TEMA 4. ONES ESTACIONÀRIES

Transcripción

1 TEMA. ONES ESTACIONÀRIES. Introducció Fins ara hem estudiat les ones quan es propaguen sempre per un medi infinit, obert i sense límits. En la immensa majoria dels casos això no és real. Per exemple:. Una habitació tancada. es ones sonores es propaguen i reboten a les parets.. Ones sísmiques. Es propaguen per l interior de la Terra que té una grandària finita. 3. Una corda que oscil la lligada a una paret. En aquests casos es poden produir el que anomenem ones estacionàries. es ones estacionàries són un cas particular d interferència de dues ones que iatgen en sentits oposats molt interessant i que coné estudiar.

2 . Reflexió d ones unidimensionals Abans d endinsar-nos en les ones estacionàries ens coné respondre dues preguntes:. Què li passa a un pols d ona que en iatjar per una corda, es troba l extrem lligat a la paret?. I si l extrem es lliure? Respondrem la pregunta a partir de dues animacions. Animació extrem lligat Animació extrem lliure 3. Ones estacionàries Considereu una corda de longitud com la de la figura i que està lligada pels dos extrems. Per l extrem esquerra es generen ones a traés d un cigonyal connectat a un pistóque fa oscil lar la corda tensa. ψ es ones generades arribaran a l extrem fix de la dreta, es reflectiran i interferiran amb elles mateixes. El resultat d aquesta superposició és una ona que sota certes freqüències de ibració es pot considerar estacionària. Veiem això amb més detall. Animació Ona estacionària. Corda amb extrems lliures.

3 3. Ones estacionàries Matemàticament l explicació anterior es pot escriure de la següent forma: Ψ Ona incident Ona reflectida Ψ = A cos( ωt + kx) Ona interferència Ψ = Ψ + Ψ A cos( ωt + kx) Ψ = A (cos( ω3 t cos( ω3 t + kx)) =...(*) α Amb l ajut de la relaciótrigonomètrica: I que α β α + β = kx = ωt β α β α + β cosα cosβ = sin sin (*) Ψ = A sin ( kx ) sin ( ωt ) ona interferència que s obté s ha d arreglar perquè els arguments no siguin negatius Ψ = A sin 3. Ones estacionàries ( sin( ωt) = A sin(kx) sin( ωt) = A sin(kx) cos ωt + π Caracterísitiques de les ones estacionàries ona interferència que obtenim té les següents característiques:. a freqüència de ibraciócoincideix amb la de l ona incident ψ.. amplitud de l ona interferència està modulada i al : A ' = A sin(kx) 3. Quan es forma una ona estacionària (anomenat estat estacionari) apareixen punts de la corda que no ibren mai. Aquests punts s anomenen nodes. Per determinar la sea posició cal igualar A a zero. A' = 0 A sin(kx) = 0 sin(kx) = 0 π kx = ± nπ x = ± nπ x = ± n n = 0,,... Posiciódels nodes en la corda 3

4 3. Ones estacionàries Estats estacionaris de ibració. Es produeixen per a certes freqüències de ibració. Animació d ones estacionàries f = f = f =Hz ; =m/s ; =m r harmònic n harmònic = = Nodes n= n= n= x=0 X= x=0 x= Freqüència / = = = f f 3r harmònic t harmònic 3 = 3 = x = n n= n= n=3 n= n= n=3 n= x = 0 x= 3 x= 3 x = 0 x = = = f3 3 f 3 = = f f Exemples Tenim una corda de longitud = 0,5 m i de massa m = 0,05 kg sotmesa a una tensió T = 00 N. Trobeu la elocitat de propagació de les ones, la freqüència fonamental de ibració i la del tercer harmònic. Considereu una corda de longitud lligada pels dos extrems en la que es generen ones estacionàries l equació de les quals e donada per: π Ψ = 0, sin(3x) cos t + Determineu la longitud de la corda i la elocitat de propagació de les ones, sabent que la coda ibra segons el 5èharmònic.

5 . Ones estacionàries Considereu una corda de longitud com la de la figura i que està lligada per un extrem. Per l extrem de la dreta es generen ones a traés d un cigonyal connectat a un pistóque fa oscil lar la corda tensa. ψ es ones generades arribaran a l extrem lliure de l esquerra, es reflectiran i interferiran amb elles mateixes. El resultat d aquesta superposició és una ona que sota certes freqüències de ibració es pot considerar estacionària. Veiem això amb més detall. Matemàticament l explicació anterior es pot escriure de la següent forma: Ψ + kx) Ona incident Ona reflectida Ψ Ona interferència Ψ = Ψ + Ψ + kx) + A cos( ωt Ψ = A (cos( ω3 t + kx) + cos( ω3 t ) =...(*) α Amb l ajut de la relaciótrigonomètrica: I que. Ones estacionàries α β α + β = kx = ωt β α β α + β cosα + cosβ = cos cos (*) Ψ = A cos ( kx ) cos ( ωt ) 5

6 . Ones estacionàries Caracterísitiques de les ones estacionàries ( kx) cos( t) Ψ = A cos ω ona interferència que obtenim té les següents característiques:. a freqüència de ibraciócoincideix amb la de l ona incident ψ.. amplitud de l ona interferència està modulada i al : A ' = A cos(kx) 3. Quan es forma una ona estacionària (anomenat estat estacionari) apareixen punts de la corda que no ibren mai. Aquests punts s anomenen nodes. Per determinar la sea posició cal igualar A a zero. A' = 0 A cos(kx) = 0 cos(kx) = 0 n + π n + (n + ) kx = π x = π x = n = 0, ±, ±... Posiciódels nodes en la corda. Ones estacionàries Estats estacionaris de ibració. Es produeixen per a certes freqüències de ibració. f = f = Nodes Freqüència / r harmònic = x= = 3r harmònic 3 = 3 n + x = n= x=/3 x= 3 3 = = f3 3 f 3 5è harmònic 5 = 5 n= n= /5 x=3/5 x= 5 5 = = f5 5 f 5 6

7 ACTIVITATS -PG. 3 -PG. 3 -PG. 36 FU 3 IBRE DE TEXT MOODE 3,, 5 6 7, 8, 9, 0,,, 3, 7, 9 ACTIVITATS ACTIVITATS Índex d applets Fiisca-TIC/-5VibracionesyOndas/ondas/ondas6.htm extrem lliure.swf rias.html#actiidades 7