Tema 3. Problemas rozamiento.

Transcripción

1 Profesorado Grupo : María irado Miranda Grupo : Jorge Portí Durán Grupo C: rtur Schmitt

2 2. Una barra C homogénea está en equilibrio apoyada en los puntos y de una superficie cilíndrica. Suponiendo que la superficie es lisa en y rugosa en, determinar las reacciones en y sobre la barra, así como el valor mínimo del coeficiente estático de rozamiento en. Datos: peso de la barra 100kg, longitud L=6m, a=3.2m, =30. L a

3 Los contactos se sustituyen por reacciones normales a la superficie en y a la varilla en. La figura muestra la barra con las reacciones y algunas dimensiones necesarias. R NO SORE L RECCIÓN EN : y N a R y =N C Ecuaciones de equilibrio: R G Diagrama de fuerzas y reacciones P Rx 0 Ncos Psin FR 0 (1) Ry 0 N Nsin Pcos 0 (2) L M z 0 a N Pcos 0 (3) 2 R x =F R Solución: N = 10.8kg, N = 81.2kg, F R = 40.6kg. x Nótese que la reacción en introducida por el rozamiento equivale a la de una articulación, siendo su componente y una normal, siempre positiva, y su componente x, el rozamiento,que puede ser positivo o negativo.

4 Mínimo valor del coeficiente de rozamiento en Las fuerzas obtenidas aseguran el equilibrio, pero sabemos que la fuerza de rozamiento tiene un máximo determinado por el coeficiente estático de rozamiento, de modo que F R F rmax =µ e N. Esto significa que, conocidos F R y N, µ e debe cumplir µ e F R /N. En definitiva, µ e debe superar un momento mínimo µ min =F R /N. En nuestro caso y para el punto, µ min =F R /N =40.6/81.2=0.5.

5 4. Un cuerpo de masa m se apoya sobre un segundo cuerpo de masa m, que a su vez se apoya sobre una superficie plana. Los coeficientes estáticos y dinámicos de rozamiento entre y son e y cc y entre y la superficie plana son e y c.sobre el cuerpo se ejerce una fuerza horizontal de módulo F. Determinar: a) el mínimo valor de F para que el sistema deslice y determine la fuerza de rozamiento, F R1,entreyenese preciso instante. b) el mínimo valor de F para que el cuerpo deslice respecto de y el rozamiento entre los cuerpos y. F

6 a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior F d1 genera la situación de deslizamiento inminente del cuerpo : Rozamiento máximo entre y el suelo. El rozamiento entre y no es máximo. La aceleración del sistema y de cada parte es nula, por tanto, se trata de un PROLEM DE EQUILIRIO Sistema global N P P N F d1 Cuerpo inferior N Cuerpo superior P F R P F d1 F R N N N

7 a) Estudio del deslizamiento del cuerpo inferior Equilibrio del sistema global, situación de deslizamiento inminente: R 0 N P P, y R 0 F N ( P P ) ( m m ) g, x d1 e e e P F d1 donde g es la aceleración de la gravedad. El sistema se comporta como un solo cuerpo de peso la suma de ambos pesos. N P Equilibrio del cuerpo superior: N R 0 N P, R y x 0 F 0. R El cuerpo superior no detecta rozamiento del inferior puesto que éste aún no se ha movido. F R P N

8 b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior Cuestiones previas: Se trata de un problema dinámico en el que una fuerza F provoca movimiento del sistema con una aceleración horizontal, a. El rozamiento F R es el valor dinámico, c N, puesto que hay movimiento relativo entre y el suelo. El rozamiento F R genera la aceleración en el cuerpo superior, pero, mientras y se muevan juntos, se trata de una situación de rozamiento estático entre y, es decir, 0 F R e N. Mayor aceleración implica mayor rozamiento, F R. La situación de deslizamiento inminente del cuerpo respecto del se produce cuando F R alcanza su valor máximo, e N, y ocurre para F=F d2. c N F R F R P N N P a a F d2 F N

9 b) Estudio del deslizamiento del cuerpo superior respecto al inferior: DESLIZMIENO INMINENE Movimiento del sistema superior con una aceleración horizontal, a: R 0 N P (1) y P R m a N P m a a g e x e e e m (2) F R P N a Movimiento del sistema inferior: R 0 N N P N P P (3) y R m a F N N m a x d2 c e (4) F R N a F d2 F P Resolviendo el sistema: ep a eg y Fd 2 e c m m g m c N N

10 6. El bloque pesa 50N y el bloque pesa 25N. Si el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es 0.15, determine el valor de para el cual el movimiento es inminente. Figura 6

11 Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución N P P N Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas N P N N N Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas Estrategia: Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados. N P N Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

12 Resolución P Equilibrio del sistema global: R 0 2 N P P sin 0 (1) x R 0 N P P cos 0 (2) y y N P x N Equilibrio del cuerpo superior: R 0 N P sin 0 (3) x R 0 N P cos 0 (4) y N P N Solución: =31.0N y =46.4

13 7. El bloque de peso 200kg se apoya sobre el bloque de peso 400kg y éste a su vez sobre un plano inclinado. El bloque se sujeta a una pared mediante un cable paralelo al plano inclinado. Determinar el ángulo para el cual se inicia el deslizamiento de los bloques. El coeficiente de rozamiento en todas las superficies es 0.20.

14 Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución N P P N P N Sistema superior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas N Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas N N N Estrategia: Resolver 2 cualesquiera de los sistemas indicados. P N Cuerpo inferior: 2 ecuaciones y 3 incógnitas

15 Resolución Equilibrio del sistema global: P N R 0 N P P sin 0 (1) x R 0 N P P cos 0 (2) y y P N x N Equilibrio del cuerpo superior: R 0 N P sin 0 (3) x R 0 N P cos 0 (4) y P Solución: =21 48 N

16 11. Dos cuñas de 8 y peso despreciable se utilizan para mover y colocar el bloque de 800kg. Si sabemos que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies de contacto es 0.30, determínese la menor fuerza P que es preciso aplicar a una de las dos cuñas. (Sol. 1966N) P 8º 800kg 8º

17 Esquemas de cuerpo libre y estrategia de resolución P P N 2 N 2 8º W Cuña: 2 ecuaciones y 3 incógnitas N 2 N 2 8º N 3 N 1 N 3 N Sistema global: 2 1 ecuaciones y 3 incógnitas loque: 2 ecuaciones y 2 incógnitas N 3 N 3 Estrategia: a) Resolver el bloque. b) Resolver cuña o sistema global para obtener P. N 1 W N 1

18 N 3 Resolución N 3 y W Equilibrio del bloque: N 1 R 0 N N 0 (1) x 3 1 R 0 N N W 0 (2) y 1 3 P x N 1 Equilibrio del sistema global ( =8 ): N 2 R 0 N N cos N sin 0 (3) x R 0 N PN sin N cos W 0 (4) y N 2 8º W N 1 Solución: P=1966 N N 1

19 14. Una cuña de 5 se deberá forzar bajo la base de una máquina de 1400N en. Si se sabe que el coeficiente de rozamiento estático es 0.2 en todas las superficies, determine la fuerza P necesaria para mover la máquina y determine cómo se moverá la máquina al insertar la cuña. Considere que la máquina está en posición prácticamente horizontal, con la cuña levemente insertada en el punto, de modo que sólo mantiene contacto puntual en con el suelo y en con la cuña. P 1m 0.4m 1400N

20 Cuestiones previas Consideraremos la máquina horizontal, pero sólo hay contacto en con el suelo y en con la cuña. lcanzada la situación de movimiento inminente se sabe que la cuña se desplazará, pero se desconoce a priori el movimiento que describirá el bloque. enemos dos posibilidades: 1. partirdeunafuerzap 1,la cuña y el bloque presentan un contacto muy rugoso en y se produce desplazamiento del bloque en. 2. partirdeunafuerzap 2,elbloque y el suelo presentan un contacto muy rugoso en y la cuña se introduce debajo del bloque en, donde se produce deslizamiento. Resueltos ambos casos posibles, sucederá aquel que corresponda a un menor valor de la fuerza P. nalizaremos el resultado para encontrar posibles contradicciones en el caso que no sucede.

21 a) Caso 1: partir de P 1, se produce deslizamiento en, pero no en. N F R N N C P 1 N F R N C P 1 N 1m 0.4m W=1400N N C N 1m 0.4m W=1400N N N C Sistema global: 2 ecuaciones y 3 incógnitas loque: 3ecuaciones y 3 incógnitas Cuña: 2 ecuaciones y 4 incógnitas Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas Estrategia 1: a) Resolver el bloque: R x =0, R y =0 y M z =0. b) Resolver el sistema global, R x =0, R y =0, para obtener P 1. Solución para P 1

22 Resolución Equilibrio del bloque ( =8 ): N y F R M N 0.4 W 0 (1) z R 0 N N sin F cos 0 (2) x R R 0 N N cos F sin W 0 (3) y R N =400N N =1001.4N F R = 59.95N N 1m 0.4m W=1400N N x Equilibrio del sistema global ( =8 ): N N 1m 0.4m W=1400N N C N C P 1 R 0 N W N 0 (4) y C R 0 N P N 0 (5) x 1 C N C =1000N P 1 =280N Conclusión parcial. La situación 1 ocurriría a partir de P 1 =280N. Hay que ver si antes ocurre el caso b). Podríamos haber resuelto esta parte de forma más eficiente.

23 a) Caso 1: partir de P 1, se produce deslizamiento en, pero no en. Estrategia 2, más eficiente Si la cuña y el cuerpo no deslizan, el sistema bloque cuña se comporta como un solo cuerpo. Resolviendo el sistema bloque cuña, deberíamos obtener la solución sin necesidad de descomponerlo en dos cuerpos. Equilibrio del bloque cuña: y R 0 N N W 0 (1) y C R 0 P N N 0 (2) x 1 C N N C P 1 x N 1m 0.4m W=1400N N C Solución: De (1), N N 1400 N. C Sustituyendo en (2), P N N 280N. 1 C El resultado muestra que es como si hubiera una sola normal y un solo rozamiento, consecuencia directa del movimiento del sistema como un solo cuerpo rígido.

24 b) Caso 2: partir de P 2, se produce deslizamiento en, pero no en. F R N C P 2 F R N N N C P 2 N N 1m 0.4m W=1400N Sistema global: 2 ecuaciones y 4 incógnitas N C N 1m 0.4m W=1400N loque: 3ecuaciones y 3 incógnitas N N C Cuña: 2 ecuaciones y 3 incógnitas Nótese que sólo se pueden calcular momentos en el esquema central, donde se conoce la posición de todas las fuerzas Estrategia 1: a) Resolver el bloque: R x =0, R y =0 y M z =0. b) Resolver el sistema global, R x =0, R y =0, para obtener P 2. Solución para P 2

25 Resolución Equilibrio del bloque ( =8 ): y F R N 1m 0.4m W=1400N N N M N 1 W 0 (1) z R 0 F N sin N cos 0 (2) x R R 0 N N cos N sin W 0 (3) y N =400N N =1039.0N F R =350.4N x P 2 Equilibrio del sistema global ( =8 ): R 0 N W N 0 (4) y C R 0 F P N 0 (5) x R 2 C N C =1000N P 2 =550.4N F R N C N 1m 0.4m W=1400N N C Conclusión: La situación 1 ocurriría a partir de P 1 =280N, mientras que la situación 2 ocurriría a partir de P 2 =550.4N. Resultado: el sistema se mueve como una sola pieza, deslizando en y C, a partir de P=280N.

26 Conclusiones finales Se han resuelto dos posibles problemas, obteniéndose que sucede a) pero no b). Sólo uno es posible, por lo que debe haber contradicciones en el caso b) que indiquen que no se alcanza esta situación. usquémoslas. Hemos hallado que el caso b) requiere las siguientes fuerzas: N =400N, F R =350.4N, N =1039.0N, N C =1000N y P 2 =550.4N. Sabemos que el rozamiento máximo en es: F Rmax =µn = =80N. Es claro que F R no puede alcanzar el valor requerido de 350.4N. Esta contradicción no aparece en el caso a). En efecto, la resolución completa del caso a) daría las siguientes fuerzas: N =400N, N =1001.4N, F R = 59.95N, N C =1000N y P 1 =280N. El valor negativo de F R no es problema, sólo indica sentido contrario. El valor máximo del rozamiento en es, F Rmax =µn = =200.3N. Este rozamiento máximo es superior al valor requerido de 59.95N, lo que confirma que ocurre a) y no b).

27 15. Los bloques y de la figura pesan 250N y 300N, respectivamente. El coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es Determine el mayor ángulo que permite el equilibrio y la tensión del cable para ese ángulo.

28 Diagramas de cuerpo libre y resolución Opción 1. Suposición inicial: El cuerpo pesa menos que el, por lo que a priori parece que el cuerpo tiende a descender y el tiende a ascender. Con esta suposición tenemos: P P N Equilibrio global: R 0 3 N P P sin 0 (1) x R 0 N P P cos 0 (2) y y x N Equilibrio parcial: N P R 0 N P sin 0 (3) x R 0 N P cos 0 (4) y N Solución: N =103.1N, N =226.7N, = 192.7N, α= anto la tensión como el ángulo son negativos. Esto no es coherente, de modo que la suposición de que asciende y desciende era incorrecta. Observando nuevamente el problema, parece razonable que las dos tensiones produzcan el ascenso de a pesar de que éste pese más que. Repitamos el problema con esta hipótesis.

29 Opción 2. Suposición inicial: El cuerpo tiende a descender y el cuerpo tiende a ascender. P P Diagramas de cuerpo libre y resolución N R 0 3 N P P sin 0 (1) x R 0 N P P P cos 0 (2) y y x N R 0 N P sin 0 (3) x R 0 N P cos 0 (4) y N P N Solución: N =103.1N, N =226.7N, =192.7N, α= Los datos ahora son coherentes y representan la solución del problema. El cuerpo desciende a partir de