a partir de otras funciones. Entonces C es la menor clase de funciones que contiene a las funciones básicas y es cerrada por los p. d.

Transcripción

1 Tema 3: Funciones Primitivas Recursivas Caracterización de clases de funciones: Maneras básicas de definir una clase de funciones C: Descriptiva: C satisface ciertas propiedades. (Ejemplo: la clase GCOMP) Generativa: Conjunto de funciones básicas (o iniciales) Procedimientos de definición (p.d.) de funciones a partir de otras funciones. Entonces C es la menor clase de funciones que contiene a las funciones básicas y es cerrada por los p. d. (Ejemplo: Z[X]. Funciones básicas: Las constantes y la Identidad. Procedimientos de definición: + y ) Demostración por inducción en C Sea φ una propiedad de funciones. Si se verifica: Caso Base: Las funciones básicas verifican φ. Paso de Inducción: Si h se obtiene mediante un p.d. a partir de funciones que verifican φ, entonces h verifica φ. Entonces, toda función de C verifica φ. M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.1

2 La clase PR Funciones básicas: Siguiente: S : N N; S(x) = x + 1 Idénticamente nula: O : N N; O(x) = 0 Proyecciones: Para cada i, n N + (1 i n), n i : N N; n i (x 1,..., x n ) = x i Procedimientos de definición: 1 Composición: Dadas g : N n N, h 1,.., h n : N m N Se define: así: f = C(g; h 1,..., h n ) : N m N x N m, f( x) = g(h 1 ( x),..., h n ( x)) 2 Recursión: Dadas g : N m N, h : N m+2 N Se define: f = R(g, h) : N m+1 N f( x, 0) = g( x) así: x N m, y N f( x, y + 1) = h( x, y, f( x, y)) M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.2

3 Definición. PR es la menor clase de funciones que contiene a las funciones básicas y es cerrada bajo composición y recursión. PR (n) : funciones n-arias de PR. Lema. Toda función primitiva recursiva es total. Proposición: f PR si y sólo existen g 1,..., g n = f tales que para cada i n, g i es inicial o se obtiene mediante composición o recursión aplicado a algunas funciones anteriores, g 1,..., g i 1. Relajación de los procedimientos de definición. Dadas h PR (n), y σ : 1,..., n} 1,..., m}, la función h σ : N m N definida así: es PR. h σ (x 1,..., x m ) = h(x σ(1),..., x σ(n) ) En efecto, h σ = C(h; m σ(1),..., m σ(n) ) Hemos definido la recursión con la última variable. Podríamos utilizar cualquiera; por ejemplo, la primera: f(0, y) = g( y) f(x + 1, y) = h(x, y, f(x, y)) Si g y h son de la clase PR entonces f también lo es La definición de recursión se extiende al caso m = 0: f(0) = k f(x + 1) = h(x, f(x)) M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.3

4 Ejemplos de funciones primitivas recursivas 1.- La función identidad I N : N N 2.- Las funciones constantes: Ca n : Nn N, Ca n( x) = a 3.- La función predecesor: pr : N N pr(x) = 0 si x = 0 x 1 si x > La función diferencia reducida: : N 2 N x y = 0 si x y x y e.c.o.c. 5.- La función signo: sg : N N sg(x) = 0 si x = 0 1 e.c.o.c. 6.- La función signo inverso: sg : N N sg (x) = 1 sg(x) 7.- La función suma: + : N 2 N +(x, y) = x + y 8.- La función producto: : N 2 N (x, y) = x y M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.4

5 9.- La función mínimo: min : N 2 N x si x y min(x, y) = y e.c.o.c La función máximo: max : N 2 N x si x y max(x, y) = y e.c.o.c La función valor absoluto: : N 2 N x y = x y si x y y x e.c.o.c La función exponencial: exp : N 2 N exp(x, y) = 1 si x = 0 y = 0 x y e.c.o.c La función factorial: exp : N 2 N fact(x) = 1 si x = 0 j x j e.c.o.c. Otros ejemplos: 14.- Proposición: Sean k 2, n 1. Si f 1, f 2,..., f k PR (n) entonces f 1 + f f k PR (n) 15.- Proposición: Sean k 2, n 1. Si f 1, f 2,..., f k PR (n) entonces f 1 f 2... f k PR (n) M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.5

6 Proposición: PR GCOM P Las funciones básicas son G-computables: Siguiente, S : Nula, O : Proyecciones, (n) j X X + 1 Y X Programa vacío, p : Y X j GCOMP es cerrado bajo composición: Sean g : N n N, h 1,..., h n : N m N G-computables El siguiente programa calcula f = C(g; h 1,..., h n ): Z 1 h 1 (X 1,..., X m ). Z n h n (X 1,..., X m ) Y g(z 1,..., Z n ) GCOMP es cerrado bajo recursión Sean g : N m N, h : N m+2 N G-computables El siguiente programa calcula f = R(g; h): Y g(x 1,..., X m ) [A] IF X m+1 = 0 GOT O E Y h(x 1,..., X m, Z, Y ) Z Z + 1 X m+1 X m+1 1 GOT O A Proposición: GCOMP PR Hay funciones no totales que son GOT O computables. Nota importante: Hay funciones totales que no son PR (por ejemplo, la función de Ackermann). M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.6

7 Predicados GCOMP y predicados PR. Definición. Un predicado sobre N es G-computable (resp. PR) si la función que lo define es G-computable (resp. PR). Definición. Un conjunto A N n es G-computable (resp. PR) si su función característica, C A, es G- computable (resp. PR) 1.-Los conjuntos y N n son PR. 2.- Los predicados: θ 1 (x, y) x = y; θ 2 (x, y) x y; θ 3 (x, y) x < y son PR. 3.- Dada f : N n N; f PR, los predicados (n + 1)-arios siguientes son PR: a) θ( x, y) f( x) = y; b) θ ( x, y) f( x) y; c) θ ( x, y) f( x) < y Proposición: G(f) = ( x, y) N n+1 : PR. Sea f PR (n). Entonces, su grafo f( x) = y} es un conjunto Proposición: (definición por casos) Sean k 2 y A 1,..., A k } una partición de N n en subconjuntos PR. Sean f 1,..., f k : N n N funciones PR. Entonces, g : N n N definida: es PR. g( x) = f 1 ( x). si. x A 1. f k ( x) si x A k Nota: La proposición anterior puede expresarse con predicados PR n-arios θ 1,..., θ k, tales que sean exhaustivos y excluyentes, es decir, que para todo x N n verifiquen: θ 1 ( x) θ k ( x) = 1 M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.7

8 Conectivas lógicas y operaciones con conjuntos. Proposición: Sean θ, θ predicados sobre N, n arios y PR (resp. G-COMP) entonces θ, θ θ, θ θ, θ θ y θ θ son predicados PR (resp. G-COMP). En efecto, para cualquier x N, se tiene que: θ( x) = sg(θ( x)). (θ θ )( x) = θ( x) θ ( x) (θ θ )( x) = sg(θ( x) + θ ( x)) θ θ θ θ. θ θ θ θ θ θ Corolario: Si A, B N n son conjuntos PR (resp. G-COMP), entonces: N n A; A B; A B son PR(resp. G-COMP). Basta observar que: C Nn A = C A ; C A B = C A C B ; C A B = C A C B M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.8

9 Suma y producto acotados Sea f : N n+1 N total. Definimos: Suma acotada: f ( x, y) = z yf( x, z) Producto acotado: f ( x, y) = z yf( x, z) Notas: 1) En vez de la última variable, podría utilizarse otra cualquiera como cota de la suma o del producto. f(z), f (y) = f(z) 2)Generalizamos para n = 0: f (y) = z y z y Proposición: Si f PR (n+1) entonces f, f P R(n+1) Demostración para la suma acotada: a) ( x, 0) = g( x) f b) f ( x, y + 1) = h( x, y, ( x, y)) f Donde: g( x) = f( x, 0) y h( x, y, z) = z + f( x, y + 1) Por tanto, f = R(g, h) PR pues g y h son PR: g = C(f; n 1,..., n n, C(n) 0 ) n+2 h = C(+; n+2, C(f; n+2 n+2 n+2,...,, C(S; 1 n n+1 ))) Nota: El resultado es cierto también para funciones totales G-computables. M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.9

10 Corolario: Sean f : N n+1 N; g : N n+k N PR. Entonces las funciones F 1, F 2 : N n+k N definidas por: F 1 ( x, y) = z g( x, y) f( x, z); F 2 ( x, y) = Veamos la prueba para F 1. Sea G( x, t) = z t f( x, z). Se verifica: z g( x, y) F 1 ( x, y) = G( x, g( x, y)) = G(x 1,..., x n, g( x, y)) Es decir: F 1 = C(G; n+k 1 f( x, z) son PR. n+k,...,, g) PR n Nota: El resultado es válido para funciones totales G-computables. Cuantificación acotada Proposición: Sea θ un predicado n+1-ario y θ PR. Los predicados siguientes son PR: θ 1 ( x, y) z y θ( x, z) θ 2 ( x, y) z y θ( x, z) En efecto: θ 1 ( x, y) = θ( x, z); θ 2 ( x, y) = sg( z y z y θ( x, z)) Nota: Resultado análogo para predicados G-computables. Ejemplos: Los siguientes predicados son PR Predicado de divisibilidad, x y: θ(x, y) = z y(y = z.x) Predicado de primalidad: primo(x) = (x > 1) t x((t x) (t = 1 t = x)) M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.10

11 Minimización acotada Definición. Sea θ( x, y) un predicado (n + 1) ario. Definimos la función de aridad n + 1, θµ, así: θµ( x, minz y : θ( x, z)} y) = si existe tal mínimo 0 e.c.o.c. que usualmente escribiremos: µz y (θ( x, z)) y diremos que θ µ se obtiene de θ por minimización acotada Proposición: Si θ PR (n+1) entonces θ µ PR (n+1) Bastará con observar que la función θ µ θ µ( x, y) = t y ( z t θ( x, z)) se expresa: 0 e.c.o.c. si z x(θ( x, z)) Definición. Sea f( x, y) una función (n + 1) aria. Definimos la función de aridad n + 1, fµ, así: y diremos que fµ acotada. f µ( x, y) = µz y(f( x, z) = 0) se obtiene de f por minimización Proposición: Si f PR (n+1) entonces f µ PR (n+1) Nota: Resultado análogo para funciones totales G-computables. M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.11

12 Ejemplos 1. La función cociente. qt(x, y) = µt x (x < (t + 1).y) 2. La función resto. rm(x, y) = x (y.qt(x, y)) si y 0 0 si y = 0 3. La sucesión de números primos. La función: p(0) = 0 p(x + 1) = µy (1 + p(x)!) (y > p(x) primo(y)) es p.r. y calcula p(0) = 0 y para todo n 1, la sucesión de primos p n. Que 1 + p(x)! es una cota para p(x + 1), se justifica mediante el siguiente lema debido a Euclides: Lema. n (p n p n!) M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.12

13 Codificación de sucesiones finitas Definición. Una codificación de N n a partir de N, es una función total f : N n N que verifica: a) f es PR e inyectiva b) Para cada i, 1 i n, la función total: g i : N N es PR g i (x) = ai si x rang(f) x = f(a 1,..., a n ) 0 e.c.o.c. Sea, ahora, N = ε} N = ε} N N 2... N k... donde ε es la sucesión vacía. Definición. f : N N, codifica N a partir de N, si: f es total n 1, f N n es una codificación de N n, a partir de N Una codificación de N 2 Sea la función total (denominada f unción par): : N 2 N x, y = 2 x.(2y + 1) 1 Proposición: La f unción par,, es PR y biyectiva. M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.13

14 Sea g : N N 2 ; la función inversa de : g(z) = (x, y) Existen, pues, l, r : N N tales que: l(z) = x; r(z) = y g(z) = (l(z), r(z)) l y r son funciones decodificadoras de Proposición: Las funciones l, r son PR (1) En efecto, como x, y z = x, y l(z) = µx z ( y z ( x, y = z)) r(z) = µy z ( x z ( x, y = z)) Nota: A partir de la función par podemos codificar N 3 a partir de N: (x, y, z) x, y, z y N n a partir de N. Codificación de sucesiones de longitud arbitraria Definición. Sea p n : n 1} la sucesión de números primos y [ ] : N N la función definida así: [ε] = 1 [a 1,..., a n ] = p a pa n n Diremos que [a 1,..., a n ] es el número de Gödel de la sucesión finita a 1,..., a n. Proposición: La función [ ] codifica N a partir de N. Nota: La función [ ]: a) no es inyectiva (pues por ejemplo, [a 1,.., a n ] = [a 1,..a n, 0]). b) rang( [ ])= N 0}. c) Cada número natural codifica infinitas sucesiones. d) En general se tiene que [0, a 1,..., a n ] [a 1,..., a n ]. M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.14

15 La función componente Si x N 0, 1} existen unos únicos a 1,..., a n N, a n 0, tales que x = [a 1,..., a n ]. Entonces, si i 1,..., n} la componente i ésima de x será el número a i. Escribiremos (x, i) = a i o también (x) i = a i. Si i / 1,..., n} entonces será: (x, i) = 0. Definición. Denominaremos función componente a la función: ( ) : N 2 N, definida así: Proposición: La función longitud (x, i) = µt x ( (p t+1 i x)) La función componente es PR. Definición. Definimos la función longitud Long : N N, así: Long(x) = µi x ((x) i 0 j x (j > i (x) j = 0)) Nota: Si x = [a 1,.., a n ], con a n 0, su longitud será n. Ejemplo: Long(360) = 3 pues 360 codifica la sucesión [3, 2, 1]. Proposición: La función Long es PR M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.15

16 La función historia Definición. Sea f : N n+1 N (con n 0). La función historia de f, ˆf, es la siguiente función total de aridad n + 1: ˆf( x, y) = [f( x, 0),..., f( x, y)] Proposición: f PR n+1 ˆf PR n+1. f PR n+1 ˆf PR n+1 ˆf se define por recursión a partir de funciones PR: ˆf( x, 0) = 2 f( x,0) ˆf( x, y + 1) = ˆf( x, y) p f( x,y+1) y+2 ˆf PR n+1 f PR n+1 en efecto: f( x, y) = ( ˆf( x, y)) y+1 M. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.16