Capítulo 6. Procesos y parámetros a considerar en el análisis

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1 Capítulo 6. Procesos y parámetros a considerar en el análisis Los principales parámetros que intervienen en el problema son: medias y varianzas de las variables, distancias integrales, coeficiente de correlación, punto de condicionamiento, valor del condicionamiento y variable sobre la que se condiciona. Las combinaciones de las diferentes posibilidades que tienen estos parámetros nos llevarían a un número de casos a realizar demasiado grande para poder ser analizado en una tesina. Así pues, se han escogido las combinaciones que se han considerado más interesantes de analizar. A continuación se va a exponer como se ha actuado sobre dichos parámetros. Dado que los casos conservativos (capítulo 7) y los casos con transmisividad constante (capítulo 8) son casos particulares de nuestro problema, algunos de los parámetros no intervendrán en dichos casos. 6. Medias y varianzas de las variables Los campos de log-transmisividad y de log-coeficiente de distribución son campos Gaussianos que para crearlos hemos tenido que fijar su media y su varianza. El valor de las medias, es irrelevante para nuestro estudio, ya que se trata de un estudio más cualitativo que cuantitativo, por lo tanto, hemos escogido una media de la transmisividad igual a uno, lo cual implica una media de Y igual a cero. Para el coeficiente de distribución se ha escogido un valor de K d que en media provoque retardos de entre dos y tres veces el tiempo conservativo. Dado que para nuestros casos sintéticos hemos escogido ρ b =,6 y Φ = 0, la media de K d escogida ha sido 0,8, de modo que: ρb, 6 R = + K d = + 0,8=,5 (6.) φ 0, Respecto a la varianza de la log-transmisividad, cuanto menor sea, menos variabilidad espacial se le está suponiendo, o lo que es lo mismo, más tendemos a medios homogéneos. Lo que nos interesa es estudiar la heterogeneidad, así que no nos conviene coger varianzas muy pequeñas, pero numerosos estudios entre ellos los datos recogidos por Gelhar (99) por todo el mundo han demostrado que para varianzas mayores a uno el sistema empieza a no ser estable. Así, hemos escogido una varianza de Y igual a uno. Este es el caso extremo, - 5 -

2 es decir, si obtenemos resultados razonables para varianzas igual a, podemos pensar que funcionará bien para varianzas inferiores. La varianza del log-coeficiente de distribución, viene determinada indirectamente en función de la varianza de la Y y de una variable aleatoria independiente W cuyo papel es que la transmisividad y el coeficiente de correlación no estén perfectamente correlacionados (ver apartado 4.4). Esta variable W es una variable Gaussiana con media nula y varianza uno. Resumiendo, los parámetros fijados para los casos sintéticos son los siguiente: Y = = 0 σ Y W = = 0 σw (6.) La varianza del log-coeficiente de distribución depende del valor del coeficiente de correlación entre Y y K d según la expresión (4.). A continuación se muestra una tabla en la que se puede ver el valor de las varianzas para cada caso, según los distintos coeficientes de correlación que se han estudiado. β var Y var W var Z - -0,5,5 0 0,5,5 Tabla 6-. Tabla con los valores que toman las distintas varianzas para cada coeficiente de correlación. Observamos que cuando β = ±, la varianza de Z es el doble que la de Y. 6. Coeficiente de correlación Llamaremos β al coeficiente de correlación entre la transmisividad y el coeficiente de distribución según la expresión (4.0). Este coeficiente puede tomar valores comprendidos entre y. El signo y la magnitud de la correlación entre ln (K d ) y ln (T) depende de la dirección y de la escala de heterogeneidad respectivamente. Esto es debido a que los diferentes acuíferos tienen características físicas y químicas distintas. Así pues, la dependencia de la correlación entre ln (K d ) y ln (T) de la escala de heterogeneidad y de la dirección es un aspecto que no debe ser menospreciado en modelos estocásticos que describen el transporte de solutos reactivos

3 Se han estudiado los siguientes valores de β: -, -0,5, 0, 0,5,. El hecho de que hayamos fijado las varianzas de Y y de W provoca que los retardos vengan determinados por el coeficiente de correlación escogido en cada caso. Para los casos sintéticos condicionados, las varianzas de Y y de W valdrán siempre, por tanto, en nuestro caso tendremos distintos retardos en función de la β escogida, que podrán deducirse de las expresiones siguientes: ρb R = + Kd φ ρ σ ( ) b ln k, exp d ρ β σ b Y + σw Kd = + Kd G R = + Kd, G exp (6.) φ φ σ = σ ln k d Z = β σy + σw A continuación se muestra una tabla con las medias de los retardos que aparecen en nuestros casos según los distintos coeficientes de correlación estudiados: β Var ln Kd <Kd> <R> - 0,76 5,06-0,5,5 0,5,79 0 0,46,46 0,5,5 0,5,79 0,76 5,06 Tabla 6-. Valores de los retardos que sufre la partícula para los distintos coeficientes de correlación estudiados 6. Distancia integral Recordamos que la distancia integral λ es una medida de hasta qué distancia las variables están correlacionadas en un cierto grado (ver apartado.). Teniendo en cuenta que tenemos una malla de 00 metros de lado con un pozo de bombeo en el centro (L = ). Hemos estudiado los siguientes valores: - 5 -

4 Variable λ L / λ a Y / Z 5 0, Y / Z, Tabla 6-. Parámetros de los dos casos de heterogeneidad estudiados Durante el estudio, cuando nos refiramos al primer caso en que la distancia integral tiene un valor λ=5 (L/λ = 0), hablaremos de escala de heterogeneidad pequeña, y cuando λ= (L/λ=), hablaremos de escala de heterogeneidad grande. El valor del rango a en la Tabla 6- se obtiene de la relación a = (8/) λ para un variograma esférico (ver apartado.). A continuación se muestra el aspecto de una malla no condicionada con un distancia integral λ = 5: (a) Escala de grises (b) Colores Figura 6-. Una de las simulaciones de un campo de transmisividades no condicionado con media 0 y varianza. Escala de heterogeneidad pequeña (λ = 5). Podemos comparar el aspecto de esta figura con el de la Figura 6- en que la escala de heterogeneidad es grande (λ =):

5 (a) Escala de grises (b) Colores Figura 6-.. Una de las simulaciones de un campo de transmisividades no condicionado con media 0 y varianza. Escala de heterogeneidad grande (λ = ) 6.4 Puntos de condicionamiento La medida de la transmisividad tiene un coste económico alto, es por eso que en la realidad no se realizan muchas medidas. Lo más lógico sería tomar muestras en los pozos ya existentes, es decir, en el pozo de bombeo. Aún así, dado que se trata de un caso teórico hemos querido estudiar la influencia del condicionamiento en diferentes puntos para ver su influencia y la relación entre ellos. Así pues, hemos condicionado en tres puntos (ver el esquema en la Figura 6-):. El pozo de bombeo, situado en el centro (ver Figura 6-4 para una simulación de un campo condicionado).. El punto de inyección, situado a una distancia de 44,5 celdas del pozo de bombeo (malla de 00 elementos de lado) (ver Figura 6-5).. En un punto a grados del punto de inyección y del pozo de bombeo, pero situado a la misma distancia del centro que el punto de inyección (ver Figura 6-6)

6 Punto de inyección Pozo de bombeo Punto a grados Figura 6-. Esquema de la situación de los tres puntos de condicionamiento Figura 6-4. Media de 000 campos condicionados sobre la transmisividad en el pozo de bombeo con un valor Y=. Escala de heterogeneidad pequeña (L /λ = 0)

7 Figura 6-5. Media de 000 campos condicionados sobre la transmisividad en el punto de inyección con un valor Y=-. Escala de heterogeneidad pequeña (L/λ = 0) Figura 6-6. Media de 000 campos condicionados sobre la transmisividad en un punto a º con un valor Y=. Escala de heterogeneidad pequeña (L/λ = 0) Como puede verse en las Figuras 6-4 a 6-6 el valor medio de transmisividad es cercano a cero excepto en una zona muy localizada alrededor del punto de condicionamiento. No sucede lo mismo para los casos con escala de heterogeneidad grande, ya que el condicionamiento influye en todo el medio y el valor medio de la transmisividad ya no es cercano a cero sino al valor del condicionamiento. Este fenómeno lo podemos observar en la Figura 6-7 en la que se muestra el mismo caso que en la Figura 6-4 pero con L/λ =

8 Figura 6-7. Media de 000 campos condicionados sobre la transmisividad en el pozo de bombeo con un valor Y=. Escala de heterogeneidad grande (L/λ = ) 6.5 Valores de condicionamiento Se han estudiado 4 casos. No se ha de olvidar que nosotros condicionamos sobre las variables Y y Z que son el logaritmo neperiano de la transmisividad y del coeficiente de distribución respectivamente. A continuación se muestra una tabla con los valores escogidos para el condicionamiento sobre Y y Z y los valores reales sobre la transmisividad y el coeficiente de distribución. Y T - 0,0-0,68,78 0,086 Z Kd - 0,0-0,68,78 0,086 Tabla 6-4. Valores del condicionamiento sobre Y Tabla 6-5. Valores del condicionamiento sobre Z