Sistemes d equacions

Transcripción

1 Resoleu els següents sistemes: Unitat 4: Sistemes d equacions 1) 2x y z 1 x 2y z 0 3x 2z 5 2) 2x y z 4 x z 1 x y 3 3) x y z 0 x z 1 x 2y 1 4) 2x 10y 8z 6u 2 x y z u 2 x 15y 12z 9u 0 5) 8x y 4z 9 5x 2y 4z 6 x y 1 6) x y z 1 x y z 3 7) 6x y 3z 9 6x 8y 10 2x 5y z 4 8) 2x y 2 2x2y 1 2x y 2 x5y 1 9) 3x 3y 2z 4 3y2z 0 3x 3y 2z 8 10) x 3y z 0 2x 6y 5z 0 3x y z 0 11) x 2y 3z 0 2x3z 0 3x2y 0 12) x y z 0 y z 0 x 2z 0 13) x2y 0 2x y 0 4x3y 0 14) 4x y 2z 0 3x 2y 4z 0 15) 2x y z 0 2x 2y z 0 2x 2y 4z 0 4x 2y 7z 0 8x y z 4 16) 4x 2y 1 6x y 3z 9 9x y z 4 17) 4x 2y 2z 1 5x 3y 3z 3 x y z 3 18) x z 1 y z 0 2x y 3z 4 19) x y 5z 1 x y z 0 3x 2y z 1 22) 10x 3y 5 4x y 2z 1 3x 2z 1 20) x 2y z 2 7x 2y 5z 3 3x 3y 4z 2 23) 2x y z 3 4x 5y 7z 1 2x y 3z 4 21) x 4y z 1 8x 5y 7z 10 2x y 3z 0 24) 5x 3y 2z 4 9x y 4z 4 blocs.xtec.cat/euler Pàgina 1

2 Solucions: ) Compatible determinat; x, y, z ) Compatible determinat. x=2, y=z=1. 3) Compatible determinat; x=y=1, z= ) Compatible indeterminat; x, y, z 2 2, u ) Compatible indeterminat; x, y, z ) Incompatible. 7) Incompatible. 8) Incompatible. 9) Incompatible. 10) Compatible determinat, x=y=z= ) Compatible indeterminat; x, y, z ) Compatible determinat; x=y=z=0. 13) Compatible indeterminat; x 2, y. 14) Compatible indeterminat; x 0, y 2, z. 15) Compatible determinat; x=y=z= ) Compatible determinat; x, y, z ) Compatible indeterminat; x, y, z ) Compatible determinat; x 1, y 2, z ) Compatible determinat; x 2, y, z ) Incompatible ) Compatible indeterminat; x, y, z ) Incompatible ) Compatible indeterminat; x, y, z ) Compatible indeterminat; x, y, z blocs.xtec.cat/euler Pàgina 2

3 Unitat 4: Discussió de sistemes 1. Calculeu el valor de a que fa que el següent sistema d'equacions lineals sigui incompatible: 2x ay a 5 ax 8y 2 (Sol: a=-4) 2. En estudiar un sistema lineal dependent del paràmetre k pel mètode de Gauss, hem arribat a la matriu ampliada següent: k k 1 0 Discutiu el sistema en funció del paràmetre k. (Sol: k=2 SI; k=1 SCI; k 1, k 2 SCD) 3. Discutiu i, si escau, resoleu el sistema següent segons els valors del paràmetre a: 2x y 5 x y a 3x 2y 4 (Sol: a=1 SCD, x=2, y=-1; SCI; a 1, SI) 4. Discutiu en funció del paràmetre p el sistema d equacions lineals de matriu ampliada p p 1 0 (Sol: p=-5 SI; p=1 SCI; p 1, p -5 SCD) 5. Discutiu en funció del paràmetre m el sistema d equacions següent: x y mz 1 x y z 2 En el cas que sigui possible doneu també la solució. 1 m (Sol: m=-1 SI; m -1 SCI, z, y, x 1 m1 m 1 ) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 3

4 6. Discutiu en funció del paràmetre a el sistema següent: x y z 5 5x y z 11 3x y az 2 (Sol: a=-3 SI; a -3 SCD) 7. Discutiu el sistema següent segons els valors del paràmetre a: x ( a 1) y 1 ax 2y 2 Resoleu-lo per al valor de a que el fa indeterminat. (Sol: a=1 SI; a=-2, SCI x=1+λ, y=λ; a 1 i a -2 SCD) x y z 0 8. Donat el sistema d equacions x y 2z 0. Calculeu k per tal que kx 2y z 0 el sistema tingui més d una solució i resoleu-lo. (Sol: k 2; z 0, y, x -.) x py p 9. Donat el sistema : px y p a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p = 2. (Sol: a) p=1 SCI; p=-1 SCI; p 1 i p -1 SCD; b) x=y=2/3) Un sistema de tres equacions i tres incògnites s escriu 3 2 a Estudieu la seva compatibilitat en funció dels valors del paràmetre a i resoleu-lo quan això sigui possible. 5 3a 9 3a 4 (Sol: SCD :a 2; z, y, x. SI :a 2 ) a 2 a 2 a 2 11.Sigui el sistema x 2y 10 x my 5 a) Trobeu per a quin valor de m és x=0. b) Trobeu per a quin valor de m és incompatible el sistema. (Sol: a) m=-1; b) m=-2) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 4

5 12.Sigui el sistema x y z a 1 x y ( a 1) z a x ay z 1 a) Per a quins valors de a és compatible i determinat? b) Per a quins valors de a és indeterminat? Resoleu-lo. c) És incompatible per algun valor de a? (Sol: a) Si a 2 i a 1.b) Si a=1 i a=2. c) No hi ha cap valor de a que faci que el sistema sigui incompatible.) 13.Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? x 2y az 3 14.Considereu el sistema d equacions següent: 2 x ( a 5) y z 4a 2 4 x ( a 1) y 3z 4 a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x=1, y= 3, z= 1 sigui l única solució del sistema? (Sol: a) a=9 SI, a=2 SCI; b) No perquè a=2 i aleshores és SCI) 15.Calculeu el valor del paràmetre k per tal que el sistema sigui compatible i resoleu-lo: x 3y 5z 2 2x 4y 2z 1 5x 11y 9z k (Sol: SCI :k 4; z, y, x.) Discutiu el següent sistema d equacions i resoleu-lo quan sigui possible: 3x y 2z 1 2x 3y z 9 5x 9y kz (Sol: SCD :k 8; z 0, y, x SCI :k 8; z, y, x.) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 5

6 17.Discutiu el següent sistema d equacions i resoleu-lo quan sigui possible: 2x y 3z 9 x 3y 2z 1 5x ay 4z 19 (Sol: SCD :a 1; z 1, y 0, x 3. SCI :a 1; z, y 1, x 4. ) 18.Discutiu el següent sistema d equacions i resoleu-lo quan sigui possible: 3x 2y z 2 x 5y 2z 3 x ay 3z 2a (Sol: SCD :a 8; z 3, y 2, x 1. SCI :a 8; z, y, x.) x y 2z 7 19.Del sistema d equacions x 3y 4z 9 sabem que és compatible i x y az b indeterminat. Calculeu el valor dels paràmetres a i b i resoleu-lo. (Sol: SCI :a 2, b 5; z, y 2, x 3. ) x y 7z 1 20.Veieu que el sistema d equacions x 2y 11z 0 té infinites 2x y 10z 3 solucions. Quantes d aquestes solucions compleixen x, y, z són més grans quatre? (Sol: Les solucions són z, y 4 1, x 3 2i ) perquèsiguin més grans que 4 cal que Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d equacions següent: 2x y z k 4 ( k 6) y 3z 0 ( k 1) x 2 y 3 (Sol: a) k=-3 SI; k=5 SI; k -3 i k 5 SCD) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 6

7 Problemes de sistemes 1. Dues proves de consum d un cotxe han donat els resultats següents: en la primera s han recorregut 120 Km. per carretera i 30 per ciutat, i s han gastat 9 5 litres de gasolina, mentre que en la segona s han recorregut 65 Km per carretera i 55 per ciutat, i el consum ha estat de 9 litres. Quins són els consums del cotxe (en litres cada 100 Km) circulant per carretera i per ciutat? (Sol: 5 43 i 9 95 litres/100 Km) 2. Una empresa elèctrica fabrica electricitat per mitjans hidràulics, tèrmics i nuclears. El Kwh produït per aquests mitjans costa 2, 10 i 7 cèntims d euro respectivament. La producció total de l any passat va ser de 110 milions de Kwh i el cost total, de 8 5 milions d euros. Quina va ser la producció per cadascun dels tres mitjans si l energia produïda hidràulicament només representa el 8% del total? (Sol: Kwh, Kwh i Kwh respectivament) 3. Una empresa fabrica tres models de televisors, que anomenarem A, B i C. El model A necessita passar dues hores a la unitat de muntatge; el model B, tres, i el model C, una. El model A ha de passar una hora a la unitat d acabat, el model B, dues, i el C, tres hores. En total s han produït 14 aparells de televisor, la unitat de muntatge ha treballat 25 hores i la unitat d acabat ha treballat 26 hores. Quants televisors de cada tipus s han produït? (Sol: 7 del model A, 2 del B i 5 del C) 4. Els animals d un laboratori han d observar una dieta estricta. Cada animal rep 10 gr. de proteïnes i 3 gr. de greixos. Es disposa de dos tipus d aliments: el tipus A, que conté un 5% de proteïnes i un 3% de greixos, i el tipus B, que conté un 10% de proteïnes i un 1% de greixos. Quants gr. de cada aliment es poden utilitzar a fi d obtenir la dieta correcta d un únic animal? (Sol: 80 gr d A i 60 gr de B) 5. Si un milió de votants de l esquerra haguessin votat la dreta, les dues coalicions haurien obtingut els mateixos vots. Però si un milió de votants de la dreta haguessin votat l esquerra, aquesta coalició n hagués tret el triple que aquella. Trobeu els vots de cada coalició. (Sol: 5 milions l esquerra, 3 milions la dreta) 6. Una persona va invertir euros repartits en tres empreses i va obtenir 4500 euros de beneficis. Calcula la inversió que va efectuar a cada empresa si sabem que va fer el doble d inversió a l empresa A que a la B i la C juntes, i que els beneficis de les empreses van ser del 5% a l empresa A, del 10% a la B i del 20% a la C. (Sol: a la A, a la B i 5000 a la C) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 7

8 7. En un determinat poble es representen tres espectacles que anomenarem E1, E2 i E3 respectivament, cada un amb un preu diferent. Calculeu el preu de cada espectacle si sabem el següent: - Si assistíssim dues vegades a E1, una vegada a E2 i també una vegada a E3 ens costaria Si anéssim tres vegades a l'espectacle E1 i una a E2 ens costaria 46,5. - En el cas d'assistir només una vegada a cada un dels tres espectacles ens costaria 21,5. (Sol: 12 5 ; 9 ; gratis) 8. La Joana i la Mercè tenien cadascuna per invertir. Cadascuna d elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat financera. Al cap d un any, a la Joana li han donat un 4% d interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850 d interessos, mentre que la Mercè n ha rebut 950. De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R? (Sol: P=Q=5000, R=10000 ) 9. Tres germans tenen edats diferents, però sabem que la suma de les edats dels tres germans és de 37 anys, i la suma de l edat del gran més el doble de l edat del mitjà més el triple de l edat del petit és de 69 anys. a) Expresseu les edats dels tres germans en funció de l edat del germà petit. b) És possible que el germà petit tingui 5 anys? I 12 anys? Raoneu la resposta. c) Calculeu l edat dels tres germans. (Sol: a) x=5+z, y=32-2z; b) No, no. c) 15, 12 i 10 anys) 10. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2000, el seu salari és de 1200 i, si ven per valor de 2500, el salari és de Trobeu el percentatge que guanya sobre el total de vendes i el sou fix. (Sol: sou fix de 800 i un 20%) 11. Tenim dues caixes de llibres A i B. Si passem 12 llibres de la caixa A a la B, totes dues caixes tindran la mateixa quantitat de llibres. Si passem 12 llibres de la B a la A, la caixa A tindrà el triple de llibres que la caixa B. Quants llibres conté cada caixa? (Sol: A=60, B=36) 12. Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B i C en l elaboració de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 s elabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 s elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C, i la P3 s elabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C. El preu de venda al públic és de 4,80 per a P1, 4,10 per a P2 i 4,90 per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) és d 1,60 en cadascuna, trobeu quant costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada. (Sol: A=0,6, B=0,5, C=0,8 ) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 8

9 13. La despesa mensual en salaris d una empresa de 36 treballadors és de Hi ha tres categories de treballadors que indicarem A, B i C. El salari mensual d un treballador de la categoria A és de 900, el d un de la B és de i el d un de la C és de Sense acomiadar ningú, l empresa vol reduir la despesa salarial en un 5%. Per fer-ho ha rebaixat un 5% el salari de la categoria A, un 4% el de la B i un 7% el de la C. Esbrineu quants treballadors hi ha de cada categoria. (Sol: A=11, B=20 i C=5) 14. Una companyia aèria de baix cost fa vols des de Girona fins a tres ciutats, A, B i C. Calculeu el preu dels bitllets a cada ciutat amb la informació següent: si ven 10 bitllets per anar a la ciutat A, 15 per a la B i cap per a la C, ingressa 925 ; si ven 12 bitllets per a A, 8 per a B i cap per a C, ingressa 760 ; si ven 6 bitllets per a A, 5 per a B i 8 per a C, ingressa 855. (Sol: 40, 35 i 55 ) 15. Tres entitats financeres, A, B i C, ofereixen, respectivament, per a dipòsits superiors a 2000, un interès anual del 2%, 3% i k% (que no coneixem). La Joana, en Manel i en Dani decideixen invertir els estalvis en aquestes entitats durant un any. Sabem que si tots ho fessin a l entitat A, obtindrien en total uns beneficis de 164 ; però si la Joana optés per A, en Manel per C i en Dani per B, obtindrien 192 ; finalment, si la Joana i en Manel es decidissin per B i en Dani per C, obtindrien 218. a) Escriviu un sistema d equacions que descrigui la situació. b) Sense resoldre el sistema, determineu la quantitat total de diners invertida entre les tres persones. c) Trobeu, si existeix, un valor de k per al qual hi hagi infinites solucions. Resoleu el sistema per a aquest valor de k, i doneu-ne tres solucions diferents. (Sol: b) 8200 ; c) k=2; (5400,0,2800), (4400,1000,2800), (3400,2000,2800) 16. Una persona va a la vinateria i compra tres classes de vi. En total, en compra 20 botelles i s hi gasta 100. Compra botelles de tres classes, A, B i C, que costen 3, 7 i 8 respectivament. Trobeu el nombre de botelles de cada classe que ha comprat, sabent que almenys n ha comprat una de cada classe. (Sol: 11, 5 i 4) 17. Una botiga ha venut 600 exemplars d un videojoc per un total de L original costava 12, però també n ha venut còpies, defectuoses, amb descomptes del 30 % i 40 %. Si sabem que la quantitat de còpies venudes va ser la meitat del nombre d originals, calcula a quantes còpies es va aplicar el descompte del 30 %. (Sol: es va aplicar un 30 % de descompte a 120 còpies) blocs.xtec.cat/euler Pàgina 9