( t) Fórmula de Rodríguez n 1 d 2 Pn ( t) ( t 1) n n 2 n! dt n=0, m=0: P 0 1 d ( t) (1) (1) 1 11 dt 0,0 0 n n=1, m=0: n=1, m=1: 1 d P1,0 ( t) (1) ( t 1) 2t t 21! dt d 1 2 P1,1 ( t) (1 t ) ( t 1) 1 t 2 1 t 2 21! dt

35 Las funciones de Legendre, como los polinomios de Legendre, se pueden determinar por medio de formulas recursivas: 2n 1 n m 1 Pn, m( t) tpn 1, m( t) Pn 2, m( t) n m n m n1 2n1 Pn ( t) Pn 2( t) tpn 1( t) n n Con base a esta fórmula, se puede calcular el polinomio P 2, a partir de conocer P 0 y P 1, conocer P 3 a partir de P 1 y P 2 Usualmente, las funciones de Legendre son normalizadas: P nm, (cos ) Polinomios de Legendre ( n m)! 2(2n 1) Pnm. (cos ), m 0 ( n m)! 2n 1 Pn (cos ), m 0 La magnitud de los armónicos esféricos son valores muy pequeños y su valor disminuye conforme se incrementa el grado de las Funciones Asociadas de Legendre

36 Armónicos esféricos Los armónicos esféricos son el producto de las funciones de Legendre por los términos cos m o sin m Se puede efectuar una representación geométrica de los armónicos esféricos. Considerando: cos m, m 0 Yn (, ) Pnm (cos ) sin m, m Cuando m=0 se denominan armónicos esféricos zonales. Como se puede observar, son independientes de la longitud.

37 Armónicos esféricos Los armónicos esféricos zonales tienen n ceros en el intervalo 0 En el caso de que n=m, se llaman armónicos esféricos sectoriales Y cos n (, ) P (cos ) sin n n, n nn La esfera queda dividida en sectores positivos y negativos.

38 Armónicos esféricos Cuando m n, se denominan armónicos esféricos teserales. Dividen la esfera como un tablero de ajedrez

39 Armónicos esféricos

40 Armónicos esféricos n = 2, m = 0 n = 16, m = 0 n = 35, m = 0 n = 50, m = 0

41 Armónicos esféricos n = 16, m = 4 n = 4, m = 4 n = 4, m = 2 n = 16, m = 16

42 Potencial gravitacional terrestre V Satélites en órbitas bajas son afectados por un amplio espectro de perturbaciones debido al C.G de la Tierra. El modelado del campo de gravedad de la Tierra usando armónicos esféricos es conveniente para la integración numérica de las trayectorias de los satélites, asi también como desarrollos analíticos para las perturbaciones orbitales. El enfoque común para el modelado del campo gravitacional es el uso de armónicos esféricos: n n GM a V ( r,, ) 1 Pnm(cos ) Cnm cos m Snm sin m r n 0 r m0 Potencial de una esfera de densidad homogénea

43 Potencial gravitacional terrestre V La representación del geopotencial puede ser definido como un conjunto de tres partes constituyentes: V = V 0 + V 1 + V 2 La primera parte es simplemente el termino dominante de la expresión, correspondiente al grado y orden 0. La función asociada de Legendre P 00 tiene un valor de 1, lo mismo que el coeficiente C 00. El término V 0 = GM/r. Este es el potencial familiar resultante de tratar el cuerpo como una masa puntual.

44 Potencial gravitacional terrestre V La segunda parte de la representación armónica esférica son términos que no tienen dependencia de la longitud. Son los términos con m = 0 y son denotados como la contribución zonal del potencial GM a V P sin C 1 n,0 n,0 r n1 r El término zonal 2 modela la contribución debido al achatamiento planetario. Este es el segundo mayor contribuyente de todo el potencial, siguiendo la contribución del cuerpo central. El termino de grado 1 es 0 asumiendo que el centro del sistema de coordenadas fijo a la Tierra. n

45 Potencial gravitacional terrestre V La notación J n es frecuentemente usada para los coeficientes zonales en lugar del de C n,0. Las dos notaciones difieren en signo: J C n n,0 La parte zonal de potencial es escrito de la siguiente forma: GM a V 1 Pn,0 sin Jn r n1 r La parte remanente de la representación armónica esférica es la parte dependiente de la longitud: n GM a n V2 Pn, m sin Cn, m cos m Sn, m sin m r n1 r m1 n

46 Potencial gravitacional terrestre V El mayor contribuyente longitudinal del potencial es usualmente los términos de grado 2 y orden 2. Estos términos representan la cantidad en que el planeta esta fuera de redondez sobre el ecuador. El coeficiente zonal de grado 1, coeficientes de grado y orden 1 serán 0 al asumir que el centro del sistema de coordenadas coincide con el centro de masas V GM r GM a P sin C r n1 r GM r n n,0 n,0 n a n Pn, m sin Cn, m cos m Sn, m sin m n1 r m1 V0 + V1 + V2

47 Potencial gravitacional terrestre V Expresión para el potencial gravitacional (V) de la Tierra: n n GM a V ( r,, ) 1 Pnm(cos ) Cnm cos m Snm sin m r n 0 r m0 GM = constante G por la masa terrestre. a =Semieje mayor del elipsoide de referencia. r = distancia desde P al centro de la Tierra. Pnm = Funciones asociadas de Legendre. =colatitud. Cnm, Snm = coeficientes armónicos, los cuales describen la distribución de masas dentro del cuerpo central, en este caso, la Tierra. Comúnmente están normalizados. El termino GM/r describe el potencial de un cuerpo esférico homogéneo, por lo que se le conoce como Termino Kepleriano.

48 Potencial gravitacional terrestre V Para la geodesia de satélites, la anterior fórmula se escribe de la siguiente manera: En la práctica es imposible extender el grado del polinomio hasta el infinito

49 Modelos del campo de gravedad globales Tomado de:

50 Tomado de:

51 Potencial gravitacional V, AIUB-CHAMP03S