Vibración de moléculas poliatómicas. Capítulo 4

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1 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Contenido Capítulo 4 Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones: Ecuaciones de movimiento; Diagonalización de la matriz de constantes de fuerza; Ecuaciones de movimiento para los modos normales de vibración; Ilustración del movimiento de los núcleos; Ejemplo: vibración de una molécula diatómica; Ejemplo: vibración 1D de una molécula ABC lineal; Uso de coordenadas generalizadas. Simetría molecular y vibraciones: Clasificación de los modos normales de vibración: la representación Γ 3N (Ejemplo: Simetría de los modos de CH 4 ); los modos normales de vibración: coordenadas internas; Coordenadas de simetría. Clasificación de Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución. Cálculo de la matriz de constantes de fuerza. Tratamiento mecanocuántico de la vibración: Reglas de selección; Estructura rotacional; Anarmonicidad (Vibraciones degeneradas y efecto de Coriolis Resonancias de Fermi). (144)

2 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Una molécula con N núcleos dispone de 3N grados de libertad en su movimiento nuclear: 3 de traslación, 3 de rotación (2 en las lineales), y el resto 3N 6 (ó 3N 5) de vibración. Para una configuración nuclear cercana al equilibrio (x 1,e, y 1,e,...z N,e ), podemos describir la geometría nuclear mediante coordenadas de desplazamiento ponderadas: q 1 = m 1 (x 1 x 1,e ),... q 3i 2 = m i (x i x i,e ), q 3i 1 = m i (y i y i,e ), q 3i = m i (z i z i,e ),... q 3N = m N (z N z N,e ). (194) Podemos así escribir las energías cinética y potencial de los núcleos como: V = U(q) = U e + 3N i=1 ( U q i )e }{{} = 0 T = 1 2 q i + 1 2! 3N i=1 3N i=1 3N j=1 q 2 i = 1 2 ( t q q, (195) ) 2 U q i q j e }{{} = u ij q i q j +... = U e donde u ij = u ji son las constantes de fuerza que determinan cómo vibra la molécula. t q U q, (196) (145)

3 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Ecuaciones de movimiento Podemos determinar las trayectorias que siguen los núcleos resolviendo las ecuaciones de movimiento mecánico clásicas. Por simplicidad seguiremos la formulación newtoniana. La segunda ley de Newton establece que: F x,α = V x α = m α ẍ α, Usando las coordenadas de desplazamiento ponderadas, y de modo que las ec. 197 quedan F y,α = V y α = m α ÿ α,... (197) V = V q 1 = V m α (198) x α q 1 x α q 1 ( ) ẍ α = d2 q 1 dt 2 mα = 1 mα q 1, (199) V q k + q k = 0 para k = 1,...3N. (200) Ésto representa un conjunto de 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden. (146)

4 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Si tenemos en cuenta la forma de la energía potencial, ec. 196: de modo que o V q k = 3N i=1 q i u ik = t q U k, (201) q k + t q U k = 0 para k = 1,...3N (202) q + t q U = 0. (203) Las 3N ecuaciones diferenciales que resultan están acopladas, es decir, la ecuación correspondiente a una coordenada q k contiene a todas las 3N coordenadas de desplazamiento ponderadas. Todo sería más simple si pudiéramos desacoplar las ecuaciones. (147)

5 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Diagonalización de la matriz de constantes de fuerza Como U es una matriz real y simétrica podemos diagonalizarla por medio de una transformación ortonormal: L 1 U L = t L U L = Λ U L k = λ k L k (204) donde los λ k son los valores propios de U y L k sus correspondientes vectores propios, que reciben el nombre de modos normales de vibración. Los valores propios λ k se obtienen resolviendo la ecuación secular, det U λ1 = u 1,1 λ... u 1,3N u 3N,1... u 3N,3N λ = 0, (205) una ecuación algebraica de grado 3N 3N. Los movimientos de traslación y rotación tendrán valor propio nulo. Las verdaderas vibraciones deben tener λ k > 0. La simetría molecular puede dar lugar a la degeneración entre dos o más modos de vibración. Los vectores propios se obtienen resolviendo el sistema secular junto con las condiciones de ortonormalidad: ( ) U λm 1 L m = 0 y t L m L r = δ mr. (206) (148)

6 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Ecuaciones de movimiento para los modos normales de vibración Las coordenadas normales de vibración Q y los desplazamientos ponderados se relacionan por: q = L Q = q = L Q = q = L Q. (207) Las coordenadas normales nos permiten simplificar la expresión de las energías cinética, 2T = t q q = t ( L Q ) ( L Q ) = t Q (t L L ) Q = t Q Q = 3N 6 k=1 Q 2 k, (208) y potencial, 2(U U e ) = t q U q = t ( L Q ) U ( L Q ) = t Q (t L U L ) Q = t Q Λ Q = 3N 6 λ k Q 2 k. (209) Como vemos, T es invariante a la introducción de las coordenadas normales, mientras que V pasa de ser una suma sobre parejas de coordenadas a una suma simple sobre modos normales. k=1 (149)

7 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones También se simplifican notablemente las ecuaciones de movimiento, ya que y Q k = d2 dt 2 t L k q = d2 dt 2 V Q k = 3N i=1 V q i q i Q k = Comparando ambas expresiones vemos que: 3N i=1 3N i=1 l ik q i = V q i Q k 3N i=1 l ik q i = 3N j=1 l ij Q j = 3N i=1 3N i=1 l ik V q i (210) V q i l ik. (211) Q k + V Q k = Q k + λ k Q k = 0 para k = N (212) de modo que las 3N ecuaciones de movimiento son ahora independientes, y cada modo normal de vibración da lugar a su propia ecuación diferencial. De hecho, las ecuaciones son equivalentes a las de un movimiento armónico simple en el que los valores propios λ k son las constantes recuperadoras elásticas. Las soluciones son: Q k (t) = B k sen ( λ k t + b k ) El modo k se caracteriza por su frecuencia ν k, amplitud B k y fase b k. con ν k = 1 λ k para k = N. (213) 2π (150)

8 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento clásico de las pequeñas oscilaciones Ejemplo: vibración 1D de una molécula ABA lineal Si consideramos sólo interacciones AB: Eje b 2(U U e ) = k(r 1 R e 1 )2 + k(r 2 R e 2 )2 (214) R 1 R 2 pero R 1 R e 1 = a 2 a 1 = q 4 / m B q 1 / m A, y R 2 R e 2 = q 7/ m A q 4 / m B, con lo que m A m B U = k m A k ma m B 0 k ma m B 0 2k m B k ma m B k ma m B k m A = λ : k m A L = Eje c C.M. km m A m B 0 mb 2M ma 2M mb 2M m A ma M mb M ma M Eje a (215) El resultado es que tenemos un modo de tensión simétrica (1354 cm 1 en CO 2 ), un modo de tensión asimétrica (2396 cm 1 ) y un modo de traslación. Además, la molécula ABA presenta una pareja de modos de flexión degenerados (673 cm 1 : uno y otro), pero esos no pueden aparecer en nuestro análisis 1D. (151)

9 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Simetría molecular y vibraciones Simetría molecular y vibraciones Las coordenadas de desplazamiento ponderadas, q, forman una base de la representación Γ 3N del grupo puntual molecular. El carácter de una operación de simetría ˆR puede determinarse fácilmente: sólo los átomos que permanecen inalterados por ˆR contribuyen al carácter χ (3N) ( ˆR); toda operación de simetría puntual equivale a una rotación propia o impropia de ángulo θ en torno a un eje (ˆσ = Ŝ1 1, θ = 2π, mientras que î = Ŝ1 2, θ = π); cada átomo inalterado por una rotación propia contribuye con 2 cos θ + 1: cada átomo inalterado por una rotación impropia contribuye con 2 cos θ 1. Es decir: χ (3N) ( ˆR) = n a χ xyz ( ˆR) = n a (2 cos θ ± 1) (216) La representación Γ 3N se puede reducir a suma de irreps: Γ 3N = irreps g a g Γ (g) donde a g = 1 h clases i η i [ χ (g) i ] χ (3N) i (217) (152)

10 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Simetría molecular y vibraciones Ejemplo: metano, CH 4 (Ver espectro) S ^1 4 T d E 8C 3 3C 2 6S 4 6σ d h = 24 A x 2 + y 2 + z 2 A E (3z 2 r 2, x 2 y 2 ) T (R x, R y, R z ) T (x, y, z), (yz, xz, xy) χ xyz n a χ (3N) x z C ^ 1 3 y 1 4 r 4 0 r 3 r 1 r 2 σ^d 3 2 CH 4 A 1 A 2 E T 1 T 2 Γ 3N Trasl Rot Vib Modos Activos Activo IR no no no no SI 2 Activo Raman SI no SI no SI 4 Modos normales Sim. ν (cm 1 ) Modos 1 A a 2 E θ, ε 3 T x, y, z 4 T x, y, z (153)

11 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Simetría molecular y vibraciones Ejemplo: agua, H 2 O C 2v Ê Ĉ1 2 ˆσ v (xz) ˆσ v (yz) h = 4 A z; x 2 ; y 2 ; z 2 A R z ; xy B x; R y ; xz B y; R x ; yz χ xyz n a χ 3N R z O CM α H H1 2 y x H 2 O A 1 A 2 B 1 B 2 Γ 3N Trasl Rot Vibr Modos activos Activas IR SI no SI SI 3 A. Raman SI SI SI SI 3 Modos normales Sim. ν (cm 1 ) Modos ν 1 t.sim. A a ν 2 flex. A a ν 3 t.asim. B a (154)

12 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución Un modo normal involucra el movimiento de todos los átomos que forman la molécula. El análisis del espectro vibracional es, en general, complicado. Sin embargo, ciertos grupos funcionales exhiben patrones característicos de vibraciones que actúan como verdaderas huellas dactilares. Por ello, los espectros IR de baja resolución (aún mejor los espectros Raman) se usan como apoyo en la identificación de substancias. Favorecen la conservación de vibraciones comunes en grupos de moléculas: la presencia de enlaces múltiples (o muy fuertes, en general). Ej: -CN, -NO 2, etc la presencia de átomos de masas muy diferentes. Ej: la masa efectiva de -OH, -NH 2, -CH 3, etc, está dominada por el H. Por el contrario, cuando en la molécula se suceden a lo largo de los enlaces átomos con parecida masa y enlazados por fuerzas del mismo orden de magnitud no debemos esperar frecuencias de grupo aisladas. (155)

13 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución (156)

14 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución Ejemplo: vibraciones del grupo -CH cm Rock Balanceo m Twist, Torsion Wag Cabeceo s Scissor Doblado w Tension sym. stretch,, w Tension asym. stretch vs (157)

15 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución Ejemplo: vibraciones del grupo -CH 3 ν s ν CX ν d δ s ρ r δ d En CH 3 Cl: 2966 (tensión simétrica ν s ), 732 (tensión C-Cl), 3042 (tensión degenerada ν d ), 1355 (flexión simétrica δ s ), 1015 (balanceo ρ r ), y 1455 cm 1 (deformación degenerada δ d ). (158)

16 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Grupos funcionales y el espectro IR de baja resolución Ejemplo: Espectro del metano en fase gas (159)

17 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Tratamiento mecanocuántico de la vibración La energía de vibración clásica es H = U e k Q 2 k k λ k Q 2 k. (218) Para construir el hamiltoniano mecanocuántico necesitamos conocer qué son los ˆ Q k. Pero: ˆ q 1 = m 1 ˆẋ 1 = 1 ˆp x1 = m1 y similarmente para los restantes ˆ q j. Por otra parte Q = t L q = Q k = j i h m1 l jk q j = i h = i h, (219) x 1 q 1 j l jk q j, (220) mientras que dada una función f cualquiera f f q j f = = l jm Q m = Q k q j Q k q j Q k j j m j l jk f q j = Q k = j l jk q j. (221) (160)

18 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Comparando las ec. 220 y 221 se ve que ˆ Q k = i h, (222) Q k de modo que ˆ Q k es el momento lineal conjugado de ˆQ k. Podemos así escribir el operador de Hamilton como: Ĥ = U e k ˆ Q 2 k k λ k ˆQ2 k = U e + k ĥ k donde ĥ k = h2 2 2 Q 2 k λ k ˆQ 2 k. (223) La vibración es, por lo tanto, un problema separable. Cada modo normal tiene una función de onda y una energía propias, que se obtienen resolviendo: ĥ k Ψ k = ( h2 2 2 Q 2 k λ k ˆQ 2 k ) Ψ k = ε k Ψ k. (224) Esta es la ecuación de un oscilador armónico 1D y sus soluciones son bien conocidas: Ψ k (Q k ) = v k = 1 2 v k v k! ( αk π ) 1/4 exp { α k Q 2 k /2} H vk ( α k Q k ) (225) (161)

19 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración donde α k = λ k / h = 2πν k / h y ε k = (v k + 1 / 2 ) hν k con ν k = λ k /2π y v k = 0, 1, 2,... (226) El estado vibracional completo de la molécula se describe por: Ψ(Q 1, Q 2,...Q 3N 6 ) = v 1, v 2,...v 3N 6 = Ψ 1 (Q 1 )Ψ 2 (Q 2 )...Ψ 3N 6 (Q 3N 6 ) (227) y su energía será Estados vibracionales: E vib = U e + ε k = U e + k k (v k + 1 / 2 ) hν k. (228) estado fundamental 0, 0,...0, de energía no nula (energía de punto cero); vibración fundamental del modo k-ésimo, 0, 0,...v k = 1,...0 ; armónicos del modo k-ésimo, 0, 0,...v k = K,...0 para K 2; vibraciones de combinación entre dos o más modos normales. Ejemplo: 0,...v k = 1,...v l = 1,...0 combina los modos k y l. Existe una degeneración sistemática determinada por la simetría y ocasionada por modos normales de igual frecuencia. También puede existir degeneración (o casi degeneración) casual. (162)

20 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Simetría y reglas de selección Cada modo normal Q k transforma como una irrep del grupo puntual molecular: Γ(Q k ). Un estado vibracional cualquiera transforma como la representación Γ( v 1, v 2,... ) = 3N 6 k=1 [Γ(Q k )] v k (229) donde todas las multiplicaciones representan un producto directo, incluidas las potencias. Por convenio Γ(Q k ) 0 = Γ 1, de modo que el estado vibracional fundamental transforma como la irrep totalmente simétrica Γ 1. Una transición Ψ Ψ está permitida por el mecanismo Ô si Ψ Ô Ψ = 0 Γ(Ψ) Γ(Ô) Γ(Ψ ) Γ 1. (230) El operador responsable de la absorción IR es el dipolo eléctrico, con componentes ( ˆd x, ˆd y, ˆd z ). El espectro Raman se produce a través de la polarizabilidad, con componentes (x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz). En ambos casos, la tabla de caracteres del grupo molecular proporciona Γ(Ô). Caso particular: La transición desde el estado fundamental a la vibración fundamental del modo Q k es permitida si Γ(Q k ) Γ(Ô). Se dice que el modo es activo. (163)

21 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Estructura rotacional, correcciones y efectos de la anarmonicidad El espectro IR de alta resolución permite observar la estructura rotacional de cada transición vibracional. En el caso de los trompos simétricos, una transición es permitida si: J = 0(J, J 0), ±1 y K = 0 (polarización paralela) o K = ±1 (perpendicular). Una transición de vibración puede presentar ramas P ( J = 1), Q ( J = 0), y R ( J = +1) similares a las de las moléculas diatómicas. Moléculas lineales: de C en los modos de tensión, de modo que K = 0 y no se observa rama Q, al contrario de lo que sucede en los modos de deformación, en los que d e C. A semejanza de las diatómicas, podemos incorporar términos anarmónicos en la expresión de la energía de vibración: E vib /h = 3N 6 i=1 3N 6 ( ) ν i vi + 1 / 2 + i<j x ij (v i + 1/2) (v j + 1/2) +... (231) En el agua: ν 1 (A 1 ) = (tensión simétrica), ν 2 (A 1 ) = (doblamiento) y ν 3 (B 2 ) = cm 1 (tensión antisimétrica), frente a unas constantes de anarmonicidad de (x 11 ), (x 12 ), (x 13 ), (x 22 ), (x 23 ), y cm 1 (x 33 ). La anarmonicidad engloba otros fenómenos como el efecto Coriolis o la resonancia de Fermi. (164)

22 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Ejemplo: Espectro de absorción IR del CH 3 OH gaseoso. Se observa el modo de tensión CO, con ramas P, Q y R bien definidas. Obsérvese que la frecuencia crece de derecha a izquierda. (165)

23 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Ejemplo: Espectro de absorción IR del NH 3 gaseoso. Se observan: ν 1, tensión NH, A 1, y cm 1 ; ν 2, deformación HNH llamada inversión del paraguas, A 1, y cm 1 ; ν 3, tensión NH, E, 3414 cm 1 ; y ν 4, doblamiento, E, cm 1. Los modos ν 1 y ν 2 están duplicados debido al acoplamiento entre las vibraciones de las dos configuraciones simétricas que resultan de la inversión de la molécula. (166)

24 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Ejemplo: Espectro de absorción IR del CO 2 gaseoso. Se observan: tensión antisimétrica ν 3 (σ + u ) (izquierda) y deformacion ν 2 (π u ) (derecha). El modo de tensión carece de rama Q, que sí está presente en el modo de deformación. Efecto Coriolis: la vibración simultánea de los dos modos degenerados π u equivale a un movimiento rotacional en torno al eje intermolecular. Esto rompe la degeneración de los modos π u y general un momento angular vibracional m = ±v 2, ±(v 2 2),... de modo que E rot = hb [v] { J(J + 1) l 2 } + ha [v] l 2 O C O (167)

25 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Niveles vibracionales v 1, v l 2, v 3 (l = m ) del CO 2. Se indican algunas transiciones observadas. Obsérvese que el efecto Coriolis rompe la degeneración de los niveles con v 2 > 1. Nota: ν 1 (σ + g ) = 1354 cm 1 (tensión simétrica), ν 2 (π u ) = 673 cm 1 (flexión deg.: θ y ɛ), ν 3 (σ + u ) = 2396 cm 1 (tensión asimétrica), (168)

26 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Tratamiento mecanocuántico de la vibración Resonancia de Fermi: Accidentalmente, dos niveles rotovibracionales pueden tener casi la misma energía e idéntica simetría (irrep). Los estados casi degenerados de la misma simetría tienden a mezclarse fuertemente debido a los términos de acoplamiento anarmónico, produciendo el desdoblamiento de los niveles y modificando significativamente la intensidad de las transiciones asociadas a los mismos. Este fenómeno es un ejemplo del principio general conocido como rotura de la simetría, efecto Jahn-Teller,... E ψ 2 ψ 1 Estado Fundamental E ϕ 2 = b ψ 1 a ψ 2 ϕ ψ ψ 1 = a 1 + b 2 Ejemplo famoso: En el CO 2 deberíamos esperar vibraciones desde el estado fundamental a los 1, 0 0, 0 (1355 cm 1, intensa) y 0, 2 0, 0 (1339 cm 1, poco intensa), pero aparecen dos ĺıneas intensas casi gemelas a 1388 y 1285 cm 1 que fueron explicadas por primera vez por Enrico Fermi. A. Darling-Dennison: En el agua ν 1 (A 1 ) = 3825 cm 1 (tensión simétrica) casi coincide con ν 3 (B 1 ) = 3936 cm 1 (tensión antisimétrica), y B 1 B 1 = A 1. Los estados (v 1, v 2, v 3 ) con v 3 par tienen la misma simetría y casi igual energía que los (v 1 ± 2, v 2, v 3 2). Los fuertes acoplamientos generan sobretonos intensos en el IR y Vis. y originan el color azul oscuro de las aguas muy puras. (169)

27 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Ejercicios Ejercicios 1. Las constantes de fuerza para los enlaces H-C y C-N en la molécula lineal HCN son y dina/cm, respectivamente. Utilizar el tratamiento de la molécula lineal ABC para pronosticar las frecuencias (en cm 1 ) de los modos de tensión de la molécula de HCN. Comparar el resultado con los valores medidos en el laboratorio, 2062 y 3312 cm 1, y discutir las posibles fuentes de error. 2. Utilizar las ecuaciones y las constantes de fuerza descritos en el texto para determinar los modos normales de vibración de la molécula de H 2 O. El resultado se puede comparar con las frecuencias medidas en el laboratorio: 3756 (tensión asimétrica), 3657 (tensión simétrica) y 1595 cm 1 (flexión). Pronosticar, asimismo, las frecuencias de vibración de la molécula de D 2 O. 3. Construir la representación Γ (3N) y determinar la simetría de los modos normales de vibración de las siguientes moléculas: H 2 O, H 2 O 2, NH 3, CH 4, C 2 H 6, H 2 C=C=CH 2 (aleno), SF 6, C 4 H 4 (tetraedrano). Qué modos normales de estas moléculas serán activos en espectroscopía de absorción infra-roja (IR) y cuáles en espectroscopía Raman IR? 4. Determinar cuántos hay y cuál es la simetría de los modos de tensión de las moléculas: H 2 O, NH 3, y UF 6. Hacer lo miso con los modos de flexión. 5. Construir coordenadas adaptadas a la simetría para describir la vibración de las moléculas siguientes: (a) H 2 O; (b) NH 3 ; (c) NO 3, de configuración plana; y (d) SF 6, octaédrica. 6. Sea la molécula plana de BF 3. Cuál es su grupo puntual? Determinar el número y simetría de (170)

28 L4: Vibración de moléculas poliatómicas Ejercicios sus modos normales, así como los modos que son activos en absorción IR y Raman. Determinar la simetría de cada uno de los siguientes tipos de movimientos internos: (a) tensión de enlace B-F; (b) deformaciones fuera del plano; y (c) deformaciones angulares F-B-F. Determinar las reglas de selección para los sobretonos y bandas de combinación para la espectroscopía de absorción IR. 7. Las bandas IR (en cm 1 ) observadas para las moléculas 10 BF 3 y 11 BF 3 se recogen en la tabla adjunta, 10 BF BF Intensidad F F m MF d d d d d d donde las intensidades aproximadas son: MF=muy fuerte, F=fuerte, m=media, d=débil. Los modos fundamentales de vibración siguen la secuencia: ν 4 < ν 2 < ν 1 < ν 3. Asignar las bandas observadas. Pudiera pensarse que la banda de 1370 cm 1 corresponde al sobretono 2ν 2, pero esto debe descartarse. Por qué? 8. Utilizar las constantes anarmónicas del vapor de agua para encontrar las frecuencias de las transiciones desde el nivel fundamental (0, 0, 0) a los niveles: (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) (vibraciones fundamentales); (2, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 2) (primeros armónicos); y (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), y (1, 1, 1) (modos de combinación). Utilizar la simetría para determinar cuáles de todas estas transiciones serán permitidas en el espectro de absorción IR. (171)