Entscheidungsproblem I LENGUAJES RECURSIVAMENTE ENUMERABLES MÁQUINAS DE TURING. DECIDIBILIDAD OTROS MODELOS COMPUTACIONALES. Máquinas de Turing (TM)

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1 Entscheidungsproblem I LENGUAJES RECURSIVAMENTE ENUMERABLES MÁQUINAS DE TURING. DECIDIBILIDAD OTROS MODELOS COMPUTACIONALES Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM fhq@ciencias.unam.mx Página Web: Facultad de Ciencias Las máquinas de Turing se inventaron para contestar una pregunta abierta en lógica matemática: Sean α 1,..., α n fórmulas del cálculo de predicados a las que llamaremos axiomas. Sea θ otra fórmula a la que llamaremos candidato a teorema. Queremos un método para poder contestar la pregunta α 1,..., α n = θ? (Que se lee θ es una consecuencia lógica de α 1,..., α n? ) Éste es el problema clásico de la decisión o Entscheidungsproblem. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 1 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 2 / 69 Procedimiento efectivo Máquinas de Turing (TM) El método que buscamos deberá tener las siguientes características: 1 Deberá expresarse en términos tan formales como las instancias del problema. 2 Deberá ser mecánico : su aplicación se basará en reglas que se siguen sin necesidad de interpretación o de inspiración. 3 El método deberá especificarse de manera finita. 4 Los recursos utilizados deben ser finitos tanto espacial como temporalmente y, de preferencia, deben poder acotarse con anticipación. Church y Turing demostraron que no existe un método para resolver el Entscheidungsproblem que cumpla con lo anterior. De paso, inventaron dos de los modelos más populares de computación. Una máquina de Turing es un mecanismo muy simple que consiste en una cinta de lectura y escritura, una cabeza de lectura y escritura que recorre esta cinta (y que puede estar en diferentes estados) y una función que regula los movimientos de la cinta. a a b b c c q Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 3 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 4 / 69

2 Definición formal Aceptación y rechazo I Una máquina de Turing está formada por los siguientes elementos: un conjunto de estados Q; un alfabeto de entrada Σ; un alfabeto de cinta, con Σ Γ; una función de transición δ : Q Γ Q Γ {, } los estados inicial, de aceptación y de rechazo s, t, r Q, respectivamente; el símbolo de espacio en blanco Γ Σ; el símbolo de inicio de la cinta Γ. Es imposible moverse a la izquierda del símbolo de inicio. Los estados de aceptación y rechazo no se pueden abandonar. Una configuración es una terna (q, α, n), donde q Q, α Γ y n N. La configuración inicial es (s, α, 0) α Σ. Definiremos una relación entre configuraciones. Sean el n-ésimo símbolo de la cadena α y α [n] α [n/x] Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 5 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 6 / 69 Aceptación y rechazo II Ejemplos la cadena resultante de sustituir ese símbolo por x. Entonces: (q, α, n) (r, β, m) sii δ(q, α [n] ) = (r, b, ), β = α [n/b], m = n + 1 o bien δ(q, α [n] ) = (r, b, ), β = α [n/b], m = n 1 es la cerradura transitiva y reflexiva de esta relación. Una máquina de Turing M se detiene con una entrada α Σ sii (s, α, 0) (q, β, n) con q = t o bien q = r. El lenguaje aceptado por M es L(M) = {α Σ (s, α, 0) (t, β, n)}. Una máquina que acepta {a n b n c n }, con Q = {s, q 1,..., q 10, t, r}, Σ = {a, b, c}, Γ = {a, b, c,,, } y δ definida por la tabla a b c s (s,, ) (s, a, ) (q 1, b, ) (q 2, c, ) (q 3,, ) q 1 (r,, ) (q 1, b, ) (q 2, c, ) (q 3, ) q 2 (r,, ) (r,, ) (q 2, c, ) (q 3,, ) q 3 (t,, ) (r,, ) (r,, ) (q 4,, ) (q 3,, ) q 4 (r,, ) (r,, ) (q 5,, ) (q 4, c, ) (q 4,, ) q 5 (r,, ) (q 6,, ) (q 5, b, ) (q 5,, ) q 6 (q 7,, ) (q 6, a, ) (q 6,, ) q 7 (q 8,, ) (r,, ) (r,, ) (q 7,, ) (t,, ) q 8 (q 8, a, ) (q 9,, ) (r,, ) (q 8,, ) (r,, ) q 9 (q 9, b, ) (q 10, ) (q 9,, ) (r,, ) q 10 (q 10, c, ) (q 10,, ) (q 3,, ) Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 7 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 8 / 69

3 Variantes de máquinas de Turing Varias cintas I Una máquina de Turing con dos cintas tiene una función de transición δ : Q Γ 2 Q Q Γ 2 {, } 2 Existen variantes de las TM que no añaden poder computacional (aunque sí ventajas prácticas): Máquinas con varias cintas (se presentará el caso particular de dos cintas). Máquinas con cintas infinitas en ambos sentidos. Máquinas no deterministas. El último caso tiene interés especial en la teoría de la complejidad. Todas estas variantes pueden reducirse al modelo original. a a b b c c q a b c a b c Esta máquina se puede simular con una máquina de una sola cinta con alfabeto Γ 1 = { } Σ (Γ {â a Γ}) 2. La cinta de esta máquina se ve así a â b b c c a b c a ˆb c Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 9 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 10 / 69 Varias cintas II La nueva máquina utiliza con símbolos del tipo â para indicar la posición en cada una de las cintas de la máquina original y simula de esta forma una transición original con una serie de transiciones en la nueva máquina. Cinta infinita en ambos sentidos Una máquina con cinta infinita en ambos sentidos se puede simular por medio de una máquina con dos cintas: Se elige un punto arbitrario en la cinta original. Se divide la cinta original a partir de este punto. Se copia la información de la cinta original a las dos cintas nuevas, invirtiendo el orden de una de ellas para simular la parte infinita hacia la izquierda.... a a a a b b b b c c c c... b b a a a a... b b c c c c... Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 11 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 12 / 69

4 TM no deterministas I TM no deterministas II Una máquina de Turing no determinista (NTM) es similar a una TM, excepto por δ : Q Γ P(Q Γ {, }). La aceptación se produce sii existe una secuencia de elecciones que lleve al estado de aceptación. Para reducir una NTM a un TM se utilizará una máquina con tres cintas: la primera cinta tendrá la entrada original; la segunda contendrá secuencias de los dígitos 1,..., r, separadas por el símbolo # ordenadas por longitud y lexicográficamente: en la tercera cinta se copiará la entrada original y se procesará de acuerdo con las instrucciones de la máquina original, elegidas de acuerdo con las secuencias de la cinta 2: donde r es el número máximo de opciones que contiene la función δ original. Esta máquina aceptará la entrada sii en alguna de las simulaciones de la máquina original acepta. 1 # 2 # # r # 11 # 12 # # rr # 111 # 112 # Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 13 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 14 / 69 Lenguajes recursivos y recursivamente enumerables Propiedades decidibles, indecidibles y semidecidibles Sea M TM. Dada una cadena α Σ, tenemos tres posibilidades: 1 M acepta α, es decir, s, α ω, 0 M t, β ω, n ; 2 M rechaza α, es decir, s, α ω, 0 M r, β ω, n ; 3 M no hace ninguna de las dos cosas anteriores pues entra en un ciclo infinito. Diremos que M es total si para toda α Σ, M acepta o rechaza α. Definiremos ahora dos tipos de lenguajes. Sea L Σ. L es recursivo (rec) sii existe una M TM total tal que L = L(M); L es recursivamente enumerable (r.e.) sii existe una M TM tal que L = L(M); Como se verá más adelante, algunos lenguajes que son r.e. no son rec. Sea P una propiedad de cadenas en Σ, i.e., P(α) = V sii P es verdadera de α. Por ejemplo, la propiedad Una propiedad P es Primo(α) = V sii α = n y n es primo. decidible sii {α P(α) = V} es recursivo indecidible sii {α P(α) = V} no es recursivo semidecidible sii {α P(α) = V} es r.e. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 15 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 16 / 69

5 Indecidibilidad Codificación de máquinas de Turing I De acuerdo con la definición,todas las propiedades decidibles son semidecidibles. Sin embargo, algunas propiedades semidecidibles son indecidibles. Peor todavía, existen también propiedades indecidibles que no son siquiera semidecidibles. Para demostrar lo anterior, construiremos máquinas de Turing que se basan en la idea de universalidad. El primer paso es representar de manera adecuada una máquina de Turing adecuada. Un esquema posible es el siguiente. Sea M = Q, Σ, Γ, δ, s, t, r,, una TM con Q = i Σ = j Γ = k s t r el m-ésimo estado el n-ésimo estado el p-ésimo estado el q-ésimo carácter de Σ el r-ésimo carácter de Σ Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 17 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 18 / 69 Codificación de máquinas de Turing II Codificación de máquinas de Turing III Entonces la cadena binaria siguiente codifica esta información 0 i 10 j 10 k 10 m 10 n 10 p 10 q 10 r 1 Y una transición en delta δ(s u, a v ) = (s w, a x, ) está representada por la cadena 0 u 10 v 10 w 10 x 101 Mientras que la transición δ(s u, a v ) = (s w, a x, ) queda codificada en la cadena 0 u 10 v 10 w 10 x 111. Finalmente una cadena en Γ de la forma queda codificada por la cadena 0 n 1 10 n n z 1 En adelante, designaremos con M y α las codificaciones de la TM M y la cadena α, respectivamente. Si las queremos combinar en una cadena usaremos el símbolo # para separarlas: M # α a n1 a n2 a nz Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 19 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 20 / 69

6 Máquina de Turing universal Problema de la detención HP Con las codificaciones anteriores podemos definir dos conjuntos: Dada esta codificación, se puede crear un máquina de Turing que, para todas M TM y α Σ M, simule la ejecución de las instrucciones de M con la entrada α a partir de la cadena M # α. Llamaremos máquina de Turing universal (o para abreviar TMU) a esta máquina y, con algunas leves modificaciones propias de cada caso, la usaremos como base para construir TM especiales. Por ejemplo, podemos modificar la TMU de tal forma que al terminar de simular M con α acepte la cadena M # α sii M aceptó α. HP = { M # α M se detiene con la entrada α} MP = { M # α α L(M)}. El primer conjunto debe su nombre a que describe lo que se conoce como el problema de la detención (halting problem); y el segundo, el problema de la pertenencia (membership problem). Si HP fuera rec, la pregunta de si una TM dada se detiene con una entrada particular sería decidible. Algo análogo se puede plantear para MP. En cambio, es muy fácil ver que ambos son r.e., pues una leve adaptación de la TMU nos lleva a tener TM que aceptan HP y MP (véase la lámina anterior). Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 21 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 22 / 69 HP no tiene solución total I HP no es rec, i.e. la pregunta de si una TM se detiene con una entrada no es decidible. Si aceptamos la tesis de Church-Turing, esto equivale a decir que no existe un procedimiento efectivo para responder siempre esta pregunta. Antes de demostrar lo anterior, véase cómo la codificación de las TM nos permite ordenarlas lexicográficamente. Se puede hacer lo mismo con las cadenas y, gracias a esto, construir una tabla como la siguiente: TM/cad. ɛ α... M ɛ s s n... n... M 0 s s s... n M β n n s... n... HP no tiene solución total II donde tenemos s en la entrada (M β, α) si la TM codificada por la cadena β se detiene con la entrada α; y n, en caso contrario. Por reducción al absurdo, supongamos que existe una TM total H tal que L(H) = HP = { M # α M se detiene con α} H nos permitiría construir la tabla anterior sin error, pues sii M se detiene con la entrada α. M # α L(H) Considérese a hora la siguiente TM, H: para toda entrada M # α, H la acepta si H la rechaza, y entra en un ciclo trivial en caso contrario. Obsérvese cómo H es muy fácil de construir, suponiendo que contamos ya con H. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 23 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 24 / 69

7 HP no tiene solución total III Por otro lado, la lista de TM codificada es exhaustiva (pero veremos que H no está ahí). Nos podemos preguntar ahora si H # H HP, lo que equivale a decir que H se detiene cuando recibe como entrada la cadena que la codifica. Pero en ese caso, por la definición de H, esta TM debe entrar en un loop trivial cuando tiene como entrada su propia descripción, lo cual contradice nuestra hipótesis. Si por el contrario suponemos que HP no tiene solución total IV En conclusión, la suposición de que H existe nos lleva una contradicción. La demostración anterior se basa en el método de diagonalización de Cantor, pues H es la negación de la diagonal de la tabla anterior, lo que la hace diferir de todas los renglones de la lista. Esto contradice el supuesto de que la lista es exhaustiva. H # H HP, llegamos a una contradicción análoga. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 25 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 26 / 69 Problemas indecidibles o que no son semidecidibles Complementos de lenguajes I El problema de la detención no es el único indecidible; el problema de la pertenencia tampoco es decidible. Sin embargo, ambos problemas son semidecidibles, i.e., HP y MP son r.e. Para demostrarlo, se necesitan adaptaciones muy simples de la TMU. Dadas M TM y α Σ : se simula M con α y se acepta M # α si M acepta α (el lenguaje aceptado es MP); se simula M con α, pero se acepta M # α si M termina, ya sea con aceptación o rechazo (el lenguaje aceptado es HP). Otros problemas no son siquiera semidecidibles, e.g. determinar si una TM no se detiene con una entrada: HP = { M # α M no se detiene con α}. El caso de HP se puede demostrar por medio de un teorema muy general. Definición Sea L Σ. Designaremos su complemento con L. Si L es rec (r.e.), entonces diremos que L es co-rec. (co-r.e.). Teorema (a) Si tanto L como L son r.e., entonces ambos son rec. (b) Si L es rec, entonces es co-rec. Dem. (a) Si L y L son r.e., existen M, M TM tales que L(M) = L L(M) = L. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 27 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 28 / 69

8 Complementos de lenguajes II Complementos de lenguajes III La TMU se puede adaptar muy para obtener N TM tal que N funciona así: N tiene dos cintas y α Σ N simula M en la primera cinta N simula M en la segunda cinta L(N) = L y N es total. las simulaciones se realizan alternando pasos (para evitar la posibilidad de que N entre en un ciclo infinito si M o M lo hacen) si M acepta α, N acepta si M acepta α, N rechaza. Dado que α L = L(M) o bien α L = L(M), N siempre se detiene y, por tanto, L es recursivo. Se puede construir una TM total para L de manera análoga. Para (b) la hipótesis implica la existencia de una TM total que acepta L. Basta modificar esta TM invirtiendo los estados de aceptación y rechazo para obtener otra TM total que acepta L. Corolario Corolario. HP no es r.e. Dem. HP es r.e, y (a) implicaría que si HP también fuera r.e., ambos serían rec y ya se demostró que HP no es rec. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 29 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 30 / 69 Funciones computables Reducción m I Hasta ahora hemos visto las TM como mecanismos para decidir problemas (i.e., responder preguntas con sí o no). Pero también podríamos verlas como formas de calcular funciones. Sea M TM, con Σ y Γ como alfabetos de entrada y de la cinta, respectivamente. Entonces, podemos definir una función f M : Σ Γ como Definición Sean A Σ y B. Una reducción (no inyectiva) de A a B es una función computable σ : Σ tal que para toda α Σ α A sii σ(α) B. En general, escribiremos A m B sii existe una reducción de A a B. {(α, β) s M, α, 0 M t, β, n }. El siguiente teorema será de gran utilidad en adelante: Obsérvese que f M no tiene por qué ser total. Por otro lado, diremos que la función σ : Σ es: (a) Turing-computable sii existe una M TM tal que σ = f M ; (b) computable sii existe una M TM total tal que σ = f M. Teorema Sean A, B Σ y A m B. Entonces: (a) Si B es r.e (rec), entonces A también es r.e (rec). (b) Si A no es r.e. (rec), entonces B tampoco es r.e. (rec). Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 31 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 32 / 69

9 Reducción m II Dem. Por hipótesis, existe σ computable tal que para toda α Σ α A sii σ(α) B. En el caso (a) existe una M TM (total) tal que L(M) = B. Entonces, podemos construir una N TM (total) tal que L(N) = A. N procede así: Entonces para toda α, N calcula σ(α); simula M con σ(α); acepta si M acepta σ(α). N acepta α sii M acepta σ(α) sii σ(α) B sii α A. En cuanto a (b), es fácil ver que la reducción σ nos permitiría decidir la pertenencia a A por medio de la pertenencia a B si B fuera r.e. (rec). Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 33 / 69 Ejemplos Sea Entonces FIN = { M L(M) es finito} HP m MP HP m FIN. El primer ejemplo se resuelve con una K TM total que, a partir de una cadena M # α, genera otra M TM que, para toda entrada β, simula M con α y, si esta se detiene, acepta β. M acepta todas las cadenas sii M se detiene con α. K computa la σ deseada y la pregunta M # α HP? se convierte en la pregunta M # γ MP?, para cualquier γ arbitraria. El segundo caso se puede demostrar con una construcción similar. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 34 / 69 Propiedades no triviales de lenguajes r.e. Propiedades decidibles Sea Σ un alfabeto y consideremos ahora sólo los subconjuntos de Σ que sean lenguajes r.e. Nos interesan propiedades de lenguajes r.e. como las siguientes: ser regular; ser un CFL; ser infinito; incluir a ɛ. Sea P una propiedad y L un lenguaje. Si P es cierta de L escribiremos P(L) = V. En caso contrario, P(L) = F. Una propiedad que es cierta de algunos lenguajes r.e. pero no de otros es no trivial. Todos los ejemplos anteriores son no triviales. Hay que observar que hablamos de propiedades de lenguajes y no de cadenas. Sin embargo, los conceptos de decidibilidad, semidecibilidad e indecibilidad se pueden extender a estas propiedades. Sea P una propiedad y sea L un r.e. Entonces P es decidible sii M, N TM. L(N) = L M es total ( N L(M) P(L) = V). Indecibilidad y semidecibilidad se definen de manera análoga. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 35 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 36 / 69

10 Teorema de Rice I Sea P una propiedad no trivial de lenguajes r.e. Entonces P es indecidible. Demostración. Reduciremos HP al lenguaje { M P(L(M)) = V}. Supongamos que P( ) = F. Como P no es trivial, existe A r.e. tal que P(A) = V. Sea M A TM tal que L(M A ) = A. Dada una N TM y una α Σ N, construimos una K = σ( N # α ) tal que para toda β Σ K 1 preserva una copia de β en una cinta separada; 2 escribe α en su cinta; 3 simula N con α; Teorema de Rice II 4 si N se detiene con α, simula M A con β y acepta si M A acepta. Si N # α HP, L(K) =. En caso contrario, L(K) = L(M A ) = A. Es decir, es decir, N # α HP L(K) = A P(L(K)) = P(A) = V N # α HP L(K) = P(L(K)) = P( ) = F HP m { M P(L(M)) = V}. Como HP no es rec, { M P(L(M)) = V} tampoco lo es y P es indecidible. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 37 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 38 / 69 Segundo teorema de Rice I Sea P una propiedad de lenguajes r.e. Diremos que P es monótona si A, B r.e. A B P(A) = V P(B) = V. Por ejemplo, la propiedad de contener a ɛ es monótona, lo mismo que la propiedad de ser infinito, pero las propiedades de ser finito o regular no son monótonas. Segundo teorema de Rice. Sea P una propiedad de lenguajes r.e. no monótona. Entonces P no es siquiera semidecidible. Demostración. Por reducción de HP al conjunto { M P(L(M)) = V}. Para esto, M TM, α Σ M construimos una K TM tal que M # α HP sii K { M P(L(M)) = V}. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 39 / 69 Segundo teorema de Rice II Como P no es monótona, existen A, B r.e. tales que Sean M A, M B TM tales que A B P(A) = V P(B) = F. L(M A ) = A L(M B ) = B. K contará con tres cintas y β procederá de la siguiente forma 1 escribe β en las cintas 1 y 2; 2 escribe α en la cinta 3; 3 simula M A en la cinta 1, M B en la cinta 2 y M en la cinta 3; 4 acepta β si ocurre cualquiera de los siguientes casos: 1 M A acepta β o bien 2 M B acepta β y M se detiene con α. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 40 / 69

11 Segundo teorema de Rice III TM con oráculo Jerarquía aritmética Incomputabilidad y sus grados Entonces M # α HP L(K) = L(M B ) P(L(K)) = P(L(M B )) = F M # α HP L(K) = L(M A ) P(L(K)) = P(L(M A )) = V Hasta ahora parece que los conjuntos incomputables se reducen a dos tipos: los que no son recursivos y los que ni siquiera son recursivamente enumerables. En realidad, el panorama puede ser más complejo: los conjuntos no r.e. son clasificables en función de su grado de incomputabilidad. El método básico es determinar qué problema necesitamos resolver para que un conjunto se vuelva rec o r.e. Las soluciones a problemas de decisión se pueden clasificar por medio de oráculos. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 41 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 42 / 69 TM con oráculo Jerarquía aritmética Máquinas de Turing con oráculo TM con oráculo Jerarquía aritmética Reductibilidad-Turing Un oráculo es una cinta adicional donde se codifica la función característica de un conjunto. Supongamos que ordenamos las cadenas en un alfabeto Σ y que la función ν : Σ b N nos dice la posición que le corresponde a una cadena en el orden lexicográfico. Sea A Σ. El oráculo de A, denotado por O A es una cinta infinita que en cada celda guarda 0 o 1 de acuerdo con la regla α A sii O A [n] = 1. Una máquina de Turing con oráculo (TMO) es una TM que durante un momento de su ejecución puede entrar en un estado tal que puede consultar el valor de una celda de un oráculo. Sean A, B Σ. A es recursivamente enumerable en B sii existe una M TMO con oráculo O B tal que A = L(M). Si M es total, entonces A es recursiva en B o Turing-reductible a B. En símbolos A T B. Ejemplos: MP T HP y HP T MP. Obsérvese que HP T HP y vicerversa, pero HP m HP. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 43 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 44 / 69

12 TM con oráculo Jerarquía aritmética Jerarquía aritmética TM con oráculo Jerarquía aritmética Versión lógica de la jerarquía aritmética La relación T nos permite clasificar lenguajes no r.e.: Σ 0 1 = {lenguajes r.e.} 0 1 = {lenguajes rec} Σ 0 n+1 = {lenguajes r.e. en algún L Σ 0 n} 0 n+1 = {lenguajes rec en algún L Σ 0 n} Π 0 n = {complementos de lenguajes en Σ 0 n} Alternativamente, un lenguaje L es r.e. sii existe una propiedad R decidible de pares de cadenas tal que L = {α β. R(α, β)}. Por ejemplo HP = { M # α x. M se detiene con α en x pasos} MP = { M # α x. M acepta α en x pasos} Las observaciones anteriores se pueden generalizar por medio del siguiente teorema: 1 Un lenguaje L está en Σ 0 n sii una propiedad R (n + 1)-aria decidible tal L = {α β 1 β R(α, β 1,..., β n )} 2 Un lenguaje L está en Π 0 n sii una propiedad R (n + 1)-aria decidible tal 3 0 n = Σ 0 n Π 0 n. L = {α β 1 β R(α, β 1,..., β n )} Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 45 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 46 / 69 TM con oráculo Jerarquía aritmética Completitud Definiciones de computabilidad Definición. Sea C un nivel de la jerarquía aritmética y sea L un lenguaje. Diremos que L es C-difícil sii para todo A C, A m L. C-completo sii L es C-difícil y L C. Por ejemplo, HP y MP son Σ 0 n-completos. Turing propuso sus máquinas como una definición formal de la noción intuitiva de calculabilidad efectiva. Él mismo aplicó su definición a dos problemas: la determinación de qué es un número computable y la demostración de irresolubilidad del Entscheidungsproblem. Otros matemáticos contemporáneos propusieron otras formas de definir la calculabilidad efectiva: el cálculo lambda, las gramáticas formales, etc. Es posible demostrar que, una vez que se acepta una noción de equivalencia adecuada, todos estas definiciones son equivalentes, en el sentido de que nos permiten calcular la misma clase de funciones. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 47 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 48 / 69

13 Tesis de Church-Turing La equivalencia entre modelos de computación llevó a plantear la siguiente afirmación: Toda función es calculable efectivamente si y sólo si es calculable por una máquina de Turing. Esta afirmación es conocida como la tesis de Church-Turing, pues se deriva del trabajo de ambos Dado que afirma que una noción intuitiva (calculabilidad efectiva) es capturada por una noción formal, no se puede decir propiamente que está demostrada. Pero es una hipótesis de trabajo conveniente y los resultados de computabilidad vistos en la sección anterior pueden formularse de manera más general si se acepta la validez de la tesis. También es posible reformularla de manera que no se vea como una afirmación dogmática, sino como un conjunto de axiomas de los cuales se pueden derivar los mismos resultados Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 49 / 69 Computabilidad-Turing Para poder comparar los modelos que estudiaremos adoptaremos una convención similar a la que vimos antes. Sea M TM, con Σ y Γ como alfabetos de entrada y de la cinta, respectivamente. Entonces, podemos definir una función f M : Σ Γ como {(α, β) s M, α, 0 M t, β, n }. Obsérvese que f M no tiene por qué ser total. Por otro lado, diremos que la función σ : Σ es: (a) Turing-computable sii existe una M TM tal que σ = f M ; (b) computable sii existe una M TM total tal que σ = f M. Esta convención se puede modificar para que se refiera a números naturales y no a cadenas. Por ejemplo, podemos pensar en que la cadena α se refiere al número natural que corresponde al lugar que ocupa α en el orden lexicográfico. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 50 / 69 Funciones recursivas µ Funciones nuevas I Las funciones recursivas-µ son otro modelo de computabilidad. La terminología adoptada presupone la tesis de Church-Turing. Estas funciones son el mínimo conjunto cerrado bajo las operaciones de composición, recursión primitiva, minimización acotada y que contiene a las siguientes funciones básicas (donde x = x 1,..., x n ): Cero. La constante c : N 0 N, con c = 0 es computable. Sucesor. La función s : N N, con s(x) = x + 1, es computable. Proyecciones. Las funciones π n k : Nn N y π n k (x 1,..., x n ) = x k, con 1 k n, son computables. Las operaciones para crear nuevas funciones son: Composición. Si las funciones f : N k N y g 1,..., g k : N n N son computables entonces también lo es la función f (g 1,..., g k ) : N n N, definida por f(g 1 ( x),..., g k ( x)). Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 51 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 52 / 69

14 Funciones nuevas II Recursión primitiva. Si y h 1,..., h k : N n N g 1,..., g k : N n+k+1 N son computables, entonces también lo son las funciones definidas a continuación f 1,..., f k : N n+1 N, f i (0, x) = h i ( x) f i (s(n), x) = g i (n, x, f 1 (n, x),..., f k (n, x)). Funciones nuevas III Minimización no acotada. Sea g : N n+1 N una función computable. Entonces, también es computable la función definida por f : N n N, f( x) = m donde m es el mínimo valor tal que: g(x, m) = 0 y n m. g(x, n) está definida = indefinida, en caso de que no exista tal m El valor de f( x) se denota con la expresión µy. g(y, x) = 0. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 53 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 54 / 69 Ejemplos Cálculo lambda I La función + suele definirse por medio de las siguientes ecuaciones 0 + x = x s(y) + x = s(y + x) En la notación de las funciones µ tendríamos: h = π 1 1 g = s π3 3 f(0, x) = π1 1 (x) f(s(y), x) = s(π3 3 (y, x, f(y, x))) Las funciones recursivas también son expresables en el cálculo λ. El conjunto de términos del cálculo λ se denotará por Λ. La sintaxis del cálculo lambda es al siguiente Λ V (λx. Λ) (ΛΛ) donde V denota una variable: w, x, y, z, w 1,... La regla básica es la reducción β ((λx. M)N) β M [x/n] Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 55 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 56 / 69

15 Funciones recursivas en el cálculo lambda I Sean M y N Λ. Entonces: V def λxy. x F def λxy. y [M, N] def λz. zmn 0 def λx. x n + 1 def [F, n] S def λx. [F, x] P def λx. xf C def λx. 0 Cero def λx. xv πi n def λx 1,..., x n. x i Y def λf. (λx. f(xx))(λx. f(xx)) Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 57 / 69 Funciones recursivas en el cálculo lambda II Obviamente, 0 y n + 1 definen los números naturales. S y P son las funciones predecesor y sucesor. V y F son los valores de verdad, Cero es una función que nos da V si su argumento es 0 y F en caso contrario. πi n es, por supuesto, la proyección i-ésima con n argumentos. El término Y será útil más adelante para definir la recursión. Supongamos que h : N N y g 1,..., g n : N N son funciones definidas por los términos H y G 1,... G n Λ, respectivamente, la composición e(x) = h(g 1 (x),..., g n (x)) se define con el término E E def λx. H(G 1 x)... (G n x). Supongamos que h : N N y g : N N N son funciones computables definidas por los términos H, G Λ. La función recursiva e : N N definida a partir de h y g se define por medio del término λ: E def Yλf. λx. (Cero x)(hx)(g(p x)(f(p x))) Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 58 / 69 Funciones recursivas en el cálculo lambda III Lenguaje de programación IMP Sea g : N N N una función computable definida por el término G Λ. La función e : N N definida por minimización a partir de g es el término E def λxµ[λy. Cero(Gxy)] Supongamos que ahora queremos definir la función suma del ejemplo anterior en términos de Λ. Entonces: H def λx 1. x 1 G def λz, x 1, x 2. S((λx 1, x 2, x 3. x 3 )zx 1 x 2 ) SUMA def Yλf. λx, y. (Cero x)(hy)(g(p x)y(f(p x)y)) Se trata de un CFL. Empezaremos con las expresiones aritméticas: A n X (A + A) (A A) (A A) donde n Z y X Loc. Tenemos ahora las expresiones booleanas EB: B V F (A = A) (A A) B (B B) (B B) donde A EA. Finalmente, los comandos del lenguaje se definen así: C ::= skip X := A (C ; C) (if B then C else C) (while B do C). donde A EA y B EB. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 59 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 60 / 69

16 Funciones recursivas y programas while I Funciones recursivas y programas while II Las funciones µ también son definibles por medio de programas de IMP. Sea f : N n N una función recursiva. El objeto es definir un programa P con al menos las localidades X 0,..., X n tal que [P ]σ(x 0 ) = f(σ(x 1 ),..., σ(x n )). Lo haremos por inducción en la funciones recursivas. P 0 def X 0 := 0 P S def X 0 := X 1 + 1; P π n i def X 0 := X i ; Sean P f y P g1,..., P gk los programas correspondientes a las funciones f : N k N y g 1,..., g k : N n N. Entonces, el programa correspondiente a h = f (g 1,..., g k ) es P h def P g1 ; Y 1 := X 0 ;... P gk ; Y k := X 0 ; X 1 := Y 1 ;... X k := Y k ; P f Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 61 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 62 / 69 Funciones recursivas y programas while III Veamos ahora un caso restringido para la recursión primitiva. Supongamos que tenemos las funciones h : N N y g : N 3 N y a partir de ellas definimos la función f : N 2 N: Queremos un programa P f tal que f(0, x 1 ) = h(x 1 ) f(s(n), x 1 ) = g(n, x 1, f(n, x 1 )) [P f ]σ(x 0 ) = f(σ(z), σ(x 1 )). Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 63 / 69 Funciones recursivas y programas while IV Por hipótesis inductiva, suponemos la existencia de dos programas Entonces P f es el programa [P h ]σ(x 0 ) = h(σ(x 1 )) [P g ]σ(x 0 ) = g(σ(z), σ(x 1 ), σ(x 2 )) W := Z; Y 1 := X 1 ; % Guardamos los argumentos originales de f Y 0 := 0; % Usaremos a Y 0 como contador P h ; % Ejecutamos el programa del caso base while Y 0 < W do Z := Y 0 ; X 1 := Y 1 ; X 2 := X 0 ; P g Y 0 := Y Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 64 / 69

17 Funciones recursivas y programas while V Por ejemplo, si tenemos la función recursiva Funciones recursivas y programas while VI y entonces, el programa P suma tal que suma(0, x 1 ) = x 1 suma(s(n), x 1 ) = s(suma(n, x 1 )) aquí la función base h : N N se define como la proyección π 1 1 (x 1) = x 1 y la función g : N 3 N es s π 3 3 (n, x 1, x 2 ) = s(x 2 ). Los programas P h y P g tales que son: [P h ]σ(x 0 ) = π 1 1 (σ(x 1)) [P g ]σ(x 0 ) = s π 3 3 (σ(z), σ(x 1), σ(x 2 )) P h = X 0 := X 1 P g = X 0 := X queda así: W := Z; Y 1 := X 1 ; Y 0 := 0; P h ; while Y 0 < W do Z := Y 0 ; X 1 := Y 1 ; X 2 := X 0 ; P g ; Y 0 := Y [P suma ]σ(x 0 ) = suma(σ(z), σ(x 1 )) Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 65 / 69 Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 66 / 69 Máquinas de registros I Las máquinas de registros ilimitados (URM) son una abstracción del procesador central de una computadora. La memoria es como la del lenguaje IMP, pero las localidades se llaman registros: Reg = {R 1, R 2... } Los programas para URM se basan en unas cuantas instrucciones: Nombre Sintaxis Significado Cero Z(n) R n := 0 Sucesor S(n) R n := R n + 1 Transferencia T(n, m) R n := R m Salto J(n, m, k) si R n = R m entonces ve a la instrucción k-ésima; si no, continúa con la siguiente Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 67 / 69 Los registros guardan números naturales y los estados posibles son Σ = {σ : Reg N} Este programa calcula la suma de los números en R 1 y R 2. La tabla presenta el estado de la memoria después de cada instrucción: R 1 R 2 R J(2, 3, 5) S(1) S(3) J(1, 1, 1) Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 68 / 69

18 Funciones recursivas y URM Las funciones recursivas µ pueden calcularse por medio de URM de una manera muy similar a los programas en IMP: Las funciones cero, sucesor y proyecciones tienen una implementación muy simple. Para la composición de funciones hay que adoptar convenciones para guardar resultados parciales de funciones y presentar parámetros de manera similar a como se hizo con los programas IMP. Además, hay que reenumerar las direcciones referidas en la operación de salto, para evitar interferir en el código de otros programas. Finalmente, la recursión y la minimalización se manejan como se hizo con los ciclos while en IMP. Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 69 / 69